1、2014年 吉 林 省 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 2 分 ， 满 分 12分 )1.(2分 )在 1， -2， 4， 这 四 个 数 中 ， 比 0小 的 数 是 ( )A.-2B.1C.D.4解 析 ： -2、 1、 4、 这 四 个 数 中 比 0 小 的 数 是 -2，答 案 ： A.2.(2分 )用 4 个 完 全 相 同 的 小 正 方 体 组 成 如 图 所 示 的 立 方 体 图 形 ， 它 的 俯 视 图 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 从 上 面 看 可 得 到 一 个 有 2 个 小 正 方 形 组 成 的 长 方
2、 形 .答 案 ： A.3.(2分 )如 图 ， 将 三 角 形 的 直 角 顶 点 放 在 直 尺 的 一 边 上 ， 若 1=65 ， 则 2 的 度 数 为 ( ) A.10B.15C.20D.25解 析 ： AB CD， 3= 1=65 ， 2=180 - 3-90 =180 -65 -90 =25 .答 案 ： D. 4.(2分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD， AEFG都 是 正 方 形 ， 点 E， G分 别 在 AB， AD上 ， 连 接 FC， 过 点E作 EH FC交 BC于 点 H.若 AB=4， AE=1， 则 BH的 长 为 ( )A.1B.2C.3D.3 解 析
3、 ： AB=4， AE=1， BE=AB-AE=4-1=3， 四 边 形 ABCD， AEFG都 是 正 方 形 ， AD EF BC，又 EH FC， 四 边 形 EFCH 平 行 四 边 形 ， EF=CH， 四 边 形 ABCD， AEFG都 是 正 方 形 ， AB=BC， AE=EF， AB-AE=BC-CH， BE=BH=3.答 案 ： C.5.(2分 )如 图 ， ABC中 ， C=45 ， 点 D 在 AB上 ， 点 E在 BC上 .若 AD=DB=DE， AE=1， 则AC的 长 为 ( ) A.B.2C.D. 解 析 ： AD=DE， DAE= DEA， DB=DE， B=
4、 DEB， AEB= DEA+ DEB= 180 =90 ， AEC=90 ， C=45 ， AE=1， AC= .答 案 ： D.6.(2分 )小 军 家 距 学 校 5千 米 ， 原 来 他 骑 自 行 车 上 学 ， 学 校 为 保 障 学 生 安 全 ， 新 购 进 校 车 接送 学 生 ， 若 小 车 速 度 是 他 骑 车 速 度 的 2倍 ， 现 在 小 军 乘 小 车 上 学 可 以 从 家 晚 10 分 钟 出 发 ，结 果 与 原 来 到 校 时 间 相 同 .设 小 军 骑 车 的 速 度 为 x 千 米 /小 时 ， 则 所 列 方 程 正 确 的 为 ( )A. +
5、=B. - = C. +10=D. -10=解 析 ： 设 小 军 骑 车 的 速 度 为 x千 米 /小 时 ， 则 小 车 速 度 是 2x 千 米 /小 时 ， 由 题 意 得 ，- = .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 )7.(3分 )据 统 计 ， 截 止 到 2013年 末 ， 某 省 初 中 在 校 学 生 共 有 645000人 ， 将 数 据 645000 用科 学 记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 645 000=6.45 10 5.答 案 ： 6.45 105.8.(3分 )不 等 式 组 的 解 集
6、是 .解 析 ： ，解 得 ： x -2，解 得 ： x 3，则 不 等 式 组 的 解 集 是 ： x 3. 答 案 ： x 3.9.(3分 )若 a b， 且 a， b 为 连 续 正 整 数 ， 则 b2-a2= .解 析 ： 32 13 42， 3 4， 即 a=3， b=4， 所 以 a+b=7.答 案 ： 7. 10.(3分 )某 校 举 办 “ 成 语 听 写 大 赛 ” ， 15 名 学 生 进 入 决 赛 ， 他 们 所 得 分 数 互 不 相 同 ， 比 赛共 设 8个 获 奖 名 额 ， 某 学 生 知 道 自 己 的 分 数 后 ， 要 判 断 自 己 能 否 获 奖
7、， 他 应 该 关 注 的 统 计 量是 (填 “ 平 均 数 ” 或 “ 中 位 数 ” )解 析 ： 因 为 8 位 获 奖 者 的 分 数 肯 定 是 15名 参 赛 选 手 中 最 高 的 ，而 且 15个 不 同 的 分 数 按 从 小 到 大 排 序 后 ， 中 位 数 及 中 位 数 之 后 的 共 有 8 个 数 ，故 只 要 知 道 自 己 的 分 数 和 中 位 数 就 可 以 知 道 是 否 获 奖 了 .答 案 ： 中 位 数 .11.(3分 )如 图 ， 矩 形 ABCD的 面 积 为 (用 含 x 的 代 数 式 表 示 ). 解 析 ： 根 据 题 意 得 ： (
8、x+3)(x+2)=x2+5x+6，答 案 ： x2+5x+6.12.(3分 )如 图 ， 直 线 y=2x+4与 x， y 轴 分 别 交 于 A， B 两 点 ， 以 OB为 边 在 y轴 右 侧 作 等 边三 角 形 OBC， 将 点 C向 左 平 移 ， 使 其 对 应 点 C 恰 好 落 在 直 线 AB上 ， 则 点 C 的 坐 标 为 .解 析 ： 直 线 y=2x+4与 y 轴 交 于 B 点 ， y=0时 ， 2x+4=0， 解 得 x=-2， B(0， 4). 以 OB为 边 在 y 轴 右 侧 作 等 边 三 角 形 OBC， C在 线 段 OB的 垂 直 平 分 线 上
9、 ， C点 纵 坐 标 为 2.将 y=2代 入 y=2x+4， 得 2=2x+4， 解 得 x=-1.答 案 ： (-1， 2).13.(3分 )如 图 ， OB 是 O的 半 径 ， 弦 AB=OB， 直 径 CD AB.若 点 P是 线 段 OD上 的 动 点 ， 连接 PA， 则 PAB的 度 数 可 以 是 (写 出 一 个 即 可 )解 析 ： 连 接 DA， OA， 则 三 角 形 OAB是 等 边 三 角 形 ， OAB= AOB=60 ， DC 是 直 径 ， DC AB， AOC= AOB=30 ， ADC=15 ， DAB=75 ， OAB PAB DAB， PAB的 度
10、 数 可 以 是 60 -75 之 间 的 任 意 数 . 答 案 ： 7014.(3分 )如 图 ， 将 半 径 为 3 的 圆 形 纸 片 ， 按 下 列 顺 序 折 叠 .若 和 都 经 过 圆 心 O， 则 阴影 部 分 的 面 积 是 (结 果 保 留 )解 析 ： 如 图 ， 作 OD AB 于 点 D， 连 接 AO， BO， CO， OD= AO， OAD=30 ， AOB=2 AOD=120 ，同 理 BOC=120 ， AOC=120 ， 阴 影 部 分 的 面 积 =S 扇 形 AOC= =3 .答 案 ： 3 .三 、 解 答 题 (共 4 小 题 ， 满 分 20分
11、) 15.(5分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： x(x+3)-(x+1)2， 其 中 x= +1.解 析 ： 先 利 用 整 式 的 乘 法 和 完 全 平 方 公 式 计 算 ， 再 进 一 步 合 并 化 简 ， 最 后 代 入 求 得 数 值 即 可 .答 案 ： 原 式 =x2+3x-x2-2x-1=x-1，当 x= +1 时 ，原 式 = +1-1= .16.(5分 )为 促 进 交 于 均 能 发 展 ， A市 实 行 “ 阳 光 分 班 ” ， 某 校 七 年 级 一 班 共 有 新 生 45人 ，其 中 男 生 比 女 生 多 3人 ， 求 该 班 男 生 、 女 生 各
12、有 多 少 人 .解 析 ： 设 女 生 x 人 ， 则 男 生 为 (x+3)人 .再 利 用 总 人 数 为 45 人 ， 即 可 得 出 等 式 求 出 即 可 .答 案 ： 设 女 生 x人 ， 则 男 生 为 (x+3)人 .依 题 意 得 x+x+3=45，解 得 x=21， 所 以 x+3=24.答 ： 该 班 男 生 、 女 生 分 别 是 24 人 、 21人 . 17.(5分 )如 图 (图 略 )， 从 一 副 扑 克 牌 中 选 取 红 桃 10， 方 块 10， 梅 花 5， 黑 桃 8 四 张 扑 克 牌 ，洗 匀 后 正 面 朝 下 放 在 桌 子 上 ， 甲 先
13、 从 中 任 意 抽 取 一 张 后 ， 乙 再 从 剩 余 的 三 张 扑 克 牌 中 任 意 抽取 一 张 ， 用 画 树 形 图 或 列 表 的 方 法 ， 求 甲 乙 两 人 抽 取 的 扑 克 牌 的 点 数 都 是 10的 概 率 .解 析 ： 列 出 树 状 图 后 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 .答 案 ： 列 树 状 图 为 ： 共 12种 情 况 ， 其 中 两 个 都 是 10的 情 况 共 有 2种 ， P(点 数 都 是 10)= = .18.(5分 )如 图 ， ABC和 DAE中 ， BAC= DAE， AB=AE， AC=AD， 连 接 BD， CE，
14、求 证 ： ABD AEC. 解 析 ： 根 据 BAC= DAE， 可 得 BAD= CAE， 再 根 据 全 等 的 条 件 可 得 出 结 论 .答 案 ： BAC= DAE， BAC-BAE= DAE- BAE， 即 BAD= CAE，在 ABD和 AEC中 ， ABD AEC(SAS).四 、 解 答 题19.(7分 )图 是 电 子 屏 幕 的 局 部 示 意 图 ， 4 4 网 格 的 每 个 小 正 方 形 边 长 均 为 1， 每 个 小 正方 形 顶 点 叫 做 格 点 ， 点 A， B， C， D 在 格 点 上 ， 光 点 P从 AD的 中 点 出 发 ， 按 图 的
15、程 序 移 动(1)请 在 图 中 用 圆 规 画 出 光 点 P 经 过 的 路 径 ；(2)在 图 中 ， 所 画 图 形 是 图 形 (填 “ 轴 对 称 ” 或 “ 中 心 对 称 ” )， 所 画 图 形 的 周 长 是(结 果 保 留 ). 解 析 ： (1)根 据 旋 转 度 数 和 方 向 分 别 作 出 弧 即 可 ；(2)根 据 图 形 的 轴 对 称 性 解 答 ； 求 出 四 次 旋 转 的 度 数 之 和 ， 然 后 根 据 弧 长 公 式 列 式 计 算 即 可得 解 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ； (2)所 画 图 形 是 轴 对 称 图 形 ；旋 转 的
16、 度 数 之 和 为 270 +90 2+270 =720 ， 所 画 图 形 的 周 长 = =4 .故 答 案 为 ： 4 .20.(7分 )某 校 组 织 了 主 题 为 “ 让 勤 俭 节 约 成 为 时 尚 ” 的 电 子 小 组 作 品 征 集 活 动 ， 现 从 中 随机 抽 取 部 分 作 品 ， 按 A， B， C， D 四 个 等 级 进 行 评 价 ， 并 根 据 结 果 绘 制 了 如 下 两 幅 不 完 整 的统 计 图 .(1)求 抽 取 了 多 少 份 作 品 ；(2)此 次 抽 取 的 作 品 中 等 级 为 B 的 作 品 有 ， 并 补 全 条 形 统 计
17、图 ；(3)若 该 校 共 征 集 到 800 份 作 品 ， 请 估 计 等 级 为 A 的 作 品 约 有 多 少 份 . 解 析 ： (1)根 据 C 的 人 数 除 以 占 的 百 分 比 ， 得 到 抽 取 作 品 的 总 份 数 ；(2)由 总 份 数 减 去 其 他 份 数 ， 求 出 B 的 份 数 ， 补 全 条 形 统 计 图 即 可 ；(3)求 出 A 占 的 百 分 比 ， 乘 以 800即 可 得 到 结 果 .答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： 30 25%=120(份 )， 则 抽 取 了 120份 作 品 ；(2)等 级 B 的 人 数 为 120-(36
18、+30+6)=48(份 )， 补 全 统 计 图 ， 如 图 所 示 ： 故 答 案 为 ： 48；(3)根 据 题 意 得 ： 800 =240(份 )，则 估 计 等 级 为 A 的 作 品 约 有 240 份 .21.(7分 )某 校 九 年 级 四 个 数 学 活 动 小 组 参 加 测 量 操 场 旗 杆 高 度 的 综 合 时 间 活 动 ， 如 图 是 四个 小 组 在 不 同 位 置 测 量 后 绘 制 的 示 意 图 ， 用 测 角 仪 测 得 旗 杆 顶 端 A的 仰 角 级 记 为 ， CD 为 测 角 仪 的 高 ， 测 角 仪 CD 的 底 部 C 处 与 旗 杆 的
19、 底 部 B 处 之 间 的 距 离 记 为 CB， 四 个 小 组 测 量 和计 算 数 据 如 下 表 所 示 ：(1)利 用 第 四 组 学 生 测 量 的 数 据 ， 求 旗 杆 AB的 高 度 (精 确 到 0.1m)；(2)四 组 学 生 测 量 旗 杆 高 度 的 平 均 值 为 m(精 确 到 0.1m). 解 析 ： (1)首 先 在 直 角 三 角 形 ADE 中 利 用 和 BE 的 长 求 得 线 段 AE的 长 ， 然 后 与 线 段 BE相 加 即 可 求 得 旗 杆 的 高 度 ；(2)利 用 算 术 平 均 数 求 得 旗 杆 的 平 均 值 即 可 .答 案
20、： (1) 由 已 知 得 ： 在 Rt ADE中 ， =28 ， DE=BC=15.2 米 ， AE=DE tan =15.2 tan28 8.04米 ， AB=AE+EB=1.56+8.04 9.6米 ，答 ： 旗 杆 的 高 约 为 9.6米 ；(2)四 组 学 生 测 量 旗 杆 高 度 的 平 均 值 为 (9.8+9.6+9.7+9.6) 4 9.7米 .22.(7分 )甲 ， 乙 两 辆 汽 车 分 别 从 A， B 两 地 同 时 出 发 ， 沿 同 一 条 公 路 相 向 而 行 ， 乙 车 出 发 2h后 休 息 ， 与 甲 车 相 遇 后 ， 继 续 行 驶 .设 甲 ，
21、 乙 两 车 与 B 地 的 路 程 分 别 为 y 甲 (km)， y 乙 (km)，甲 车 行 驶 的 时 间 为 x(h)， y 甲 ， y 乙 与 x之 间 的 函 数 图 象 如 图 所 示 ， 结 合 图 象 解 答 下 列 问 题 ：(注 ： 横 轴 的 3 应 该 为 5)(1)乙 车 休 息 了 h；(2)求 乙 车 与 甲 车 相 遇 后 y 乙 与 x 的 函 数 解 析 式 ， 并 写 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 ；(3)当 两 车 相 距 40km时 ， 直 接 写 出 x 的 值 . 解 析 ： (1)根 据 待 定 系 数 法 ， 可 得 y 甲 的
22、解 析 式 ， 根 据 函 数 值 为 200千 米 时 ， 可 得 相 应 自 变 量的 值 ， 根 据 自 变 量 的 差 ， 可 得 答 案 ；(2)根 据 待 定 系 数 法 ， 可 得 y 乙 的 函 数 解 析 式 ； (3)分 类 讨 论 ， 0 x 2.5， y 甲 减 y 乙 等 于 40千 米 ， 2.5 x 5 时 ， y 乙 减 y 甲 等 于 40千 米 ，可 得 答 案 .答 案 ： (1)设 甲 车 行 驶 的 函 数 解 析 式 为 y 甲 =kx+b， (k是 不 为 0的 常 数 )y 甲 =kx+b 图 象 过 点 (0， 400)， (5， 0)， 得
23、， 解 得 ，甲 车 行 驶 的 函 数 解 析 式 为 y 甲 =-80 x+400，当 y=200 时 ， x=2.5(h)， 2.5-2=0.5(h)，故 答 案 为 0.5；(2)设 乙 车 与 甲 车 相 遇 后 y 乙 与 x 的 函 数 解 析 式 y 乙 =kx+b，y 乙 =kx+b 图 象 过 点 (2.5， 200)， (5.400)， 得 ， 解 得 ，乙 车 与 甲 车 相 遇 后 y 乙 与 x 的 函 数 解 析 式 y 乙 =80 x(2.5 x 5)；(3)设 乙 车 与 甲 车 相 遇 前 y 乙 与 x 的 函 数 解 析 式 y 乙 =kx， 图 象 过
24、 点 (2.5， 200)，解 得 k=80， 乙 车 与 甲 车 相 遇 后 y 乙 与 x 的 函 数 解 析 式 y 乙 =80 x，0 x 2.5， y 甲 减 y 乙 等 于 40千 米 ，即 400-80 x-100 x=40， 解 得 x=2；2.5 x 5时 ， y 乙 减 y 甲 等 于 40 千 米 ，即 2.5 x 5 时 ， 80 x-(-80 x+400)=40， 解 得 x= ，综 上 所 述 ： x=2或 x= .五 、 解 答 题23.(8分 )如 图 ， 四 边 形 OABC是 平 行 四 边 形 ， 以 O 为 圆 心 ， OA为 半 径 的 圆 交 AB
25、于 D， 延 长AO交 O 于 E， 连 接 CD， CE， 若 CE是 O 的 切 线 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)求 证 ： CD是 O 的 切 线 ； (2)若 BC=3， CD=4， 求 平 行 四 边 形 OABC的 面 积 .解 析 ： (1)连 接 OD， 求 出 EOC= DOC， 根 据 SAS推 出 EOC DOC， 推 出 ODC= OEC=90 ，根 据 切 线 的 判 定 推 出 即 可 ；(2)根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 求 出 CE=CD=4， 根 据 平 行 四 边 形 性 质 求 出 OA=3， 根 据 平 行 四 边 形的 面 积 公 式
26、 求 出 即 可 .答 案 ： (1)连 接 OD， OD=OA， ODA= A， 四 边 形 OABC 是 平 行 四 边 形 ， OC AB， EOC= A， COD= ODA， EOC= DOC，在 EOC和 DOC中 ， ， EOC DOC(SAS)， ODC= OEC=90 ，即 OD DC， CD是 O 的 切 线 ；(2) EOC DOC， CE=CD=4， 四 边 形 OABC 是 平 行 四 边 形 ， OA=BC=3， 平 行 四 边 形 OABC的 面 积 S=OA CE=3 4=12. 24.(8分 )如 图 ， 直 角 三 角 形 AOB中 ， AOB=90 ， AB
27、 平 行 于 x 轴 ， OA=2OB， AB=5， 反 比例 函 数 的 图 象 经 过 点 A.(1)直 接 写 出 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；(2)如 图 ， P(x， y)在 (1)中 的 反 比 例 函 数 图 象 上 ， 其 中 1 x 8， 连 接 OP， 过 O 作 OQ OP，且 OP=2OQ， 连 接 PQ.设 Q坐 标 为 (m， n)， 其 中 m 0， n 0， 求 n 与 m 的 函 数 解 析 式 ， 并 直接 写 出 自 变 量 m的 取 值 范 围 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 若 Q坐 标 为 (m， 1)， 求 POQ的 面 积 . 解
28、 析 ： (1)如 图 ， 在 Rt OAB中 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 OB= ， OA=2 ， 由 于 AB平 行 于 x轴 ， 则 OC AB， 则 可 利 用 面 积 法 计 算 出 OC=2， 在 Rt AOC中 ， 根 据 勾 股 定 理 可 计 算 出 AC=4，得 到 A点 坐 标 为 (4， 2)， 然 后 利 用 待 定 系 数 法 确 定 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= ；(2)分 别 过 P、 Q做 x轴 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 D、 H， 如 图 ， 先 证 明 Rt POH Rt OQD， 根 据相 似 的 性 质 得 = = ， 由 于
29、 OP=2OQ， PH=y， OH=x， OD=-m， QD=n， 则 = =2， 即 有x=2n， y=-2m， 而 x、 y 满 足 y= ， 则 2n(-2m)=8， 即 mn=-2， 当 1 x 8时 ， 1 y 8， 所以 1 -2m 8， 解 得 -4 m - ；(3)由 于 n=1 时 ， m=-2， 即 Q 点 坐 标 为 (-2， 1)， 利 用 两 点 的 距 离 公 式 计 算 出 OQ= ， 则OP=2OQ=2 ， 然 后 根 据 三 角 形 面 积 公 式 求 解 . 答 案 ： (1)如 图 ， AOB=90 ， OA2+OB2=AB2， OAOA=2OB， AB=
30、5， 4OB2+OB2=25， 解 得 OB= ， OA=2 ， ABAB平 行 于 x轴 ， OC AB， OC AB= OB OA， 即 OC= =2，在 Rt AOC中 ， AC= =4， A点 坐 标 为 (4， 2)，设 过 A点 的 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= ， k=4 2=8， 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= ；(2)分 别 过 P、 Q作 x轴 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 D、 H， 如 图 ， OQOQ OP， POH+ QOD=90 ， POH+ OPH=90 ， QOD= OPH， Rt POH Rt OQD， = = ， PP(x， y)在
31、 (1)中 的 反 比 例 函 数 图 象 上 ， 其 中 1 x 8， Q 点 点 坐 标 为 (m， n)， 其 中 m 0，n 0， OP=2OQ， PH=y， OH=x， OD=-m， QD=n， = =2， 解 得 x=2n， y=-2m， y= ， 2n (-2m)=8， mn=-2(-4 m - )；(3) n=1时 ， m=-2， 即 Q点 坐 标 为 (-2， 1)， OQ= = ， OP=2OQ=2 ， S POQ= 2 =5.六 、 解 答 题 25.(10分 )如 图 ， 菱 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC， BD 相 交 于 点 O， 且 AC=6cm， BD=
32、8cm， 动 点 P， Q分 别 从 点 B， D 同 时 出 发 ， 运 动 速 度 均 为 1cm/s， 点 P沿 B C D 运 动 ， 到 点 D 停 止 ， 点 Q沿 D O B运 动 ， 到 点 O 停 止 1s 后 继 续 运 动 ， 到 B 停 止 ， 连 接 AP， AQ， PQ.设 APQ的 面 积为 y(cm2)(这 里 规 定 ： 线 段 是 面 积 0 的 几 何 图 形 )， 点 P 的 运 动 时 间 为 x(s).(1)填 空 ： AB= cm， AB与 CD之 间 的 距 离 为 cm；(2)当 4 x 10时 ， 求 y与 x之 间 的 函 数 解 析 式
33、；(3)直 接 写 出 在 整 个 运 动 过 程 中 ， 使 PQ与 菱 形 ABCD 一 边 平 行 的 所 有 x 的 值 . 解 析 ： (1)根 据 勾 股 定 理 即 可 求 得 AB， 根 据 面 积 公 式 求 得 AB 与 CD之 间 的 距 离 .(2)当 4 x 10时 ， 运 动 过 程 分 为 三 个 阶 段 ， 需 要 分 类 讨 论 ， 避 免 漏 解 ： 当 4 x 5 时 ， 如 答 图 1-1所 示 ， 此 时 点 Q 与 点 O重 合 ， 点 P 在 线 段 BC 上 ； 当 5 x 9 时 ， 如 答 图 1-2所 示 ， 此 时 点 Q 在 线 段 O
34、B 上 ， 点 P 在 线 段 CD上 ； 当 9 x 10 时 ， 如 答 图 1-3所 示 ， 此 时 点 Q 与 点 B 重 合 ， 点 P 在 线 段 CD上 .(3)有 两 种 情 形 ， 需 要 分 类 讨 论 ， 分 别 计 算 ： 若 PQ CD， 如 答 图 2-1所 示 ； 若 PQ BC， 如 答 图 2-2所 示 .答 案 ： (1) 菱 形 ABCD中 ， AC=6cm， BD=8cm， AC BD， AB= = =5，设 AB 与 CD间 的 距 离 为 h， ABC的 面 积 S= AB h， 又 ABC的 面 积 S= S 菱 形 ABCD= AC BD= 6
35、8=12， AB h=12， h= = .(2)设 CBD= CDB= ， 则 易 得 ： sin = ， cos = . 当 4 x 5 时 ， 如 答 图 1-1所 示 ， 此 时 点 Q 与 点 O重 合 ， 点 P 在 线 段 BC 上 . PB=x， PC=BC-PB=5-x.过 点 P作 PH AC于 点 H， 则 PH=PC cos = (5-x). y=S APQ= QA PH= 3 (5-x)=- x+6； 当 5 x 9 时 ， 如 答 图 1-2所 示 ， 此 时 点 Q 在 线 段 OB 上 ， 点 P 在 线 段 CD上 .PC=x-5， PD=CD-PC=5-(x-
36、5)=10-x.过 点 P作 PH BD于 点 H， 则 PH=PD sin = (10-x). y=S APQ=S 菱 形 ABCD-S ABQ-S 四 边 形 BCPQ-S APD=S 菱 形 ABCD-S ABQ-(S BCD-S PQD)-S APD= AC BD- BQ OA-( BD OC- QD PH)- PD h= 6 8- (9-x) 3- 8 3- (x-1) (10-x)- (10-x)=- x 2+ x- ； 当 9 x 10 时 ， 如 答 图 1-3所 示 ， 此 时 点 Q 与 点 B 重 合 ， 点 P 在 线 段 CD上 .y=S APQ= AB h= 5 =
37、12.综 上 所 述 ， 当 4 x 10 时 ， y与 x之 间 的 函 数 解 析 式 为 ：y= .(3)有 两 种 情 况 ： 若 PQ CD， 如 答 图 2-1所 示 .此 时 BP=QD=x， 则 BQ=8-x. PQ CD， ， 即 ， x= ； 若 PQ BC， 如 答 图 2-2所 示 .此 时 PD=10-x， QD=x-1. PQ BC， ， 即 ， x= .综 上 所 述 ， 满 足 条 件 的 x的 值 为 或 . 26.(10分 )如 图 ， 直 线 l： y=mx+n(m 0， n 0)与 x， y 轴 分 别 相 交 于 A， B两 点 ， 将 AOB绕 点
38、O逆 时 针 旋 转 90 ， 得 到 COD， 过 点 A， B， D的 抛 物 线 P 叫 做 l的 关 联 抛 物 线 ， 而 l叫 做 P的 关 联 直 线 . (1)若 l： y=-2x+2， 则 P表 示 的 函 数 解 析 式 为 ； 若 P： y=-x2-3x+4， 则 l 表 示 的 函 数 解 析式 为 .(2)求 P 的 对 称 轴 (用 含 m， n 的 代 数 式 表 示 )；(3)如 图 ， 若 l： y=-2x+4， P 的 对 称 轴 与 CD 相 交 于 点 E， 点 F 在 l 上 ， 点 Q 在 P 的 对 称 轴上 .当 以 点 C， E， Q， F 为
39、 顶 点 的 四 边 形 是 以 CE 为 一 边 的 平 行 四 边 形 时 ， 求 点 Q 的 坐 标 ；(4)如 图 ， 若 l： y=mx-4m， G 为 AB 中 点 ， H 为 CD 中 点 ， 连 接 GH， M 为 GH中 点 ， 连 接 OM.若 OM= ， 直 接 写 出 l， P表 示 的 函 数 解 析 式 . 解 析 ： (1)若 l： y=-2x+2， 求 出 点 A、 B、 D 的 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 求 出 P 表 示 的 函 数 解 析式 ； 若 P： y=-x2-3x+4， 求 出 点 D、 A、 B 的 坐 标 ， 再 利 用 待 定
40、系 数 法 求 出 l 表 示 的 函 数 解 析式 ；(2)以 点 C， E， Q， F为 顶 点 的 四 边 形 是 以 CE为 一 边 的 平 行 四 边 形 时 ， 则 有 FQ CE， 且 FQ=CE.以 此 为 基 础 ， 列 方 程 求 出 点 Q的 坐 标 .注 意 ： 点 Q 的 坐 标 有 两 个 ， 如 答 图 1所 示 ， 不 要 漏 解 ；(3)如 答 图 2 所 示 ， 作 辅 助 线 ， 构 造 等 腰 直 角 三 角 形 OGH， 求 出 OG的 长 度 ， 进 而 由 AB=2OG求 出 AB 的 长 度 ， 再 利 用 勾 股 定 理 求 出 y=mx-4m
41、中 m的 值 ， 最 后 分 别 求 出 l， P 表 示 的 函 数 解析 式 .答 案 ： (1)若 l： y=-2x+2， 则 A(1， 0)， B(0， 2). 将 AOB绕 点 O 逆 时 针 旋 转 90 ， 得 到 COD， D(-2， 0).设 P 表 示 的 函 数 解 析 式 为 ： y=ax 2+bx+c， 将 点 A、 B、 D 坐 标 代 入 得 ： ， 解 得， P 表 示 的 函 数 解 析 式 为 ： y=-x2-x+2；若 P： y=-x 2-3x+4=-(x+4)(x-1)， 则 D(-4， 0)， A(1， 0). B(0， 4).设 l 表 示 的 函
42、数 解 析 式 为 ： y=kx+b， 将 点 A、 B 坐 标 代 入 得 ： ， 解 得 ， l 表 示 的 函 数 解 析 式 为 ： y=-4x+4.(2)直 线 l： y=mx+n(m 0， n 0)，令 y=0， 即 mx+n=0， 得 x=- ； 令 x=0， 得 y=n. A(- ， 0)、 B(0， n)， D(-n， 0). 设 抛 物 线 对 称 轴 与 x轴 的 交 点 为 N(x， 0)， DN=AN， - -x=x-(-n)， 2x=-n- ， P 的 对 称 轴 为 x=- .(3)若 l： y=-2x+4， 则 A(2， 0)、 B(0， 4)， C(0， 2)
43、、 D(-4， 0).可 求 得 直 线 CD 的 解 析 式 为 ： y= x+2.由 (2)可 知 ， P 的 对 称 轴 为 x=-1. 以 点 C， E， Q， F 为 顶 点 的 四 边 形 是 以 CE为 一 边 的 平 行 四 边 形 ， FQ CE， 且 FQ=CE.设 直 线 FQ 的 解 析 式 为 ： y= x+b. 点 E、 点 C 的 横 坐 标 相 差 1， 点 F、 点 Q的 横 坐 标 也 是 相 差 1.则 |x F-(-1)|=|xF+1|=1，解 得 xF=0 或 xF=-2. 点 F在 直 线 ll： y=-2x+4上 ， 点 F坐 标 为 (0， 4)
44、或 (-2， 8).若 F(0， 4)， 则 直 线 FQ 的 解 析 式 为 ： y= x+4， 当 x=-1时 ， y= ， Q1(-1， )；若 F(-2， 8)， 则 直 线 FQ的 解 析 式 为 ： y= x+9， 当 x=-1时 ， y= ， Q2(-1， ). 满 足 条 件 的 点 Q 有 2 个 ， 如 答 图 1 所 示 ， 点 Q坐 标 为 Q 1(-1， )、 Q2(-1， ).(4)如 答 图 2 所 示 ， 连 接 OG、 OH. 点 G、 H 为 斜 边 中 点 ， OG= AB， OH= CD.由 旋 转 性 质 可 知 ， AB=CD， OG OH， OGH
45、为 等 腰 直 角 三 角 形 . 点 G为 GH中 点 ， OMG为 等 腰 直 角 三 角 形 ， OG= OM= =2 ， AB=2OG=4 . l： y=mx-4m， A(4， 0)， B(0， -4m).在 Rt AOB中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： OA 2+OB2=AB2， 即 ： 42+(-4m)2=(4 )2， 解 得 ： m=-2或 m=2， 点 B在 y轴 正 半 轴 ， m=2舍 去 ， m=-2. l表 示 的 函 数 解 析 式 为 ： y=-2x+4； B(0， 8)， D(-8， 0).又 A(4， 0)， 利 用 待 定 系 数 法 求 得 P： y=- x2-x+8.
