1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 I)数 学 文1.已 知 集 合 3 2, , 6,8,10,12,14A x x n n N B ， 则 集 合 A B 中 的 元 素 个 数 为( )A.5B.4C.3D.2+解 析 ： 由 条 件 知 ， 当 n=2时 ， 3n+2=8， 当 n=4时 ， 3n+2=14， 故 A B=8， 14. 答 案 ： D2.已 知 点 A(0， 1)， B(3， 2)， 向 量 AC =(-4， -3)， 则 向 量 BC ( )A.(-7， -4)B.(7， 4)C.(-1， 4)D.(1， 4)解 析 ：
2、因 为 AB OB OA =(3， 1)， 所 以 BC AC AB =(-7， -4).答 案 ： A 3.已 知 复 数 z 满 足 ( 1) 1z i i ， 则 z ( )A. 2 i B. 2 i C.2 iD.2 i解 析 ： ( 1) 1z i i ， z= 21 2 (1 2 )( ) 2i i i ii i .答 案 ： C4.如 果 3 个 正 整 数 可 作 为 一 个 直 角 三 角 形 三 条 边 的 边 长 ， 则 称 这 3 个 数 为 一 组 勾 股 数 ， 从 1， 2， 3， 4， 5中 任 取 3个 不 同 的 数 ， 则 这 3 个 数 构 成 一 组
3、勾 股 数 的 概 率 为 ( )A. 310B.15 C. 110D. 120解 析 ： 从 1， 2， 3， 4， 5中 任 取 3 个 不 同 的 数 共 有 10种 不 同 的 取 法 ， 其 中 的 勾 股 数 只 有 3，4， 5， 故 3个 数 构 成 一 组 勾 股 数 的 取 法 只 有 1 种 ， 故 所 求 概 率 为 110.答 案 ： C5.已 知 椭 圆 E的 中 心 为 坐 标 原 点 ， 离 心 率 为 12 ， E的 右 焦 点 与 抛 物 线 C： y 2=8x的 焦 点 重 合 ，A， B 是 C 的 准 线 与 E的 两 个 交 点 ， 则 |AB|=(
4、 )A.3B.6C.9D.12解 析 ： 椭 圆 E 的 中 心 在 坐 标 原 点 ， 离 心 率 为 12 ， E 的 右 焦 点 (c， 0)与 抛 物 线 C： y 2=8x 的 焦点 (2， 0)重 合 ，可 得 c=2， a=4， b2=12， 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ： =1，抛 物 线 的 准 线 方 程 为 ： x=-2，由 ， 解 得 y= 3， 所 以 a(-2， 3)， B(-2， -3)， |AB|=6答 案 ： B6. 九 章 算 术 是 我 国 古 代 内 容 极 为 丰 富 的 数 学 名 著 ， 书 中 有 如 下 问 题 :“ 今 有 委 米 依 垣
5、 内 角 ， 下 周 八 尺 ， 高 五 尺 。 问 :积 及 为 米 几 何 ?” 其 意 思 为 :“ 在 屋 内 墙 角 处 堆 放 米 (如 图 ， 米 堆为 一 个 圆 锥 的 四 分 之 一 )， 米 堆 为 一 个 圆 锥 的 四 分 之 一 )， 米 堆 底 部 的 弧 度 为 8 尺 ， 米 堆 的 高为 5 尺 ， 问 米 堆 的 体 积 和 堆 放 的 米 各 为 多 少 ?” 已 知 1 斛 米 的 体 积 约 为 1.62立 方 尺 ， 圆 周 率约 为 3， 估 算 出 堆 放 斛 的 米 约 有 ( ) A 14斛B 22斛C 36斛D 66斛解 析 ： 设 圆
6、锥 的 底 面 半 径 为 r， 则 14 2 3r=8， 解 得 r=163 ，故 米 堆 的 体 积 为 14 13 3 (163 ) 2 5=3209 ， 1 斛 米 的 体 积 约 为 1.62立 方 ， 3209 1.62 22.故 选 ： B7.已 知 a n是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ， Sn为 an的 前 n项 和 ， 若 8 44S S ， 则 a10=( )A.172B.192C.10D.12解 析 ： 公 差 1d ， 8 44S S ， 1 11 18 8 7 4(4 4 3)2 2a a ， 解 得 1a = 12 ， 10 1 1 199 92 2a a
7、 d .答 案 ： B 8.函 数 f(x)=cos( x+ )的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 ( )A (k -14 ， k +34 ， )， k zB (2k -14 ， 2k +34 )， k z C (k-14 ， k+34 )， k zD (2k-14 ， 2k+34 )， k z解 析 ： 由 函 数 f(x)=cos( x+ )的 部 分 图 象 ， 可 得 函 数 的 周 期 为 2 =2(54 -14 )=2， = ， f(x)=cos( x+ )再 根 据 函 数 的 图 象 以 及 五 点 法 作 图 ， 可 得 4 +
8、 = 2 ， k z， 即 = 4 ， f(x)=cos( x+ 4 )由 2k x+ 4 2k + ， 求 得 2k-14 x 2k+34 ， 故 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 (2k-14 ，2k+34 )， k z.故 选 ： D9.如 图 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 t=0.01， 则 输 出 的 n=( ) A 5B 6C 7D 8解 析 ： 执 行 第 1 次 ， t=0.01， S=1， n=0， m=12 =0.5， S=S-m=0.5， 2mm =0.25， n=1， S=0.5 t=0.01， 是 ， 循 环 ，执 行 第 2 次 ， S=S-m=
9、0.25， 2mm =0.125， n=2， S=0.25 t=0.01， 是 ， 循 环 ，执 行 第 3 次 ， S=S-m=0.125， 2mm =0.0625， n=3， S=0.125 t=0.01， 是 ， 循 环 ，执 行 第 4 次 ， S=S-m=0.0625， 2mm =0.03125， n=4， S=0.0625 t=0.01， 是 ， 循 环 ， 执 行 第 5 次 ， S=S-m=0.03125， 2mm =0.015625， n=5， S=0.03125 t=0.01， 是 ， 循 环 ，执 行 第 6 次 ， S=S-m=0.015625， 2mm =0.0078
10、125， n=6， S=0.015625 t=0.01， 是 ， 循 环 ， 执 行 第 7 次 ， S=S-m=0.0078125， 2mm =0.00390625， n=7， S=0.0078125 t=0.01， 否 ，输 出 n=7.故 选 ： C10.已 知 函 数 1 22 2, 1( ) log ( 1), 1x xf x x x ， 且 ( ) 3f a ， 则 (6 )f a ()A. 74B. 54 C. 34D. 14解 析 ： ( ) 3f a ， 当 1a 时 ， 1( ) 2 2 3af a ， 则 12 1a ， 此 等 式 显 然 不 成立 ，当 1a 时 ，
11、2log ( 1) 3a ， 解 得 7a ， (6 )f a ( 1)f = 1 1 72 2 4 .答 案 ： A 11.圆 柱 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后 与 半 球 (半 径 为 r)组 成 一 个 几 何 体 ， 该 几 何 体 三 视 图 中 的正 视 图 和 俯 视 图 如 图 所 示 .若 该 几 何 体 的 表 面 积 为 16+20 ， 则 r=( ) A.1B.2C.4D.8 解 析 ： 由 几 何 体 三 视 图 中 的 正 视 图 和 俯 视 图 可 知 ，截 圆 柱 的 平 面 过 圆 柱 的 轴 线 ， 该 几 何 体 是 一 个 半 球 拼 接
12、半 个 圆 柱 ， 其 表 面 积 为 ： 12 4 r2+12 r2+12 2r 2 r+2r 2r+12 r2=5 r2+4r2，又 该 几 何 体 的 表 面 积 为 16+20 ， 5 r2+4r2=16+20 ， 解 得 r=2.故 选 ： B12.设 函 数 y=f(x)的 图 像 与 2x ay 的 图 像 关 于 直 线 y=-x 对 称 ， 且 f(-2)+ f(-4)=1， 则a=( )A.-1 B.1C.2D.3解 析 ： 设 (x， y)是 函 数 y=f(x)的 图 像 上 任 意 一 点 ， 它 关 于 直 线 y=-x对 称 为 (-y， -x)， 由 已知 (-
13、y， -x)在 函 数 2x ay 的 图 像 上 ， 2 y ax ， 解 得 2log ( )y x a ， 即2( ) log ( )f x x a ， 2 2( 2) ( 4) log 2 log 4 1f f a a ， 解 得 a=2.故 选 C. 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4小 题 ， 每 小 题 5 分13.数 列 an中 1 12, 2 ,n n na a a S 为 an的 前 n 项 和 ， 若 Sn=126， 则 n= .解 析 ： 1 12, 2n na a a ， 数 列 an是 首 项 为 2， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 2(1 2 )
14、 1261 2nnS ， 2 64n ， n=6.答 案 ： 614.已 知 函 数 3 1f x ax x 的 图 像 在 点 1, 1f 的 处 的 切 线 过 点 (2， 7)， 则 a= .解 析 ： 2( ) 3 1f x ax ， (1) 3 1f a ， 即 切 线 斜 率 3 1k a ，又 f(1)=a+2， 切 点 为 (1， a+2)， 切 线 过 (2， 7)， 2 7 3 11 2a a ， 解 得 a=1.答 案 ： 1 15.若 x， y满 足 约 束 条 件 2 02 1 02 2 0 x yx yx y ， 则 z=3x+y的 最 大 值 为 解 析 ： 作
15、出 可 行 域 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 ，作 出 直 线 0l ： 3 0 x y ， 平 移 直 线 0l ， 当 直 线 l :z=3x+y 过 点 A 时 ， z 取 最 大 值 ， 由2=02 1=0 x yx y ， 解 得 A(1， 1)， z=3x+y 的 最 大 值 为 4.答 案 ： 416.已 知 F 是 双 曲 线 C： 22 18yx 的 右 焦 点 ， P 是 C 左 支 上 一 点 ， (0,6 6)A ， 当 APF周 长 最 小 时 ， 该 三 角 形 的 面 积 为 解 析 ： 由 题 意 ， 设 F 是 左 焦 点 ， 则 APF 周 长 =|A
16、F|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF |+2 |AF|+|AF |+2(A， P， F 三 点 共 线 时 ， 取 等 号 )，直 线 AF 的 方 程 为 =1与 =1联 立 可 得 y 2+6 6 y-96=0， P 的 纵 坐 标 为 2 6 ， APF周 长 最 小 时 ， 该 三 角 形 的 面 积 为 12 6 6 6 -12 6 2 6 =12 6 答 案 ： 12 617.已 知 a， b， c 分 别 是 ABC内 角 A， B， C的 对 边 ， 2sin 2sin sinB A C .(I)若 a=b， 求 cosB； (II)若 B=90 ， 且 2a
17、， 求 ABC的 面 积 .解 析 ： (I)先 由 正 弦 定 理 将 2sin 2sin sinB A C 化 为 变 得 关 系 ， 结 合 条 件 a=b， 用 其 中 一 边把 另 外 两 边 表 示 出 来 ， 再 用 余 弦 定 理 即 可 求 出 角 B 的 余 弦 值 ； (II)由 (I)知 2 2b ac= ， 根 据 勾 股 定 理 和 即 可 求 出 c， 从 而 求 出 ABC 的 面 积 .答 案 ： (I)由 题 设 及 正 弦 定 理 可 得 2 2b ac= .又 a=b， 可 得 b=2c， a=2c，由 余 弦 定 理 可 得 2 2 2 1cos 2
18、4a c bB ac+ -= = .(II)由 (1)知 2 2b ac= .因 为 B=90 ， 由 勾 股 定 理 得 2 2 2a c b+ = .故 2 2 2a c ac+ = ， 得 2c a= = . 所 以 ABC的 面 积 为 1.18.如 图 ， 四 边 形 ABCD为 菱 形 ， G为 AC与 BD的 交 点 ， BE 平 面 ABCD( )证 明 ： 平 面 AEC 平 面 BED； ( )若 ABC=120 ， AE EC， 三 棱 锥 E-ACD 的 体 积 为 63 ， 求 该 三 棱 锥 的 侧 面 积 解 析 ： ( )根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定
19、理 即 可 证 明 ： 平 面 AEC 平 面 BED；( )根 据 三 棱 锥 的 条 件 公 式 ， 进 行 计 算 即 可 答 案 ： ( ) 四 边 形 ABCD为 菱 形 ， AC BD， BE 平 面 ABCD， AC BE， 则 AC 平 面 BED， AC平 面 AEC， 平 面 AEC 平 面 BED.( )设 AB=x， 在 菱 形 ABCD中 ， 由 ABC=120 ， 得 AG=GC= 32 x， GB=GD=2x ， AE EC， EBG为 直 角 三 角 形 ， 则 BE= 22 x， 三 棱 锥 E-ACD的 体 积 V= ， 解 得 x=2，从 而 得 AE=E
20、C=ED= 6 ， EAC的 面 积 为 3， EAD的 面 积 和 ECD的 面 积 均 为 5，故 该 三 棱 锥 的 侧 面 积 为 3+2 5 19.某 公 司 为 确 定 下 一 年 度 投 入 某 种 产 品 的 宣 传 费 ， 需 了 解 年 宣 传 费 x(单 位 ： 千 元 )对 年 销售 量 y(单 位 ： t)和 年 利 润 z(单 位 ： 千 元 )的 影 响 ， 对 近 8年 的 年 宣 传 费 xi和 年 销 售 量 yi(i=1，2， ， 8)数 据 作 了 初 步 处 理 ， 得 到 下 面 的 散 点 图 及 一 些 统 计 量 的 值 .x y w 21 (
21、 )n ii x x 21 ( )n ii w w 1 ( )( )n i ii x x y y 1 ( )( )n i ii w w y y 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表 中 w 1 = 1x ， 118 n iiw w .( )根 据 散 点 图 判 断 ， y=a+bx与 y=c+d x 哪 一 个 适 宜 作 为 年 销 售 量 y 关 于 年 宣 传 费 x 的 回归 方 程 类 型 ？ (给 出 判 断 即 可 ， 不 必 说 明 理 由 )( )根 据 ( )的 判 断 结 果 及 表 中 数 据 ， 建 立 y 关 于 x的 回 归 方
22、 程 ；( )已 知 这 种 产 品 的 年 利 率 z与 x、 y 的 关 系 为 z=0.2y-x.根 据 ( )的 结 果 回 答 下 列 问 题 ：(i)年 宣 传 费 x=49时 ， 年 销 售 量 及 年 利 润 的 预 报 值 是 多 少 ？(ii)年 宣 传 费 x为 何 值 时 ， 年 利 率 的 预 报 值 最 大 ？附 ： 对 于 一 组 数 据 (u 1， v1)， (u2， v2) (un， vn)， 其 回 归 线 v= + u的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二乘 估 计 分 别 为 ： 1 21( )( )= ( )n i ii n iiu u v vu u
23、， =v u .解 析 ： ( )根 据 散 点 图 ， 即 可 判 断 出 .( )先 建 立 中 间 量 w= x ， 建 立 y 关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 ， 根 据 公 式 求 出 w， 问 题 得 以 解 决 ； ( )(i)年 宣 传 费 x=49时 ， 代 入 到 回 归 方 程 ， 计 算 即 可 ，(ii)求 出 预 报 值 得 方 程 ， 根 据 函 数 的 性 质 ， 即 可 求 出 .答 案 ： ( )由 散 点 图 可 以 判 断 ， y=c+d x 适 宜 作 为 年 销 售 量 y 关 于 年 宣 传 费 x 的 回 归 方 程类 型 ；( )令 w
24、= x ， 先 建 立 y关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 ， 由 于 =68，c y d w =563-68 6.8=100.6，所 以 y关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 为 y =100.6+68w，因 此 y关 于 x 的 回 归 方 程 为 y =100.6+68 x ， ( )(i)由 ( )知 ， 当 x=49时 ， 年 销 售 量 y的 预 报 值 y =100.6+68 49 =576.6，年 利 润 z 的 预 报 值 z =576.6 0.2-49=66.32，(ii)根 据 ( )的 结 果 可 知 ， 年 利 润 z 的 预 报 值 z =0.2(100.
25、6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12，当 x =13.62=6.8时 ， 年 利 润 的 预 报 值 最 大 .20.已 知 过 点 A(1， 0)且 斜 率 为 k 的 直 线 l 与 圆 C： 2 22 3 1x y 交 于 M， N两 点 .(I)求 k 的 取 值 范 围 ； (II) 12OM ON ， 其 中 O 为 坐 标 原 点 ， 求 MN .解 析 ： (I)设 出 直 线 l的 方 程 ， 利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 半 径 列 出 关 于 k 的 不 等 式 ， 即 可求 出 k的 取 值 范 围 ；(II)设 1 1 2 2M(
26、,y ),N( ,y )x x ， 将 直 线 l 方 程 代 入 圆 的 方 程 化 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 利用 韦 达 定 理 将 1 2 1 2,x x y y 用 k表 示 出 来 ， 利 用 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 公 式 及 12OM ON 列出 关 于 k 方 程 ， 解 出 k， 即 可 求 出 |MN|.答 案 ： (I)由 题 设 ， 可 知 直 线 l 的 方 程 为 1y kx= + .因 为 l与 C交 于 两 点 ， 所 以 2|2 3 1| 11k k- + + . 解 得 4 7 4 73 3k- + 考 虑 f x 的
27、 单 调 性 及 性 质 ， 即 可 判 断 出 零 点 个数 ；(II)由 (I)可 设 ( )f x 在 ( )0+， 的 唯 一 零 点 为 0 x ， 根 据 f x 的 正 负 ， 即 可 判 定 函 数 的 图 像 与 性 质 ， 求 出 函 数 的 最 小 值 ， 即 可 证 明 其 最 小 值 不 小 于 22 lna a a+ ， 即 证 明 了 所 证 不 等 式 .答 案 ： (I) ( )f x 的 定 义 域 为 ( )0+， ， ( )2( )=2 0 x af x e xx - .当 0a 时 ， ( ) 0f x ， ( )f x 没 有 零 点 ；当 0a 时
28、 ， 因 为 2xe 单 调 递 增 ， ax- 单 调 递 增 ， 所 以 ( )f x 在 ( )0+， 单 调 递 增 .又 ( ) 0f a ，当 b 满 足 0 4ab 且 14b 时 ， (b) 0f 时 ， ( )f x 存 在 唯 一 零 点 .(II)由 (I)， 可 设 ( )f x 在 ( )0+， 的 唯 一 零 点 为 0 x ， 当 ( )00 x x ， 时 ， ( ) 0f x . 故 ( )f x 在 ( )00 x， 单 调 递 减 ， 在 ( )0 +x ， 单 调 递 增 ， 所 以 当 0 x x= 时 ， ( )f x 取 得 最 小 值 ，最 小
29、值 为 0( )f x . 由 于 02 02 =0 x ae x- ， 所 以 0 00 2 2( )= 2 ln 2 ln2af x ax a a ax a a+ + + .故 当 0a 时 ， 2( ) 2 lnf x a a a + .22.选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， AC 是 O的 切 线 ， BC 交 O于 E. ( )若 D 为 AC 的 中 点 ， 证 明 ： DE是 O 的 切 线 ；( )若 3OA CE ， 求 ACB的 大 小 .解 析 ： ( )连 接 AE 和 OE， 由 三 角 形 和 圆 的 知 识 易 得 O
30、ED=90 ， 可 得 DE 是 O的 切 线 ；( )设 CE=1， AE=x， 由 射 影 定 理 可 得 关 于 x 的 方 程 2 212x x ， 解 方 程 可 得 x 值 ， 可 得所 求 角 度 .答 案 ： ( )连 接 AE， 由 已 知 得 AE BC， AC AB， 在 Rt ABC中 ， 由 已 知 可 得 DE=DC， DEC= DCE，连 接 OE， 则 OBE= OEB，又 ACB+ ABC=90 ， DEC+ OEB=90 ， OED=90 ， DE是 O 的 切 线 .( )设 CE=1， AE=x，由 已 知 得 AB=2 3， BE= 212 x ，由
31、射 影 定 理 可 得 AE 2=CE BE， 2 212x x ， 即 x4+x2-12=0， 解 方 程 可 得 x= 3， ACB=60 . 23. 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 C1： x=-2， 圆 C2： (x-1)2+(y-2)2=1， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .( )求 C1， C2的 极 坐 标 方 程 ；( )若 直 线 C 3的 极 坐 标 方 程 为 = 4 ( R)， 设 C2与 C3的 交 点 为 M， N， 求 C2MN 的 面 积
32、 .解 析 ： ( )由 条 件 根 据 x= cos ， y= sin 求 得 C1， C2的 极 坐 标 方 程 .( )把 直 线 C3的 极 坐 标 方 程 代 入 2-3 2 +4=0， 求 得 1和 2的 值 ， 结 合 圆 的 半 径 可 得C2M C2N， 从 而 求 得 C2MN的 面 积 12 C2M C2N 的 值 .答 案 ： ( )由 于 x= cos ， y= sin ， C 1： x=-2 的 极 坐 标 方 程 为 cos =-2，故 C2： (x-1)2+(y-2)2=1的 极 坐 标 方 程 为 ： ( cos -1)2+( sin -2)2=1， 化 简
33、可 得 2-3 2 +4=0.( )把 直 线 C3的 极 坐 标 方 程 = 4 ( R)代 入 2-3 2 +4=0， 求 得 1=2 2， 2= 2， |MN|= 1- 2= 2， 由 于 圆 C2的 半 径 为 1， C2M C2N， C2MN的 面 积 为 12 C2M C2N=12 .24. 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲已 知 函 数 f(x)=|x+1|-2|x-a|， a0.( )当 a=1时 ， 求 不 等 式 f(x)1 的 解 集 ；( )若 f(x)的 图 像 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 大 于 6， 求 a的 取 值 范 围 .解 析 ： (
34、)当 a=1时 ， 把 原 不 等 式 去 掉 绝 对 值 ， 转 化 为 与 之 等 价 的 三 个 不 等 式 组 ， 分 别 求 得每 个 不 等 式 组 的 解 集 ， 再 取 并 集 ， 即 得 所 求 . ( )化 简 函 数 f(x)的 解 析 式 ， 求 得 它 的 图 象 与 x轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 的 坐 标 ， 从 而求 得 f(x)的 图 象 与 x轴 围 成 的 三 角 形 面 积 ； 再 根 据 f(x)的 图 象 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 大于 6， 从 而 求 得 a 的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )当 a=1
35、时 ， 不 等 式 f(x) 1， 即 |x+1|-2|x-1| 1， 即 ，或 ， 或 . 解 求 得 x ， 解 求 得 23 x 1， 解 求 得 1 x 2.综 上 可 得 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 (23 ， 2).( )函 数 f(x)=|x+1|-2|x-a|= ，由 此 求 得 f(x)的 图 象 与 x轴 的 交 点 A (2 13a ， 0)， B(2a+1， 0)，故 f(x)的 图 象 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 的 第 三 个 顶 点 C(a， a+1)， 由 ABC的 面 积 大 于 6，可 得 12 2a+1-2 13a (a+1) 6， 求 得 a 2. 故 要 求 的 a的 范 围 为 (2， + ).
