1、2014年 福 建 省 龙 岩 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 40 分 )1.(4分 )计 算 ： -2+3=( )A.1B.-1C.5D.-5解 析 ： -2+3=+(3-2)=1.答 案 ： A.2.(4分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( ) A.a3+a3=a6B.a6 a2=a4C.a3 a5=a15D.(a3)4=a7解 析 ： A、 a3+a3=2a3， 故 A错 误 ；B、 a6 a2=a4， 故 B 正 确 ；C、 a3 a5=a8， 故 C 错 误 ；D、 (a 3)4=a12， 故 D 错 误 .答
2、 案 ： B.3.(4分 )下 列 图 形 中 既 是 轴 对 称 又 是 中 心 对 称 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 A 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 B 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 C 错 误 ；D、 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 D 正 确 . 答 案 ： D.4.(4分 )不 等 式 组 的 解 集 是 ( )A. x 2B.- x 2C.- x
3、2D.- x 2 解 析 ： ， 解 得 ： x 2， 解 得 ： x - ， 则 不 等 式 组 的 解 集 是 ： - x 2.答 案 ： C.5.(4分 )如 图 所 示 几 何 体 的 俯 视 图 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 从 上 往 下 看 ， 俯 视 图 如 下 . 答 案 ： C.6.(4分 )下 列 叙 述 正 确 的 是 ( )A.“ 打 开 电 视 机 ， 中 央 一 套 正 在 直 播 巴 西 世 界 杯 足 球 赛 .” 是 必 然 事 件B.若 甲 乙 两 人 六 次 跳 远 成 绩 的 方 差 为 S 甲 2=0.1， S 乙 2=0.3， 则 甲
4、的 成 绩 更 稳 定C.从 一 副 扑 克 牌 中 随 即 抽 取 一 张 一 定 是 红 桃 KD.任 意 一 组 数 据 的 平 均 数 一 定 等 于 它 的 众 数解 析 ： A、 “ 打 开 电 视 机 ， 中 央 一 套 正 在 直 播 巴 西 世 界 杯 足 球 赛 .” 是 随 机 事 件 ， 故 A错 误 ；B、 若 甲 乙 两 人 六 次 跳 远 成 绩 的 方 差 为 S 甲 2=0.1， S 乙 2=0.3， 则 甲 的 成 绩 更 稳 定 ， 利 用 方 差 的意 义 ， 故 B正 确 ；C、 从 一 副 扑 克 牌 中 随 即 抽 取 一 张 不 一 定 是 红
5、桃 K， 故 C 错 误 ；D、 任 意 一 组 数 据 的 平 均 数 不 一 定 等 于 它 的 众 数 ， 故 D 错 误 .答 案 ： B.7.(4分 )如 图 ， 直 线 a， b被 直 线 c所 截 ， a b， 1= 2， 若 3=40 ， 则 4 等 于 ( ) A.40B.50C.70D.80解 析 ： 1= 2， 3=40 ， 1= (180 - 3)= (180 -40 )=70 ， a b， 4= 1=70 .答 案 ： C.8.(4分 )如 图 分 别 是 某 班 全 体 学 生 上 学 时 乘 车 、 步 行 、 骑 车 人 数 的 分 布 直 方 图 和 扇 形
6、统 计 图(两 图 都 不 完 整 )， 下 列 结 论 错 误 的 是 ( ) A.该 班 总 人 数 为 50人B.步 行 人 数 为 30 人C.乘 车 人 数 是 骑 车 人 数 的 2.5倍D.骑 车 人 数 占 20%解 析 ： A、 总 人 数 是 ： 25 50%=50(人 )， 故 A 正 确 ；B、 步 行 的 人 数 是 ： 50 30%=15(人 )， 故 B 错 误 ；C、 骑 车 人 数 所 占 的 比 例 是 ： 1-50%-30%=20%， 故 D 正 确 ；D、 乘 车 人 数 是 骑 车 人 数 倍 数 是 ： 50% 20%=2.5， 故 C 正 确 .由
7、 于 该 题 选 择 错 误 的 ， 答 案 ： B.9.(4分 )某 小 区 为 了 排 污 ， 需 铺 设 一 段 全 长 为 720米 的 排 污 管 道 ， 为 减 少 施 工 对 居 民 生 活 的影 响 ， 须 缩 短 施 工 时 间 ， 实 际 施 工 时 每 天 的 工 作 效 率 比 原 计 划 提 高 20%， 结 果 提 前 2 天 完 成任 务 .设 原 计 划 每 天 铺 设 x 米 ， 下 面 所 列 方 程 正 确 的 是 ( ) A. - =2B. - =2C. - =2D. =解 析 ： 设 原 计 划 每 天 铺 设 x 米 ， 则 实 际 施 工 时 每
8、天 铺 设 (1+20%)x米 ，由 题 意 得 ， - =2.答 案 ： A. 10.(4分 )定 义 符 号 mina， b的 含 义 为 ： 当 a b时 mina， b=b； 当 a b 时 mina， b=a.如 ： min1， -3=-3， min-4， -2=-4.则 min-x2+1， -x的 最 大 值 是 ( )A.B.C.1D.0解 析 ： 在 同 一 坐 标 系 xOy中 ， 画 出 函 数 二 次 函 数 y=-x 2+1与 正 比 例 函 数 y=-x的 图 象 ， 如 图所 示 .设 它 们 交 于 点 A、 B. 令 -x2+1=-x， 即 x2-x-1=0，
9、解 得 ： x= 或 ， A( ， )， B( ， ).观 察 图 象 可 知 ： 当 x 时 ， min-x2+1， -x=-x2+1， 函 数 值 随 x 的 增 大 而 增 大 ， 其 最 大 值 为 ； 当 x 时 ， min-x 2+1， -x=-x， 函 数 值 随 x的 增 大 而 减 小 ， 没 有 最 大 值 ； 当 x 时 ， min-x2+1， -x=-x2+1， 函 数 值 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 最 大 值 为 .综 上 所 示 ， min-x2+1， -x的 最 大 值 是 .答 案 ： A.二 、 填 空 题 (共 7 小 题 ， 每 小 题 3 分
10、， 满 分 21分 )11.(3分 )据 统 计 ， 2014 年 全 国 约 有 939万 人 参 加 高 考 ， 939万 人 用 科 学 记 数 法 表 示 为人 .解 析 ： 939万 =9 390 000=9.39 10 6.答 案 ： 9.39 106.12.(3分 )因 式 分 解 ： x2-4x+4= .解 析 ： x2-4x+4=(x-2)2.答 案 ： (x-2)213.(3分 )若 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 的 弧 长 为 24 cm， 则 此 圆 锥 底 面 的 半 径 为 cm.解 析 ： 设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r， 圆 锥 的 侧 面 展 开 图
11、 的 弧 长 为 24 cm， 2 r=24 ， 解 得 ： r=12，答 案 ： 12. 14.(3分 )若 一 组 数 据 3， 4， x， 5， 8 的 平 均 数 是 4， 则 该 组 数 据 的 中 位 数 是 .解 析 ： 根 据 题 意 可 得 ， =4， 解 得 ： x=0，这 组 数 据 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 ： 0， 3， 4， 5， 8， 则 中 位 数 为 ： 4.答 案 ： 4. 15.(3分 )如 图 ， A、 B、 C是 半 径 为 6 的 O上 三 个 点 ， 若 BAC=45 ， 则 弦 BC= .解 析 ： 连 接 OB， OC，
12、BAC=45 ， BOC=2 BAC=90 ， OB=OC=6， BC= =6 .答 案 ： 6 .16.(3分 )如 图 ， ABC中 ， B=70 ， BAC=30 ， 将 ABC绕 点 C 顺 时 针 旋 转 得 EDC.当点 B 的 对 应 点 D恰 好 落 在 AC 上 时 ， CAE= . 解 析 ： ABC中 ， B=70 ， 则 BAC=30 ， 将 ABC 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 得 EDC， 点 B的 对 应 点 D恰 好 落 在 AC 上 ， BCA=180 -70 -30 =80 ， AC=CE， BCA= DCE=80 ， CAE= AEC=(180 -80
13、) =50 .答 案 ： 50 .17.(3分 )如 图 ， AOB=60 ， O 1， O2， O3 是 AOB平 分 线 上 的 点 ， 其 中 OO1=2， 若 分 别 以 O1，O2， O3 为 圆 心 作 圆 ， 使 得 O1， O2， O3 均 与 AOB 的 两 边 相 切 ， 且 相 邻 两 圆 相 外 切 ，则 O2014的 面 积 是 (结 果 保 留 ) 解 析 ： 设 O1， O2， O3 与 OB的 切 点 分 别 为 C， D， E连 接 CO1， DO2， EO3， CO1 BO， DO2 BO， EO3 BO， AOB=60 ， O 1， O2， O3 是 AO
14、B平 分 线 上 的 点 ， 其 中 OO1=2， O1OC=30 ， CO1=1， ， DO2=3，同 理 可 得 出 ： EO3=9， O2014的 半 径 为 ： 32013， O2014的 面 积 是 (32013)2=92013 .答 案 ： 92013 .三 、 解 答 题 (共 8 小 题 ， 满 分 89分 )18.(10分 )(1)计 算 ： ( -2014) 0-2sin45 +| -2|+(2)解 方 程 ： +1= .解 析 ： (1)本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 二 次 根 式 化 简 四 个 考 点 .针 对 每 个 考
15、 点分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 ；(2)根 据 解 分 式 方 程 的 一 般 步 骤 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (1)原 式 =1- +2- +2 =3；(2)方 程 两 边 都 乘 以 (x-2)得 2x+(x-2)=-3， 解 得 x=- ， 经 检 验 x=- 是 原 分 式 方 程 的 解 .19.(8分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： ( + ) ， 其 中 a= -2. 解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 约 分 得 到 最 简
16、 结 果 ， 将 a的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 = = = ， 当 a= -2时 ， 原 式 = .20.(10分 )如 图 ， E、 F 分 别 是 等 边 三 角 形 ABC的 边 AB， AC上 的 点 ， 且 BE=AF， CE、 BF交 于点 P. (1)求 证 ： CE=BF；(2)求 BPC的 度 数 .解 析 ： (1)欲 证 明 CE=BF， 只 需 证 得 BCE ABF；(2)利 用 (1)中 的 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到 BCE= ABF， 则 由 图 示 知 PBC+ PCB= PBC+ ABF= ABC=60 ，
17、即 PBC+ PCB=60 ， 所 以 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理求 得 BPC=120 .答 案 ： (1)证 明 ： 如 图 ， ABC是 等 边 三 角 形 ， BC=AB， A= EBC=60 ， 在 BCE与 ABF 中 ， ， BCE ABF(SAS)， CE=BF；(2) 由 (1)知 BCE ABF， BCE= ABF， PBC+ PCB= PBC+ ABF= ABC=60 ， 即 PBC+ PCB=60 ， BPC=180 -60 =120 .即 ： BPC=120 .21.(10分 )某 校 九 年 级 有 10 个 班 ， 每 班 50 名 学 生 ， 为 调
18、 查 该 校 九 年 级 学 生 一 学 期 课 外 书 籍的 阅 读 情 况 ， 准 备 抽 取 50名 学 生 作 为 一 个 样 本 经 行 分 析 ， 并 规 定 如 下 ： 设 一 个 学 生 一 学 期阅 读 课 外 书 籍 本 书 为 n， 当 0 n 5 时 为 一 般 读 者 ； 当 5 n 10 时 为 良 好 读 者 ； 当 n 10时 为 优 秀 读 者 .(1)下 列 四 种 抽 取 方 法 最 具 有 代 表 性 的 是 ；A.随 机 抽 取 一 个 班 的 学 生 B.随 机 抽 取 50名 学 生C.随 机 抽 取 50 名 男 生 D.随 机 抽 取 50名
19、女 生(2)由 上 述 最 具 代 表 性 的 抽 取 方 法 抽 取 50 名 学 生 一 学 期 阅 读 本 数 的 数 据 如 下 ：8 10 6 9 7 16 8 11 0 13 10 5 82 6 9 7 5 7 6 4 12 10 11 6 8 14 15 7 12 13 8 9 7 10 12 11 8 1310 4 6 8 13 6 5 7 11 12 9根 据 以 上 数 据 回 答 下 列 问 题 求 样 本 中 优 秀 读 者 的 频 率 ； 估 计 该 校 九 年 级 优 秀 读 者 的 人 数 ； 在 样 本 为 一 般 读 者 的 学 生 中 随 机 抽 取 2 人
20、 ， 用 树 形 图 或 列 表 法 求 抽 得 2 人 的 课 外 书 籍 阅 读本 数 都 为 4的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 抽 取 方 法 的 代 表 性 可 求 得 答 案 ；(2) 由 样 本 中 优 秀 读 者 20 人 ， 即 可 求 得 样 本 中 优 秀 读 者 的 频 率 ； 由 可 求 得 该 校 九 年 级 优 秀 读 者 的 人 数 ； 首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 抽 得 2 人 的 课 外 书 籍 阅读 本 数 都 为 4 的 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式
21、即 可 求 得 答 案 .答 案 ： (1) A、 C、 D不 具 有 全 面 性 ，答 案 ： B；(2) 样 本 中 优 秀 读 者 20 人 ， 样 本 中 优 秀 读 者 的 频 率 为 ： = ； 该 校 九 年 级 优 秀 读 者 的 人 数 为 ： 10 50 =200(人 )； 画 树 状 图 得 ： 共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 ， 抽 得 2 人 的 课 外 书 籍 阅 读 本 数 都 为 4 的 有 2 种 情 况 ， 抽 得 2 人 的 课 外 书 籍 阅 读 本 数 都 为 4 的 概 率 为 ： = .22.(12分 )如 图 ， 我 们 把 依 次 连
22、 接 任 意 四 边 形 ABCD各 边 中 点 所 得 四 边 形 EFGH叫 中 点 四 边 形 . (1)若 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， 则 它 的 中 点 四 边 形 EFGH 一 定 是 ；A.菱 形 B.矩 形 C.正 方 形 D.梯 形(2)若 四 边 形 ABCD的 面 积 为 S1， 中 点 四 边 形 EFGH的 面 积 记 为 S2， 则 S1与 S2的 数 量 关 系 是 S1=S2；(3)在 四 边 形 ABCD中 ， 沿 中 点 四 边 形 EFGH 的 其 中 三 边 剪 开 ， 可 得 三 个 小 三 角 形 ， 将 这 三 个小 三 角 形 与 原 图
23、 中 未 剪 开 的 小 三 角 形 拼 接 成 一 个 平 行 四 边 形 ， 请 画 出 一 种 拼 接 示 意 图 ， 并 写出 对 应 全 等 的 三 角 形 . 解 析 ： (1)连 接 AC、 BD.先 根 据 三 角 形 中 位 线 的 性 质 得 出 EH BD FG， EF AC HG， EH=FG= BD，EF=HG= AC， 则 四 边 形 EFGH为 平 行 四 边 形 ， 再 由 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 ， 得 出 EF FG， 从而 证 明 EFGH是 矩 形 ；(2)由 E 为 AB 中 点 ， 且 EF 平 行 于 AC， EH 平 行 于 BD
24、， 得 到 BEK与 ABM相 似 ， AEN 与 ABM相 似 ， 利 用 面 积 之 比 等 于 相 似 比 的 平 方 ， 得 到 EBK面 积 与 ABM面 积 之 比 为 1： 4， 且 AEN与 EBK面 积 相 等 ， 进 而 确 定 出 四 边 形 EKMN面 积 为 ABM的 一 半 ， 同 理 得 到 四 边 形 MKFP 面积 为 MBC面 积 的 一 半 ， 四 边 形 QMPG面 积 为 DMC面 积 的 一 半 ， 四 边 形 MNHQ面 积 为 ADM面 积 的 一 半 ， 四 个 四 边 形 面 积 之 和 即 为 四 个 三 角 形 面 积 之 和 的 一 半
25、 ， 即 为 四 边 形 ABCD面 积的 一 半 ；(3)利 用 中 点 四 边 形 的 性 质 得 出 拼 接 方 法 ， 进 而 得 出 全 等 三 角 形 .答 案 ： (1)如 图 1， 连 接 AC、 BD. E、 F、 G、 H 分 别 是 菱 形 ABCD各 边 的 中 点 ， EH BD FG， EF AC HG， EH=FG= BD， EF=HG= AC， 四 边 形 EFGH为 平 行 四 边 形 ， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AC BD， EF FG， EFGH是 矩 形 ；答 案 ： B.(2)如 图 2， 设 AC与 EH、 FG 分 别 交 于 点 N
26、、 P， BD与 EF、 HG 分 别 交 于 点 K、 Q， E 是 AB 的 中 点 ， EF AC， EH BD， EBK ABM， AEN EBK， = ， S AEN=S EBK， = ， 同 理 可 得 = ， = ， = ， = ， 四 边 形 ABCD 的 面 积 为 S1， 中 点 四 边 形 EFGH的 面 积 记 为 S2， 则 S1与 S2的 数 量 关 系 是 S1=2S2；(3)如 图 3， 四 边 形 NEHM是 平 行 四 边 形 ； MAH GDH， NAE FBE， CFG ANM.23.(12分 )随 着 地 球 上 的 水 资 源 日 益 枯 竭 ， 各
27、 级 政 府 越 来 越 重 视 倡 导 节 约 用 水 .某 市 民 生 活用 水 按 “ 阶 梯 水 价 ” 方 式 进 行 收 费 ， 人 均 月 生 活 用 水 收 费 标 准 如 图 所 示 ， 图 中 x 表 示 人 均 月 生 活 用 水 的 吨 数 ， y表 示 收 取 的 人 均 月 生 活 用 水 费 (元 ).请 根 据 图 象 信 息 ， 回 答 下 列 问 题 ： (1)该 市 人 均 月 生 活 用 水 的 收 费 标 准 是 ： 不 超 过 5 吨 ， 每 吨 按 元 收 取 ； 超 过 5 吨 的 部分 ， 每 吨 按 元 收 取 ；(2)请 写 出 y 与 x
28、 的 函 数 关 系 式 ；(3)若 某 个 家 庭 有 5人 ， 五 月 份 的 生 活 用 水 费 共 76元 ， 则 该 家 庭 这 个 月 用 了 多 少 吨 生 活 用 水 ？解 析 ： (1)由 图 可 知 ， 用 水 5 吨 是 8元 ， 每 吨 按 8 5=1.6 元 收 取 ； 超 过 5吨 的 部 分 ， 每 吨 按(20-8) (10-5)=2.4元 收 取 ；(2)根 据 图 象 分 x 5和 x 5， 分 别 设 出 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ， 代 入 对 应 点 ， 得 出 答 案 即 可 ；(3)把 y=76代 入 x 5 的 y 与 x 的 函 数
29、关 系 式 ， 求 出 x 的 数 值 即 可 .答 案 ： (1)该 市 人 均 月 生 活 用 水 的 收 费 标 准 是 ： 不 超 过 5 吨 ， 每 吨 按 1.6元 收 取 ； 超 过 5 吨的 部 分 ， 每 吨 按 2.4元 收 取 ；(2)当 0 x 5 时 ， 设 y=kx， 代 入 (5， 8)得 8=5k， 解 得 k= y= x； 当 x 5 时 ， 设 y=kx+b， 代 入 (5， 8)、 (10， 20)得 ， 解 得 k= ， b=-4， y= x-4； 综 上 所 述 ， y= ；(3)把 y= 代 入 y= x-4得 x-4= ，解 得 x=8， 5 8=
30、40(吨 ).答 ： 该 家 庭 这 个 月 用 了 40 吨 生 活 用 水 .24.(13分 )如 图 ， 在 ABC中 ， AB=AC=10， BC=12， D、 E 分 别 是 边 BC、 AB的 中 点 ， P 是 BC边 上 的 动 点 (不 与 B、 C 重 合 ).设 BP=x. (1)当 x=6 时 ， 求 PE的 长 ；(2)当 BPE是 等 腰 三 角 形 时 ， 求 x的 值 ；(3)当 AD 平 分 EP时 ， 试 判 断 以 EP为 直 径 的 圆 与 直 线 AC 的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 等 腰 三 角 形 的 性
31、质 得 BD=CD=6， AD BC， 所 以 x=6时 ， 点 P 在 D 点 处 ， 根 据直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 性 质 得 PE= AB=5；(2)先 得 到 BE=5， 再 分 类 讨 论 ： 当 BP=BE=5， 易 得 x=5； 当 EP=EB， 作 EM BD于 M， 如 图 1，根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 BM=PM， 由 点 E 为 AB 的 中 点 ， EM AD得 到 M 点 为 BD 的 中 点 ， 则PB=BD=6， 即 x=6； 当 PB=PE， 如 图 2， 作 PN BE于 N， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得
32、BN=EN= BE= ，再 证 明 Rt BPN Rt BAD， 理 由 相 似 可 计 算 出 PB= ， 即 x= ；(3)EP交 AD于 O， 作 OH AC于 H， EF AD于 F， 如 图 3， 在 Rt ABC中 ， 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 AD=8， 由 点 E为 AB的 中 点 ， EF BD得 到 EF为 ABD的 中 位 线 ， 则 EF= BD=3， AF=DF= AD=4，再 利 用 “ AAS” 证 明 OEF OPD， 则 OF=OD= DF=2， 所 以 AO=AF+OF=6， 然 后 在 Rt OEF 中 ，根 据 勾 股 定 理 计 算 出 OE
33、= ， 证 明 Rt AOH Rt ACD， 利 用 相 似 比 计 算 出 OH= ， 再 比较 OE与 OH 的 大 小 ， 然 后 根 据 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 进 行 判 断 .答 案 ： (1) AB=AC=10， BC=12， D为 边 BC 的 中 点 ， BD=CD=6， AD BC， 当 x=6时 ， 点 P 在 D 点 处 ， PE为 Rt ABD斜 边 上 的 中 线 ， PE= AB=5；(2) 点 E 为 AB的 中 点 ， BE=5， 当 BP=BE=5， 则 x=5；当 EP=EB， 作 EM BD于 M， 如 图 1， 则 BM=PM， 点 E为
34、AB的 中 点 ， 而 EM AD， M 点 为 BD 的 中 点 ， PB=BD=6， x=6； 当 PB=PE， 如 图 2， 作 PN BE于 N， 则 BN=EN= BE= ， PBN= DBA， Rt BPN Rt BAD， PB： AB=BN： BD， 即 x： 10= ： 6， x= ， 综 上 所 述 ， 当 BPE是 等 腰 三 角 形 时 ， x 的 值 为 5 或 6 或 ；(3)以 EP 为 直 径 的 圆 与 直 线 AC相 交 .理 由 如 下 ： EP交 AD于 O， 作 OH AC于 H， EF AD于 F，如 图 3， 在 Rt ABD中 ， AB=10， B
35、D=6， AD= =8， 点 E为 AB的 中 点 ，而 EF BD， EF为 ABD的 中 位 线 ， EF= BD=3， AF=DF= AD=4， AD 平 分 EP， OE=OP， 在 OEF和 OPD中 ， ， OEF OPD， OF=OD， OF= DF=2， AO=AF+OF=6，在 Rt OEF中 ， EF=3， OF=2， OE= = ， OAH= CAD， Rt AOH Rt ACD， OH： CD=AO： AC， 即 OH： 6=6： 10， 解 得 OH= ， OE= = = ， OH= = = ， OE OH， 以 EP为 直 径 的 圆 与 直 线 AC相 交 .25
36、.(14分 )如 图 ， 双 曲 线 y= (k 0)和 抛 物 线 y=ax2+bx(a 0)交 于 A、 B、 C三 点 ， 其 中B(3， 1)， C(-1， -3)， 直 线 CO交 双 曲 线 于 另 一 点 D， 抛 物 线 与 x 轴 交 于 另 一 点 E. (1)求 双 曲 线 和 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)抛 物 线 在 第 一 象 限 部 分 是 否 存 在 点 P， 使 得 POE+ BCD=90 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 满 足 条件 的 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(3)如 图 ， 过 B 作 直 线 l OB，
37、 过 点 D作 DF l于 点 F， BD 与 OF交 于 点 N， 求 的 值 .解 析 ： (1)用 待 定 系 数 法 即 可 求 得 .(2)过 O 作 OM BC， 则 OM= ， 因 为 OB= ， 根 据 勾 股 定 理 求 得 MB=2 ， 进 而 求 得tan COM= = =2， 所 以 tan POE=2， 从 而 求 得 P 点 的 坐 标 .(3)根 据 勾 股 定 理 求 得 DF、 OB 的 长 ， 根 据 DF OB 得 出 = 即 可 求 得 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=ax 2+bx(a 0)过 B(3， 1)， C(-1， -3)， ， 解 得
38、： ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=- x2+ x，把 B(3， 1)代 入 y= (k 0)得 ： 1= ， 解 得 ： k=3， 双 曲 线 的 解 析 式 为 ： y= .(2)存 在 点 P， 使 得 POE+ BCD=90 ； B(3， 1)， C(-1， -3)， 设 直 线 BC为 y=kx+b， ， 解 得 k=1， b=-2， 直 线 BC 为 ： y=x-2， 直 线 BC 与 坐 标 轴 的 交 点 (2， 0)， (0， -2)，过 O 作 OM BC， 则 OM= ， B(3， 1)， C(-1， -3)， OB=OC= ， BM= = =2 ， tan
39、COM= = =2， COM+ BCD=90 ， POE+ BCD=90 ， POE= COM， tan POE=2， P 点 是 抛 物 线 上 的 点 ， 设 P(m， - m2+ m)， =2， 解 得 ： m= ， P( ， 1).综 上 所 述 ， 存 在 点 P( ， 1)， 使 得 POE+ BCD=90 .(3) 直 线 CO 过 C(-1， -3)， 直 线 CO的 解 析 式 为 y=3x，解 ， 解 得 ， D(1， 3)， B(3， 1)， 直 线 OB 的 斜 率 = ， 直 线 l OB， 过 点 D作 DF l于 点 F， DF OB， 直 线 l 的 斜 率 =-3， 直 线 DF 的 斜 率 = ， 直 线 l 过 B(3， 1)， 直 线 DF过 D(1， 3)， 直 线 l 的 解 析 式 为 y=-3x+10， 直 线 DF解 析 式 为 y= x+ ， 解 ， 解 得 ， F( ， )， DF= = ， DF OB， OB= ， DNF BNO， = = = .
