1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 北 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 全 集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 集 合 A=1， 3， 5， 6， 则 CUA=( )A.1， 3， 5， 6B.2， 3， 7C.2， 4， 7D.2， 5， 7解 析 ： 全 集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 集 合 A=1， 3， 5， 6， C U
2、A=2， 4， 7.答 案 ： C.2. i为 虚 数 单 位 ， ( )2=( )A.1B.-1C.iD.-i解 析 ： ( ) 2= = =-1，答 案 ： B.3.命 题 “ x R， x2 x” 的 否 定 是 ( )A.xR， x2 xB.x R， x2=xC.xR， x 2 xD.x R， x2=x解 析 ： 根 据 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 ， 命 题 的 否 定 是 ： x0 R， =x0.故 选 ： D.4.若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 2x+y的 最 大 值 是 ( )A.2B.4 C.7D.8 解 析 ： 满 足 约 束 条
3、件 的 可 行 域 如 下 图 中 阴 影 部 分 所 示 ： 目 标 函 数 Z=2x+y， ZO=0， ZA=4， ZB=7， ZC=4， 故 2x+y的 最 大 值 是 7，答 案 ： C5.随 机 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 ， 它 们 向 上 的 点 数 之 和 不 超 过 5 的 概 率 记 为 p1， 点 数 之 和 大 于5的 概 率 记 为 p2， 点 数 之 和 为 偶 数 的 概 率 记 为 p3， 则 ( )A.p1 p2 p3B.p2 p1 p3C.p 1 p3 p2D.p3 p1 p2解 析 ： 列 表 得 ： 一 共 有 36种 等 可 能 的 结 果
4、 ， 两 个 骰 子 点 数 之 和 不 超 过 5的 有 6 种 情 况 ， 点 数 之 和 大 于 5的 有 26 种 情 况 ， 点 数 之 和 为偶 数 的 有 18种 情 况 ， 向 上 的 点 数 之 和 不 超 过 5 的 概 率 记 为 p1= ， 点 数 之 和 大 于 5 的 概 率 记 为 p2= ，点 数 之 和 为 偶 数 的 概 率 记 为 p3= ， p1 p3 p2答 案 ： C.6.根 据 如 下 样 本 数 据 ： 得 到 回 归 方 程 为 =bx+a， 则 ( )A.a 0， b 0B.a 0， b 0C.a 0， b 0D.a 0， b 0解 析 ：
5、样 本 平 均 数 =5.5， =0.25， =-24.5， =17.5， b=- =-1.4， a=0.25-(-1.4)5.5=7.95，答 案 ： A. 7.在 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz中 ， 一 个 四 面 体 的 顶 点 坐 标 分 别 为 (0， 0， 2)， (2， 2，0)， (1， 2， 1)， (2， 2， 2)， 给 出 的 编 号 为 ， ， ， 的 四 个 图 ， 则 该 四 面 体 的 正 视 图和 俯 视 图 分 别 为 ( )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 解 析 ： 在 坐 标 系 中 ， 标 出 已 知 的 四 个
6、点 ， 根 据 三 视 图 的 画 图 规 则 ， 可 得 三 棱 锥 的 正 视 图 和 俯视 图 分 别 为 ，答 案 ： D. 8.设 a， b 是 关 于 t 的 方 程 t2cos +tsin =0的 两 个 不 等 实 根 ， 则 过 A(a， a2)， B(b， b2)两点 的 直 线 与 双 曲 线 - =1的 公 共 点 的 个 数 为 ( )A.0B.1C.2D.3解 析 ： a， b 是 关 于 t 的 方 程 t 2cos +tsin =0的 两 个 不 等 实 根 ， a+b=- ， ab=0，过 A(a， a2)， B(b， b2)两 点 的 直 线 为 y-a2=
7、 (x-a)， 即 y=(b+a)x-ab，即 y=- x， 双 曲 线 - =1 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y=- x， 过 A(a， a 2)， B(b， b2)两 点 的 直 线 与 双 曲 线 - =1的 公 共 点 的 个 数 为 0.答 案 ： A.9.已 知 f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 x 0 时 ， f(x)=x2-3x， 则 函 数 g(x)=f(x)-x+3 的 零点 的 集 合 为 ( )A.1， 3B.-3， -1， 1， 3C.2- ， 1， 3D.-2- ， 1， 3解 析 ： f(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ，
8、当 x 0 时 ， f(x)=x 2-3x，令 x 0， 则 -x 0， f(-x)=x2+3x=-f(x) f(x)=-x2-3x， g(x)=f(x)-x+3 g(x)=令 g(x)=0，当 x 0 时 ， x 2-4x+3=0， 解 得 x=1， 或 x=3，当 x 0 时 ， -x2-4x+3=0， 解 得 x=-2- ， 函 数 g(x)=f(x)-x+3 的 零 点 的 集 合 为 -2- ，1， 3答 案 ： D.10. 算 数 书 竹 简 于 上 世 纪 八 十 年 代 在 湖 北 省 江 陵 县 张 家 山 出 土 ， 这 是 我 国 现 存 最 早 的 有系 统 的 数 学
9、 典 籍 ， 其 中 记 载 有 求 “ 囷 盖 ” 的 术 ： 置 如 其 周 ， 令 相 乘 也 ， 又 以 高 乘 之 ， 三 十 六 成 一 ， 该 术 相 当 于 给 出 了 由 圆 锥 的 底 面 周 长 L与 高 h， 计 算 其 体 积 V 的 近 似 公 式 V L2h，它 实 际 上 是 将 圆 锥 体 积 公 式 中 的 圆 周 率 近 似 取 为 3， 那 么 ， 近 似 公 式 V L2h 相 当 于 将圆 锥 体 积 公 式 中 的 近 似 取 为 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 设 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 为 r， 高 为 h， 则 L=(2 r)2，
10、 = (2 r)2h， = .答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 35分 .11.甲 、 乙 两 套 设 备 生 产 的 同 类 型 产 品 共 4800件 ， 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 一 个 容 量 为80的 样 本 进 行 质 量 检 测 ， 若 样 本 中 有 50件 产 品 由 甲 设 备 生 产 ， 则 乙 设 备 生 产 的 产 品 总 数 为件 .解 析 ： 样 本 容 量 为 80， 抽 取 的 比 例 为 = ，又 样 本 中 有 50 件 产 品 由 甲 设 备 生 产 ， 样 本
11、中 30 件 产 品 由 乙 设 备 生 产 ， 乙 设 备 生 产 的 产 品 总 数 为 30 60=1800. 答 案 ： 1800.12.若 向 量 =(1， -3)， | |=| |， =0， 则 | |= .解 析 ： 设 =(x， y)， 向 量 =(1， -3)， | |=| |， =0， ， 解 得 或 . =(3， 1)， (-3， -1). = =(2， 4)或 (-4， 2). = .答 案 ： . 13.在 ABC中 ， 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 A= ， a=1， b= ， 则 B= . 解 析 ： 在 ABC中 ， A
12、= ， a=1， b= ， 由 正 弦 定 理 = 得 ：sinB= = = ， a b， A B， B= 或 .答 案 ： 或14.阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 若 输 入 n 的 值 为 9， 则 输 出 的 S的 值为 . 解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 S=21+22+ +2k+1+2+ +k的 值 ， 输 入 n 的 值 为 9， 跳 出 循 环 的 k 值 为 10， 输 出 S=21+22+ +29+1+2+ +90= + 9=210-2+45=1067.答 案 ： 1067.15.如 图 所
13、示 ， 函 数 y=f(x)的 图 象 由 两 条 射 线 和 三 条 线 段 组 成 ， 若 x R， f(x) f(x-1)，则 正 实 数 a的 取 值 范 围 为 . 解 析 ： 由 已 知 可 得 ： a 0， 且 f(4a)=a， f(-4a)=-a， 若 x R， f(x) f(x-1)，则 ， 解 得 a ， 故 正 实 数 a的 取 值 范 围 为 ： (0， )， 答 案 ： (0， )16.某 项 研 究 表 明 ： 在 考 虑 行 车 安 全 的 情 况 下 ， 某 路 段 车 流 量 F(单 位 时 间 内 经 过 测 量 点 的 车辆 数 ， 单 位 ： 辆 /小
14、时 )与 车 流 速 度 v(假 设 车 辆 以 相 同 速 度 v 行 驶 ， 单 位 ： 米 /秒 )、 平 均 车长 l(单 位 ： 米 )的 值 有 关 ， 其 公 式 为 F= .( )如 果 不 限 定 车 型 ， l=6.05， 则 最 大 车 流 量 为 辆 /小 时 ；( )如 果 限 定 车 型 ， l=5， 则 最 大 车 流 量 比 ( )中 的 最 大 车 流 量 增 加 辆 /小 时 .解 析 ： ( )F= = ， v+ 2 =22， 当 v=11 时 取 最 小 值 ， F= 1900，故 最 大 车 流 量 为 ： 1900辆 /小 时 ；( )F= = =
15、， v+ 2 =20， F 2000， 2000-1900=100(辆 /小 时 )故 最 大 车 流 量 比 ( )中 的 最 大 车 流 量 增 加 100辆 /小 时 .答 案 ： 1900， 10017.已 知 圆 O： x 2+y2=1和 点 A(-2， 0)， 若 定 点 B(b， 0)(b -2)和 常 数 满 足 ： 对 圆 O 上 任 意一 点 M， 都 有 |MB|= |MA|， 则 ：( )b= ；( ) = .解 析 ： ( )设 M(x， y)， 则 |MB|= |MA|， (x-b)2+y2= 2(x+2)2+ y2，由 题 意 ， 取 (1， 0)、 (-1， 0
16、)分 别 代 入 可 得 (1-b)2= 2(1+2)2， (-1-b)2= 2(-1+2)2， b=- ， = .( )由 ( )知 = .答 案 ： - ， . 三 、 解 答 题18.(12分 )某 实 验 室 一 天 的 温 度 (单 位 ： )随 时 间 t(单 位 ： h)的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ：f(t)=10- cos t-sin t， t 0， 24).( )求 实 验 室 这 一 天 上 午 8 时 的 温 度 ；( )求 实 验 室 这 一 天 的 最 大 温 差 . 解 析 ： ( )直 接 根 据 f(t)的 解 析 式 求 得 f(8)的 值 .
17、( )根 据 f(t)=10-2sin( + t)， t 0， 24)， 求 得 函 数 f(t)取 得 最 大 值 和 最 小 值 ， 从而 得 到 这 一 天 的 最 大 温 差 .答 案 ： ( ) f(t)=10- cos t-sin t， t 0， 24). f(8)=10- cos -sin =10- (- )- =10，故 实 验 室 这 一 天 上 午 8 时 的 温 度 为 10 .( ) f(t)=10- cos t-sin t=10-2sin( + t)， t 0， 24). + t ， 故 当 + t= ， 即 t=14 时 ， 函 数 f(t)取 得 最 大 值 为
18、10+2=12， 当 + t= ， 即 t=2 时 ， 函 数 f(t)取 得 最 小 值 为 10-2=8，故 实 验 室 这 一 天 的 最 大 温 差 为 12-8=4 .19.(12分 )已 知 等 差 数 列 an满 足 ： a1=2， 且 a1， a2， a5成 等 比 数 列 .( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )记 Sn为 数 列 an的 前 n 项 和 ， 是 否 存 在 正 整 数 n， 使 得 Sn 60n+800？ 若 存 在 ， 求 n 的最 小 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .解 析 ： ( )设 出 数 列 的 公 差 ， 利 用 等
19、比 中 项 的 性 质 建 立 等 式 求 得 d， 则 数 列 的 通 项 公 式 可 得 .( )利 用 ( )中 数 列 的 通 项 公 式 ， 表 示 出 S n根 据 Sn 60n+800， 解 不 等 式 根 据 不 等 式 的 解 集来 判 断 .答 案 ： ( )设 数 列 an的 公 差 为 d， 依 题 意 ， 2， 2+d， 2+4d成 比 数 列 ， 故 有 (2+d)2=2(2+4d)，化 简 得 d2-4d=0， 解 得 d=0或 4，当 d=0时 ， an=2，当 d=4时 ， an=2+(n-1)4=4n-2.( )当 an=2时 ， Sn=2n， 显 然 2n
20、 60n+800，此 时 不 存 在 正 整 数 n， 使 得 S n 60n+800成 立 ，当 an=4n-2时 ， Sn= =2n2，令 2n2 60n+800， 即 n2-30n-400 0，解 得 n 40， 或 n -10(舍 去 )，此 时 存 在 正 整 数 n， 使 得 Sn 60n+800 成 立 ， n 的 最 小 值 为 41，综 上 ， 当 an=2 时 ， 不 存 在 满 足 题 意 的 正 整 数 n，当 a n=4n-2时 ， 存 在 满 足 题 意 的 正 整 数 n， 最 小 值 为 4120.(13分 )如 图 ， 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D
21、1中 ， E、 F、 P、 Q、 M、 N 分 别 是 棱 AB、 AD、 DD1、 BB1、A1B1、 A1D1的 中 点 ， 求 证 ： ( )直 线 BC1 平 面 EFPQ；( )直 线 AC1 平 面 PQMN.解 析 ： ( )要 证 直 线 BC1 平 面 EFPQ， 只 需 证 BC1 FP， 且 BC1平 面 EFPQ即 可 ， 由 AD1 BC1，FP AD1即 可 证 出 ；( )要 证 直 线 AC1 平 面 PQMN， 只 需 证 出 MN AC1， 且 PN AC1即 可 .答 案 ： ( )在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， 连 接 AD1， AD1
22、 BC1， 且 F、 P分 别 是 AD、 DD1的 中 点 ， FP ， AD1BC1 FP，又 FP平 面 EFPQ， 且 BC 1平 面 EFPQ， 直 线 BC1 平 面 EFPQ；( )如 图 ， 连 接 AC、 BD， 则 AC BD， CC1 平 面 ABCD， BD平 面 ABCD， CC1 BD；又 AC CC 1=C， BD 平 面 ACC1，又 AC1平 面 ACC1， BD AC1；又 M、 N 分 别 是 A1B1、 A1D1的 中 点 ， MN BD， MN AC1；同 理 可 证 PN AC1， 又 PN MN=N， 直 线 AC1 平 面 PQMN.21.(14
23、分 ) 为 圆 周 率 ， e=2.71828 为 自 然 对 数 的 底 数 .( )求 函 数 f(x)= 的 单 调 区 间 ；( )求 e 3， 3e， e ， e， 3 ， 3这 6个 数 中 的 最 大 数 与 最 小 数 .解 析 ： ( )先 根 据 分 式 求 导 法 则 ， 再 解 对 数 不 等 式 即 可 ；( )可 先 将 6 个 数 分 组 ， 比 较 各 组 内 数 的 大 小 后 ， 再 比 较 组 与 组 之 间 的 数 的 大 小 ， 而 数 的 大小 比 较 ， 可 以 考 虑 函 数 y=lnx， y=ex， y= x的 单 调 性 .答 案 ： ( )
24、函 数 f(x)的 定 义 域 为 (0， + ).由 f(x)得 .当 f(x) 0， 即 0 x e时 ， f(x)单 调 递 增 ； 当 f(x) 0， 即 x e 时 ， f(x)单 调 递 减 ， 所 以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (0， e)， 单 调 递 减 区 间 为 (e， + ).( ) e 3 ， eln3 eln ， lne ln3，从 而 有 ln3e ln e， lne ln3 .于 是 ， 根 据 函 数 y=lnx， y=ex， y= x在 定 义 域 上 单 调 递 增 ，可 得 3e e 3， e3 e 3 ， 这 6个 数 的 最 大
25、 数 在 3与 3 之 中 ， 最 小 数 在 3e与 e3之 中 .由 ( )知 ， f(x)= 在 e， + )上 单 调 递 减 ， 即 得 综 上 可 知 ， 6个 数 中 的 最 大 数 是 3 ， 最 小 数 是 3e.22.(14分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 点 M到 点 F(1， 0)的 距 离 比 它 到 y 轴 的 距 离 多 1， 记点 M 的 轨 迹 为 C.( )求 轨 迹 C 的 方 程 ；( )设 斜 率 为 k的 直 线 l过 定 点 P(-2， 1)， 求 直 线 l与 轨 迹 C恰 好 有 一 个 公 共 点 、 两 个 公共 点 、
26、三 个 公 共 点 时 k 的 相 应 取 值 范 围 .解 析 ： ( )设 出 M 点 的 坐 标 ， 直 接 由 题 意 列 等 式 ， 整 理 后 即 可 得 到 M 的 轨 迹 C 的 方 程 ；( )设 出 直 线 l 的 方 程 为 y-1=k(x+2)， 和 ( )中 的 轨 迹 方 程 联 立 化 为 关 于 y 的 一 元 二 次 方程 ， 求 出 判 别 式 ， 再 在 直 线 y-1=k(x+2)中 取 y=0得 到 .然 后 分 判 别 式 小 于 0、等 于 0、 大 于 0结 合 x 0 0 求 解 使 直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点
27、、 两 个 公 共 点 、 三 个 公共 点 时 k 的 相 应 取 值 范 围 .答 案 ： ( )设 M(x， y)， 依 题 意 得 ： |MF|=|x|+1， 即 ，化 简 得 ， y2=2|x|+2x. 点 M 的 轨 迹 C 的 方 程 为 ；( )在 点 M的 轨 迹 C中 ， 记 C 1： y2=4x(x 0)， C2： y=0(x 0).依 题 意 ， 可 设 直 线 l的 方 程 为 y-1=k(x+2).由 方 程 组 ， 可 得 ky2-4y+4(2k+1)=0. 当 k=0时 ， 此 时 y=1， 把 y=1代 入 轨 迹 C的 方 程 ， 得 .故 此 时 直 线
28、l： y=1 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 ( ). 当 k 0 时 ， 方 程 ky 2-4y+4(2k+1)=0的 判 别 式 为 =-16(2k2+k-1).设 直 线 l 与 x 轴 的 交 点 为 (x0， 0)， 则 由 y-1=k(x+2)， 取 y=0 得 . 若 ， 解 得 k -1或 k .即 当 k 时 ， 直 线 l与 C1没 有 公 共 点 ， 与 C2有 一 个 公 共 点 ，故 此 时 直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 .若 或 ， 解 得 k=-1或 k= 或 .即 当 k=-1 或 k= 时 ， 直 线 l 与 C
29、1只 有 一 个 公 共 点 ， 与 C2有 一 个 公 共 点 .当 时 ， 直 线 l 与 C1有 两 个 公 共 点 ， 与 C2无 公 共 点 .故 当 k=-1 或 k= 或 时 ， 直 线 l与 轨 迹 C恰 好 有 两 个 公 共 点 .若 ， 解 得 -1 k - 或 0 k .即 当 -1 k - 或 0 k 时 ， 直 线 l与 C 1有 两 个 公 共 点 ， 与 C2有 一 个 公 共 点 .此 时 直 线 l与 C恰 有 三 个 公 共 点 .综 上 ， 当 k 0时 ， 直 线 l与 C恰 有 一 个 公 共 点 ；当 k -1， 时 ， 直 线 l与 C恰 有 两 个 公 共 点 ；当 k 时 ， 直 线 l与 轨 迹 C恰 有 三 个 公 共 点 .
