1、2013年 甘 肃 省 天 水 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 )1.(4分 )下 列 四 个 数 中 ， 小 于 0 的 数 是 ( )A.-1B.0C.1D.解 析 ： 如 图 所 示 ： -1 在 0 的 左 边 ， -1 0.答 案 ： A.2.(4分 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.a3+a2=2a5B.(-2a3)2=4a6C.(a+b)2=a2+b2D.a 6 a2=a3解 析 ： A、 a3和 a2不 是 同 类 项 不 能 合 并 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 (-2a3)
2、2=4a6， 正 确 ；C、 应 为 (a+b)2=a2+b2+2ab， 故 本 选 项 错 误 ；D、 应 为 a6 a2=a4， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： B.3.(4分 )下 列 图 形 中 ， 中 心 对 称 图 形 有 ( ) A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解 析 ： 第 一 个 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ；第 二 个 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ；第 三 个 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ；第 四 个 图 形 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 共 3个 中 心 对 称 图 形 .答 案 ： C. 4.(4分 )函 数 y1=x 和
3、y2= 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 y1 y2的 x取 值 范 围 是 ( )A.x -1 或 x 1B.x -1 或 0 x 1 C.-1 x 0 或 x 1D.-1 x 0 或 0 x 1解 析 ： 由 图 象 得 ： y1 y2的 x 取 值 范 围 是 -1 x 0 或 x 1.答 案 ： C5.(4分 )如 图 ， 直 线 l1 l2， 则 为 ( ) A.150B.140C.130D.120解 析 ： l1 l2， 130 所 对 应 的 同 旁 内 角 为 1=180 -130 =50 ，又 与 (70 + 1)的 角 是 对 顶 角 ， =70 +50 =120 . 答
4、 案 ： ： D.6.(4分 )一 个 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3和 6， 第 三 边 的 边 长 是 方 程 (x-2)(x-4)=0的 根 ， 则 这个 三 角 形 的 周 长 是 ( )A.11 B.11或 13C.13D.以 上 选 项 都 不 正 确解 析 ： 方 程 (x-2)(x-4)=0， 可 得 x-2=0或 x-4=0， 解 得 ： x=2 或 x=4，当 x=2时 ， 2， 3， 6不 能 构 成 三 角 形 ， 舍 去 ； 则 x=4， 此 时 周 长 为 3+4+6=13.答 案 ： C7.(4分 )一 组 数 据 ： 3， 2， 1， 2， 2 的
5、众 数 ， 中 位 数 ， 方 差 分 别 是 ( )A.2， 1， 0.4B.2， 2， 0.4C.3， 1， 2D.2， 1， 0.2解 析 ： 从 小 到 大 排 列 此 数 据 为 ： 1， 2， 2， 2， 3； 数 据 2出 现 了 三 次 最 多 为 众 数 ， 2处 在 第 3 位 为 中 位 数 .平 均 数 为 (3+2+1+2+2) 5=2， 方 差 为 (3-2)2+3 (2-2)2+(1-2)2=0.4， 即 中位 数 是 2， 众 数 是 2， 方 差 为 0.4.答 案 ： B.8.(4分 )从 一 块 正 方 形 的 木 板 上 锯 掉 2m宽 的 长 方 形
6、木 条 ， 剩 下 的 面 积 是 48m2， 则 原 来 这 块木 板 的 面 积 是 ( )A.100m 2B.64m2C.121m2D.144m2解 析 ： 设 原 来 正 方 形 木 板 的 边 长 为 xm.由 题 意 ， 可 知 x(x-2)=48，解 得 x1=8， x2=-6(不 合 题 意 ， 舍 去 ).所 以 8 8=64.答 案 ： B.9.(4分 )如 图 ， 已 知 O 的 半 径 为 1， 锐 角 ABC内 接 于 O， BD AC 于 点 D， OM AB于 点 M，则 sin CBD的 值 等 于 ( ) A.OM的 长B.2OM的 长C.CD的 长D.2CD
7、的 长解 析 ： 连 接 AO 并 延 长 交 圆 于 点 E， 连 接 BE.则 C= E， 由 AE 为 直 径 ， 且 BD AC， 得 到 BDC= ABE=90 ，所 以 ABE和 BCD 都 是 直 角 三 角 形 ， 所 以 CBD= EAB.又 OAM是 直 角 三 角 形 ， AO=1， sin CBD=sin EAB= =OM， 即 sin CBD的 值 等 于 OM的 长 .答 案 ： A.10.(4分 )如 图 ， 已 知 等 边 三 角 形 ABC的 边 长 为 2， E、 F、 G 分 别 是 边 AB、 BC、 CA的 点 ， 且AE=BF=CG， 设 EFG的
8、面 积 为 y， AE的 长 为 x， 则 y 与 x 的 函 数 图 象 大 致 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： AE=BF=CG， 且 等 边 ABC的 边 长 为 2， BE=CF=AG=2-x； AEG BEF CFG.在 AEG中 ， AE=x， AG=2-x， S AEG= AE AG sinA= x(2-x)； y=S ABC-3S AEG= -3 x(2-x)= ( x2- x+1). 其 图 象 为 二 次 函 数 ， 且 开 口 向 上 .答 案 ： C. 二 、 填 空 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32分 )11.(4分 )
9、已 知 点 M(3， -2)， 将 它 先 向 左 平 移 4 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 3 个 单 位 后 得 到 点 N，则 点 N的 坐 标 是 .解 析 ： 原 来 点 的 横 坐 标 是 3， 纵 坐 标 是 -2， 向 左 平 移 4 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 3 个 单 位 得 到 新点 的 横 坐 标 是 3-4=-1， 纵 坐 标 为 -2+3=1.则 点 N的 坐 标 是 (-1， 1).答 案 ： (-1， 1).12.(4分 )从 1 至 9 这 9 个 自 然 数 中 任 取 一 个 数 ， 使 它 既 是 2 的 倍 数 又 是 3 的 倍 数
10、的 概 率是 .解 析 ： 既 是 2 的 倍 数 ， 又 是 3 的 倍 数 只 有 6 一 个 ， P(既 是 2 的 倍 数 ， 又 是 3 的 倍 数 )= . 答 案 ： .13.(4分 )已 知 分 式 的 值 为 零 ， 那 么 x 的 值 是 .解 析 ： 根 据 题 意 ， 得 x2-1=0且 x+1 0， 解 得 x=1.答 案 ： 1.14.(4分 )如 图 所 示 ， 在 梯 形 ABCD中 ， AD BC， 对 角 线 AC BD， 且 AC=12， BD=5， 则 这 个 梯形 中 位 线 的 长 等 于 . 解 析 ： 作 DE AC， 交 BC的 延 长 线 于
11、 E，则 四 边 形 ACED 为 平 行 四 边 形 ， AD=CE. AC BD， BDE=90 ， 梯 形 的 中 位 线 长 = (AD+BC)= (CE+BC)= BE， BE= = =13， 梯 形 的 中 位 线 长 = 13=6.5.答 案 ： 6.5. 15.(4分 )有 两 块 面 积 相 同 的 小 麦 试 验 田 ， 分 别 收 获 小 麦 9000kg和 15000kg.已 知 第 一 块 试 验田 每 公 顷 的 产 量 比 第 二 块 少 3000kg， 若 设 第 一 块 试 验 田 每 公 顷 的 产 量 为 xkg， 根 据 题 意 ， 可得 方 程 .解
12、析 ： 第 一 块 试 验 田 的 面 积 为 ： ， 第 二 块 试 验 田 的 面 积 为 ： .方 程 应 该 为 ：.16.(4分 )已 知 O 1的 半 径 为 3， O2的 半 径 为 r， O1与 O2只 能 画 出 两 条 不 同 的 公 共 切 线 ，且 O1O2=5， 则 O2的 半 径 为 r 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： O1与 O2只 能 画 出 两 条 不 同 的 公 共 切 线 ， 两 圆 的 位 置 关 系 为 相 交 ， O1的 半 径 为 3， O2的 半 径 为 r， O1O2=5， r-3 5 r+3 解 得 ： 2 r 8.答 案 ： 2 r
13、8.17.(4分 )如 图 所 示 ， 在 ABC中 ， BC=4， 以 点 A为 圆 心 ， 2 为 半 径 的 A 与 BC 相 切 于 点 D，交 AB 于 点 E， 交 AC于 点 F， 且 EAF=80 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 . 解 析 ： 连 结 AD， 如 图 ， A与 BC相 切 于 点 D， AD BC， S ABC= AD BC， S 阴 影 部 分 =S ABC-S 扇 形 AEF= 2 4- =4- .答 案 ： 4- .18.(4分 )观 察 下 列 运 算 过 程 ： S=1+3+3 2+33+ +32012+32013 ， 3得 3S=3
14、+32+33+ +32013+32014 ， - 得 2S=32014-1， S= .运 用 上 面 计 算 方 法 计 算 ： 1+5+52+53+ +52013= . 解 析 ： 设 S=1+5+52+53+ +52013 ，则 5S=5+52+53+54 +52014 ， - 得 ： 4S=52014-1， 所 以 S= .答 案 ： .三 、 解 答 题 (共 78 分 )19.(10分 ) .解 不 等 式 组 ， 并 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 . .计 算 ： ( -3)0+ -2sin45 -( )-1.解 析 ： I、 求 出 每 个 不 等 式 的 解 集
15、， 找 出 不 等 式 组 的 解 集 即 可 ；II、 求 出 每 一 部 分 的 值 ， 代 入 后 求 出 即 可 .答 案 ： I、 ， 解 不 等 式 得 ： x 1， 解 不 等 式 得 ： x 5， 不 等 式 组 的 解 集 为 x 5，在 数 轴 上 表 示 不 等 式 组 的 解 集 为 ： .II、 原 式 =1+3 -2 -8=1+3 - -8=-7+2 . 20.(9分 )如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC， BD 交 于 点 E， BAC=90 ， CED=45 ， DCE=30 ， DE= ， BE=2 .求 CD的 长 和 四 边 形
16、ABCD的 面 积 .解 析 ： 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 出 EH=DH=1， 进 而 得 出 再 利 用 直 角 三 角 形 中 30 所 对 边等 于 斜 边 的 一 半 得 出 CD的 长 ， 求 出 AC， AB 的 长 即 可 得 出 四 边 形 ABCD的 面 积 .答 案 ： 过 点 D 作 DH AC， CED=45 ， DH EC， DE= ， EH=DH， EH2+DH2=ED2， EH2=1， EH=DH=1，又 DCE=30 ， DC=2， HC= ， AEB=45 ， BAC=90 ， BE=2 ， AB=AE=2， AC=2+1+ =3+
17、 ， S 四 边 形 ABCD= 2 (3+ )+ 1 (3+ )= .21.(9分 )某 班 同 学 分 三 组 进 行 数 学 活 动 ， 对 七 年 级 400名 同 学 最 喜 欢 喝 的 饮 料 情 况 ， 八 年级 300名 同 学 零 花 钱 的 最 主 要 用 途 情 况 ， 九 年 级 300名 同 学 完 成 家 庭 作 业 时 间 情 况 进 行 了 全面 调 查 ， 并 分 别 用 扇 形 图 、 频 数 分 布 直 方 图 、 表 格 来 描 述 整 理 得 到 的 数 据 . 根 据 以 上 信 息 ， 请 回 答 下 列 问 题 ：(1)七 年 级 400 名 同
18、 学 中 最 喜 欢 喝 “ 冰 红 茶 ” 的 人 数 是 多 少 ；(2)补 全 八 年 级 300 名 同 学 中 零 花 钱 的 最 主 要 用 途 情 况 频 数 分 布 直 方 图 ；(3)九 年 级 300 名 同 学 中 完 成 家 庭 作 业 的 平 均 时 间 大 约 是 多 少 小 时 ？ (结 果 保 留 一 位 小 数 )解 析 ： (1)先 求 出 喝 红 茶 的 百 分 比 ， 再 乘 总 数 .(2)先 让 总 数 减 其 它 三 种 人 数 ， 再 根 据 数 值 画 直 方 图 .(3)用 加 权 平 均 公 式 求 即 可 .答 案 ： (1)冰 红 茶
19、的 百 分 比 为 1-25%-25%-10%=40%， 冰 红 茶 的 人 数 为 400 40%=160(人 )，即 七 年 级 同 学 最 喜 欢 喝 “ 冰 红 茶 ” 的 人 数 是 160人 ；(2)补 全 频 数 分 布 直 方 图 如 图 所 示 . (3) (小 时 ).答 ： 九 年 级 300名 同 学 完 成 家 庭 作 业 的 平 均 时 间 约 为 1.8小 时 .22.(8分 )如 图 所 示 ， 在 天 水 至 宝 鸡 (天 宝 )高 速 公 路 建 设 中 需 要 确 定 某 条 隧 道 AB 的 长 度 ， 已知 在 离 地 面 2700米 高 度 C 处
20、的 飞 机 上 ， 测 量 人 员 测 得 正 前 方 AB 两 点 处 的 俯 角 分 别 是 60和 30 ， 求 隧 道 AB的 长 .(结 果 保 留 根 号 ) 解 析 ： 易 得 CAO=60 ， CBO=30 ， 利 用 相 应 的 正 切 值 可 得 AO， BO的 长 ， 相 减 即 可 得 到AB的 长 .答 案 ： 由 题 意 得 CAO=60 ， CBO=30 ， OA=2700 tan30 =2700 =900 m， OB=2700 tan60 =2700 m， AB=2700 -900 =1800 (m).答 ： 隧 道 AB 的 长 为 1800 m.23.(8分
21、 )如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 函 数 y= (x 0)的 图 象 与 一 次 函 数 y=kx-k的 图 象的 交 点 为 A(m， 2). (1)求 一 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)设 一 次 函 数 y=kx-k 的 图 象 与 y轴 交 于 点 B， 若 点 P 是 x 轴 上 一 点 ， 且 满 足 PAB 的 面 积是 4， 直 接 写 出 P 点 的 坐 标 .解 析 ： (1)将 A 点 坐 标 代 入 y= (x 0)， 求 出 m 的 值 为 2， 再 将 (2， 2)代 入 y=kx-k， 求 出 k的 值 ， 即 可 得 到 一 次 函
22、 数 的 解 析 式 ；(2)将 三 角 形 以 x 轴 为 分 界 线 ， 分 为 两 个 三 角 形 计 算 ， 再 把 它 们 相 加 .答 案 ： (1)将 A(m， 2)代 入 y= (x 0)得 ， m=2， 则 A 点 坐 标 为 A(2， 2)，将 A(2， 2)代 入 y=kx-k 得 ， 2k-k=2， 解 得 k=2， 则 一 次 函 数 解 析 式 为 y=2x-2；(2) 一 次 函 数 y=2x-2 与 x 轴 的 交 点 为 C(1， 0)， 与 y 轴 的 交 点 为 (0， -2)， S ABP=S ACP+S BPC， 2CP+ 2CP=4， 解 得 CP=
23、2，则 P 点 坐 标 为 (3， 0)， (-1， 0).24.(10分 )某 工 程 机 械 厂 根 据 市 场 需 求 ， 计 划 生 产 A、 B 两 种 型 号 的 大 型 挖 掘 机 共 100台 ，该 厂 所 筹 生 产 资 金 不 少 于 22400 万 元 ， 但 不 超 过 22500万 元 ， 且 所 筹 资 金 全 部 用 于 生 产 此 两种 型 号 挖 掘 机 ， 所 生 产 的 此 两 种 型 号 挖 掘 机 可 全 部 售 出 ， 此 两 型 挖 掘 机 的 生 产 成 本 和 售 价 如下 表 ：(1)该 厂 对 这 两 型 挖 掘 机 有 哪 几 种 生 产
24、 方 案 ？ (2)该 厂 如 何 生 产 能 获 得 最 大 利 润 ？(3)根 据 市 场 调 查 ， 每 台 B 型 挖 掘 机 的 售 价 不 会 改 变 ， 每 台 A 型 挖 掘 机 的 售 价 将 会 提 高 m 万元 (m 0)， 该 厂 应 该 如 何 生 产 获 得 最 大 利 润 ？ (注 ： 利 润 =售 价 -成 本 )解 析 ： (1)在 题 目 中 ， 每 种 型 号 的 成 本 及 总 成 本 的 上 限 和 下 限 都 已 知 ， 所 以 设 生 产 A 型 挖 掘机 x 台 ， 则 B 型 挖 掘 机 (100-x)台 的 情 况 下 ， 可 列 不 等 式
25、 22400 200 x+240(100-x) 22500，解 不 等 式 ， 取 其 整 数 值 即 可 求 解 ；(2)在 知 道 生 产 方 案 以 及 每 种 利 润 情 况 下 可 列 函 数 解 析 式 W=50 x+60(100-x)=6000-10 x， 利 用函 数 的 自 变 量 取 值 范 围 和 其 单 调 性 即 可 求 得 函 数 的 最 值 ；(3)结 合 (2)得 W=(50+m)x+60(100-x)=6000+(m-10)x， 在 此 ， 必 须 把 (m-10)正 负 性 考 虑 清 楚 ，即 m 10， m=10， m 10三 种 情 况 ， 最 终 才
26、 能 得 出 结 论 .即 怎 样 安 排 ， 完 全 取 决 于 m 的 大 小 .答 案 ： (1)设 生 产 A型 挖 掘 机 x 台 ， 则 B 型 挖 掘 机 (100-x)台 ，由 题 意 得 22400 200 x+240(100-x) 22500， 解 得 37.5 x 40. x 取 非 负 整 数 ， x 为 38， 39， 40. 有 三 种 生 产 方 案 A 型 38 台 ， B型 62台 ； A 型 39 台 ， B型 61台 ； A 型 40 台 ， B型 60台 .答 ： 有 三 种 生 产 方 案 ， 分 别 是 A 型 38台 ， B型 62台 ； A 型
27、39 台 ， B 型 61 台 ； A 型 40台 ， B型 60 台 .(2)设 获 得 利 润 W(万 元 )， 由 题 意 得 W=50 x+60(100-x)=6000-10 x， 当 x=38 时 ， W 最 大 =5620(万 元 )，答 ： 生 产 A型 38台 ， B 型 62台 时 ， 获 得 最 大 利 润 .(3)由 题 意 得 W=(50+m)x+60(100-x)=6000+(m-10)x当 0 m 10， 则 x=38时 ， W 最 大 ， 即 生 产 A 型 38 台 ， B型 62台 ； 当 m=10时 ， m-10=0则 三 种 生 产 方 案 获 得 利 润
28、 相 等 ；当 m 10， 则 x=40时 ， W最 大 ， 即 生 产 A 型 40 台 ， B型 60台 .答 ： 当 0 m 10 时 ， 生 产 A型 38台 ， B型 62台 获 利 最 大 ； 当 m=10 时 ， 3 种 方 案 获 利 一 样 ；当 m 10 时 ， 生 产 A 型 40 台 ， B型 60台 获 利 最 大 .25.(12分 )如 图 1， 已 知 抛 物 线 y=ax2+bx(a 0)经 过 A(3， 0)、 B(4， 4)两 点 . (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)将 直 线 OB 向 下 平 移 m个 单 位 长 度 后 ， 得 到 的 直
29、 线 与 抛 物 线 只 有 一 个 公 共 点 D， 求 m 的 值及 点 D的 坐 标 ；(3)如 图 2， 若 点 N 在 抛 物 线 上 ， 且 NBO= ABO， 则 在 (2)的 条 件 下 ， 求 出 所 有 满 足 POD NOB的 点 P坐 标 (点 P、 O、 D分 别 与 点 N、 O、 B对 应 ).解 析 ： (1)利 用 待 定 系 数 法 求 出 二 次 函 数 解 析 式 即 可 ；(2)根 据 已 知 条 件 可 求 出 OB的 解 析 式 为 y=x， 则 向 下 平 移 m个 单 位 长 度 后 的 解 析 式 为 ： y=x-m.由 于 抛 物 线 与
30、直 线 只 有 一 个 公 共 点 ， 意 味 着 联 立 解 析 式 后 得 到 的 一 元 二 次 方 程 ， 其 根 的 判 别式 等 于 0， 由 此 可 求 出 m的 值 和 D点 坐 标 ；(3)综 合 利 用 几 何 变 换 和 相 似 关 系 求 解 .方 法 一 ： 翻 折 变 换 ， 将 NOB沿 x轴 翻 折 ；方 法 二 ： 旋 转 变 换 ， 将 NOB绕 原 点 顺 时 针 旋 转 90 .特 别 注 意 求 出 P 点 坐 标 之 后 ， 该 点 关 于 直 线 y=-x 的 对 称 点 也 满 足 题 意 ， 即 满 足 题 意 的 P 点 有 两 个 ， 避
31、免 漏 解 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=ax2+bx(a 0)经 过 A(3， 0)、 B(4， 4) 将 A与 B两 点 坐 标 代 入 得 ： ， 解 得 ： ， 抛 物 线 的 解 析 式 是 y=x2-3x.(2)设 直 线 OB 的 解 析 式 为 y=k1x， 由 点 B(4， 4)， 得 ： 4=4k1， 解 得 ： k1=1 直 线 OB 的 解 析 式 为 y=x， 直 线 OB向 下 平 移 m 个 单 位 长 度 后 的 解 析 式 为 ： y=x-m， 点 D在 抛 物 线 y=x 2-3x上 ， 可 设 D(x， x2-3x)，又 点 D 在 直 线 y=x
32、-m 上 ， x2-3x=x-m， 即 x2-4x+m=0， 抛 物 线 与 直 线 只 有 一 个 公 共 点 ， =16-4m=0， 解 得 ： m=4，此 时 x1=x2=2， y=x2-3x=-2， D 点 的 坐 标 为 (2， -2).(3) 直 线 OB 的 解 析 式 为 y=x， 且 A(3， 0)， 点 A关 于 直 线 OB 的 对 称 点 A 的 坐 标 是 (0， 3)， 根 据 轴 对 称 性 质 和 三 线 合 一 性 质 得 出 A BO= ABO，设 直 线 A B 的 解 析 式 为 y=k2x+3， 过 点 (4， 4)， 4k2+3=4， 解 得 ： k
33、2= ， 直 线 A B 的 解 析 式 是 y= ， NBO= ABO， A BO= ABO， BA 和 BN 重 合 ， 即 点 N 在 直 线 A B 上 ， 设 点 N(n， )， 又 点 N在 抛 物 线 y=x2-3x上 ， =n2-3n，解 得 ： n 1=- ， n2=4(不 合 题 意 ， 舍 去 ) N点 的 坐 标 为 (- ， ).方 法 一 ：如 图 1， 将 NOB沿 x 轴 翻 折 ， 得 到 N1OB1， 则 N1( ， )， B1(4， -4)， O、 D、 B1都 在 直 线 y=-x上 . P1OD NOB， NOB N1OB1， P1OD N1OB1，
34、， 点 P1的 坐 标 为 ( ， ).将 OP 1D 沿 直 线 y=-x翻 折 ， 可 得 另 一 个 满 足 条 件 的 点 P2( ， )，综 上 所 述 ， 点 P的 坐 标 是 ( ， )或 ( ， ).方 法 二 ：如 图 2， 将 NOB绕 原 点 顺 时 针 旋 转 90 ， 得 到 N2OB2， 则 N2( ， )， B2(4， -4)， O、 D、 B1都 在 直 线 y=-x上 . P1OD NOB， NOB N2OB2， P1OD N2OB2， ， 点 P1的 坐 标 为 ( ， ).将 OP 1D 沿 直 线 y=-x翻 折 ， 可 得 另 一 个 满 足 条 件
35、的 点 P2( ， )，综 上 所 述 ， 点 P的 坐 标 是 ( ， )或 ( ， ).26.(12分 )如 图 1， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 AOB是 等 边 三 角 形 ， 点 A 的 坐 标 是 (0， 4)，点 B 在 第 一 象 限 ， 点 P 是 x 轴 上 的 一 个 动 点 ， 连 接 AP， 并 把 AOP绕 着 点 A 按 逆 时 针 方 向 旋转 ， 使 边 AO与 AB 重 合 ， 得 到 ABD. (1)求 直 线 AB 的 解 析 式 ；(2)当 点 P 运 动 到 点 ( ， 0)时 ， 求 此 时 DP 的 长 及 点 D 的 坐 标
36、 ；(3)是 否 存 在 点 P， 使 OPD的 面 积 等 于 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 符 合 条 件 的 点 P 的 坐 标 ； 若 不存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)过 点 B 作 BE y 轴 于 点 E， 作 BF x 轴 于 点 F.依 题 意 得 BF=OE=2， 利 用 勾 股 定 理求 出 OF， 然 后 可 得 点 B 的 坐 标 .设 直 线 AB 的 解 析 式 是 y=kx+b， 把 已 知 坐 标 代 入 可 求 解 . (2)由 ABD由 AOP旋 转 得 到 ， 证 明 ABD AOP.AP=AD， DAB= PAO， DAP= BA
37、O=60 ， ADP是 等 边 三 角 形 .利 用 勾 股 定 理 求 出 DP.在 Rt BDG中 ， BGD=90 ， DBG=60 .利 用三 角 函 数 求 出 BG=BD cos60 ， DG=BD sin60 .然 后 求 出 OH， DH， 然 后 求 出 点 D 的 坐 标 .(3)本 题 分 三 种 情 况 进 行 讨 论 ， 设 点 P 的 坐 标 为 (t， 0)： 当 P在 x轴 正 半 轴 上 时 ， 即 t 0时 ， 关 键 是 求 出 D 点 的 纵 坐 标 ， 方 法 同 (2)， 在 直 角 三 角形 DBG中 ， 可 根 据 BD即 OP 的 长 和 DB
38、G的 正 弦 函 数 求 出 DG 的 表 达 式 ， 即 可 求 出 DH的 长 ，根 据 已 知 的 OPD的 面 积 可 列 出 一 个 关 于 t的 方 程 ， 即 可 求 出 t 的 值 . 当 P在 x轴 负 半 轴 ， 但 D 在 x 轴 上 方 时 .即 t 0 时 ， 方 法 同 类 似 ， 也 是 在 直角 三 角 形 DBG用 BD 的 长 表 示 出 DG， 进 而 求 出 GF的 长 ， 然 后 同 . 当 P在 x轴 负 半 轴 ， D在 x轴 下 方 时 ， 即 t 时 ， 方 法 同 .综 合 上 面 三 种 情 况 即 可 求 出 符 合 条 件 的 t 的
39、值 . 答 案 ： (1)如 图 1， 过 点 B作 BE y轴 于 点 E， 作 BF x 轴 于 点 F.由 已 知 得 ： BF=OE=2， OF= = ， 点 B 的 坐 标 是 ( ， 2)设 直 线 AB 的 解 析 式 是 y=kx+b(k 0)， 则 有 .解 得 . 直 线 AB 的 解 析 式 是 y= x+4；(2)如 图 2， ABD由 AOP旋 转 得 到 ， ABD AOP， AP=AD， DAB= PAO， DAP= BAO=60 ， ADP是 等 边 三 角 形 ， DP=AP= . 如 图 2， 过 点 D作 DH x轴 于 点 H， 延 长 EB交 DH于
40、点 G， 则 BG DH.方 法 (一 )在 Rt BDG中 ， BGD=90 ， DBG=60 . BG=BD cos60 = = .DG=BD sin60 = = . OH=EG= ， DH= 点 D 的 坐 标 为 ( ， )方 法 (二 )易 得 AEB= BGD=90 ， ABE= BDG， ABE BDG， ； 而 AE=2， BD=OP= ， BE=2 ， AB=4，则 有 ， 解 得 BG= ， DG= ； OH= ， DH= ； 点 D的 坐 标 为 ( ， ).(3)假 设 存 在 点 P， 在 它 的 运 动 过 程 中 ， 使 OPD的 面 积 等 于 .设 点 P为
41、(t， 0)， 下 面 分 三 种 情 况 讨 论 ： 当 t 0 时 ， 如 图 ， BD=OP=t， DG= t， DH=2+ t. OPD的 面 积 等 于 ， ，解 得 ， (舍 去 )， 点 P1的 坐 标 为 ( ， 0). 当 D 在 y 轴 上 时 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出 BD= =OP， 当 t 0 时 ， 如 图 ， BD=OP=-t， DG=- t， GH=BF=2-(- t)=2+ t. OPD的 面 积 等 于 ， ， 解 得 ， ， 点 P 2的 坐 标 为 ( ， 0)， 点 P3的 坐 标 为 ( ， 0). 当 t 时 ， 如 图 3， BD=OP=-t， DG=- t， DH=- t-2. OPD的 面 积 等 于 ， (-t)-(2+ t)= ，解 得 (舍 去 )， ， 点 P4的 坐 标 为 ( ， 0)， 综 上 所 述 ， 点 P的 坐 标 分 别 为 P1( ， 0)、 P2( ， 0)、 P3( ， 0)、P4( ， 0).
