1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 北 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1. i为 虚 数 单 位 ， ( )2=( )A.-1B.1C.-iD.i 解 析 ： 由 于 ， 所 以 ( )2=(-i)2=-1.答 案 ： A.2.若 二 项 式 (2x+ )7的 展 开 式 中 的 系 数 是 84， 则 实 数 a=( )A.2B.C.1D. 解 析 ： 二 项 式 (2x
2、+ )7的 展 开 式 即 ( +2x)7的 展 开 式 中 x-3项 的 系 数 为 84，所 以 Tr+1= = ，令 -7+2r=-3， 解 得 r=2， 代 入 得 ： ， 解 得 a=1，答 案 ： C.3.设 U为 全 集 ， A， B是 集 合 ， 则 “ 存 在 集 合 C 使 得 AC， B UC” 是 “ A B=” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 的 条 件B.必 要 而 不 充 分 的 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 题 意 AC， 则 CUCCUA， 当 BUC， 可 得 “ A B=” ； 若 “ A B=”
3、能 推 出 存在 集 合 C 使 得 AC， BCUC， U 为 全 集 ， A， B是 集 合 ， 则 “ 存 在 集 合 C 使 得 AC， B UC” 是 “ A B=” 的 充 分 必 要的 条 件 .答 案 ： C. 4.根 据 如 下 样 本 数 据 ， 得 到 回 归 方 程 =bx+a， 则 ( )A.a 0， b 0B.a 0， b 0C.a 0， b 0D.a 0， b 0解 析 ： 由 题 意 可 知 ： 回 归 方 程 经 过 的 样 本 数 据 对 应 的 点 附 近 ， 是 减 函 数 ， 所 以 b 0， 且 回归 方 程 经 过 (3， 4)与 (4， 3.5)
4、附 近 ， 所 以 a 0.答 案 ： B. 5.在 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz中 ， 一 个 四 面 体 的 顶 点 坐 标 分 别 为 (0， 0， 2)， (2， 2，0)， (1， 2， 1)， (2， 2， 2)， 给 出 的 编 号 为 ， ， ， 的 四 个 图 ， 则 该 四 面 体 的 正 视 图和 俯 视 图 分 别 为 ( )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 解 析 ： 在 坐 标 系 中 ， 标 出 已 知 的 四 个 点 ， 根 据 三 视 图 的 画 图 规 则 ， 可 得 三 棱 锥 的 正 视 图 和 俯视 图 分 别 为
5、，答 案 ： D. 6.若 函 数 f(x)， g(x)满 足 f(x)g(x)dx=0， 则 f(x)， g(x)为 区 间 -1， 1上 的 一 组 正 交函 数 ， 给 出 三 组 函 数 ： f(x)=sin x， g(x)=cos x； f(x)=x+1， g(x)=x-1； f(x)=x， g(x)=x2，其 中 为 区 间 -1， 1上 的 正 交 函 数 的 组 数 是 ( )A.0B.1C.2D.3解 析 ： 对 于 ： sin xcos xdx= ( sinx)dx= cosx =0， f(x)， g(x)为 区 间 -1， 1上 的 一 组 正 交 函 数 ；对 于 ：
6、(x+1)(x-1)dx= (x 2-1)dx=( ) 0， f(x)， g(x)不 为 区间 -1， 1上 的 一 组 正 交 函 数 ；对 于 ： x3dx=( ) =0， f(x)， g(x)为 区 间 -1， 1上 的 一 组 正 交 函 数 ， 正 交 函 数 有 2组 ，答 案 ： C.7.由 不 等 式 组 确 定 的 平 面 区 域 记 为 1， 不 等 式 组 确 定 的 平 面 区域 记 为 2， 在 1中 随 机 取 一 点 ， 则 该 点 恰 好 在 2内 的 概 率 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 平 面 区 域 1， 为 三 角 形 AOB， 面 积 为 ，平
7、 面 区 域 2， 为 四 边 形 BDCO， 其 中 C(0， 1)， 由 ， 解 得 ， 即 D( ， )， 则 三 角 形 ACD的 面 积 S= = ，则 四 边 形 BDCO 的 面 积 S= ，则 在 1中 随 机 取 一 点 ， 则 该 点 恰 好 在 2内 的 概 率 为 ，答 案 ： D.8. 算 数 书 竹 简 于 上 世 纪 八 十 年 代 在 湖 北 省 江 陵 县 张 家 山 出 土 ， 这 是 我 国 现 存 最 早 的 有 系统 的 数 学 典 籍 ， 其 中 记 载 有 求 “ 囷 盖 ” 的 术 ： 置 如 其 周 ， 令 相 乘 也 ， 又 以 高 乘 之
8、， 三 十 六 成一 ， 该 术 相 当 于 给 出 了 由 圆 锥 的 底 面 周 长 L与 高 h， 计 算 其 体 积 V的 近 似 公 式 V L 2h，它 实 际 上 是 将 圆 锥 体 积 公 式 中 的 圆 周 率 近 似 取 为 3， 那 么 ， 近 似 公 式 V L2h 相 当 于 将圆 锥 体 积 公 式 中 的 近 似 取 为 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 设 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 为 r， 高 为 h， 则 L=(2 r)2， = (2 r)2h， = .答 案 ： B. 9.已 知 F1， F2是 椭 圆 和 双 曲 线 的 公 共 焦 点 ， P
9、是 它 们 的 一 个 公 共 点 .且 F1PF2= ， 则 椭 圆 和双 曲 线 的 离 心 率 的 倒 数 之 和 的 最 大 值 为 ( )A.B.C.3D.2解 析 ： 设 椭 圆 的 长 半 轴 为 a， 双 曲 线 的 实 半 轴 为 a 1， (a a1)， 半 焦 距 为 c，由 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 可 知 ， |PF1|+|PF2|=2a， |PF1|-|PF2|=2a1，则 |PF1|=a+a1|， |PF2|=a-a1， F1PF2= ， 由 余 弦 定 理 可 得 4c2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos ， 即 4c2
10、=a2+3a12，则 4- ， 即 ，利 用 基 本 不 等 式 可 得 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 的 倒 数 之 和 的 最 大 值 为 .答 案 ： B 10.已 知 函 数 f(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 当 x 0时 ， f(x)= (|x-a2|+|x-2a2|-3a2)， 若 x R，f(x-1) f(x)， 则 实 数 a的 取 值 范 围 为 ( )A.- ， B.- ， C.- ， D.- ， 解 析 ： 当 x 0 时 ， f(x)= ，由 f(x)=x-3a2， x 2a2， 得 f(x) -a2；当 a2 x 2a2时 ， f(x)=-a
11、2；由 f(x)=-x， 0 x a2， 得 f(x) -a2. 当 x 0时 ， . 函 数 f(x)为 奇 函 数 ， 当 x 0时 ， . 对 x R， 都 有 f(x-1) f(x)， 2a 2-(-4a2) 1， 解 得 ： . 故 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 15分 .11.设 向 量 =(3， 3)， =(1， -1)， 若 ( + ) ( - )， 则 实 数 = .解 析 ： 向 量 =(3， 3)， =(1， -1)， 向 量 | |=3 ， | |= ， 向 量
12、=3-3=0，若 ( + ) ( - )， 则 ( + )( - )= ，即 18-2 2=0， 则 2=9， 解 得 = 3，答 案 ： 3，12.直 线 l1： y=x+a和 l2： y=x+b将 单 位 圆 C： x2+y2=1 分 成 长 度 相 等 四 段 弧 ， 则 a2+b2= .解 析 ： 由 题 意 可 得 ， 圆 心 (0， 0)到 两 条 直 线 的 距 离 相 等 ， 且 每 段 弧 长 都 是 圆 周 的 ， = =cos45 = ， a 2+b2=2，答 案 ： 2.13.设 a 是 一 个 各 位 数 字 都 不 是 0 且 没 有 重 复 数 字 三 位 数 ，
13、 将 组 成 a 的 3 个 数 字 按 从 小 到 大排 成 的 三 位 数 记 为 I(a)， 按 从 大 到 小 排 成 的 三 位 数 记 为 D(a)(例 如 a=815， 则 I(a)=158，D(a)=851)， 阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 任 意 输 入 一 个 a， 输 出 的 结 果b= . 解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 例 当 a=123， 第 一 次 循 环 a=123， b=321-123=198；第 二 次 循 环 a=198， b=981-189=792；第 三 次 循 环 a=792， b=972-2
14、79=693；第 四 次 循 环 a=693， b=963-369=594；第 五 次 循 环 a=594， b=954-459=495； 第 六 次 循 环 a=495， b=954-459=495，满 足 条 件 a=b， 跳 出 循 环 体 ， 输 出 b=495.答 案 ： 495.三 、 解 答 题14.设 f(x)是 定 义 在 (0， + )上 的 函 数 ， 且 f(x) 0， 对 任 意 a 0， b 0， 若 经 过 点 (a， f(a)，(b， -f(b)的 直 线 与 x 轴 的 交 点 为 (c， 0)， 则 称 c 为 关 于 函 数 f(x)的 平 均 数 ， 记
15、 为 M f(a，b)， 例 如 ， 当 f(x)=1(x 0)时 ， 可 得 Mf(a， b)=c= ， 即 Mf(a， b)为 a， b 的 算 术 平 均 数 .(1)当 f(x)= (x 0)时 ， Mf(a， b)为 a， b 的 几 何 平 均 数 ；(2)当 f(x)= (x 0)时 ， Mf(a， b)为 a， b 的 调 和 平 均 数 ；(以 上 两 空 各 只 需 写 出 一 个 符 合 要 求 的 函 数 即 可 )解 析 ： (1)设 f(x)= ， (x 0)， 在 经 过 点 (a， )、 (b， - )的 直 线 方 程 中 ， 令 y=0，求 得 x=c= ，
16、从 而 得 出 结 论 .(2)设 f(x)=x， (x 0)， 在 经 过 点 (a， a)、 (b， -b)的 直 线 方 程 中 ， 令 y=0， 求 得 x=c= ，从 而 得 出 结 论 . 答 案 ： (1)设 f(x)= ， (x 0)， 则 经 过 点 (a， )、 (b， - )的 直 线 方 程 为= ，令 y=0， 求 得 x=c= ， 当 f(x)= ， (x 0)时 ， Mf(a， b)为 a， b的 几 何 平 均 数 ，(2)设 f(x)=x， (x 0)， 则 经 过 点 (a， a)、 (b， -b)的 直 线 方 程 为 = ，令 y=0， 求 得 x=c=
17、 ， 当 f(x)=x(x 0)时 ， M f(a， b)为 a， b 的 调 和 平 均 数 ，15.如 图 ， P为 O 外 一 点 ， 过 P 点 作 O 的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 A， B， 过 PA 的 中 点 Q 作割 线 交 O于 C， D 两 点 ， 若 QC=1， CD=3， 则 PB= .解 析 ： 利 用 切 割 线 定 理 可 得 QA 2=QCQD， 可 求 QA， 可 得 PA， 利 用 圆 的 切 线 长 定 理 ， 可 得 PB.答 案 ： QA是 O 的 切 线 ， QA2=QCQD， QC=1， CD=3， QA2=4， QA=2， PA=
18、4， PA， PB 是 O的 切 线 ， PB=PA=4. 16.已 知 曲 线 C1的 参 数 方 程 是 (t为 参 数 )， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 是 =2， 则 C1与 C2交 点 的 直 角 坐 标 为 .解 析 ： 把 参 数 方 程 、 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ， 再 把 两 曲 线 的 方 程 联 立 方 程 组 求 得 C1与 C2交 点 的 直 角 坐 标 .答 案 ： 把 曲 线 C1的 参 数 方 程 是 (t为 参 数 )， 消
19、去 参 数 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x2=3y2(x 0， y 0).曲 线 C 2的 极 坐 标 方 程 是 =2， 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x2+y2=4.解 方 程 组 ， 求 得 ， C1与 C2交 点 的 直 角 坐 标 为 ( ， 1)，17.(11分 )某 实 验 室 一 天 的 温 度 (单 位 ： )随 时 间 t(单 位 ： h)的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ：f(t)=10- ， t 0， 24)( )求 实 验 室 这 一 天 的 最 大 温 差 ；( )若 要 求 实 验 室 温 度 不 高 于 11 ， 则 在 哪 段 时 间
20、实 验 室 需 要 降 温 ？解 析 ： ( )利 用 两 角 和 差 的 正 弦 公 式 化 简 函 数 解 析 式 为 f(t)10-2sin( t+ )， t 0，24)， 利 用 正 弦 函 数 的 定 义 域 和 值 域 求 得 f(x)的 最 大 值 及 最 小 值 ， 可 得 实 验 室 这 一 天 的 最 大 温 差 .( )由 题 意 可 得 ， 当 f(t) 11 时 ， 需 要 降 温 ， 由 f(t) 11， 求 得 sin( t+ ) - ， 即 t+ ， 解 得 t 的 范 围 ， 可 得 结 论 .答 案 ： ( ) f(t)=10- =10-2sin( t+ )
21、， t 0， 24)， t+ ， 故 当 t- = 时 ， 函 数 取 得 最 大 值 为 10+2=12，当 t+ = 时 ， 函 数 取 得 最 小 值 为 10-2=8，故 实 验 室 这 一 天 的 最 大 温 差 为 12-8=4 . ( )由 题 意 可 得 ， 当 f(t) 11时 ， 需 要 降 温 ， 由 ( )可 得 f(t)=10-2sin( t+ )，由 10-2sin( t+ ) 11， 求 得 sin( t+ ) - ， 即 t+ ，解 得 10 t 18， 即 在 10时 到 18时 ， 需 要 降 温 .18.(12分 )(已 知 等 差 数 列 an满 足 ：
22、 a1=2， 且 a1， a2， a5成 等 比 数 列 .( )求 数 列 a n的 通 项 公 式 ； ( )记 Sn为 数 列 an的 前 n 项 和 ， 是 否 存 在 正 整 数 n， 使 得 Sn 60n+800？ 若 存 在 ， 求 n 的最 小 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .解 析 ： ( )设 出 数 列 的 公 差 ， 利 用 等 比 中 项 的 性 质 建 立 等 式 求 得 d， 则 数 列 的 通 项 公 式 可 得 .( )利 用 ( )中 数 列 的 通 项 公 式 ， 表 示 出 Sn根 据 Sn 60n+800， 解 不 等 式 根 据 不 等
23、 式 的 解 集来 判 断 .答 案 ： ( )设 数 列 an的 公 差 为 d， 依 题 意 ， 2， 2+d， 2+4d成 比 数 列 ， 故 有 (2+d)2=2(2+4d)，化 简 得 d2-4d=0， 解 得 d=0或 4，当 d=0时 ， a n=2，当 d=4时 ， an=2+(n-1)4=4n-2.( )当 an=2时 ， Sn=2n， 显 然 2n 60n+800，此 时 不 存 在 正 整 数 n， 使 得 Sn 60n+800成 立 ，当 an=4n-2时 ， Sn= =2n2，令 2n2 60n+800， 即 n2-30n-400 0，解 得 n 40， 或 n -1
24、0(舍 去 )，此 时 存 在 正 整 数 n， 使 得 S n 60n+800 成 立 ， n 的 最 小 值 为 41，综 上 ， 当 an=2 时 ， 不 存 在 满 足 题 意 的 正 整 数 n，当 an=4n-2时 ， 存 在 满 足 题 意 的 正 整 数 n， 最 小 值 为 4119.(12分 )如 图 ， 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， E， F， M， N 分 别 是 棱 AB， AD， A1B1，A1D1的 中 点 ， 点 P， Q 分 别 在 棱 DD1， BB1上 移 动 ， 且 DP=BQ= (0 2) ( )当 =1时 ，
25、证 明 ： 直 线 BC1 平 面 EFPQ；( )是 否 存 在 ， 使 面 EFPQ与 面 PQMN所 成 的 二 面 角 为 直 二 面 角 ？ 若 存 在 ， 求 出 的 值 ； 若不 存 在 ， 说 明 理 由 .解 析 ： ( )建 立 坐 标 系 ， 求 出 =2 ， 可 得 BC1 FP， 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 ， 可 以证 明 直 线 BC1 平 面 EFPQ；( )求 出 平 面 EFPQ的 一 个 法 向 量 、 平 面 MNPQ的 一 个 法 向 量 ， 利 用 面 EFPQ 与 面 PQMN所 成 的二 面 角 为 直 二 面 角 ， 建 立 方
26、 程 ， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： ( )以 D 为 原 点 ， 射 线 DA， DC， DD 1分 别 为 x， y， z轴 的 正 半 轴 ， 建 立 坐 标 系 ， 则 B(2，2， 0)， C1(0， 2， 2)， E(2， 1， 0)， F(1， 0， 0)， P(0， 0， )， =(-2， 0， 2)， =(-1， 0， )， =(1， 1， 0) =1 时 ， =(-2， 0， 2)， =(-1， 0， 1)， =2 ， BC1 FP， FP平 面 EFPQ， BC1平 面 EFPQ， 直 线 BC1 平 面 EFPQ；( )设 平 面 EFPQ的 一 个 法 向
27、量 为 =(x， y， z)， 则 ， 取 =( ， - ， 1).同 理 可 得 平 面 MNPQ 的 一 个 法 向 量 为 =( -2， 2- ， 1)，若 存 在 ， 使 面 EFPQ与 面 PQMN所 成 的 二 面 角 为 直 二 面 角 ， 则 = ( -2)- (2- )+1=0， =1 . 存 在 =1 ， 使 面 EFPQ 与 面 PQMN所 成 的 二 面 角 为 直 二 面 角 . 20.(12分 )计 划 在 某 水 库 建 一 座 至 多 安 装 3台 发 电 机 的 水 电 站 ， 过 去 50 年 的 水 文 资 料 显 示 ，水 库 年 入 流 量 X(年 入
28、 流 量 ： 一 年 内 上 游 来 水 与 库 区 降 水 之 和 .单 位 ： 亿 立 方 米 )都 在 40 以 上 ，其 中 ， 不 足 80的 年 份 有 10 年 ， 不 低 于 80且 不 超 过 120的 年 份 有 35 年 ， 超 过 120 的 年 份 有5年 ， 将 年 入 流 量 在 以 上 三 段 的 频 率 作 为 相 应 段 的 概 率 ， 假 设 各 年 的 年 入 流 量 相 互 独 立 .( )求 未 来 4 年 中 ， 至 多 有 1年 的 年 入 流 量 超 过 120的 概 率 ；( )水 电 站 希 望 安 装 的 发 电 机 尽 可 能 运 行
29、， 但 每 年 发 电 机 最 多 可 运 行 台 数 受 年 入 流 量 X 限 制 ，并 有 如 下 关 系 ：若 某 台 发 电 机 运 行 ， 则 该 台 年 利 润 为 5000 万 元 ， 若 某 台 发 电 机 未 运 行 ， 则 该 台 年 亏 损 800万 元 ， 欲 使 水 电 站 年 总 利 润 的 均 值 达 到 最 大 ， 应 安 装 发 电 机 多 少 台 ？ 解 析 ： ( )先 求 出 年 入 流 量 X的 概 率 ， 根 据 二 项 分 布 ， 求 出 未 来 4 年 中 ， 至 少 有 1 年 的 年 入流 量 超 过 120的 概 率 ；( )分 三 种
30、情 况 进 行 讨 论 ， 分 别 求 出 一 台 ， 两 台 ， 三 台 的 数 学 期 望 ， 比 较 即 可 得 到 .答 案 ： ( )依 题 意 ， p1=P(40 X 80)= ， ，由 二 项 分 布 ， 未 来 4年 中 ， 至 多 有 1 年 的 年 入 流 量 超 过 120的 概 率 为 =( )记 水 电 站 的 总 利 润 为 Y(单 位 ， 万 元 )(1)安 装 1 台 发 电 机 的 情 形 ，由 于 水 库 年 入 流 总 量 大 于 40， 故 一 台 发 电 机 运 行 的 概 率 为 1， 对 应 的 年 利 润 Y=5000，E(Y)=5000 1=5
31、000，(2)安 装 2 台 发 电 机 的 情 形 ，依 题 意 ， 当 40 X 80 时 ， 一 台 发 电 机 运 行 ， 此 时 Y=5000-800=4200，因 此 P(Y=4200)=P(40 X 80)=p 1= ，当 X 80时 ， 两 台 发 电 机 运 行 ， 此 时 Y=5000 2=10000， 因 此 ， P(Y=10000)=P(X 80)=P2+P3=0.8，由 此 得 Y 的 分 布 列 如 下所 以 E(Y)=4200 0.2+10000 0.8=8840.(2)安 装 3 台 发 电 机 的 情 形 ，依 题 意 ， 当 40 X 80 时 ， 一 台
32、发 电 机 运 行 ， 此 时 Y=5000-1600=3400，因 此 P(Y=3400)=P(40 X 80)=p 1=0.2，当 80 X 120 时 ， 两 台 发 电 机 运 行 ， 此 时 Y=5000 2-800=9200， 因 此 ，P(Y=9200)=P(80 X 120)=p2=0.7，当 X 120 时 ， 三 台 发 电 机 运 行 ， 此 时 Y=5000 3=15000， 因 此 ， P(Y=15000)=P(X 120)=p3=0.1，由 此 得 Y 的 分 布 列 如 下所 以 E(Y)=3400 0.2+9200 0.7+15000 0.1=8620.综 上
33、， 欲 使 水 电 站 年 总 利 润 的 均 值 达 到 最 大 ， 应 安 装 发 电 机 2 台 .21.(14分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 点 M到 点 F(1， 0)的 距 离 比 它 到 y 轴 的 距 离 多 1， 记 点 M 的 轨 迹 为 C.( )求 轨 迹 C 的 方 程 ；( )设 斜 率 为 k的 直 线 l过 定 点 P(-2， 1)， 求 直 线 l与 轨 迹 C恰 好 有 一 个 公 共 点 、 两 个 公共 点 、 三 个 公 共 点 时 k 的 相 应 取 值 范 围 .解 析 ： ( )设 出 M 点 的 坐 标 ， 直 接 由 题
34、意 列 等 式 ， 整 理 后 即 可 得 到 M 的 轨 迹 C 的 方 程 ；( )设 出 直 线 l 的 方 程 为 y-1=k(x+2)， 和 ( )中 的 轨 迹 方 程 联 立 化 为 关 于 y 的 一 元 二 次 方程 ， 求 出 判 别 式 ， 再 在 直 线 y-1=k(x+2)中 取 y=0得 到 .然 后 分 判 别 式 小 于 0、等 于 0、 大 于 0结 合 x 0 0 求 解 使 直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 、 两 个 公 共 点 、 三 个 公共 点 时 k 的 相 应 取 值 范 围 . 答 案 ： ( )设 M(x， y)，
35、 依 题 意 得 ： |MF|=|x|+1， 即 ，化 简 得 ， y2=2|x|+2x. 点 M 的 轨 迹 C 的 方 程 为 ；( )在 点 M的 轨 迹 C中 ， 记 C1： y2=4x(x 0)， C2： y=0(x 0).依 题 意 ， 可 设 直 线 l的 方 程 为 y-1=k(x+2).由 方 程 组 ， 可 得 ky 2-4y+4(2k+1)=0. 当 k=0时 ， 此 时 y=1， 把 y=1代 入 轨 迹 C的 方 程 ， 得 .故 此 时 直 线 l： y=1 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 ( ). 当 k 0 时 ， 方 程 ky2-4y+4(2k
36、+1)=0的 判 别 式 为 =-16(2k2+k-1).设 直 线 l 与 x 轴 的 交 点 为 (x 0， 0)，则 由 y-1=k(x+2)， 取 y=0得 .若 ， 解 得 k -1或 k .即 当 k 时 ， 直 线 l与 C 1没 有 公 共 点 ， 与 C2有 一 个 公 共 点 ，故 此 时 直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 .若 或 ， 解 得 k=-1或 k= 或 .即 当 k=-1 或 k= 时 ， 直 线 l 与 C1只 有 一 个 公 共 点 ， 与 C2有 一 个 公 共 点 .当 时 ， 直 线 l 与 C 1有 两 个 公 共 点 ，
37、 与 C2无 公 共 点 .故 当 k=-1 或 k= 或 时 ， 直 线 l与 轨 迹 C恰 好 有 两 个 公 共 点 .若 ， 解 得 -1 k - 或 0 k .即 当 -1 k - 或 0 k 时 ， 直 线 l与 C 1有 两 个 公 共 点 ， 与 C2有 一 个 公 共 点 .此 时 直 线 l与 C恰 有 三 个 公 共 点 .综 上 ， 当 k 0时 ， 直 线 l与 C恰 有 一 个 公 共 点 ； 当 k -1， 时 ， 直 线 l与 C恰 有 两 个 公 共 点 ；当 k 时 ， 直 线 l与 轨 迹 C恰 有 三 个 公 共 点 .点 评 ： 本 题 考 查 轨 迹
38、 方 程 ， 考 查 了 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 关 系 ， 体 现 了 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 方22.(14分 ) 为 圆 周 率 ， e=2.71828 为 自 然 对 数 的 底 数 .( )求 函 数 f(x)= 的 单 调 区 间 ；( )求 e 3， 3e， e ， e， 3 ， 3这 6个 数 中 的 最 大 数 和 最 小 数 ；( )将 e3， 3e， e ， e， 3 ， 3这 6个 数 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 ， 并 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： ( )先 求 函 数 定 义 域 ， 然 后 在 定 义 域 内 解 不 等 式
39、 f (x) 0， f (x) 0 即 可 得 到 单调 增 、 减 区 间 ；( )由 e 3 ， 得 eln3 eln ， lne ln3， 即 ln3e ln e， lne ln3 .再 根 据 函数 y=lnx， y=ex， y= x在 定 义 域 上 单 调 递 增 ， 可 得 3e e 3， e3 e 3 ， 从 而 六 个 数的 最 大 数 在 3与 3 之 中 ， 最 小 数 在 3e与 e3之 中 .由 e 3 及 ( )的 结 论 ， 得 f( ) f(3) f(e)， 即 ， 由 此 进 而 得 到 结 论 ；( )由 ( )可 知 ， 3 e e 3 3 ， 3e e3
40、， 又 由 ( )知 ， ， 得 e e ， 故 只需 比 较 e3与 e和 e 与 3的 大 小 .由 ( )可 得 0 x e 时 ， .， 令 x= ， 有 ln ， 从 而 2-ln ， 即 得 ln . ， 由 还 可 得 ln e lne3， 3ln ，由 此 易 得 结 论 ；答 案 ： ( )函 数 f(x)的 定 义 域 为 (0， + )， f(x)= ， f (x)= ，当 f (x) 0， 即 0 x e 时 ， 函 数 f(x)单 调 递 增 ；当 f (x) 0， 即 x e 时 ， 函 数 f(x)单 调 递 减 .故 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间
41、为 (0， e)， 单 调 递 减 区 间 为 (e， + ). ( ) e 3 ， eln3 eln ， lne ln3， 即 ln3e ln e， lne ln3 .于 是 根 据 函 数 y=lnx， y=ex， y= x在 定 义 域 上 单 调 递 增 ， 可 得 3e e 3， e3 e 3 ，故 这 六 个 数 的 最 大 数 在 3与 3 之 中 ， 最 小 数 在 3e与 e3之 中 .由 e 3 及 ( )的 结 论 ， 得 f( ) f(3) f(e)， 即 ，由 ， 得 ln 3 ln3 ， 3 3；由 ， 得 ln3 e lne3， 3e e3.综 上 ， 6 个 数
42、 中 的 最 大 数 是 3 ， 最 小 数 是 3e.( )由 ( )知 ， 3e e 3 3 ， 3e e3，又 由 ( )知 ， ， 得 e e ， 故 只 需 比 较 e3与 e和 e 与 3的 大 小 .由 ( )知 ， 当 0 x e 时 ， f(x) f(e)= ， 即 .在 上 式 中 ， 令 x= ， 又 ， 则 ln ，从 而 2-ln ， 即 得 ln .由 得 ， eln e(2- ) 2.7 (2- ) 2.7 (2-0.88)=3.024 3， 即 eln 3， 亦即 ln e lne3， e3 e.又 由 得 ， 3ln 6- 6-e ， 即 3ln ， e 3.综 上 可 得 ， 3e e3 e e 3 3 ， 即 6 个 数 从 小 到 大 顺 序 为 3e， e3， e， e ， 3， 3 .
