1、2014年 四 川 省 自 贡 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： (共 10 小 题 ， 每 小 题 4分 ， 共 40 分 )1.(4 分 )比 -1 大 1 的 数 是 ( )A.2B.1C.0D.-2解 析 ： (-1)+1=0，故 比 -1大 1的 数 是 0，答 案 ： C. 2.(4分 )(x4)2等 于 ( )A.x6B.x8C.x16D.2x4解 析 ： 原 式 =x4 2=x8，答 案 ： B.3.(4分 )如 图 ， 是 由 几 个 小 立 方 体 所 搭 成 的 几 何 体 的 俯 视 图 ， 小 正 方 形 中 的 数 字 表 示 在 该 位置 上 的
2、立 方 体 的 个 数 ， 这 个 几 何 体 的 正 视 图 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 由 俯 视 图 可 知 ， 几 个 小 立 方 体 所 搭 成 的 几 何 体 如 图 所 示 ， 故 正 视 图 为 ，答 案 ： D.4.(4分 )拒 绝 “ 餐 桌 浪 费 ” 刻 不 容 缓 ， 据 统 计 全 国 每 年 浪 费 食 物 总 量 约 为 50000000000千 克 ，这 个 数 据 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.5 1010B.0.5 1011C.5 10 11D.0.5 1010解 析 ： 将 50000000000用 科 学 记 数 法 表 示
3、 为 ： 5 1010.答 案 ： A.5.(4分 )一 元 二 次 方 程 x2-4x+5=0 的 根 的 情 况 是 ( )A.有 两 个 不 相 等 的 实 数 根B.有 两 个 相 等 的 实 数 根C.只 有 一 个 实 数 根D.没 有 实 数 根解 析 ： a=1， b=-4， c=5， =b 2-4ac=(-4)2-4 1 5=-4 0，所 以 原 方 程 没 有 实 数 根 .答 案 ： D.6.(4分 )下 面 的 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ，
4、是 中 心 对 称 图 形 ， 故 A 选 项 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 B 选 项 错 误 ；C、 既 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 C 选 项 正 确 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 D 选 项 错 误 .答 案 ： C.7.(4分 )一 组 数 据 ， 6、 4、 a、 3、 2 的 平 均 数 是 5， 这 组 数 据 的 方 差 为 ( )A.8B.5C.D.3 解 析 ： 6、 4、 a、 3、 2的 平 均 数 是 5， (6+4+a+3+2
5、) 5=5，解 得 ： a=10，则 这 组 数 据 的 方 差 S2= (6-5)2+(4-5)2+(10-5)2+(3-5)2+(2-5)2=8；答 案 ： A.8.(4分 )一 个 扇 形 的 半 径 为 8cm， 弧 长 为 cm， 则 扇 形 的 圆 心 角 为 ( )A.60B.120C.150D.180 解 析 ： 设 扇 形 圆 心 角 为 n ， 根 据 弧 长 公 式 可 得 ： = ，解 得 ： n=120 ，答 案 ： B.9.(4分 )关 于 x的 函 数 y=k(x+1)和 y= (k 0)在 同 一 坐 标 系 中 的 图 象 大 致 是 ( )A. B.C.D.
6、解 析 ： 当 k 0 时 ， 反 比 例 函 数 图 象 经 过 一 三 象 限 ； 一 次 函 数 图 象 经 过 第 一 、 二 、 三 象 限 ， 故 A、 C 错 误 ；当 k 0 时 ， 反 比 例 函 数 经 过 第 二 、 四 象 限 ； 一 次 函 数 经 过 第 二 、 三 、 四 象 限 ， 故 B 错 误 ， D正 确 ；答 案 ： D.10.(4分 )如 图 ， 在 半 径 为 1 的 O中 ， AOB=45 ， 则 sinC 的 值 为 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 过 点 A 作 AD OB 于 点 D， 在 Rt AOD中 ， AOB=45 ， OD=AD
7、=OAcos45 = 1= ， BD=OB-OD=1- ， AB= = ， AC 是 O的 直 径 ， ABC=90 ， AC=2， sinC= . 答 案 ： B.二 .填 空 题 ： (共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 20分 )11.(4分 )分 解 因 式 ： x2y-y= .解 析 ： x2y-y，=y(x2-1)，=y(x+1)(x-1)，答 案 ： y(x+1)(x-1).12.(4分 )不 等 式 组 的 解 集 是 . 解 析 ： ， 由 得 ， x ， 由 得 ， x 1，故 此 不 等 式 组 的 解 集 为 ： 1 x .答 案 ： 1 x .13.(4分
8、 )一 个 多 边 形 的 内 角 和 比 外 角 和 的 3倍 多 180 ， 则 它 的 边 数 是 .解 析 ： 根 据 题 意 ， 得(n-2) 180 =3 360 +180 ，解 得 ： n=9.则 这 个 多 边 形 的 边 数 是 9. 答 案 ： 9.14.(4分 )一 个 边 长 为 4cm的 等 边 三 角 形 ABC与 O 等 高 ， 如 图 放 置 ， O 与 BC 相 切 于 点 C， O 与 AC 相 交 于 点 E， 则 CE 的 长 为 cm. 解 析 ： 连 接 OC， 并 过 点 O作 OF CE于 F，且 ABC为 等 边 三 角 形 ， 边 长 为 4
9、，故 高 为 2 ， 即 OC= ，又 ACB=60 ， 故 有 OCF=30 ，在 Rt OFC中 ， 可 得 FC=OCcos30 = ，OF过 圆 心 ， 且 OF CE， 根 据 垂 径 定 理 易 知 CE=2FC=3. 答 案 ： 3.15.(4分 )一 次 函 数 y=kx+b， 当 1 x 4 时 ， 3 y 6， 则 的 值 是 .解 析 ： 当 k 0 时 ， 此 函 数 是 增 函 数 ， 当 1 x 4 时 ， 3 y 6， 当 x=1时 ， y=3； 当 x=4时 ， y=6， ， 解 得 ， =2；当 k 0 时 ， 此 函 数 是 减 函 数 ， 当 1 x 4
10、时 ， 3 y 6， 当 x=1时 ， y=6； 当 x=4时 ， y=3， ， 解 得 ， =-7.答 案 ： 2或 -7.三 .解 答 题 ： (共 2 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 16分 )16.(8分 )解 方 程 ： 3x(x-2)=2(2-x)解 析 ： 先 移 项 ， 然 后 提 取 公 因 式 (x-2)， 对 等 式 的 左 边 进 行 因 式 分 解 .答 案 ： 由 原 方 程 ， 得(3x+2)(x-2)=0， 所 以 3x+2=0或 x-2=0，解 得 x1=- ， x2=2.17.(8分 )计 算 ： (3.14- )0+(- )-2+|1- |-4co
11、s45 .解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 负 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 三 项 利 用 绝 对值 的 代 数 意 义 化 简 ， 最 后 一 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =1+4+2 -1-4 =4.四 .解 答 题 ： (共 2 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 16分 )18.(8分 )如 图 ， 某 学 校 新 建 了 一 座 吴 玉 章 雕 塑 ， 小 林 站 在 距 离 雕 塑 2.7米 的 A 处 自 B点 看 雕 塑 头 顶 D
12、的 仰 角 为 45 ， 看 雕 塑 底 部 C的 仰 角 为 30 ， 求 塑 像 CD 的 高 度 .(最 后 结 果 精 确到 0.1米 ， 参 考 数 据 ： )解 析 ： 首 先 分 析 图 形 ： 根 据 题 意 构 造 两 个 直 角 三 角 形 DEB、 CEB， 再 利 用 其 公 共 边 BE 求 得 DE、 CE， 再 根 据 CD=DE-CE计 算 即 可 求 出 答 案 .答 案 ： 在 Rt DEB中 ， DE=BE tan45 =2.7米 ，在 Rt CEB中 ， CE=BE tan30 =0.9 米 ，则 CD=DE-CE=2.7-0.9 1.2米 .故 塑 像
13、 CD的 高 度 大 约 为 1.2米 .19.(8分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， BE BF， BE=BF， EF 与 BC交 于 点 G.(1)求 证 ： AE=CF；(2)若 ABE=55 ， 求 EGC的 大 小 . 解 析 ： (1)利 用 AEB CFB来 求 证 AE=CF.(2)利 用 角 的 关 系 求 出 BEF和 EBG， EGC= EBG+ BEF 求 得 结 果 .答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， ABC=90 ， AB=BC， BE BF， FBE=90 ， ABE+ EBC=90 ， CBF+ EBC=90 ，
14、ABE= CBF，在 AEB和 CFB中 ， AEB CFB(SAS)， AE=CF.(2) BE BF， FBE=90 ，又 BE=BF， BEF= EFB=45 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ABC=90 ，又 ABE=55 ， EBG=90 -55 =35 ， EGC= EBG+ BEF=45 +35 =80 .五 .解 答 题 ： (共 2 小 题 ， 每 小 题 10 分 ， 共 20分 )20.(10分 )为 了 提 高 学 生 书 写 汉 字 的 能 力 ， 增 强 保 护 汉 字 的 意 识 ， 我 市 举 办 了 首 届 “ 汉 字 听 写 大 赛 ” ， 经
15、 选 拔 后 有 50名 学 生 参 加 决 赛 ， 这 50 名 学 生 同 时 听 写 50 个 汉 字 ， 若 每 正 确 听写 出 一 个 汉 字 得 1 分 ， 根 据 测 试 成 绩 绘 制 出 部 分 频 数 分 布 表 和 部 分 频 数 分 布 直 方 图 如 图 表 ：请 结 合 图 表 完 成 下 列 各 题 ：(1)求 表 中 a 的 值 ；(2)请 把 频 数 分 布 直 方 图 补 充 完 整 ；(3)若 测 试 成 绩 不 低 于 40分 为 优 秀 ， 则 本 次 测 试 的 优 秀 率 是 多 少 ？ (4)第 5 组 10 名 同 学 中 ， 有 4名 男
16、同 学 ， 现 将 这 10 名 同 学 平 均 分 成 两 组 进 行 对 抗 练 习 ， 且4名 男 同 学 每 组 分 两 人 ， 求 小 宇 与 小 强 两 名 男 同 学 能 分 在 同 一 组 的 概 率 . 解 析 ： (1)用 总 人 数 减 去 第 1、 2、 3、 5组 的 人 数 ， 即 可 求 出 a的 值 ；(2)根 据 (1)得 出 的 a的 值 ， 补 全 统 计 图 ；(3)用 成 绩 不 低 于 40分 的 频 数 乘 以 总 数 ， 即 可 得 出 本 次 测 试 的 优 秀 率 ；(4)用 A 表 示 小 宇 ， B 表 示 小 强 ， C、 D 表 示
17、其 他 两 名 同 学 ， 画 出 树 状 图 ， 再 根 据 概 率 公 式 列式 计 算 即 可 .答 案 ： (1)表 中 a 的 值 是 ：a=50-4-8-16-10=12；(2)根 据 题 意 画 图 如 下 ： (3)本 次 测 试 的 优 秀 率 是 =0.44.答 ： 本 次 测 试 的 优 秀 率 是 0.44；(4)用 A 表 示 小 宇 ， B表 示 小 强 ， C、 D 表 示 其 他 两 名 同 学 ， 根 据 题 意 画 树 状 图 如 下 ：共 有 12种 情 况 ， 小 宇 与 小 强 两 名 男 同 学 分 在 同 一 组 的 情 况 有 4 种 ，则 小
18、宇 与 小 强 两 名 男 同 学 分 在 同 一 组 的 概 率 是 = .21.(10分 )学 校 新 到 一 批 理 、 化 、 生 实 验 器 材 需 要 整 理 ， 若 实 验 管 理 员 李 老 师 一 人 单 独 整 理需 要 40分 钟 完 成 ， 现 在 李 老 师 与 工 人 王 师 傅 共 同 整 理 20分 钟 后 ， 李 老 师 因 事 外 出 ， 王 师 傅 再 单 独 整 理 了 20分 钟 才 完 成 任 务 .(1)王 师 傅 单 独 整 理 这 批 实 验 器 材 需 要 多 少 分 钟 ？(2)学 校 要 求 王 师 傅 的 工 作 时 间 不 能 超 过
19、 30分 钟 ， 要 完 成 整 理 这 批 器 材 ， 李 老 师 至 少 要 工 作多 少 分 钟 ？ 解 析 ： (1)设 王 师 傅 单 独 整 理 这 批 实 验 器 材 需 要 x 分 钟 ， 则 王 师 傅 的 工 作 效 率 为 ， 根 据 李老 师 与 工 人 王 师 傅 共 同 整 理 20分 钟 的 工 作 量 +王 师 傅 再 单 独 整 理 了 20 分 钟 的 工 作 量 =1， 可得 方 程 ， 解 出 即 可 ；(2)根 据 王 师 傅 的 工 作 时 间 不 能 超 过 30 分 钟 ， 列 出 不 等 式 求 解 .答 案 ： (1)设 王 师 傅 单 独
20、整 理 这 批 实 验 器 材 需 要 x 分 钟 ， 则 王 师 傅 的 工 作 效 率 为 ，由 题 意 ， 得 ： 20( + )+20 =1，解 得 ： x=80，经 检 验 得 ： x=80是 原 方 程 的 根 .答 ： 王 师 傅 单 独 整 理 这 批 实 验 器 材 需 要 80 分 钟 .(2)设 李 老 师 要 工 作 y 分 钟 ， 由 题 意 ， 得 ： (1- ) 30，解 得 ： y 25.答 ： 李 老 师 至 少 要 工 作 25 分 钟 .六 .解 答 题 ： (本 题 满 分 12分 )22.(12分 )如 图 ， 一 次 函 数 y=kx+b 与 反 比
21、 例 函 数 的 图 象 交 于 A(m， 6)， B(3，n)两 点 .(1)求 一 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)根 据 图 象 直 接 写 出 的 x 的 取 值 范 围 ；(3)求 AOB的 面 积 . 解 析 ： (1)先 根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 得 到 6m=6， 3n=6， 解 得 m=1， n=2， 这 样 得到 A 点 坐 标 为 (1， 6)， B点 坐 标 为 (3， 2)， 然 后 利 用 待 定 系 数 求 一 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)观 察 函 数 图 象 找 出 反 比 例 函 数 图 象 都 在 一 次
22、函 数 图 象 上 方 时 x 的 取 值 范 围 ；(3)先 确 定 一 次 函 数 图 象 与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 ， 然 后 利 用 S AOB=S COD-S COA-S BOD进 行 计 算 .答 案 ： (1)分 别 把 A(m， 6)， B(3， n)代 入 得 6m=6， 3n=6，解 得 m=1， n=2，所 以 A点 坐 标 为 (1， 6)， B 点 坐 标 为 (3， 2)， 分 别 把 A(1， 6)， B(3， 2)代 入 y=kx+b得 ，解 得 ，所 以 一 次 函 数 解 析 式 为 y=-2x+8；(2)当 0 x 1 或 x 3 时 ， ；(3
23、)如 图 ， 当 x=0时 ， y=-2x+8=8， 则 C点 坐 标 为 (0， 8)，当 y=0时 ， -2x+8=0， 解 得 x=4， 则 D 点 坐 标 为 (4， 0)，所 以 S AOB=S COD-S COA-S BOD= 4 8- 8 1- 4 2=8.七 .解 答 题 ： (本 题 满 分 12分 )23.(12分 )阅 读 理 解 ：如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 的 边 AB 上 任 取 一 点 E(点 E 不 与 A、 B重 合 )， 分 别 连 接 ED、 EC， 可以 把 四 边 形 ABCD分 成 三 个 三 角 形 ， 如 果 其 中 有 两 个 三 角
24、 形 相 似 ， 我 们 就 把 E叫 做 四 边 形 ABCD的 边 AB上 的 “ 相 似 点 ” ； 如 果 这 三 个 三 角 形 都 相 似 ， 我 们 就 把 E 叫 做 四 边 形 ABCD的 边 AB上 的 “ 强 相 似 点 ” .解 决 问 题 ： (1)如 图 ， A= B= DEC=45 ， 试 判 断 点 E 是 否 是 四 边 形 ABCD的 边 AB 上 的 相 似 点 ， 并说 明 理 由 ；(2)如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， A、 B、 C、 D 四 点 均 在 正 方 形 网 格 (网 格 中 每 个 小 正 方 形 的 边 长为 1)的 格 点
25、(即 每 个 小 正 方 形 的 顶 点 )上 ， 试 在 图 中 画 出 矩 形 ABCD 的 边 AB 上 的 强 相 似 点 ；(3)如 图 ， 将 矩 形 ABCD沿 CM折 叠 ， 使 点 D 落 在 AB边 上 的 点 E 处 ， 若 点 E恰 好 是 四 边 形ABCM的 边 AB上 的 一 个 强 相 似 点 ， 试 探 究 AB与 BC的 数 量 关 系 .解 析 ： (1)要 证 明 点 E 是 四 边 形 ABCD的 AB边 上 的 相 似 点 ， 只 要 证 明 有 一 组 三 角 形 相 似 就 行 ，很 容 易 证 明 ADE BEC， 所 以 问 题 得 解 .(
26、2)以 CD 为 直 径 画 弧 ， 取 该 弧 与 AB的 一 个 交 点 即 为 所 求 ；(3)由 点 E 是 矩 形 ABCD 的 AB边 上 的 一 个 强 相 似 点 ， 得 AEM BCE ECM， 根 据 相 似 三 角形 的 对 应 角 相 等 ， 可 求 得 BCE= BCD=30 ， 利 用 含 30 角 的 直 角 三 角 形 性 质 可 得 BE与AB， BC边 之 间 的 数 量 关 系 ， 从 而 可 求 出 AB与 BC边 之 间 的 数 量 关 系 . 答 案 ： (1) A= B= DEC=45 ， AED+ ADE=135 ， AED+ CEB=135 A
27、DE= CEB，在 ADE和 BEC中 ， ADE BEC， 点 E是 四 边 形 ABCD的 边 AB上 的 相 似 点 .(2)如 图 所 示 ： 点 E 是 四 边 形 ABCD的 边 AB 上 的 强 相 似 点 ， (3) 点 E 是 四 边 形 ABCM的 边 AB 上 的 一 个 强 相 似 点 ， AEM BCE ECM， BCE= ECM= AEM.由 折 叠 可 知 ： ECM DCM， ECM= DCM， CE=CD， BCE= BCD=30 ，BE= ，在 Rt BCE中 ， tan BCE= =tan30 = ， . 八 .解 答 题 ： (本 题 满 分 14分 )
28、24.(14分 )如 图 ， 已 知 抛 物 线 y=ax2- x+c 与 x 轴 相 交 于 A、 B两 点 ， 并 与 直 线 y= x-2交 于B、 C 两 点 ， 其 中 点 C是 直 线 y= x-2与 y 轴 的 交 点 ， 连 接 AC.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)证 明 ： ABC为 直 角 三 角 形 ；(3) ABC内 部 能 否 截 出 面 积 最 大 的 矩 形 DEFG？ (顶 点 D、 E、 F、 G在 ABC 各 边 上 )若 能 ， 求出 最 大 面 积 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)由 直 线 y= x-2交
29、x 轴 、 y 轴 于 B、 C两 点 ， 则 B、 C坐 标 可 求 .进 而 代 入 抛 物 线y=ax2- x+c， 即 得 a、 c的 值 ， 从 而 有 抛 物 线 解 析 式 .(2)求 证 三 角 形 为 直 角 三 角 形 ， 我 们 通 常 考 虑 证 明 一 角 为 90 或 勾 股 定 理 .本 题 中 未 提 及 特殊 角 度 ， 而 已 知 A、 B、 C坐 标 ， 即 可 知 AB、 AC、 BC， 则 显 然 可 用 勾 股 定 理 证 明 .(3)在 直 角 三 角 形 中 截 出 矩 形 ， 面 积 最 大 ， 我 们 易 得 两 种 情 形 ， 一 点 为
30、C， AB、 AC、 BC边上 各 有 一 点 ， AB 边 上 有 两 点 ， AC、 BC边 上 各 有 一 点 .讨 论 时 可 设 矩 形 一 边 长 x， 利 用 三 角形 相 似 等 性 质 表 示 另 一 边 ， 进 而 描 述 面 积 函 数 .利 用 二 次 函 数 最 值 性 质 可 求 得 最 大 面 积 .答 案 ： (1) 直 线 y= x-2 交 x 轴 、 y轴 于 B、 C两 点 ， B(4， 0)， C(0， -2)， y=ax 2- x+c 过 B、 C 两 点 ， ，解 得 ， y= x 2- x-2.(2)如 图 1， 连 接 AC， y= x2- x-
31、2与 x负 半 轴 交 于 A点 ， A(-1， 0)，在 Rt AOC中 ， AO=1， OC=2， AC= ，在 Rt BOC中 ， BO=4， OC=2， BC=2 ， AB=AO+BO=1+4=5， AB 2=AC2+BC2， ABC为 直 角 三 角 形 .(3) ABC内 部 可 截 出 面 积 最 大 的 矩 形 DEFG， 面 积 为 ， 理 由 如 下 ： 一 点 为 C， AB、 AC、 BC边 上 各 有 一 点 ， 如 图 2， 此 时 AGF ACB FEB. 设 GC=x， AG= -x， ， ， GF=2 -2x， S=GCGF=x(2 )=-2x2+2 x=-2(x- )2- =-2(x- )2+ ，即 当 x= 时 ， S 最 大 ， 为 . AB 边 上 有 两 点 ， AC、 BC边 上 各 有 一 点 ， 如 图 3， 此 时 CDE CAB GAD， 设 GD=x， ， ， AD= x， CD=CA-AD= - x， ， ， DE=5- x， S=GDDE=x(5- x)=- x2+5x=- (x-1)2-1=- (x-1)2+ ，即 x=1时 ， S 最 大 ， 为 .综 上 所 述 ， ABC内 部 可 截 出 面 积 最 大 的 矩 形 DEFG， 面 积 为 .
