1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 II)数 学 理1.已 知 集 合 A=-2， -1， 0， 1， 2， B=x|(x-1)(x+2) 0， 则 A B=( )A.-1， 0B.0， 1C.-1， 0， 1D.0， 1， 2解 析 ： B=x|-2 x 1， A=-2， -1， 0， 1， 2， A B=-1， 0.故 选 ： A2.若 a为 实 数 ， 且 (2+ai)(a-2i)=-4i， 则 a=( )A.-1B.0C.1 D.2解 析 ： 因 为 (2+ai)(a-2i)=-4i， 所 以 4a+(a2-4)i=-4i，4a=0， 并
2、且 a2-4=-4， 所 以 a=0.故 选 ： B3.根 据 如 图 给 出 的 2004 年 至 2013年 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 (单 位 ： 万 吨 )柱 形 图 ， 以 下 结 论中 不 正 确 的 是 ( ) A.逐 年 比 较 ， 2008年 减 少 二 氧 化 硫 排 放 量 的 效 果 最 显 著B.2007年 我 国 治 理 二 氧 化 硫 排 放 显 现 成 效C.2006年 以 来 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 呈 减 少 趋 势D.2006年 以 来 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 与 年 份 正 相 关解 析 ： A 从 图 中
3、明 显 看 出 2008年 二 氧 化 硫 排 放 量 比 2007年 的 二 氧 化 硫 排 放 量 明 显 减 少 ， 且减 少 的 最 多 ， 故 A 正 确 ；B2004-2006年 二 氧 化 硫 排 放 量 越 来 越 多 ， 从 2007年 开 始 二 氧 化 硫 排 放 量 变 少 ， 故 B正 确 ；C从 图 中 看 出 ， 2006年 以 来 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 越 来 越 少 ， 故 C正 确 ；D2006年 以 来 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 越 来 越 少 ， 而 不 是 与 年 份 正 相 关 ， 故 D错 误 .故 选 ： D4.已
4、 知 等 比 数 列 a n满 足 a1=3， a1+a3+a5=21， 则 a3+a5+a7=( ) A.21B.42C.63D.84解 析 ： a1=3， a1+a3+a5=21， a1(1+q2+q4)=21， q4+q2+1=7， q 4+q2-6=0， q2=2， a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3 (2+4+8)=42.故 选 ： B5.设 函 数 f(x)= ， 则 f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.12解 析 ： 函 数 f(x)= ，即 有 f(-2)=1+log 2(2+2)=1+2=3，f(log212)= 212 12log =1
5、2 12 =6， 则 有 f(-2)+f(log212)=3+6=9.故 选 C6.一 个 正 方 体 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后 ， 剩 余 部 分 的 三 视 图 如 图 ， 则 截 去 部 分 体 积 与 剩 余 部分 体 积 的 比 值 为 ( ) A.18B. 17C. 16 D.15解 析 ： 设 正 方 体 的 棱 长 为 1， 由 三 视 图 判 断 ， 正 方 体 被 切 掉 的 部 分 为 以 棱 锥 ， 正 方 体 切 掉 部 分 的 体 积 为 13 12 1 1 1= 16 ， 剩 余 部 分 体 积 为 1-16 = 56 ， 截 去 部 分 体 积
6、 与 剩 余 部 分 体 积 的 比 值 为 15 .故 选 ： D7.过 三 点 A(1， 3)， B(4， 2)， C(1， -7)的 圆 交 y轴 于 M， N 两 点 ， 则 |MN|=( )A.2 6B.8C.4 6D.10 解 析 ： 设 圆 的 方 程 为 x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则 ， D=-2， E=4， F=-20， x2+y2-2x+4y-20=0，令 x=0， 可 得 y2+4y-20=0， y=-2 2 6 ， |MN|=4 6 .故 选 ： C8.如 图 程 序 抗 土 的 算 法 思 路 源 于 我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 的 “
7、 更 相 减 损 术 ” .执 行该 程 序 框 图 ， 若 输 入 a， b 分 别 为 14， 18， 则 输 出 的 a=( ) A.0B.2C.4D.14解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， 可 得 a=14， b=18，满 足 条 件 a b， 不 满 足 条 件 a b， b=4，满 足 条 件 a b， 满 足 条 件 a b， a=10，满 足 条 件 a b， 满 足 条 件 a b， a=6，满 足 条 件 a b， 满 足 条 件 a b， a=2，满 足 条 件 a b， 不 满 足 条 件 a b， b=2，不 满 足 条 件 a b， 输 出 a的 值 为
8、 2.故 选 ： B 9.已 知 A， B 是 球 O 的 球 面 上 两 点 ， AOB=90 ， C 为 该 球 面 上 的 动 点 ， 若 三 棱 锥 O-ABC 体积 的 最 大 值 为 36， 则 球 O的 表 面 积 为 ( )A.36B.64C.144D.256解 析 ： 如 图 所 示 ， 当 点 C 位 于 垂 直 于 面 AOB 的 直 径 端 点 时 ， 三 棱 锥 O-ABC 的 体 积 最 大 ， 设 球O的 半 径 为 R， 此 时 V O-ABC=VC-AOB=13 12 R2 R=16R3=36， 故 R=6， 则 球 O 的 表 面 积 为 4 R2=144
9、. 故 选 C10.如 图 ， 长 方 形 ABCD 的 边 AB=2， BC=1， O是 AB 的 中 点 ， 点 P 沿 着 边 BC， CD 与 DA 运 动 ，记 BOP=x.将 动 点 P 到 A， B 两 点 距 离 之 和 表 示 为 x 的 函 数 f(x)， 则 y=f(x)的 图 象 大 致 为( )A. B.C.D. 解 析 ： 由 对 称 性 可 知 函 数 f(x)关 于 x= 2 对 称 ，且 当 0 x 4 时 ， BP=tanx， AP= ， 此 时 f(x)= +tanx， 0 x 4 ， 此 时 单 调 递 增 ， 排 除 A， C(不 是 直 线 递 增
10、)， D.故 选 ： B11.已 知 A， B为 双 曲 线 E的 左 ， 右 顶 点 ， 点 M在 E 上 ， ABM 为 等 腰 三 角 形 ， 顶 角 为 120 ，则 E 的 离 心 率 为 ( )A. 5B.2C. 3 D. 2解 析 ： 设 M在 双 曲 线 的 左 支 上 ，且 MA=AB=2a， MAB=120 ，则 M 的 坐 标 为 (-2a， 3a)，代 入 双 曲 线 方 程 可 得 ，可 得 a=b， c= ， 即 有 e= ca = 2 . 故 选 ： D12.设 函 数 f (x)是 奇 函 数 f(x)(x R)的 导 函 数 ， f(-1)=0， 当 x 0
11、时 ， xf (x)-f(x) 0，则 使 得 f(x) 0成 立 的 x的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， -1) (0， 1)B.(-1， 0) (1， + )C.(- ， -1) (-1， 0)D.(0， 1) (1， + )解 析 ： 设 g(x)= f xx ， 则 g(x)的 导 数 为 ： g (x)= ， 当 x 0 时 总 有 xf (x) f(x)成 立 ，即 当 x 0 时 ， g (x)恒 小 于 0， 当 x 0 时 ， 函 数 g(x)= f xx 为 减 函 数 ， 又 g(-x)= =f(x)x=g(x)， 函 数 g(x)为 定 义 域 上 的 偶 函
12、 数又 g(-1)= =0， 函 数 g(x)的 图 象 性 质 类 似 如 图 ： 数 形 结 合 可 得 ， 不 等 式 f(x) 0 x g(x) 0 或 ， 0 x 1或 x -1.故 选 ： A13.设 向 量 a ， b 不 平 行 ， 向 量 a +b 与 a +2b 平 行 ， 则 实 数 = .解 析 ： 因 为 向 量 a ， b 不 平 行 ， 向 量 a +b 与 a +2b 平 行 ， 所 以 a +b = (a +2b )，所 以 ， 解 得 = = 12 .故 答 案 为 ： 12 14.若 x， y满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+y的 最 大 值 为 .
13、解 析 ： 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 阴 影 部 分 ， 当 直 线 经 过 D点 时 ， z最 大 ， 由 得 D(1， 12 )，所 以 z=x+y的 最 大 值 为 1+ 12 = 32 .故 答 案 为 ： 3215. (a+x)(1+x) 4的 展 开 式 中 x 的 奇 数 次 幂 项 的 系 数 之 和 为 32， 则 a= .解 析 ： 设 f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+ +a5x5，令 x=1， 则 a0+a1+a2+ +a5=f(1)=16(a+1)， 令 x=-1， 则 a0-a1+a2- -a5=f(-1)=0. -
14、 得 ， 2(a1+a3+a5)=16(a+1)，所 以 2 32=16(a+1)， 所 以 a=3.故 答 案 为 ： 316.设 S n是 数 列 an的 前 n项 和 ， 且 a1=-1， an+1=SnSn+1， 则 Sn= .解 析 ： an+1=SnSn+1， an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1， =1， 即 =-1，又 a1=-1， 即 =-1， 数 列 1nS 是 以 首 项 和 公 差 均 为 -1的 等 差 数 列 ， 1nS =-1-1(n-1)=-n， S n=- 1n .故 答 案 为 ： - 1n17. ABC中 ， D 是 BC 上 的 点 ， AD平 分 B
15、AC， ABD面 积 是 ADC面 积 的 2 倍 . (1)求 ；(2)若 AD=1， DC= 22 ， 求 BD和 AC的 长 .解 析 ： (1)如 图 ， 过 A 作 AE BC 于 E， 由 已 知 及 面 积 公 式 可 得 BD=2DC， 由 AD 平 分 BAC 及正 弦 定 理 可 得 ， sin C= ， 从 而 得 解 .(2)由 (1)可 求 BD= 2 .过 D 作 DM AB于 M， 作 DN AC 于 N， 由 AD平 分 BAC， 可 求 AB=2AC，令 AC=x， 则 AB=2x， 利 用 余 弦 定 理 即 可 解 得 BD 和 AC的 长 .答 案 ：
16、(1)如 图 ， 过 A 作 AE BC 于 E， =2， BD=2DC， AD 平 分 BAC， BAD= DAC，在 ABD中 ， ， sin B= ；在 ADC中 ， ， sin C= ； .(2)由 (1)知 ， BD=2DC=2 22 = 2 .过 D 作 DM AB 于 M， 作 DN AC于 N， AD 平 分 BAC， DM=DN， =2， AB=2AC，令 AC=x， 则 AB=2x， BAD= DAC， cos BAD=cos DAC， 由 余 弦 定 理 可 得 ： ， x=1， AC=1， BD的 长 为 2 ， AC 的 长 为 1.18.某 公 司 为 了 解 用
17、户 对 其 产 品 的 满 意 度 ， 从 A， B 两 地 区 分 别 随 机 调 查 了 20 个 用 户 ， 得 到用 户 对 产 品 的 满 意 度 评 分 如 下 ：A地 区 ： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地 区 ： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根 据 两 组 数 据 完 成 两 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 茎 叶 图 ， 并 通 过 茎 叶 图 比 较 两 地 区 满 意 度 评分 的
18、 平 均 值 及 分 散 程 度 (不 要 求 计 算 出 具 体 值 ， 给 出 结 论 即 可 )；(2)根 据 用 户 满 意 度 评 分 ， 将 用 户 的 满 意 度 从 低 到 高 分 为 三 个 等 级 ： 记 事 件 C： “ A 地 区 用 户 的 满 意 度 等 级 高 于 B 地 区 用 户 的 满 意 度 等 级 ” ， 假 设 两 地 区 用 户 的 评价 结 果 相 互 独 立 ， 根 据 所 给 数 据 ， 以 事 件 发 生 的 频 率 作 为 相 应 事 件 发 生 的 频 率 ， 求 C 的 概 率 .解 析 ： ( )根 据 茎 叶 图 的 画 法 ， 以
19、 及 有 关 茎 叶 图 的 知 识 ， 比 较 即 可 ；( )根 据 概 率 的 互 斥 和 对 立 ， 以 及 概 率 的 运 算 公 式 ， 计 算 即 可 .答 案 ： (1)两 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 茎 叶 图 如 下 ： 通 过 茎 叶 图 可 以 看 出 ， A 地 区 用 户 满 意 评 分 的 平 均 值 高 于 B 地 区 用 户 满 意 评 分 的 平 均 值 ； A地 区 用 户 满 意 度 评 分 比 较 集 中 ， B地 区 用 户 满 意 度 评 分 比 较 分 散 ；( )记 CA1表 示 事 件 “ A 地 区 用 户 满 意 度 等 级
20、为 满 意 或 非 常 满 意 ” ，记 CA2表 示 事 件 “ A 地 区 用 户 满 意 度 等 级 为 非 常 满 意 ” ， 记 CB1表 示 事 件 “ B 地 区 用 户 满 意 度 等 级 为 不 满 意 ” ，记 CB2表 示 事 件 “ B 地 区 用 户 满 意 度 等 级 为 满 意 ” ，则 CA1与 CB1独 立 ， CA2与 CB2独 立 ， CB1与 CB2互 斥 ，则 C=CA1CB1 CA2CB2，P(C)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2)，由 所 给 的 数 据 CA1， CA2， CB1， CB2
21、， 发 生 的 频 率 为 1620 ， 420 ， 1020 ， 820 ，所 以 P(C A1)=1620 ， P(CA2)= 420 ， P(CB1)=1020 ， P(CB2)= 820 ，所 以 P(C)= =0.48.19.如 图 ， 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， AB=16， BC=10， AA1=8， 点 E， F分 别 在 A1B1， D1C1上 ， A1E=D1F=4，过 点 E， F 的 平 面 与 此 长 方 体 的 面 相 交 ， 交 线 围 成 一 个 正 方 形 .(1)在 图 中 画 出 这 个 正 方 形 (不 必 说 明 画 法 和 理 由
22、)； (2)求 直 线 AF 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (1)容 易 知 道 所 围 成 正 方 形 的 边 长 为 10， 再 结 合 长 方 体 各 边 的 长 度 ， 即 可 找 出 正 方 形的 位 置 ， 从 而 画 出 这 个 正 方 形 ；(2)分 别 以 直 线 DA， DC， DD1为 x， y， z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 考 虑 用 空 间 向 量 解 决 本问 ， 能 够 确 定 A， H， E， F 几 点 的 坐 标 .设 平 面 EFGH的 法 向 量 为 n =(x， y， z)， 根 据即 可 求 出 法 向
23、 量 n ， AF 坐 标 可 以 求 出 ， 可 设 直 线 AF与 平 面 EFGH所 成 角 为 ， 由 sin =|cos n ， AF |即 可 求 得 直 线 AF 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 .答 案 ： (1)交 线 围 成 的 正 方 形 EFGH如 图 ： (2)作 EM AB， 垂 足 为 M， 则 ：EH=EF=BC=10， EM=AA1=8； MH= =6， AH=10；以 边 DA， DC， DD1所 在 直 线 为 x， y， z 轴 ， 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ：A(10， 0， 0)， H(10， 10， 0)，
24、 E(10， 4， 8)， F(0， 4， 8)； EF =(-10， 0， 0)， EH =(0， 6， -8)；设 n =(x， y， z)为 平 面 EFGH的 法 向 量 ， 则 ： ， 取 z=3， 则 n =(0， 4，3)；若 设 直 线 AF和 平 面 EFGH所 成 的 角 为 ， 则 ：sin =|cos AF ， n |= ； 直 线 AF 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 .20.已 知 椭 圆 C： 9x 2+y2=m2(m 0)， 直 线 l不 过 原 点 O 且 不 平 行 于 坐 标 轴 ， l与 C有 两 个 交 点A， B， 线 段 AB 的 中
25、点 为 M.(1)证 明 ： 直 线 OM 的 斜 率 与 l的 斜 率 的 乘 积 为 定 值 ；(2)若 l 过 点 ( 3m ， m)， 延 长 线 段 OM 与 C 交 于 点 P， 四 边 形 OAPB 能 否 为 平 行 四 边 形 ？ 若 能 ，求 此 时 l 的 斜 率 ； 若 不 能 ， 说 明 理 由 .解 析 ： (1)联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 ， 求 出 对 应 的 直 线 斜 率 即 可 得 到 结 论 .(2)四 边 形 OAPB为 平 行 四 边 形 当 且 仅 当 线 段 AB 与 线 段 OP 互 相 平 分 ， 即 x P=2xM， 建 立
26、 方 程 关系 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)设 直 线 l： y=kx+b， (k 0， b 0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM)，将 y=kx+b 代 入 9x2+y2=m2(m 0)， 得 (k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0，则 x1+x2= ， 则 xM= ， yM=kxM+b= ，于 是 直 线 OM的 斜 率 k OM= ， 即 kOM k=-9， 直 线 OM 的 斜 率 与 l 的 斜 率 的 乘 积 为 定 值 .(2)四 边 形 OAPB能 为 平 行 四 边 形 . 直 线 l 过 点 ( 3m ， m)， l 不
27、过 原 点 且 与 C有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 是 k 0， k 3，由 (1)知 OM的 方 程 为 y=- 9k x，设 P 的 横 坐 标 为 x P，由 得 xP2= ， 即 xP= ，将 点 ( 3m ， m)的 坐 标 代 入 l的 方 程 得 b= ， 因 此 xM= ，四 边 形 OAPB为 平 行 四 边 形 当 且 仅 当 线 段 AB与 线 段 OP互 相 平 分 ， 即 xP=2xM，于 是 ， 解 得 k1=4- 7 或 k2=4+ 7 ， ki 0， ki 3， i=1， 2， 当 l的 斜 率 为 4- 7 或 4+ 7 时 ， 四 边 形 OAPB
28、能 为 平 行 四 边 形 .21.设 函 数 f(x)=e mx+x2-mx.(1)证 明 ： f(x)在 (- ， 0)单 调 递 减 ， 在 (0， + )单 调 递 增 ；(2)若 对 于 任 意 x1， x2 -1， 1， 都 有 |f(x1)-f(x2)| e-1， 求 m 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)利 用 f(x) 0 说 明 函 数 为 增 函 数 ， 利 用 f(x) 0 说 明 函 数 为 减 函 数 .注 意 参 数 m的 讨 论 ；(2)由 (1)知 ， 对 任 意 的 m， f(x)在 -1， 0单 调 递 减 ， 在 0， 1单 调 递 增 ， 则 恒
29、 成 立 问 题 转化 为 最 大 值 和 最 小 值 问 题 .从 而 求 得 m 的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)f(x)=m(e mx-1)+2x.若 m 0， 则 当 x (- ， 0)时 ， emx-1 0， f(x) 0； 当 x (0， + )时 ， emx-1 0， f(x) 0.若 m 0， 则 当 x (- ， 0)时 ， emx-1 0， f(x) 0； 当 x (0， + )时 ， emx-1 0， f(x) 0.所 以 ， f(x)在 (- ， 0)时 单 调 递 减 ， 在 (0， + )单 调 递 增 .(2)由 (1)知 ， 对 任 意 的 m， f(x
30、)在 -1， 0单 调 递 减 ， 在 0， 1单 调 递 增 ， 故 f(x)在 x=0处取 得 最 小 值 .所 以 对 于 任 意 x1， x2 -1， 1， |f(x1)-f(x2)| e-1的 充 要 条 件 是 ， 即 ;设 函 数 g(t)=et-t-e+1， 则 g(t)=e-1.当 t 0 时 ， g(t) 0； 当 t 0 时 ， g(t) 0.故 g(t)在 (- ， 0)单 调 递 减 ， 在 (0， + )单调 递 增 .又 g(1)=0， g(-1)=e-1+2-e 0， 故 当 t -1， 1时 ， g(t) 0.当 m -1， 1时 ， g(m) 0， g(-m
31、) 0， 即 合 式 成 立 ；当 m 1 时 ， 由 g(t)的 单 调 性 ， g(m) 0， 即 e-m+m e-1.当 m -1 时 ， g(-m) 0， 即 e -m+m e-1.综 上 ， m 的 取 值 范 围 是 -1， 1.22.如 图 ， O为 等 腰 三 角 形 ABC 内 一 点 ， O 与 ABC的 底 边 BC交 于 M， N两 点 ， 与 底 边 上 的高 AD 交 于 点 G， 且 与 AB， AC分 别 相 切 于 E， F 两 点 . (1)证 明 ： EF BC；(2)若 AG 等 于 O 的 半 径 ， 且 AE=MN=2 3， 求 四 边 形 EBCF
32、的 面 积 .解 析 ： (1)通 过 AD 是 CAB 的 角 平 分 线 及 圆 O 分 别 与 AB、 AC 相 切 于 点 E、 F， 利 用 相 似 的 性质 即 得 结 论 ；(2)通 过 (1)知 AD是 EF 的 垂 直 平 分 线 ， 连 结 OE、 OM， 则 OE AE， 利 用 S ABC-S AEF计 算 即 可 .答 案 (1) ABC为 等 腰 三 角 形 ， AD BC， AD 是 CAB的 角 平 分 线 ，又 圆 O 分 别 与 AB、 AC 相 切 于 点 E、 F， AE=AF， AD EF， EF BC.(2)由 (1)知 AE=AF， AD EF，
33、AD是 EF的 垂 直 平 分 线 ，又 EF为 圆 O 的 弦 ， O在 AD上 ， 连 结 OE、 OM， 则 OE AE， 由 AG 等 于 圆 O 的 半 径 可 得 AO=2OE， OAE=30 ， ABC与 AEF 都 是 等 边 三 角 形 ， AE=2 3， AO=4， OE=2， OM=OE=2， DM= 12 MN= 3， OD=1， AD=5， AB=10 33 ， 四 边 形 EBCF 的 面 积 为 .23.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 1： (t 为 参 数 ， t 0， 0 )在 以 O 为 极点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐
34、 标 系 中 ， 曲 线 C2： =2sin ， 曲 线 C3： =2 3cos .(1)求 C2与 C3交 点 的 直 角 坐 标 ；(2)若 C2与 C1相 交 于 点 A， C1与 C3相 交 于 点 B， 求 |AB|的 最 大 值 .解 析 ： (1)把 曲 线 的 极 坐 标 分 别 化 为 直 角 坐 标 方 程 联 立 可 得 交 点 坐 标 ； (2)求 出 曲 线 C1的 极 坐 标 方 程 ， 可 得 A， B 的 极 坐 标 ， 即 可 求 |AB|的 最 大 值 .答 案 ： (1)曲 线 C2： =2sin 化 为 2=2 sin ， x2+y2=2y.曲 线 C3
35、： =2 3cos 化 为 2=2 3 cos ， x2+y2=2 3x.联 立 ， 解 得 或 . C 2与 C3交 点 的 直 角 坐 标 为 (0， 0)和 ( 32 ， 32 )；(2)曲 线 C1的 极 坐 标 方 程 为 = ( R， 0)， 其 中 0 .因 此 A的 极 坐 标 为 (2sin ， )， B 的 极 坐 标 为 (2 3cos ， )，所 以 |AB|=|2sin -2 3cos |=4|sin( - 3 )|，当 =56 时 ， |AB|取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 4.24.设 a， b， c， d 均 为 正 数 ， 且 a+b=c+d， 证 明
36、 ：(1)若 ab cd， 则 ； (2) 是 |a-b| |c-d|的 充 要 条 件 .解 析 ： (1)运 用 不 等 式 的 性 质 ， 结 合 条 件 a， b， c， d 均 为 正 数 ， 且 a+b=c+d， ab cd， 即 可得 证 ；(2)从 两 方 面 证 ， 若 ， 证 得 |a-b| |c-d|， 若 |a-b| |c-d|， 证 得， 注 意 运 用 不 等 式 的 性 质 ， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)由 于 ( ) 2=a+b+2 ab ，( )2=c+d+2 cd ，由 a， b， c， d 均 为 正 数 ， 且 a+b=c+d， ab cd，则 ab cd ，即 有 ( ) 2 ( )2， 则 .(2) 若 ， 则 ( )2 ( )2，即 为 a+b+2 ab c+d+2 cd ，由 a+b=c+d， 则 ab cd， 于 是 (a-b)2=(a+b)2-4ab，(c-d)2=(c+d)2-4cd，即 有 (a-b)2 (c-d)2， 即 为 |a-b| |c-d|； 若 |a-b| |c-d|， 则 (a-b)2 (c-d)2，即 有 (a+b)2-4ab (c+d)2-4cd，由 a+b=c+d， 则 ab cd，则 有 ( ) 2 ( )2.综 上 可 得 ， 是 |a-b| |c-d|的 充 要 条 件 .
