1、2014年 湖 南 省 常 德 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 8 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 )1.(3分 )|-2|等 于 ( )A.2B.-2C.D.解 析 ： 根 据 绝 对 值 的 性 质 可 知 ： |-2|=2.答 案 ： A. 2.(3分 )如 图 的 几 何 体 的 主 视 图 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 从 几 何 体 的 正 面 看 可 得 ，答 案 ： B.3.(3分 )下 列 各 数 ： ， ， ， cos60 ， 0， ， 其 中 无 理 数 的 个 数 是 ( ) A.1 个B.2 个C.3 个
2、D.4 个解 析 ： 据 无 理 数 定 义 得 有 ， 和 是 无 理 数 .答 案 ： B.4.(3分 )下 列 各 式 与 是 同 类 二 次 根 式 的 是 ( )A.B.C.D.解 析 ： A、 =2 ， 故 不 与 是 同 类 二 次 根 式 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 =2 ， 故 不 与 是 同 类 二 次 根 式 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 =5 ， 故 不 与 是 同 类 二 次 根 式 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 =2 ， 故 ， 与 是 同 类 二 次 根 式 ， 故 此 选 项 正 确 ； 答 案 ： D.5.(3分 )如 图 ， 已 知 AC
3、 BD， CAE=30 ， DBE=45 ， 则 AEB等 于 ( )A.30B.45C.60D.75解 析 ： 过 E作 EF AC， AC BD， EF BD， B= 2=45 ， AC EF， 1= A=30 ， AEB=30 +45 =75 ，答 案 ： D.6.(3分 )某 班 体 育 委 员 记 录 了 7 位 女 生 1 分 钟 仰 卧 起 坐 的 个 数 分 别 为 28， 38， 38， 35， 35，38， 48， 这 组 数 据 的 中 位 数 和 众 数 分 别 是 ( )A.35， 38B.38， 35C.38， 38D.35， 35 解 析 ： 38 出 现 的 次
4、 数 最 多 ， 38是 众 数 .排 序 后 位 于 中 间 位 置 的 数 是 38， 所 以 中 位 数 为 38.答 案 ： C.7.(3分 )下 面 分 解 因 式 正 确 的 是 ( ) A.x2+2x+1=x(x+2)+1B.(x2-4)x=x3-4xC.ax+bx=(a+b)xD.m2-2mn+n2=(m+n)2解 析 ： A、 x2+2x+1=x(x+2)+1， 不 是 因 式 分 解 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 (x2-4)x=x3-4x， 不 是 因 式 分 解 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 ax+bx=(a+b)x， 是 因 式 分 解 ， 故 此 选 项
5、 正 确 ；D、 m 2-2mn+n2=(m-n)2， 故 此 选 项 错 误 .答 案 ： C.8.(3分 )阅 读 理 解 ： 如 图 1， 在 平 面 内 选 一 定 点 O， 引 一 条 有 方 向 的 射 线 Ox， 再 选 定 一 个 单位 长 度 ， 那 么 平 面 上 任 一 点 M 的 位 置 可 由 MOx的 度 数 与 OM 的 长 度 m 确 定 ， 有 序 数 对 ( ，m)称 为 M 点 的 “ 极 坐 标 ” ， 这 样 建 立 的 坐 标 系 称 为 “ 极 坐 标 系 ” .应 用 ： 在 图 2的 极 坐 标 系 下 ， 如 果 正 六 边 形 的 边 长
6、为 2， 有 一 边 OA在 射 线 Ox 上 ， 则 正 六 边形 的 顶 点 C的 极 坐 标 应 记 为 ( ) A.(60 ， 4)B.(45 ， 4)C.(60 ， 2 )D.(50 ， 2 )解 析 ： 如 图 ， 设 正 六 边 形 的 中 心 为 D， 连 接 AD， ADO=360 6=60 ， OD=AD， AOD是 等 边 三 角 形 ， OD=OA=2， AOD=60 ， OC=2OD=2 2=4， 正 六 边 形 的 顶 点 C的 极 坐 标 应 记 为 (60 ， 4).答 案 ： A.二 、 填 空 题 (本 大 题 8 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满
7、 分 24分 )9.(3分 )要 使 式 子 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 则 x的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 由 题 意 得 ， 2x-1 0， 解 得 x . 答 案 ： x .10.(3分 )古 生 物 学 家 发 现 350 000 000年 前 ， 地 球 上 每 年 大 约 是 400天 ， 用 科 学 记 数 法 表示 350 000 000= .解 析 ： 将 350 000 000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 3.5 108.答 案 ： 3.5 108.11.(3分 )下 列 关 于 反 比 例 函 数 y= 的 三 个 结 论 ： 它 的 图 象
8、 经 过 点 (7， 3)； 它 的 图 象 在 每 一 个 象 限 内 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ； 它 的 图 象 在 二 、 四 象 限 内 . 其 中 正 确 的 是 .解 析 ： 7 3=21， 它 的 图 象 经 过 点 (7， 3)， 故 正 确 ； k=21 0， 它 的 图 象 在 每 一 个 象 限 内 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 故 正 确 ； 它 的 图 象 应 在 第 一 三 象 限 ， 故 错 误 ；答 案 ： .12.(3分 )计 算 ： - = .解 析 ： 原 式 = - = = . 答 案 ： .13.(3分 )一 元 二 次
9、方 程 2x2-3x+k=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 根 据 题 意 得 =(-3)2-4 2 k 0， 解 得 k .答 案 ： k .14.(3分 )如 图 ， AB 为 O的 直 径 ， CD AB， 若 AB=10， CD=8， 则 圆 心 O 到 弦 CD 的 距 离 为 . 解 析 ： 连 接 OC， AB 为 O的 直 径 ， AB=10， OC=5， CD AB， CD=8， CE=4， OE= = =3.答 案 ： 3.15.(3分 )如 图 ， 已 知 ABC三 个 内 角 的 平 分 线 交 于 点 O， 点
10、 D在 CA的 延 长 线 上 ， 且 DC=BC，AD=AO， 若 BAC=80 ， 则 BCA的 度 数 为 .解 析 ： ABC三 个 内 角 的 平 分 线 交 于 点 O， ACO= BCO， 在 COD和 COB中 ， ， COD COB， D= CBO， BAC=80 ， BAD=100 ， BAO=40 ， DAO=140 ， AD=AO， D=20 ， CBO=20 ， ABC=40 ， BCA=60 ，答 案 ： 60 .16.(3分 )已 知 ： = ； = ；计 算 ： = ； 猜 想 ： =.解 析 ： 已 = ； = ； = ； 分 子 为 n 个 1 相 加 ，
11、结 果 等 于 n；分 母 为 n 项 相 加 ： (4n+3)+(4n-1)+ +11+7+3= =n(2n+3) 猜 想 = .答 案 ： ； .三 、 (本 大 题 2 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 10分 ) 17.(5分 )计 算 ： (-2)2-2-1+(sin30 -1)0- .解 析 ： 本 题 涉 及 乘 方 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 二 次 根 式 化 简 、 负 指 数 幂 等 四 个 考 点 .针 对 每个 考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： 原 式 =
12、4- +1-4= .18.(5分 )解 方 程 ： = .解 析 ： 分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 经 检 验 即 可 得 到 分式 方 程 的 解 .答 案 ： 去 分 母 得 ： x+2=2， 解 得 ： x=0， 经 检 验 x=0是 分 式 方 程 的 解 . 四 、 (本 大 题 2 个 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 满 分 12分 )19.(6分 )求 不 等 式 组 的 解 集 .解 析 ： 要 求 不 等 式 组 的 解 ， 只 需 要 求 出 这 两 个 不 等 式 得 解 ， 然 后
13、 根 据 不 等 式 的 解 的 公 共 部 分确 定 不 等 式 组 的 解 .答 案 ：由 (1)得 ： ，由 (2)得 ： x 1， 所 以 原 不 等 式 组 的 解 集 为 - x 1. 20.(6分 )小 美 周 末 来 到 公 园 ， 发 现 在 公 园 一 角 有 一 种 “ 守 株 待 兔 ” 游 戏 .游 戏 设 计 者 提 供 了一 只 兔 子 和 一 个 有 A、 B、 C、 D、 E 五 个 出 入 口 的 兔 笼 ， 而 且 笼 内 的 兔 子 从 每 个 出 入 口 走 出 兔笼 的 机 会 是 均 等 的 .规 定 ： 玩 家 只 能 将 小 兔 从 A、 B
14、两 个 出 入 口 放 入 ； 如 果 小 兔 进 入 笼 子 后 选 择 从 开 始 进 入 的 出 入 口 离 开 ， 则 可 获 得 一 只 价 值 5 元 小 兔 玩 具 ， 否则 应 付 费 3元 .(1)问 小 美 得 到 小 兔 玩 具 的 机 会 有 多 大 ？(2)假 设 有 100 人 次 玩 此 游 戏 ， 估 计 游 戏 设 计 者 可 赚 多 少 元 ？解 析 ： (1)根 据 五 个 出 入 口 的 兔 笼 中 一 个 出 口 得 奖 ， 确 定 出 所 求 概 率 即 可 ；(2)求 出 获 奖 概 率 与 没 有 获 奖 概 率 ， 确 定 出 100人 次 玩
15、 此 游 戏 ， 游 戏 设 计 者 可 赚 的 钱 即 可 .答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： 小 美 得 到 小 兔 玩 具 的 机 会 是 ； (2)根 据 题 意 得 ： 一 个 人 玩 此 游 戏 ， 游 戏 设 计 者 可 赚 的 钱 为 - 5+ 3= (元 )，则 有 100 人 次 玩 此 游 戏 ， 估 计 游 戏 设 计 者 可 赚 100 =140(元 ).五 、 (本 大 题 2 个 小 题 ， 每 小 题 7 分 ， 满 分 14分 )21.(7分 )2014 年 5 月 12日 ， 国 家 统 计 局 公 布 了 2013年 农 民 工 监 测 调 查 报
16、 告 ， 报 告 显 示 ：我 国 农 民 工 收 入 持 续 快 速 增 长 .某 地 区 农 民 工 人 均 月 收 入 增 长 率 如 图 1， 并 将 人 均 月 收 入 绘制 成 如 图 2的 不 完 整 的 条 形 统 计 图 . 根 据 以 上 统 计 图 解 答 下 列 问 题 ：(1)2013年 农 民 工 人 均 月 收 入 的 增 长 率 是 多 少 ？(2)2011年 农 民 工 人 均 月 收 入 是 多 少 ？(3)小 明 看 了 统 计 图 后 说 ： “ 农 民 工 2012 年 的 人 均 月 收 入 比 2011 年 的 少 了 .” 你 认 为 小 明 的
17、说 法 正 确 吗 ？ 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)直 接 利 用 折 线 统 计 图 得 出 答 案 即 可 ；(2)直 接 利 用 条 形 统 计 图 得 出 答 案 即 可 ；(3)利 用 2012 年 农 民 工 人 均 月 收 入 增 长 率 进 而 求 出 2012年 的 月 平 均 收 入 ， 进 而 得 出 答 案 .答 案 ： (1)由 折 线 统 计 图 可 得 出 ： 2013年 农 民 工 人 均 月 收 入 的 增 长 率 是 ： 10%；(2)由 条 形 统 计 图 可 得 出 ： 2011年 农 民 工 人 均 月 收 入 是 ： 2205元 ；(3)
18、不 正 确 ， 理 由 ： 2012年 农 民 工 人 均 月 收 入 是 ： 2205 (1+20%)=2646(元 ) 2205元 ， 农 民 工 2012年 的 人 均 月 收 入 比 2011年 的 少 了 ， 是 错 误 的 . 22.(7分 )如 图 ， A， B， C表 示 修 建 在 一 座 山 上 的 三 个 缆 车 站 的 位 置 ， AB， BC表 示 连 接 缆 车站 的 钢 缆 .已 知 A， B， C 所 处 位 置 的 海 拔 AA1， BB1， CC1分 别 为 160米 ， 400米 ， 1000米 ， 钢缆 AB， BC 分 别 与 水 平 线 AA2， B
19、B2所 成 的 夹 角 为 30 ， 45 ， 求 钢 缆 AB 和 BC 的 总 长 度 .(结果 精 确 到 1米 )解 析 ： 先 根 据 题 意 得 到 BD， CB 2的 长 ， 在 Rt ABD中 ， 由 三 角 函 数 可 得 AB的 长 度 ， 在 Rt BCB2中 ， 由 三 角 函 数 可 得 BC的 长 度 ， 再 相 加 即 可 得 到 答 案 .答 案 ： BD=400-160=240 米 ， CB2=1000-400=600 米 ，在 Rt ABD中 ， AB= =480米 ，在 Rt BCB2中 ， BC= =600 米 ， AB+BC=480+600 1328米
20、 .答 ： 钢 缆 AB和 BC 的 总 长 度 大 约 是 1328米 . 六 、 (本 大 题 2 个 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 满 分 16分 )23.(8分 )如 图 ， 已 知 O的 直 径 为 AB， AC AB 于 点 A， BC与 O 相 交 于 点 D， 在 AC 上 取 一点 E， 使 得 ED=EA.(1)求 证 ： ED是 O 的 切 线 .(2)当 OA=3， AE=4时 ， 求 BC 的 长 度 .解 析 ： (1)如 图 ， 连 接 OD.通 过 证 明 AOE DOE得 到 OAE= ODE=90 ， 易 证 得 结 论 ；(2)利 用 圆 周 角 定
21、 理 和 垂 径 定 理 推 知 OE BC， 所 以 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 求 得 BC的 长 度 即 可 .答 案 ： (1)如 图 ， 连 接 OD. AC AB， BAC=90 ， 即 OAE=90 .在 AOE与 DOE中 ， ， AOE DOE(SSS)， OAE= ODE=90 ， 即 OD ED.又 OD是 O 的 半 径 ， ED 是 O的 切 线 ；(2)如 图 ， 在 OAE中 ， OAE=90 ， OA=3， AE=4， 由 勾 股 定 理 易 求 OE=5. AB 是 直 径 ， ADB=90 ， 即 AD BC.又 由 (1)知 ， AOE D
22、OE， AEO= DEO，又 AE=DE， OE AD， OE BC， = = .BC=2OE=10， 即 BC 的 长 度 是 10.24.(8分 )在 体 育 局 的 策 划 下 ， 市 体 育 馆 将 组 织 明 星 篮 球 赛 ， 为 此 体 育 局 推 出 两 种 购 票 方 案 (设 购 票 张 数 为 x， 购 票 总 价 为 y)：方 案 一 ： 提 供 8000 元 赞 助 后 ， 每 张 票 的 票 价 为 50 元 ；方 案 二 ： 票 价 按 图 中 的 折 线 OAB所 表 示 的 函 数 关 系 确 定 .(1)若 购 买 120 张 票 时 ， 按 方 案 一 和
23、 方 案 二 分 别 应 付 的 购 票 款 是 多 少 ？(2)求 方 案 二 中 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ；(3)至 少 买 多 少 张 票 时 选 择 方 案 一 比 较 合 算 ？解 析 ： (1)方 案 一 中 ， 总 费 用 y=8000+50 x， 代 入 x=120 求 得 答 案 ； 由 图 可 知 方 案 二 中 ， 当 x=120 时 ， 对 应 的 购 票 总 价 为 13200元 ；(2)分 段 考 虑 当 x 100时 ， 当 x 100 时 ， 设 出 一 次 函 数 解 析 式 ， 把 其 中 两 点 的 坐 标 代 入 即可 求 得 相 应 的 函
24、 数 解 析 式 ；(3)由 (1)(2)的 解 析 式 建 立 不 等 式 ， 求 得 答 案 即 可 .答 案 ： (1)若 购 买 120张 票 时 ，方 案 一 购 票 总 价 ： y=8000+50 x=14000元 ，方 案 二 购 票 总 价 ： y=13200元 .(2)当 0 x 100时 ， 设 y=kx， 代 入 (100， 12000)得 12000=100k， 解 得 k=120， y=120 x；当 x 100 时 ， 设 y=kx+b， 代 入 (100， 12000)、 (120， 13200)得 ， 解 得， y=60 x+6000. (3)由 (1)可 知
25、， 要 选 择 方 案 一 比 较 合 算 ， 必 须 超 过 120张 ， 由 此 得 8000+50 x 60 x+6000，解 得 x 200， 所 以 至 少 买 200张 票 时 选 择 方 案 一 比 较 合 算 .七 、 (本 大 题 2 个 小 题 ， 每 小 题 10 分 ， 满 分 20 分 )25.(10分 )如 图 ， 已 知 二 次 函 数 的 图 象 过 点 O(0， 0)， A(4， 0)， B(2， - )， M 是 OA 的 中点 .(1)求 此 二 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)设 P 是 抛 物 线 上 的 一 点 ， 过 P 作 x 轴 的 平 行
26、 线 与 抛 物 线 交 于 另 一 点 Q， 要 使 四 边 形 PQAM是 菱 形 ， 求 P 点 的 坐 标 ；(3)将 抛 物 线 在 x轴 下 方 的 部 分 沿 x轴 向 上 翻 折 ， 得 曲 线 OB A(B 为 B关 于 x轴 的 对 称 点 )，在 原 抛 物 线 x 轴 的 上 方 部 分 取 一 点 C， 连 接 CM， CM与 翻 折 后 的 曲 线 OB A交 于 点 D.若 CDA的 面 积 是 MDA面 积 的 2倍 ， 这 样 的 点 C是 否 存 在 ？ 若 存 在 求 出 C 点 的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1
27、)利 用 待 定 系 数 法 求 出 二 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)由 四 边 形 PQAM是 菱 形 ， 可 知 PQ=2且 PQ x 轴 ， 因 此 点 P、 Q关 于 对 称 轴 x=2对 称 ， 可 得点 P 横 坐 标 为 1， 从 而 求 出 点 P 的 坐 标 ；(3)假 设 存 在 满 足 条 件 的 点 C.由 CDA的 面 积 是 MDA面 积 的 2 倍 ， 可 得 点 C 纵 坐 标 是 点 D纵 坐 标 的 3 倍 ， 由 此 列 方 程 求 出 点 C 的 坐 标 .答 案 ： (1) 抛 物 线 过 原 点 ， 设 其 解 析 式 为 ： y=ax2+b
28、x. 抛 物 线 经 过 点 A(4， 0)， B(2， - )， ， 解 得 ， 二 次 函 数 解 析 式 为 ： y= x 2- x.(2) y= x2- x= (x-2)2- ， 抛 物 线 对 称 轴 为 直 线 ： x=2. 四 边 形 PQAM 是 菱 形 ， PQ=MA=2， PQ x轴 . 点 P、 Q关 于 对 称 轴 x=2对 称 ， 点 P横 坐 标 为 1.当 x=1时 ， y= - =- . P(1， - ). (3)依 题 意 ， 翻 折 之 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 ： y=- x2+ x.假 设 存 在 这 样 的 点 C， CDA的 面 积 是 M
29、DA 面 积 的 2 倍 ， CD=2MD， CM=3MD.如 答 图 所 示 ， 分 别 过 点 D、 C 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 点 E、 点 F， 则 有 DE CF. ， CF=3DE， MF=3ME.设 C(x， x2- x)， 则 MF=x-2， ME= MF= (x-2)， OE=ME+OM= x+ D( x+ ， - ( x+ )2+ ( x+ ). CF=3DE， x2- x=3- ( x+ )2+ ( x+ )， 整 理 得 ： x2-4x-8=0，解 得 ： x 1=2+2 ， x2=2-2 . y1= ， y2= ， 存 在 满 足 条 件 的
30、点 C， 点 C的 坐 标 为 (2+2 ， )或 (2-2 ， ).26.(10分 )如 图 1、 2， 已 知 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， 在 射 线 AC上 有 一 动 点 P， 作 PE AD(或延 长 线 )于 E， 作 PF DC(或 延 长 线 )于 F， 作 射 线 BP交 EF于 G.(1)在 图 1 中 ， 设 正 方 形 ABCD的 边 长 为 2， 四 边 形 ABFE的 面 积 为 y， AP=x， 求 y 关 于 x 的 函数 表 达 式 ；(2)结 论 ： GB EF对 图 1， 图 2 都 是 成 立 的 ， 请 任 选 一 图 形 给 出 证 明
31、；(3)请 根 据 图 2 证 明 ： FGC PFB. 解 析 ： (1)根 据 题 意 得 出 S 四 边 形 ABFE=4- ED DF- BC FC进 而 得 出 答 案 ；(2)首 先 利 用 正 方 形 的 性 质 进 而 证 明 FPE BHP(SAS)， 即 可 得 出 FPG BPH， 求 出 即 可 ；(3)首 先 得 出 DPC BPC(SAS)， 进 而 利 用 相 似 三 角 形 的 判 定 得 出 FGC PFB.答 案 ： (1) PE AD， PF DC， 四 边 形 EPFD是 矩 形 ， AP=x， AE=EP=DF= x， DE=PF=FC=2- ， S
32、四 边 形 ABFE=4- ED DF- BC FC=4- x(2- x)- 2 (2- x)= x2+2；(2)证 明 ： 如 图 1， 延 长 FP交 AB 于 H， PF DC， PE AD， PF PE， PH HB， 即 BHP=90 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， AC平 分 DAB， 可 得 PF=FC=HB， EP=PH， 在 FPE与 BHP中 ， ， FPE BHP(SAS)， PFE= PBH，又 FPG= BPH， FPG BPH， FGP= BHP=90 ， 即 GB EF；(3)如 图 2， 连 接 PD， GB EF， BPF= CFG ， 在 DPC和 BPC中 ， ， DPC BPC(SAS)， PD=PB，而 PD=EF， EF=PB，又 GB EF， PF2=FG EF， PF2=FG PB，而 PF=FC， PF FC=FG PB， = ， 由 得 FGC PFB.
