1、2 0 1 5 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 苏 卷 ） 数 学一 、 填 空 题：本 大 题 共 1 4 个 小 题 ,每 小 题 5 分 ,共 7 0 分 .1.已 知 集 合 3,2,1A ， 5,4,2B ， 则 集 合 BA 中 元 素 的 个 数 为 _.【 答 案 】 5解 析 ： 123 245 123455A B ， ， ， ， ， ， ， ， ， 个 元 素2.已 知 一 组 数 据 4 ， 6 ， 5 ， 8 ， 7 ， 6 ， 那 么 这 组 数 据 的 平 均 数 为 _.【 答 案 】 6 解 析 ：3.设 复 数 z 满 足
2、2 3 4z i （ i 是 虚 数 单 位 ） ， 则 z 的 模 为 _.【 答 案 】 5解 析 ： 2 2| | |3 4 | 5 | | 5 | | 5z i z z 4.根 据 如 图 所 示 的 伪 代 码 ， 可 知 输 出 的 结 果 S 为 _. 【 答 案 】 7解 析 ： 第 一 次 循 环 ： 3, 4S I ;第 二 次 循 环 ： 5, 7S I ;第 三 次 循 环 ： 7, 10S I ;结 束循 环 ， 输 出 7.S 5.袋 中 有 形 状 、 大 小 都 相 同 的 4 只 球 ， 其 中 1 只 白 球 ， 1 只 红 球 ， 2 只 黄 球 ， 从
3、中 一 次 随 机摸 出 2 只 球 ， 则 这 2 只 球 颜 色 不 同 的 概 率 为 _.【 答 案 】 5.6解 析 ： 从 4 只 球 中 一 次 随 机 摸 出 2 只 ， 共 有 6 种 摸 法 ， 其 中 两 只 球 颜 色 不 同 的 共 有 5 种 ， 所以 其 概 率 为 5.6 6.已 知 向 量 a= )1,2( ， b= )2,1( , 若 ma+nb= )8,9( ( Rnm , ), nm 的 值 为 _. 【 答 案 】 3解 析 ： 由 题 意 得 ： 2 9, 2 8 2, 5, 3.m n m n m n m n 7.不 等 式 22 4x x 的 解
4、 集 为 _.【 答 案 】 ( 1,2).解 析 ： 由 题 意 得 ： 2 2 1 2x x x ， 解 集 为 ( 1,2).8.已 知 tan 2 ， 1tan 7 ， 则 tan 的 值 为 _.【 答 案 】 3 解 析 ： 1 2tan( ) tan 7tan tan( ) 3.21 tan( )tan 1 7 9.现 有 橡 皮 泥 制 作 的 底 面 半 径 为 5 ， 高 为 4 的 圆 锥 和 底 面 半 径 为 2 、 高 为 8 的 圆 柱 各 一 个 .若 将 它 们 重 新 制 作 成 总 体 积 与 高 均 保 持 不 变 ， 但 底 面 半 径 相 同 的 新
5、 的 圆 锥 与 圆 柱 各 一 个 ， 则新 的 底 面 半 径 为【 答 案 】 7解 析 ： 由 体 积 相 等 得 ： 2 2 2 21 14 5 + 2 8= 4 8 73 3 r r r 10.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 以 点 )0,1( 为 圆 心 且 与 直 线 )(012 Rmmymx 相 切 的 所 有 圆 中 ， 半 径 最 大 的 圆 的 标 准 方 程 为【 答 案 】 2 2( 1) 2.x y 解 析 ：11.数 列 na 满 足 11 a ， 且 11 naa nn （ *Nn ） ， 则 数 列 1 na 的 前 1 0 项 和 为【 答
6、 案 】 2011 解 析 ： 由 题 意 得 ：1 1 2 2 1 1 ( 1)( ) ( ) ( ) 1 2 1 2n n n n n n na a a a a a a a n n 所 以 101 1 1 1 2 202( ), 2(1 ) ,1 1 1 11nn nS Sa n n n n 12.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， P 为 双 曲 线 122 yx 右 支 上 的 一 个 动 点 .若 点 P 到 直 线01 yx 的 距 离 大 于 c 恒 成 立 ， 则 是 实 数 c 的 最 大 值 为【 答 案 】 22解 析 ： 设 ( , ),( 1)P x y
7、x ， 因 为 直 线 1 0 x y 平 行 于 渐 近 线 0 x y ， 所 以 c 的 最 大 值 为 直线 1 0 x y 与 渐 近 线 0 x y 之 间 距 离 ， 为 1 2.22 13.已 知 函 数 |ln|)( xxf ， 1,2|4| 10,0)( 2 xx xxg ， 则 方 程 1|)()(| xgxf 实 根 的 个 数 为【 答 案 】 4解 析 ： 14.设 向 量 )12,2,1,0)(6cos6sin,6(cos kkkkak ， 则 11 10( )k kk a a 的 值 为【 答 案 】 9 3解 析 ： 2011 1 ( 1) ( 1) ( 1)
8、(cos ,sin cos ) (cos ,sin cos )6 6 6 6 6 6k k k k k k k ka a 2 ( 1) 3 3 2 1 (2 1)cos sin cos cos sin cos6 6 6 6 4 6 2 6k k k k k 因 此 11 10 3 3 12 9 34k kk a a 考 点 ： 向 量 数 量 积 ， 三 角 函 数 性 质二 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 9 0 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .） 15.（ 本 小 题 满 分 1 4 分 ）在 ABC 中 ， 已
9、知 60,3,2 AACAB .（ 1 ） 求 BC 的 长 ；（ 2 ） 求 C2sin 的 值 .【 答 案 】 （ 1 ） 7（ 2 ） 4 37解 析 ： （ 1）（ 2） 答 案 ： （ 1）b（ 2） 考 点 ： 余 弦 定 理 ， 二 倍 角 公 式16. 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 111 CBAABC 中 ， 已 知 BCAC ， 1CCBC ， 设 1AB 的 中 点 为D， EBCCB 11 .求 证 ：（ 1 ） CCAADE 11/平 面 ；（ 2 ） 11 ABBC . 解 析 ： （ 1） 由 三 棱 锥 性 质 知 侧 面 1 1BBCC 为 平 行 四 边
10、 形 ,因 此 点 E为 1BC的 中 点 ， 从 而 由 三 角形 中 位 线 性 质 得 /DE AC ， 再 由 线 面 平 行 判 定 定 理 得 CCAADE 11/平 面 （ 2） 因 为 直 三 棱柱 111 CBAABC 中 1CCBC ， 所 以 侧 面 1 1BBCC 为 正 方 形 ， 因 此 1 1BC BC ， 又 BCAC ，1AC CC （ 可 由 直 三 棱 柱 推 导 ） ， 因 此 由 线 面 垂 直 判 定 定 理 得 1 1AC BBCC平 面 ,从 而1AC BC ， 再 由 线 面 垂 直 判 定 定 理 得 1 1BC ABC平 面 ,进 而 可
11、得 11 ABBC 答 案 ： （ 1） （ 2） 考 点 ： 线 面 平 行 判 定 定 理 ， 线 面 垂 直 判 定 定 理17.某 山 区 外 围 有 两 条 相 互 垂 直 的 直 线 型 公 路 ， 为 进 一 步 改 善 山 区 的 交 通 现 状 ， 计 划 修 建 一条 连 接 两 条 公 路 的 山 区 边 界 的 直 线 型 公 路 ， 记 两 条 相 互 垂 直 的 公 路 为 1 2l l， ， 山 区 边 界 曲 线为 C， 计 划 修 建 的 公 路 为 l， 如 图 所 示 ， M， N 为 C 的 两 个 端 点 ， 测 得 点 M 到 1 2l l， 的 距
12、 离 分别 为 5 千 米 和 4 0 千 米 ， 点 N 到 1 2l l， 的 距 离 分 别 为 2 0 千 米 和 2 .5 千 米 ， 以 1 2l l， 所 在 的 直 线分 别 为 x， y 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 xOy， 假 设 曲 线 C 符 合 函 数 2ay x b （ 其 中 a， b 为常 数 ） 模 型 . （ 1 ） 求 a， b 的 值 ；（ 2 ） 设 公 路 l 与 曲 线 C 相 切 于 P 点 ， P 的 横 坐 标 为 t. 请 写 出 公 路 l 长 度 的 函 数 解 析 式 f t ， 并 写 出 其 定 义 域 ； 当 t
13、 为 何 值 时 ， 公 路 l 的 长 度 最 短 ？ 求 出 最 短 长 度 .【 答 案 】 （ 1） 1000, 0;a b （ 2） 6 249 10 9( ) ,4f t tt 定 义 域 为 5,20， min10 2, ( ) 15 3t f t 千 米 解 析 ： （ 1）（ 2）答 案 ： （ 1） （ 2） 由 （ 1） 知 ， 21000y x （ 5 20 x ） ， 则 点 的 坐 标 为 21000,t t ，设 在 点 处 的 切 线 l 交 x ， y轴 分 别 于 ， 点 ， 32000y x ， 考 点 ： 利 用 导 数 求 函 数 最 值 ， 导 数
14、几 何 意 义18. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 2 22 2 1 0 x y a ba b 的 离 心 率 为 22 ，且 右 焦 点 F 到 左 准 线 l 的 距 离 为 3 .（ 1 ） 求 椭 圆 的 标 准 方 程 ；（ 2 ） 过 F 的 直 线 与 椭 圆 交 于 A， B 两 点 ， 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 分 别 交 直 线 l 和 AB 于 点 P，C， 若 PC=2 AB， 求 直 线 AB 的 方 程 . 【 答 案 】 （ 1） 2 2 12x y （ 2） 1y x 或 1y x 解 析 ： （ 1）（
15、 2） 答 案 ： （ 1）（ 2） 当 x 轴 时 ， 2 ， 又 C 3 ， 不 合 题 意 当 与 x 轴 不 垂 直 时 ， 设 直 线 的 方 程 为 1y k x ， 1 1,x y ， 2 2,x y ， 将 的 方 程 代 入 椭 圆 方 程 ， 得 2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k ，则 2 21,2 22 2 11 2k kx k ， C的 坐 标 为 2 2 22 ,1 2 1 2k kk k ， 且 22 2 222 1 2 1 2 1 22 2 11 1 2 kx x y y k x x k 若 0k ， 则 线 段 的 垂 直 平 分 线 为
16、y轴 ， 与 左 准 线 平 行 ， 不 合 题 意 从 而 0k ， 故 直 线 C 的 方 程 为 22 21 21 2 1 2k ky xk k k ，则 点 的 坐 标 为 2 25 22, 1 2kk k ， 从 而 2 222 3 1 1C 1 2k kk k 因 为 C 2 ， 所 以 2 2 2222 3 1 1 4 2 11 21 2k k kkk k ， 解 得 1k 此 时 直 线 方 程 为 1y x 或 1y x 考 点 ： 椭 圆 方 程 ， 直 线 与 椭 圆 位 置 关 系19.已 知 函 数 ),()( 23 Rbabaxxxf . （ 1 ） 试 讨 论 )
17、(xf 的 单 调 性 ；（ 2 ） 若 acb （ 实 数 c 是 a 与 无 关 的 常 数 ） ， 当 函 数 )(xf 有 三 个 不 同 的 零 点 时 ， a 的 取值 范 围 恰 好 是 ),23()23,1()3,( ， 求 c 的 值 .【 答 案 】 （ 1） 当 0a 时 ， f x 在 , 上 单 调 递 增 ；当 0a 时 ， f x 在 2, 3a ， 0, 上 单 调 递 增 ， 在 2 ,03a 上 单 调 递 减 ；当 0a 时 ， f x 在 ,0 ， 2 ,3a 上 单 调 递 增 ， 在 20, 3a 上 单 调 递 减 （ 2） 1.c解 析 ： （
18、1）（ 2） 答 案 ： （ 1） （ 2） 考 点 ： 利 用 导 数 求 函 数 单 调 性 、 极 值 、 函 数 零 点 20.设 1 2 3 4, , ,a a a a 是 各 项 为 正 数 且 公 差 为 d( 0)d 的 等 差 数 列（ 1 ） 证 明 ： 31 2 42 ,2 ,2 ,2aa a a 依 次 成 等 比 数 列 ；（ 2 ） 是 否 存 在 1,a d ， 使 得 2 3 41 2 3 4, , ,a a a a 依 次 成 等 比 数 列 ， 并 说 明 理 由 ；（ 3 ） 是 否 存 在 1,a d 及 正 整 数 ,n k ， 使 得 knknknn
19、 aaaa 342321 , 依 次 成 等 比 数 列 ， 并 说 明 理由 .解 析 ：（ 1 ）（ 2 ） 本 题 （ 3 ）答 案 ： （ 1） （ 2） 令 1a d a ， 则 1a ， 2a ， 3a ， 4a 分 别 为 a d ， a ， a d ， 2a d （ a d ， 2a d ，0d ） 假 设 存 在 1a ， d ， 使 得 1a ， 22a ， 33a ， 44a 依 次 构 成 等 比 数 列 ，则 34a a d a d ， 且 6 42 2a d a a d 令 dt a ， 则 31 1 1t t ， 且 6 41 1 2t t （ 1 12 t ，
20、0t ） ， 化 简 得 3 22 2 0t t （ ） ， 且 2 1t t 将 2 1t t 代 入 （ ） 式 ， 21 2 1 2 3 1 3 4 1 0t t t t t t t t ， 则 14t 显 然 14t 不 是 上 面 方 程 得 解 ， 矛 盾 ， 所 以 假 设 不 成 立 ，因 此 不 存 在 1a ， d ， 使 得 1a ， 22a ， 33a ， 44a 依 次 构 成 等 比 数 列 （ 3） 假 设 存 在 1a ， d 及 正 整 数 n ， k ， 使 得 1na ， 2n ka ， 23n ka ， 34n ka 依 次 构 成 等 比 数 列 ，则
21、 2 21 1 12 n k n kna a d a d ， 且 3 2 21 1 13 2n k n k n ka d a d a d 分 别 在 两 个 等 式 的 两 边 同 除 以 21 n ka 及 2 21 n ka ， 并 令 1dt a （ 13t ， 0t ） ，则 2 21 2 1n k n kt t ， 且 3 2 21 1 3 1 2n k n k n kt t t 将 上 述 两 个 等 式 两 边 取 对 数 ， 得 2 ln 1 2 2 ln 1n k t n k t ，且 ln 1 3 ln 1 3 2 2 ln 1 2n k t n k t n k t 化 简
22、 得 2 ln 1 2 ln 1 2ln 1 ln 1 2k t t n t t ，且 3 ln 1 3 ln 1 3ln 1 ln 1 3k t t n t t 再 将 这 两 式 相 除 ， 化 简 得 ln 1 3 ln 1 2 3ln 1 2 ln 1 4ln 1 3 ln 1t t t t t t （ ） 令 4ln 1 3 ln 1 ln 1 3 ln 1 2 3ln 1 2 ln 1g t t t t t t t ，则 2 2 22 1 3 ln 1 3 3 1 2 ln 1 2 3 1 ln 11 1 2 1 3t t t t t tg t t t t 令 2 2 21 3 l
23、n 1 3 3 1 2 ln 1 2 3 1 ln 1t t t t t t t ，则 6 1 3 ln 1 3 2 1 2 ln 1 2 1 ln 1t t t t t t t 令 1 t t ， 则 1 6 3ln 1 3 4ln 1 2 ln 1t t t t 令 2 1t t ， 则 2 12 01 1 2 1 3t t t t 由 1 20 0 0 0 0g ， 2 0t ，知 2 t ， 1 t ， t ， g t 在 1,03 和 0, 上 均 单 调 故 g t 只 有 唯 一 零 点 0t ， 即 方 程 （ ） 只 有 唯 一 解 0t ， 故 假 设 不 成 立 所 以
24、不 存 在 1a ， d 及 正 整 数 n ， k ， 使 得 1na ， 2n ka ， 23n ka ， 34n ka 依 次 构 成 等 比 数 列 考 点 ： 等 差 、 等 比 数 列 的 定 义 及 性 质 ， 函 数 与 方 程附 加 题 21.A（选修4 1：几何证明选讲）如 图 ， 在 ABC 中 ， ACAB ， ABC 的 外 接 圆 圆 O 的 弦 AE 交 BC于 点 D求 证 ： ABD AEB 解 析 ：答 案 ： 、考 点 ： 三 角 形 相 似21.B（ 选 修 4 2： 矩 阵 与 变 换 ） 已 知 Ryx , ， 向 量 11 是 矩 阵 01yxA
25、的 属 性 特 征 值 2 的 一 个 特 征 向 量 ， 矩 阵A以 及 它 的 另 一 个 特 征 值 .【 答 案 】 1 12 0 ,另 一 个 特 征 值 为 1 解 析 ： 由 矩 阵 特 征 值 与 特 征 向 量 可 列 出 关 于 x,y的 方 程 组 ， 再 根 据 特 征 多 项 式 求 出 矩 阵 另 一个 特 征 值试 题 解 析 ： 由 已 知 ， 得 2 ， 即 1 1 1 20 1 2x xy y ，则 1 22xy ， 即 12xy ， 所 以 矩 阵 1 12 0 从 而 矩 阵 的 特 征 多 项 式 2 1f ， 所 以 矩 阵 的 另 一 个 特 征
26、值 为 1考 点 ： 矩 阵 运 算 ， 特 征 值 与 特 征 向 量 21.C（选修4 4：坐标系与参数方程）已 知 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 2 2 sin( ) 4 04 ， 求 圆 C 的 半 径 .【 答 案 】 6解 析 ：答 案 ： 考 点 ： 圆 的 极 坐 标 方 程 ， 极 坐 标 与 之 间 坐 标 互 化21.D（选修4 5：不等式选讲）解 不 等 式 |2 3| 3x x 【 答 案 】 15 3x x x 或解 析 ： 根 据 绝 对 值 定 义 将 不 等 式 化 为 两 个 不 等 式 组 的 并 集 ， 分 别 求 解 即 可 试 题 解 析
27、： 原 不 等 式 可 化 为 323 2xx 或 323 3 2xx 解 得 5x 或 13x 综 上 ， 原 不 等 式 的 解 集 是 15 3x x x 或 考 点 ： 含 绝 对 值 不 等 式 的 解 法22. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 已 知 PA平 面 ABCD， 且 四 边 形 ABCD为 直 角 梯 形 ，2ABC BAD , 2, 1PA AD AB BC （ 1 ） 求 平 面 PAB与 平 面 PCD所 成 二 面 角 的 余 弦 值 ；（ 2 ） 点 Q 是 线 段 BP 上 的 动 点 ， 当 直 线 CQ 与 DP 所 成 角 最 小 时
28、 ， 求 线 段 BQ 的 长【 答 案 】 （ 1 ） 33 （ 2 ） 2 55 解 析 ： （ 1）（ 2）答 案 ： （ 1） （ 2） 考 点 ： 空 间 向 量 、 二 面 角 、 异 面 直 线 所 成 角23. 已 知 集 合 3,2,1X ， )(,3,2,1 *NnnYn ， ,),( abbabaSn 整 除或整 除 nYbXa , ， 令 ( )f n 表 示 集 合 nS 所 含 元 素 的 个 数 .（ 1 ） 写 出 (6)f 的 值 ；（ 2 ） 当 6n 时 ， 写 出 ( )f n 的 表 达 式 ， 并 用 数 学 归 纳 法 证 明 . 【 答 案 】
29、（ 1 ） 1 3 （ 2 ） 2 , 62 31 12 , 6 12 322 , 6 22 312 , 6 32 312 , 6 42 31 22 , 6 52 3n nn n tn nn n tn nn n tf n n nn n tn nn n tn nn n t 解 析 ： （ 1）（ 2） 答 案 ： （ 1）（ 2） 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 当 6n 时 ， 6 66 6 2 132 3f ， 结 论 成 立 ； 假 设 n k （ 6k ） 时 结 论 成 立 ， 那 么 1n k 时 ， 1kS 在 kS 的 基 础 上 新 增 加 的 元 素 在 1, 1k ， 考 点 ： 计 数 原 理 、 数 学 归 纳 法
