1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 II)数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分1.已 知 集 合 A=x|-1 x 2， B=x|0 x 3， 则 A B=( )A.(-1， 3)B.(-1， 0)C.(0， 2)D.(2， 3)解 析 ： A=x|-1 x 2， B=x|0 x 3， A B=x|-1 x 3，故 选 ： A2.若 a为 实 数 且 ， 则 a=( ) A.-4B.-3C.3D.4解 析 ： 由 =3+i， 得 2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i， 则 a=4.故 选 ： D3
2、.根 据 如 图 给 出 的 2004 年 至 2013年 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 (单 位 ： 万 吨 )柱 形 图 ， 以 下 结 论中 不 正 确 的 是 ( ) A.逐 年 比 较 ， 2008年 减 少 二 氧 化 硫 排 放 量 的 效 果 最 显 著B.2007年 我 国 治 理 二 氧 化 硫 排 放 显 现 成 效C.2006年 以 来 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 呈 减 少 趋 势D.2006年 以 来 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 与 年 份 正 相 关解 析 ： A 从 图 中 明 显 看 出 2008年 二 氧 化 硫 排 放 量
3、 比 2007年 的 二 氧 化 硫 排 放 量 明 显 减 少 ， 且减 少 的 最 多 ， 故 A 正 确 ；B2004-2006年 二 氧 化 硫 排 放 量 越 来 越 多 ， 从 2007年 开 始 二 氧 化 硫 排 放 量 变 少 ， 故 B正 确 ；C从 图 中 看 出 ， 2006年 以 来 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 越 来 越 少 ， 故 C正 确 ；D2006年 以 来 我 国 二 氧 化 硫 年 排 放 量 越 来 越 少 ， 而 不 是 与 年 份 正 相 关 ， 故 D错 误 .故 选 ： D 4. a =(1， -1)， b =(-1， 2)则 (2
4、a + b ) a =( )A.-1B.0C.1D.2解 析 ： 因 为 a =(1， -1)， b =(-1， 2)则 (2a + b ) a =(1， 0) (1， -1)=1.故 选 ： C5. S n是 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 ， 若 a1+a3+a5=3， 则 S5=( )A.5B.7C.9D.11解 析 ： 数 列 an是 等 差 数 列 ， 且 a1+a3+a5=3， 得 3a3=3， 即 a3=1. S5=5a3=5.故 选 ： A6.一 个 正 方 体 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后 ， 剩 余 部 分 的 三 视 图 如 图 ， 则 截 去 部
5、分 体 积 与 剩 余 部分 体 积 的 比 值 为 ( ) A.18B. 17C. 16D.15解 析 ： 设 正 方 体 的 棱 长 为 1， 由 三 视 图 判 断 ， 正 方 体 被 切 掉 的 部 分 为 以 棱 锥 ， 正 方 体 切 掉 部 分 的 体 积 为 13 12 1 1 1= 16 ， 剩 余 部 分 体 积 为 1-16 = 56 ， 截 去 部 分 体 积 与 剩 余 部 分 体 积 的 比 值 为 15 .故 选 ： D7.过 三 点 A(1， 0)， B(0， 3)， C(2， 3)则 ABC外 接 圆 的 圆 心 到 原 点 的 距 离 为 ( )A.53 B
6、. 213C. 2 53D. 43解 析 ： 因 为 ABC外 接 圆 的 圆 心 在 直 线 BCD垂 直 平 分 线 上 ， 即 直 线 x=1上 ，可 设 圆 心 P(1， p)， 由 PA=PB得 |p|= ， 得 p= 2 23 ，圆 心 坐 标 为 P(1， 2 23 )， 所 以 圆 心 到 原 点 的 距 离 |OP|= .故 选 ： B8.如 图 程 序 抗 土 的 算 法 思 路 源 于 我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 的 “ 更 相 减 损 术 ” .执 行该 程 序 框 图 ， 若 输 入 a， b 分 别 为 14， 18， 则 输 出 的 a=(
7、 ) A.0B.2C.4D.14解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， 可 得 a=14， b=18，满 足 条 件 a b， 不 满 足 条 件 a b， b=4，满 足 条 件 a b， 满 足 条 件 a b， a=10，满 足 条 件 a b， 满 足 条 件 a b， a=6，满 足 条 件 a b， 满 足 条 件 a b， a=2，满 足 条 件 a b， 不 满 足 条 件 a b， b=2，不 满 足 条 件 a b， 输 出 a的 值 为 2.故 选 ： B 9.已 知 等 比 数 列 an满 足 a1= 14 ， a3a5=4(a4-1)， 则 a2=( )A.2
8、B.1C. 12D.18解 析 ： 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， a 1= 14 ， a3a5=4(a4-1)， ( 14 )2 q6=4( 14 q3-1)， 化 为 q3=8， 解 得 q=2， 则 a2= 14 2= 12 .故 选 ： C10.已 知 A， B 是 球 O 的 球 面 上 两 点 ， AOB=90 ， C 为 该 球 面 上 的 动 点 ， 若 三 棱 锥 O-ABC 体积 的 最 大 值 为 36， 则 球 O的 表 面 积 为 ( )A.36B.64C.144 D.256解 析 ： 如 图 所 示 ， 当 点 C 位 于 垂 直 于 面 AOB 的
9、直 径 端 点 时 ， 三 棱 锥 O-ABC 的 体 积 最 大 ， 设 球O的 半 径 为 R， 此 时 VO-ABC=VC-AOB=13 12 R2 R=16R3=36， 故 R=6， 则 球 O 的 表 面 积 为 4 R2=144 . 故 选 C11.如 图 ， 长 方 形 ABCD 的 边 AB=2， BC=1， O是 AB 的 中 点 ， 点 P 沿 着 边 BC， CD 与 DA 运 动 ，记 BOP=x.将 动 点 P 到 A， B 两 点 距 离 之 和 表 示 为 x 的 函 数 f(x)， 则 y=f(x)的 图 象 大 致 为( )A. B.C.D. 解 析 ： 由
10、对 称 性 可 知 函 数 f(x)关 于 x= 2 对 称 ，且 当 0 x 4 时 ， BP=tanx， AP= ，此 时 f(x)= +tanx， 0 x 4 ， 此 时 单 调 递 增 ， 排 除 A， C(不 是 直 线 递 增 )， D.故 选 ： B12.设 函 数 f(x)=ln(1+|x|)- 211 x ， 则 使 得 f(x) f(2x-1)成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 ( )A.(13 ， 1) B.(- ， 13 ) (1， + )C.(-13 ， 13 )D.(- ， -13 ) (13 ， + )解 析 ： 函 数 f(x)=ln(1+|x|)- 211
11、 x 为 偶 函 数 ，且 在 x 0 时 ， f(x)=ln(1+x)- 211 x 导 数 为 f (x)= 11 x + 2221 xx 0，即 有 函 数 f(x)在 0， + )单 调 递 增 ， f(x) f(2x-1)等 价 为 f(|x|) f(|2x-1|)， 即 |x| |2x-1|， 平 方 得 3x2-4x+1 0， 解 得 13 x 1， 所 求 x的 取 值 范 围 是 (13 ， 1).故 选 A二 、 填 空 题13.已 知 函 数 f(x)=ax3-2x的 图 象 过 点 (-1， 4)则 a= .解 析 ： 根 据 条 件 得 ： 4=-a+2； a=-2.
12、故 答 案 为 ： -2 14.若 x， y满 足 约 束 条 件 ， 则 z=2x+y 的 最 大 值 为 .解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： (阴 影 部 分 ABC). 由 z=2x+y 得 y=-2x+z，平 移 直 线 y=-2x+z，由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 A 时 ， 直 线 y=-2x+z的 截 距 最 大 ，此 时 z最 大 .由 ， 解 得 ， 即 A(3， 2)，将 A(3， 2)的 坐 标 代 入 目 标 函 数 z=2x+y，得 z=2 3+2=8.即 z=2x+y的 最 大 值 为 8.故 答
13、 案 为 ： 815.已 知 双 曲 线 过 点 (4， 3 )且 渐 近 线 方 程 为 y= 12 x， 则 该 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 . 解 析 ： 设 双 曲 线 方 程 为 y2- 14 x2= ， 代 入 点 (4， 3)， 可 得 3- 14 16= ， =-1， 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 14 x2-y2=1.故 答 案 为 ： 14 x2-y2=116.已 知 曲 线 y=x+lnx在 点 (1， 1)处 的 切 线 与 曲 线 y=ax 2+(a+2)x+1相 切 ， 则 a= .解 析 ： y=x+lnx的 导 数 为 y =1+ 1x ，曲 线
14、y=x+lnx在 x=1处 的 切 线 斜 率 为 k=2，则 曲 线 y=x+lnx在 x=1处 的 切 线 方 程 为 y-1=2x-2， 即 y=2x-1.由 于 切 线 与 曲 线 y=ax2+(a+2)x+1 相 切 ，故 y=ax2+(a+2)x+1 可 联 立 y=2x-1， 得 ax2+ax+2=0，又 a 0， 两 线 相 切 有 一 切 点 ， 所 以 有 =a 2-8a=0， 解 得 a=8.故 答 案 为 ： 8三 解 答 题17. ABC中 ， D 是 BC 上 的 点 ， AD平 分 BAC， BD=2DC ( ) 求 .( ) 若 BAC=60 ， 求 B.解 析
15、 ： ( )由 题 意 画 出 图 形 ， 再 由 正 弦 定 理 结 合 内 角 平 分 线 定 理 得 答 案 ；( )由 C=180 -( BAC+ B)， 两 边 取 正 弦 后 展 开 两 角 和 的 正 弦 ， 再 结 合 ( )中 的 结 论 得答 案 .答 案 ： ( )如 图 ， 由 正 弦 定 理 得 ： ， ， AD 平 分 BAC， BD=2DC， .( ) C=180 -( BAC+ B)， BAC=60 ， sin C=sin( BAC+ B)= 32 cos B+ 12 sin B，由 ( )知 2sin B=sin C， tan B= 33 ， 即 B=30 .
16、 18.某 公 司 为 了 解 用 户 对 其 产 品 的 满 意 度 ， 从 A， B 两 地 区 分 别 随 机 调 查 了 40 个 用 户 ， 根 据用 户 对 产 品 的 满 意 度 评 分 ， 得 到 A地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图 和 B地 区 用 户 满 意度 评 分 的 频 数 分 布 表 B地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 数 分 布 表(1)做 出 B 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 并 通 过 直 方 图 比 较 两 地 区 满 意 度 评 分 的平 均 值 及 分 散 程 度 (不
17、 要 求 计 算 出 具 体 值 ， 给 出 结 论 即 可 )( )根 据 用 户 满 意 度 评 分 ， 将 用 户 的 满 意 度 从 低 到 高 分 为 三 个 不 等 级 ：估 计 哪 个 地 区 用 户 的 满 意 度 等 级 为 不 满 意 的 概 率 大 ？ 说 明 理 由 .解 析 ： (I)根 据 分 布 表 的 数 据 ， 画 出 频 率 直 方 图 ， 求 解 即 可 .(II)计 算 得 出 CA表 示 事 件 ： “ A地 区 用 户 的 满 意 度 等 级 为 不 满 意 ” ， CB表 示 事 件 ： “ B地 区 用 户 的 满 意 度 等 级 为 不 满 意
18、 ” ， P(CA)， P(CB)， 即 可 判 断 不 满 意 的 情 况 .答 案 ： ( )如 图 ， 通 过 两 个 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图 可 以 看 出 ， B地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 平 均 值高 于 A地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 平 均 值 ，B 地 区 的 用 户 满 意 度 评 分 的 比 较 集 中 ， 而 A地 区 的 用 户 满 意 度 评 分 的 比 较 分 散 .( )A地 区 用 户 的 满 意 度 等 级 为 不 满 意 的 概 率 大 .记 CA表 示 事 件 ： “ A 地 区 用 户
19、的 满 意 度 等 级 为 不 满 意 ” ， CB表 示 事 件 ： “ B 地 区 用 户 的 满 意 度 等级 为 不 满 意 ” ，由 直 方 图 得 P(CA)=(0.01+0.02+0.03) 10=0.6，得 P(C B)=(0.005+0.02) 10=0.25， A 地 区 用 户 的 满 意 度 等 级 为 不 满 意 的 概 率 大 .19.如 图 ， 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， AB=16， BC=10， AA1=8， 点 E， F 分 别 在 A1B1， D1C1上 ， A1E=D1F=4.过 E， F 的 平 面 与 此 长 方 体 的 面 相 交
20、 ， 交 线 围 成 一 个 正 方 形 .( )在 图 中 画 出 这 个 正 方 形 (不 必 说 出 画 法 和 理 由 ) ( )求 平 面 把 该 长 方 体 分 成 的 两 部 分 体 积 的 比 值 .解 析 ： ( )利 用 平 面 与 平 面 平 行 的 性 质 ， 可 在 图 中 画 出 这 个 正 方 形 ；( )求 出 =6， AH=10， HB=6， 即 可 求 平 面 a 把 该 长 方 体 分 成 的 两 部 分 体 积 的 比值 .答 案 ： ( )交 线 围 成 的 正 方 形 EFGH如 图 所 示 . ( )作 EM AB， 垂 足 为 M， 则 AM=A
21、1E=4， EB1=12， EM=AA1=8.因 为 EFGH 为 正 方 形 ， 所 以 EH=EF=BC=10，于 是 MH= =6， AH=10， HB=6.因 为 长 方 体 被 平 面 分 成 两 个 高 为 10 的 直 棱 柱 ，所 以 其 体 积 的 比 值 为 97 .20.椭 圆 C： ， (a b 0)的 离 心 率 22 ， 点 (2， 2 )在 C 上 . (1)求 椭 圆 C 的 方 程 ；(2)直 线 l 不 过 原 点 O 且 不 平 行 于 坐 标 轴 ， l 与 C 有 两 个 交 点 A， B， 线 段 AB 的 中 点 为 M.证明 ： 直 线 OM的
22、斜 率 与 l 的 斜 率 的 乘 积 为 定 值 .解 析 ： (1)利 用 椭 圆 的 离 心 率 ， 以 及 椭 圆 经 过 的 点 ， 求 解 椭 圆 的 几 何 量 ， 然 后 得 到 椭 圆 的 方程 .(2)设 直 线 l： y=kx+b， (k 0， b 0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM)， 联 立 直 线 方 程 与椭 圆 方 程 ， 通 过 韦 达 定 理 求 解 KOM， 然 后 推 出 直 线 OM的 斜 率 与 l 的 斜 率 的 乘 积 为 定 值 .答 案 ： (1)椭 圆 C： ， (a b 0)的 离 心 率 22 ， 点
23、(2， 2 )在 C上 ， 可 得 ， 解 得 a 2=8， b2=4， 所 求 椭 圆 C方 程 为 ： .(2)设 直 线 l： y=kx+b， (k 0， b 0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM)，把 直 线 y=kx+b 代 入 可 得 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0，故 x M= ， yM=kxM+b= ，于 是 在 OM 的 斜 率 为 ： KOM= k， 即 KOM k=- 12 . 直 线 OM 的 斜 率 与 l 的 斜 率 的 乘 积 为 定 值 .21.设 函 数 f(x)=lnx+a(1-x).( )讨 论 ： f(x)的
24、 单 调 性 ；( )当 f(x)有 最 大 值 ， 且 最 大 值 大 于 2a-2时 ， 求 a的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )先 求 导 ， 再 分 类 讨 论 ， 根 据 导 数 即 可 判 断 函 数 的 单 调 性 ；(2)先 求 出 函 数 的 最 大 值 ， 再 构 造 函 数 (a)=lna+a-1， 根 据 函 数 的 单 调 性 即 可 求 出 a 的 范 围 .答 案 ： ( )f(x)=lnx+a(1-x)的 定 义 域 为 (0， + )， f (x)= ，若 a 0， 则 f (x) 0， 函 数 f(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 ，若 a 0
25、， 则 当 x (0， 1a )时 ， f (x) 0， 当 x ( 1a ， + )时 ， f (x) 0， 所 以 f(x)在 (0，1a )上 单 调 递 增 ， 在 ( 1a ， + )上 单 调 递 减 ，( )， 由 ( )知 ， 当 a 0 时 ， f(x)在 (0， + )上 无 最 大 值 ； 当 a 0 时 ， f(x)在 x=1a 取 得最 大 值 ， 最 大 值 为 f( 1a )=-lna+a-1， f( 1a ) 2a-2， lna+a-1 0，令 g(a)=lna+a-1， g(a)在 (0， + )单 调 递 增 ， g(1)=0， 当 0 a 1时 ， g(a
26、) 0， 当 a 1 时 ， g(a) 0， a 的 取 值 范 围 为 (0， 1).22.如 图 ， O为 等 腰 三 角 形 ABC 内 一 点 ， O 与 ABC的 底 边 BC交 于 M， N两 点 ， 与 底 边 上 的高 AD 交 于 点 G， 且 与 AB， AC分 别 相 切 于 E， F 两 点 .(1)证 明 ： EF BC； (2)若 AG 等 于 O 的 半 径 ， 且 AE=MN=2 3， 求 四 边 形 EBCF的 面 积 .解 析 ： (1)通 过 AD 是 CAB 的 角 平 分 线 及 圆 O 分 别 与 AB、 AC 相 切 于 点 E、 F， 利 用 相
27、 似 的 性质 即 得 结 论 ；(2)通 过 (1)知 AD是 EF 的 垂 直 平 分 线 ， 连 结 OE、 OM， 则 OE AE， 利 用 S ABC-S AEF计 算 即 可 .答 案 (1) ABC为 等 腰 三 角 形 ， AD BC， AD 是 CAB的 角 平 分 线 ，又 圆 O 分 别 与 AB、 AC 相 切 于 点 E、 F， AE=AF， AD EF， EF BC.(2)由 (1)知 AE=AF， AD EF， AD是 EF的 垂 直 平 分 线 ，又 EF为 圆 O 的 弦 ， O在 AD上 ， 连 结 OE、 OM， 则 OE AE， 由 AG 等 于 圆 O
28、 的 半 径 可 得 AO=2OE， OAE=30 ， ABC与 AEF 都 是 等 边 三 角 形 ， AE=2 3， AO=4， OE=2， OM=OE=2， DM= 12 MN= 3， OD=1， AD=5， AB=10 33 ， 四 边 形 EBCF 的 面 积 为 . 23.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1： (t 为 参 数 ， t 0， 0 )在 以 O 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C2： =2sin ， 曲 线 C3： =2 3cos .(1)求 C2与 C3交 点 的 直 角 坐 标 ；(2)若 C2与
29、 C1相 交 于 点 A， C1与 C3相 交 于 点 B， 求 |AB|的 最 大 值 .解 析 ： (1)把 曲 线 的 极 坐 标 分 别 化 为 直 角 坐 标 方 程 联 立 可 得 交 点 坐 标 ；(2)求 出 曲 线 C1的 极 坐 标 方 程 ， 可 得 A， B 的 极 坐 标 ， 即 可 求 |AB|的 最 大 值 .答 案 ： (1)曲 线 C2： =2sin 化 为 2=2 sin ， x2+y2=2y.曲 线 C 3： =2 3cos 化 为 2=2 3 cos ， x2+y2=2 3x.联 立 ， 解 得 或 . C 2与 C3交 点 的 直 角 坐 标 为 (0
30、， 0)和 ( 32 ， 32 )；(2)曲 线 C1的 极 坐 标 方 程 为 = ( R， 0)， 其 中 0 .因 此 A的 极 坐 标 为 (2sin ， )， B 的 极 坐 标 为 (2 3cos ， )，所 以 |AB|=|2sin -2 3cos |=4|sin( - 3 )|，当 =56 时 ， |AB|取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 4.24.设 a， b， c， d 均 为 正 数 ， 且 a+b=c+d， 证 明 ：(1)若 ab cd， 则 ； (2) 是 |a-b| |c-d|的 充 要 条 件 .解 析 ： (1)运 用 不 等 式 的 性 质 ， 结 合
31、 条 件 a， b， c， d 均 为 正 数 ， 且 a+b=c+d， ab cd， 即 可得 证 ；(2)从 两 方 面 证 ， 若 ， 证 得 |a-b| |c-d|， 若 |a-b| |c-d|， 证 得， 注 意 运 用 不 等 式 的 性 质 ， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)由 于 ( ) 2=a+b+2 ab ，( )2=c+d+2 cd ，由 a， b， c， d 均 为 正 数 ， 且 a+b=c+d， ab cd，则 ab cd ，即 有 ( ) 2 ( )2， 则 . (2) 若 ， 则 ( )2 ( )2，即 为 a+b+2 ab c+d+2 cd ，由 a+b=c+d， 则 ab cd，于 是 (a-b)2=(a+b)2-4ab，(c-d)2=(c+d)2-4cd，即 有 (a-b)2 (c-d)2， 即 为 |a-b| |c-d|； 若 |a-b| |c-d|， 则 (a-b) 2 (c-d)2，即 有 (a+b)2-4ab (c+d)2-4cd，由 a+b=c+d， 则 ab cd，则 有 ( )2 ( )2.综 上 可 得 ， 是 |a-b| |c-d|的 充 要 条 件 .
