1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 南 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 )1.设 命 题 p： x R， x2+1 0， 则 p 为 ( )A.x0 R， x02+1 0B.x 0 R， x02+1 0C.x0 R， x02+1 0D.x R， x2+1 0解 析 ： 命 题 p： x R， x2+1 0， 是 一 个 特 称 命 题 . p： x0 R， x02+1 0.答 案 ： B.2.已 知 集 合 A=x|x 2， B=x|1 x 3， 则 A B=( )A.x|x 2B.x|x
2、1C.x|2 x 3D.x|1 x 3解 析 ： A=x|x 2， B=x|1 x 3， A B=x|x 2 x|1 x 3=x|2 x 3. 答 案 ： C.3.对 一 个 容 量 为 N 的 总 体 抽 取 容 量 为 n的 样 本 ， 当 选 取 简 单 随 机 抽 样 、 系 统 抽 样 和 分 层 抽 样三 种 不 同 方 法 抽 取 样 本 时 ， 总 体 中 每 个 个 体 被 抽 中 的 概 率 分 别 为 P1， P2， P3， 则 ( )A.P1=P2 P3B.P2=P3 P1C.P1=P3 P2D.P 1=P2=P3解 析 ： 根 据 简 单 随 机 抽 样 、 系 统
3、抽 样 和 分 层 抽 样 的 定 义 可 知 ， 无 论 哪 种 抽 样 ， 每 个 个 数 被 抽中 的 概 率 都 是 相 等 的 ， 即 P1=P2=P3，答 案 ： D4.下 列 函 数 中 ， 既 是 偶 函 数 又 在 区 间 (- ， 0)上 单 调 递 增 的 是 ( )A.f(x)=B.f(x)=x 2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x解 析 ： 只 有 函 数 f(x)= ， f(x)=x2+1 是 偶 函 数 ， 而 函 数 f(x)=x3是 奇 函 数 ， f(x)=2-x不 具有 奇 偶 性 .而 函 数 f(x)= ， f(x)=x2+1 中 ， 只 有
4、函 数 f(x)= 在 区 间 (- ， 0)上 单 调 递 增的 .综 上 可 知 ： 只 有 A 正 确 . 答 案 ： A.5.在 区 间 -2， 3上 随 机 选 取 一 个 数 X， 则 X 1的 概 率 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 在 区 间 -2， 3上 随 机 选 取 一 个 数 X， 则 -2 X 3， 则 X 1的 概 率 P= ， 答 案 ： B.6.若 圆 C1： x2+y2=1 与 圆 C2： x2+y2-6x-8y+m=0外 切 ， 则 m=( )A.21B.19C.9D.-11解 析 ： 由 C 1： x2+y2=1， 得 圆 心 C1(0， 0)， 半
5、 径 为 1，由 圆 C2： x2+y2-6x-8y+m=0， 得 (x-3)2+(y-4)2=25-m， 圆 心 C2(3， 4)， 半 径 为 . 圆 C1与 圆 C2外 切 ， ， 解 得 ： m=9.答 案 ： C.7.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 t -2， 2， 则 输 出 的 S属 于 ( ) A.-6， -2B.-5， -1C.-4， 5D.-3， 6解 析 ： 若 0 t 2， 则 不 满 足 条 件 输 出 S=t-3 -3， -1， 若 -2 t 2， 则 满 足 条 件 ， 此 时 t=2t2+1 (1， 9， 此 时 不 满 足
6、条 件 ， 输 出 S=t-3 (-2， 6，综 上 ： S=t-3 -3， 6，答 案 ： D8.一 块 石 材 表 示 的 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 将 该 石 材 切 削 、 打 磨 ， 加 工 成 球 ， 则 能 得 到 的最 大 球 的 半 径 等 于 ( ) A.1B.2C.3D.4解 析 ： 由 题 意 ， 该 几 何 体 为 三 棱 柱 ， 所 以 最 大 球 的 半 径 为 正 视 图 直 角 三 角 形 内 切 圆 的 半 径 r，则 8-r+6-r= ， r=2.答 案 ： B.9.若 0 x 1 x2 1， 则 ( )A. - lnx2-lnx1B
7、. - lnx2-lnx1C.x2 x1D.x 2 x1解 析 ： 令 f(x)=ex+lnx， ，当 0 x 1时 ， f (x) 0， f(x)在 (0， 1)上 为 增 函 数 ， 0 x1 x2 1， ， 即 .由 此 可 知 选 项 A， B 不 正 确 .令 g(x)= ， ，当 0 x 1时 ， g (x) 0. g(x)在 (0， 1)上 为 减 函 数 ， 0 x1 x2 1， ， 即 . 选 项 C正 确 而 D不 正 确 .答 案 ： C.10.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 原 点 ， A(-1， 0)， B(0， )， C(3， 0)， 动 点 D 满
8、 足 | |=1，则 | + + |的 取 值 范 围 是 ( )A.4， 6B. -1， +1C.2 ， 2 D. -1， +1 解 析 ： 动 点 D满 足 | |=1， C(3， 0)， 可 设 D(3+cos ， sin )( 0， ).又 A(-1， 0)， B(0， )， + + = . | + + |= = =， (其 中 sin = ， cos = ) -1 sin( + ) 1， = sin( + ) = ， | + + |的 取 值 范 围 是 . 答 案 ： D.二 、 填 空 题 (共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 )11.复 数 (i为 虚 数
9、单 位 )的 实 部 等 于 .解 析 ： = . 复 数 (i 为 虚 数 单 位 )的 实 部 等 于 -3.答 案 ： -3.12.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 C： (t 为 参 数 )的 普 通 方 程 为 . 解 析 ： 曲 线 C： (t为 参 数 )， 两 式 相 减 可 得 x-y-1=0. 答 案 ： x-y-1=0.13.若 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 ， 则 z=2x+y的 最 大 值 为 .解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 由 z=2x+y， 得 y=-2x+z， 平 移 直 线 y=-2x+z，
10、 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 C，直 线 y=-2x+z的 截 距 最 大 ， 此 时 z最 大 ，由 ， 解 得 ， 即 C(3， 1)， 此 时 z=2 3+1=7，答 案 ： 7.14.平 面 上 一 机 器 人 在 行 进 中 始 终 保 持 与 点 F(1， 0)的 距 离 和 到 直 线 x=-1的 距 离 相 等 ， 若 机器 人 接 触 不 到 过 点 P(-1， 0)且 斜 率 为 k的 直 线 ， 则 k的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 由 抛 物 线 的 定 义 可 知 ， 机 器 人 的 轨 迹 方 程 为 y 2=4x，过 点 P(-
11、1， 0)且 斜 率 为 k的 直 线 方 程 为 y=k(x+1)，代 入 y2=4x， 可 得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0， 机 器 人 接 触 不 到 过 点 P(-1， 0)且 斜 率 为 k的 直 线 ， =(2k2-4)2-4k4 0， k -1或 k 1.答 案 ： k -1或 k 1.15.若 f(x)=ln(e 3x+1)+ax是 偶 函 数 ， 则 a= .解 析 ： 若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是 偶 函 数 ， 则 f(-x)=f(x)， 即 ln(e3x+1)+ax=ln(e-3x+1)-ax，即 2ax=ln(e-3x+1)-ln(e3x+1)
12、=ln =lne-3x=-3x， 即 2a=-3， 解 得 a=- ，答 案 ： -三 、 解 答 题 (共 6 小 题 ， 75分 ) 16.(12分 )已 知 数 列 an的 前 n 项 和 Sn= ， n N*.( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )设 bn= +(-1)nan， 求 数 列 bn的 前 2n项 和 .解 析 ： ( )利 用 公 式 法 即 可 求 得 ；( )利 用 数 列 分 组 求 和 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： ( )当 n=1时 ， a 1=s1=1，当 n 2 时 ， an=sn-sn-1= - =2n， 数 列 an的 通 项 公 式
13、 是 an=n.( )由 ( )知 ， bn=2n+(-1)nn， 记 数 列 bn的 前 2n项 和 为 T2n， 则T 2n=(21+22+ +22n)+(-1+2-3+4- +2n)= +n=22n+1+n-2. 数 列 bn的 前 2n项 和 为 22n+1+n-2.17.(12分 )某 企 业 有 甲 、 乙 两 个 研 发 小 组 ， 为 了 比 较 他 们 的 研 发 水 平 ， 现 随 机 抽 取 这 两 个 小组 往 年 研 发 新 产 品 的 结 果 如 下 ：(a， b)， (a， )， (a， b)， ( ， b)， ( ， )， (a， b)， (a， b)， (a，
14、 )，( ， b)， (a， )， ( ， )， (a， b)， (a， )， ( ， b)(a， b)其 中 a， 分 别 表 示 甲 组 研 发 成 功 和 失 败 ， b， 分 别 表 示 乙 组 研 发 成 功 和 失 败 .( )若 某 组 成 功 研 发 一 种 新 产 品 ， 则 给 该 组 记 1分 ， 否 则 记 0 分 ， 试 计 算 甲 、 乙 两 组 研 发 新产 品 的 成 绩 的 平 均 数 和 方 差 ， 并 比 较 甲 、 乙 两 组 的 研 发 水 平 ；( )若 该 企 业 安 排 甲 、 乙 两 组 各 自 研 发 一 样 的 产 品 ， 试 估 计 恰
15、有 一 组 研 发 成 功 的 概 率 .解 析 ： ( )分 别 求 出 甲 乙 的 研 发 成 绩 ， 再 根 据 平 均 数 和 方 差 公 式 计 算 平 均 数 ， 方 差 ， 最 后 比 较 即 可 .( )找 15个 结 果 中 ， 找 到 恰 有 一 组 研 发 成 功 的 结 果 是 7 个 ， 求 出 频 率 ， 将 频 率 视 为 概 率 ，问 题 得 以 解 决 .答 案 ： ( )甲 组 研 发 新 产 品 的 成 绩 为 1， 1， 1， 0， 0， 1， 1， 1， 0， 1， 0， 1， 1， 0， 1，则 = ， = =乙 组 研 发 新 产 品 的 成 绩
16、为 1， 0， 1， 1， 0， 1， 1， 0， 1， 0， 0， 1， 0， 1， 1 则 = ，= = .因 为 所 以 甲 的 研 发 水 平 高 于 乙 的 研 发 水 平 .( )记 E=恰 有 一 组 研 发 成 功 ， 在 所 抽 到 的 15个 结 果 中 ， 恰 有 一 组 研 发 成 功 的 结 果 是 (a， )， ( ， b)， (a， )， ( ， b)， (a， )， (a， )， ( ，b)共 7个 ， 故 事 件 E发 生 的 频 率 为 ， 将 频 率 视 为 概 率 ， 即 恰 有 一 组 研 发 成 功 的 概 率 为 P(E)= .18.(12分 )如
17、 图 ， 已 知 二 面 角 -MN- 的 大 小 为 60 ， 菱 形 ABCD在 面 内 ， A、 B 两 点 在 棱MN上 ， BAD=60 ， E 是 AB 的 中 点 ， DO 面 ， 垂 直 为 O.( )证 明 ： AB 平 面 ODE；( )求 异 面 直 线 BC 与 OD所 成 角 的 余 弦 值 .解 析 ： ( )运 用 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 ， 即 可 证 得 ， 注 意 平 面 内 的 相 交 二 直 线 ； ( )根 据 异 面 直 线 的 定 义 ， 找 出 所 成 的 角 为 ADO， 说 明 DEO是 二 面 角 -MN- 的 平
18、面 角 ，不 妨 设 AB=2， 从 而 求 出 OD的 长 ， 再 在 直 角 三 角 形 AOD中 ， 求 出 cos ADO.答 案 ： (1)如 图 ， DO 面 ， AB ， DO AB，连 接 BD， 由 题 设 知 ， ABD是 正 三 角 形 ，又 E 是 AB 的 中 点 ， DE AB， 又 DO DE=D， AB 平 面 ODE；( ) BC AD， BC 与 OD所 成 的 角 等 于 AD 与 OD所 成 的 角 ， 即 ADO 是 BC与 OD 所 成 的 角 ，由 ( )知 ， AB 平 面 ODE， AB OE， 又 DE AB， 于 是 DEO是 二 面 角
19、-MN- 的 平 面 角 ，从 而 DEO=60 ， 不 妨 设 AB=2， 则 AD=2， 易 知 DE= ，在 Rt DOE中 ， DO=DEsin60 = ， 连 AO， 在 Rt AOD中 ， cos ADO= = ，故 异 面 直 线 BC 与 OD所 成 角 的 余 弦 值 为 .19.(13分 )如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， DA AB， DE=1， EC= ， EA=2， ADC= ， BEC= . ( )求 sin CED的 值 ；( )求 BE 的 长 .解 析 ： ( )根 据 三 角 形 边 角 之 间 的 关 系 ， 结 合 正 弦 定 理 和
20、余 弦 定 理 即 可 得 到 结 论 . ( )利 用 两 角 和 的 余 弦 公 式 ， 结 合 正 弦 定 理 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： ( )在 CDE中 ， 由 余 弦 定 理 得 EC2=CD2+ED2-2CD DEcos CDE，即 7=CD2+1+CD， 则 CD2+CD-6=0， 解 得 CD=2 或 CD=-3， (舍 去 )，在 CDE中 ， 由 正 弦 定 理 得 ，则 sin = ，即 sin CED= .( )由 题 设 知 0 ， 由 ( )知 cos = ， 而 AEB= ， cos AEB=cos( )=cos cos +sin sin = ，在
21、ABD中 ， 由 正 弦 定 理 得 BD= = ，在 Rt EAB中 ， cos AEB= ， 故 BE= . 20.(13分 )如 图 ， O 为 坐 标 原 点 ， 双 曲 线 C1： - =1(a1 0， b1 0)和 椭 圆 C2： + =1(a2 b2 0)均 过 点 P( ， 1)， 且 以 C1的 两 个 顶 点 和 C2的 两 个 焦 点 为 顶 点 的 四 边 形 是 面 积 为2的 正 方 形 . ( )求 C1、 C2的 方 程 ；( )是 否 存 在 直 线 l， 使 得 l与 C1交 于 A、 B两 点 ， 与 C2只 有 一 个 公 共 点 ， 且 | + |=|
22、 |？证 明 你 的 结 论 .解 析 ： ( )由 条 件 可 得 a1=1， c2=1， 根 据 点 P( ， 1)在 上 求 得 =3， 可 得 双 曲 线 C1的方 程 .再 由 椭 圆 的 定 义 求 得 a 2= ， 可 得 = - 的 值 ， 从 而 求 得 椭 圆 C2的 方 程 . ( )若 直 线 l 垂 直 于 x 轴 ， 检 验 部 不 满 足 | + | | |.若 直 线 l 不 垂 直 于 x 轴 ， 设 直线 l 得 方 程 为 y=kx+m， 由 可 得 y1y2= .由 可 得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0， 根 据 直 线 l和 C1仅 有
23、一 个 交 点 ， 根 据 判 别 式 =0， 求 得 2k2=m2-3，可 得 0， 可 得 | + | | |.综 合 (1)、 (2)可 得 结 论 .答 案 ： ( )设 椭 圆 C 2的 焦 距 为 2c2， 由 题 意 可 得 2a1=2， a1=1， c2=1.由 于 点 P( ， 1)在 上 ， - =1， =3， 双 曲 线 C1的 方 程 为 ： x2- =1.再 由 椭 圆 的 定 义 可 得2a 2= + =2 ， a2= ， = - =2， 椭 圆 C2的 方 程 为 ： + =1.( )不 存 在 满 足 条 件 的 直 线 l.(1)若 直 线 l 垂 直 于 x
24、 轴 ， 则 由 题 意 可 得 直 线 l 得 方 程 为 x= ， 或 x=- .当 x= 时 ， 可 得 A( ， )、 B( ， - )， 求 得 | |=2 ， | |=2 ，显 然 ， | + | | |.同 理 ， 当 x=- 时 ， 也 有 | + | | |. (2)若 直 线 l 不 垂 直 于 x 轴 ， 设 直 线 l 得 方 程 为 y=kx+m， 由 可 得(3-k2)x2-2mkx-m2-3=0， x1+x2= ， x1x2= .于 是 ， y 1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= .由 可 得 (2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0， 根 据
25、直 线 l和 C1仅 有 一 个 交 点 ， 判 别 式 =16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0， 2k2=m2-3. =x1x2+y1y2= 0， ， | + | | |.综 合 (1)、 (2)可 得 ， 不 存 在 满 足 条 件 的 直 线 l.21.(13分 )已 知 函 数 f(x)=xcosx-sinx+1(x 0).( )求 f(x)的 单 调 区 间 ；( )记 x i为 f(x)的 从 小 到 大 的 第 i(i N*)个 零 点 ， 证 明 ： 对 一 切 n N*， 有 + + + .解 析 ： ( )求 函 数 的 导 数 ， 利 用 导 数 研 究 f(x
26、)的 单 调 区 间 ；( )利 用 数 学 归 纳 法 ， 证 明 不 等 式 即 可 .答 案 ： ( ) f(x)=xcosx-sinx+1(x 0)， f (x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，由 f (x)=-xsinx=0， 解 得 x=k ，当 x (2k ， (2k+1) )， sinx 0， 此 时 f (x) 0， 函 数 单 调 递 减 ，当 x (2k+1) ， (2k+2) )， sinx 0， 此 时 f (x) 0， 函 数 单 调 递 增 ，故 f(x)的 单 调 增 区 间 为 (2k+1) ， (2k+2) )，单 调 递 减 区 间 为 (
27、2k ， (2k+1) ) ( )由 ( )知 ， f(x)在 区 间 (0， )上 单 调 递 减 ，又 f( )=0， 故 x1= ，当 n N*， f(n )f(n+1) )=(-1)nn +1(-1)n+1(n+1) +1 0，且 函 数 f(x)的 图 象 是 连 续 不 间 断 的 ， f(x)在 区 间 (n ， (n+1) )内 至 少 存 在 一 个 零 点 ，又 f(x)在 区 间 (n ， (n+1) )单 调 递 增 ， 因 此 当 n=1时 ， 有 = 成 立 .当 n=2时 ， 有 + . + + + (6- ) .综 上 证 明 ： 对 一 切 n N*， 有 + + + .
