1、2013年 辽 宁 省 大 连 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 题 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个选 项 正 确 )1.(3分 )-2的 相 反 数 是 ( )A.-2B.-C.D.2解 析 ： -2 的 相 反 数 是 2.答 案 ： D. 2.(3分 )如 图 所 示 的 几 何 体 是 由 四 个 完 全 相 同 的 正 方 体 组 成 的 ， 这 个 几 何 体 的 俯 视 图 是( )A.B. C.D.解 析 ： 从 上 面 看 易 得 三 个 横 向 排 列 的 正 方
2、形 .答 案 ： A.3.(3分 )计 算 (x 2)3的 结 果 是 ( )A.xB.3x2C.x5D.x6解 析 ： (x2)3=x6，答 案 ： D. 4.(3分 )一 个 不 透 明 的 袋 子 中 有 3个 红 球 和 2 个 黄 球 ， 这 些 球 除 颜 色 外 完 全 相 同 .从 袋 子 中随 机 摸 出 一 个 球 ， 它 是 黄 球 的 概 率 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 袋 子 中 球 的 总 数 为 ： 2+3=5， 取 到 黄 球 的 概 率 为 ： .答 案 ： B. 5.(3分 )如 图 ， 点 O在 直 线 AB上 ， 射 线 OC平 分 DOB.若
3、 COB=35 ， 则 AOD 等 于 ( )A.35B.70C.110D.145解 析 ： 射 线 OC平 分 DOB. BOD=2 BOC， COB=35 ， DOB=70 ， AOD=180 -70 =110 ， 答 案 ： C.6.(3分 )若 关 于 x 的 方 程 x2-4x+m=0没 有 实 数 根 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ( )A.m -4B.m -4C.m 4D.m 4解 析 ： =(-4) 2-4m=16-4m 0， m 4.答 案 ： D7.(3分 )在 一 次 “ 爱 心 互 助 ” 捐 款 活 动 中 ， 某 班 第 一 小 组 8名 同 学 捐
4、款 的 金 额 (单 位 ： 元 )如下 表 所 示 ：这 8 名 同 学 捐 款 的 平 均 金 额 为 ( ) A.3.5元B.6 元C.6.5元D.7 元解 析 ： 根 据 题 意 得 ： (5 2+6 3+7 2+10 1) 8=6.5(元 )；答 案 ： C.8.(3分 )P 是 AOB内 一 点 ， 分 别 作 点 P关 于 直 线 OA、 OB的 对 称 点 P 1、 P2， 连 接 OP1、 OP2，则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )A.OP1 OP2B.OP1=OP2C.OP1 OP2且 OP1=OP2D.OP1 OP2解 析 ： 如 图 ， 点 P关 于 直 线 O
5、A、 OB 的 对 称 点 P1、 P2， OP1=OP2=OP， AOP= AOP1， BOP= BOP2， P1OP2= AOP+ AOP1+ BOP+ BOP2=2( AOP+ BOP)=2 AOB， AOB度 数 任 意 ， OP1 OP2不 一 定 成 立 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 题 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分 )9.(3分 )因 式 分 解 ： x 2+x= .解 析 ： x2+x=x(x+1).答 案 ： x(x+1)10.(3分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 (2， -4)在 第 象 限 .解 析 ： 点 (2， -4
6、)在 第 四 象 限 .答 案 ： 四 .11.(3分 )把 16000 000用 科 学 记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 将 16 000 000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 1.6 10 7.答 案 ： 1.6 107.12.(3分 )某 林 业 部 门 统 计 某 种 幼 树 在 一 定 条 件 下 的 移 植 成 活 率 ， 结 果 如 下 表 所 示 ： 根 据 表 中 数 据 ， 估 计 这 种 幼 树 移 植 成 活 率 的 概 率 为 (精 确 到 0.1).解 析 ： =(0.923+0.883+0.890+0.915+0.905+0.897+0.902) 7
7、 0.9， 这 种 幼 树 移 植 成 活 率 的 概 率 约 为 0.9.答 案 ： 0.9.13.(3分 )化 简 ： x+1- = .解 析 ： 原 式 = - = = .答 案 ： . 14.(3分 )用 一 个 圆 心 角 为 90 半 径 为 32cm的 扇 形 作 为 一 个 圆 锥 的 侧 面 (接 缝 处 不 重 叠 )， 则这 个 圆 锥 的 底 面 圆 的 半 径 为 cm.解 析 ： =16 ，圆 锥 的 底 面 周 长 等 于 侧 面 展 开 图 的 扇 形 弧 长 ， 圆 锥 的 底 面 周 长 是 16 cm，设 圆 锥 的 底 面 半 径 是 r， 则 得 到
8、2 r=16 ， 解 得 ： r=8(cm).答 案 ： 8.15.(3分 )如 图 ， 为 了 测 量 河 的 宽 度 AB， 测 量 人 员 在 高 21m的 建 筑 物 CD的 顶 端 D 处 测 得 河 岸B处 的 俯 角 为 45 ， 测 得 河 对 岸 A处 的 俯 角 为 30 (A、 B、 C在 同 一 条 直 线 上 )， 则 河 的 宽 度AB约 为 m(精 确 到 0.1m).(参 考 数 据 ： 1.41， ， 1.73) 解 析 ： 在 Rt ACD中 ， CD=21m， DAC=30 ， 则 AC= CD 36.3m；在 Rt BCD中 ， DBC=45 ， 则 B
9、C=CD=21m， 故 AB=AC-BC=15.3m.答 案 ： 15.3.16.(3分 )如 图 ， 抛 物 线 y=x2+bx+ 与 y轴 相 交 于 点 A， 与 过 点 A 平 行 于 x 轴 的 直 线 相 交 于 点B(点 B在 第 一 象 限 ).抛 物 线 的 顶 点 C 在 直 线 OB 上 ， 对 称 轴 与 x 轴 相 交 于 点 D.平 移 抛 物 线 ，使 其 经 过 点 A、 D， 则 平 移 后 的 抛 物 线 的 解 析 式 为 . 解 析 ： 令 x=0， 则 y= ， 点 A(0， )，根 据 题 意 ， 点 A、 B 关 于 对 称 轴 对 称 ， 顶 点
10、 C 的 纵 坐 标 为 = ， 即 = ， 解 得 b1=3， b2=-3，由 图 可 知 ， - 0， b 0， b=-3， 对 称 轴 为 直 线 x=- = ， 点 D 的 坐 标 为 ( ，0)，设 平 移 后 的 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=x 2+mx+n， 则 ， 解 得 ， 所 以 ，y=x2- x+ .答 案 ： y=x2- x+ .三 、 解 答 题 (本 题 共 4 小 题 ， 其 中 17、 18、 19题 各 9 分 ， 20 题 12 分 ， 共 39分 )17.(9分 )计 算 ： ( ) -1+(1+ )(1- )- .解 析 ： 分 别 进 行 负
11、整 数 指 数 幂 、 平 方 差 公 式 、 二 次 根 式 的 化 简 等 运 算 ， 然 后 合 并 即 可 .答 案 ： 原 式 =5+1-3-2 =3-2 .18.(9分 )解 不 等 式 组 ： .解 析 ： 先 分 别 求 出 各 不 等 式 的 解 集 ， 再 求 其 公 共 解 集 即 可 .答 案 ： 解 不 等 式 得 ： x 2，解 不 等 式 得 ： x 4，在 数 轴 上 分 别 表 示 的 解 集 如 下 . 不 等 式 的 解 集 为 ： x 4. 19.(9分 )如 图 ， ABCD 中 ， 点 E、 F 分 别 在 AD、 BC 上 ， 且 AE=CF.求
12、证 ： BE=DF.解 析 ： 根 据 平 行 四 边 形 性 质 得 出 AD BC， AD=BC， 求 出 DE=BF， DE BF， 得 出 四 边 形 DEBF是 平 行 四 边 形 ， 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 推 出 即 可 .答 案 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AD BC， AD=BC， AE=CF， DE=BF， DE BF， 四 边 形 DEBF 是 平 行 四 边 形 ， BE=DF.20.(12分 )以 下 是 根 据 2012年 大 连 市 环 境 状 况 公 报 中 有 关 海 水 浴 场 环 境 质 量 和 市 区 空 气 质
13、量 级 别 的 数 据 制 作 的 统 计 图 表 的 一 部 分 (2012年 共 366天 ). 根 据 以 上 信 息 ， 答 案 下 列 问 题 ：(1)2012年 7 月 至 9月 被 监 测 的 8个 海 水 浴 场 环 境 质 量 最 好 的 是 (填 浴 场 名 称 )， 海 水 浴场 环 境 质 量 为 优 的 数 据 的 众 数 为 %， 海 水 浴 场 环 境 质 量 为 良 的 数 据 的 中 位 数 为 %；(2)2012年 大 连 市 区 空 气 质 量 达 到 优 的 天 数 为 天 ， 占 全 年 (366)天 的 百 分 比 约 为 (精确 到 0.1%)；(
14、3)求 2012年 大 连 市 区 空 气 质 量 为 良 的 天 数 (按 四 舍 五 入 ， 精 确 到 个 位 ). 解 析 ： (1)根 据 优 所 占 的 百 分 比 越 大 ， 良 的 百 分 比 越 小 ， 即 可 得 出 8 个 海 水 浴 场 环 境 质 量 最好 的 浴 场 ； 再 根 据 众 数 的 定 义 和 中 位 数 的 定 义 即 可 得 出 答 案 ； 众 数 是 一 组 数 据 中 出 现 次 数 最多 的 数 ； 中 位 数 是 中 位 数 是 将 一 组 数 据 从 小 到 大 (或 从 大 到 小 )重 新 排 列 后 ， 最 中 间 的 那 个 数(或
15、 最 中 间 两 个 数 的 平 均 数 ).(2)根 据 图 形 所 给 的 数 可 直 接 得 出 2012年 大 连 市 区 空 气 质 量 达 到 优 的 天 数 ， 总 用 得 出 的 天 数除 以 366， 即 可 得 出 所 占 的 百 分 比 ；(3)根 据 污 染 的 天 数 所 占 的 百 分 比 求 出 污 染 的 天 数 ， 再 用 总 天 数 减 去 优 的 天 数 和 污 染 的 天 数 ，即 可 得 出 良 的 天 数 .答 案 ： (1)2012年 7月 至 9 月 被 监 测 的 8 个 海 水 浴 场 环 境 质 量 最 好 的 是 浴 场 5，海 水 浴
16、场 环 境 质 量 为 优 的 数 据 30 出 现 了 3 次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ，则 海 水 浴 场 环 境 质 量 为 优 的 数 据 的 众 数 为 30；把 海 水 浴 场 环 境 质 量 为 良 的 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： 50， 50， 60， 70， 70， 70， 75， 90，海 水 浴 场 环 境 质 量 为 良 的 数 据 的 中 位 数 为 (70+70) 2=70； 故 答 案 为 ： 浴 场 5， 30， 70；(2)从 条 形 图 中 可 以 看 出 2012年 大 连 市 区 空 气 质 量 达 到 优 的 天 数 为 129天
17、，所 占 的 百 分 比 是 100%=35.2%；故 答 案 为 ： 129， 35.2%；(3)污 染 的 天 数 是 ： 366 3.8% 14(天 )，良 的 天 数 是 366-129-14=223(天 )，答 ： 2012年 大 连 市 区 空 气 质 量 为 良 的 天 数 是 223天 .21.(9分 )某 超 市 购 进 A、 B 两 种 糖 果 ， A 种 糖 果 用 了 480 元 ， B种 糖 果 用 了 1260元 ， A、 B两 种 糖 果 的 重 量 比 是 1： 3， A 种 糖 果 每 千 克 的 进 价 比 B 种 糖 果 每 千 克 的 进 价 多 2 元
18、 .A、 B 两种 糖 果 各 购 进 多 少 千 克 ？ 解 析 ： 先 设 A 种 糖 果 购 进 x 千 克 ， 则 B种 糖 果 购 进 3x千 克 ， 根 据 A、 B 两 种 糖 果 的 重 量 比 是1： 3， A种 糖 果 每 千 克 的 进 价 比 B种 糖 果 每 千 克 的 进 价 多 2元 ， 列 出 不 等 式 ， 求 出 x的 值 ，再 进 行 检 验 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： 设 A种 糖 果 购 进 x千 克 ， 则 B 种 糖 果 购 进 3x 千 克 ， 根 据 题 意 得 ： - =2，解 得 ： x=30， 经 检 验 x=30是 原 方 程
19、 的 解 ， 则 B 购 进 的 糖 果 是 ： 30 3=90(千 克 )，答 ： A种 糖 果 购 进 30千 克 ， B 种 糖 果 购 进 90 千 克 .22.(9分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 一 次 函 数 y=ax+b的 图 象 与 反 比 例 函 数 y= 的 图象 相 交 于 点 A(m， 1)、 B(-1， n)， 与 x轴 相 交 于 点 C(2， 0)， 且 AC= OC. (1)求 该 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)直 接 写 出 不 等 式 ax+b 的 解 集 .解 析 ： (1)过 A 作 AD
20、垂 直 于 x轴 ， 如 图 所 示 ， 由 C 的 坐 标 求 出 OC 的 长 ， 根 据 AC= OC求出 AC 的 长 ， 由 A 的 纵 坐 标 为 1， 得 到 AD=1， 利 用 勾 股 定 理 求 出 CD的 长 ， 有 OC+CD 求 出 OD的 长 ， 确 定 出 m的 值 ， 将 A 于 与 C 坐 标 代 入 一 次 函 数 解 析 式 求 出 a 于 b 的 值 ， 即 可 得 出 一 次函 数 解 析 式 ； 将 A 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 求 出 k的 值 ， 即 可 确 定 出 反 比 例 解 析 式 ；(2)将 B 坐 标 代 入 反
21、比 例 解 析 式 中 求 出 n 的 值 ， 确 定 出 B 坐 标 ， 利 用 图 形 即 可 得 出 所 求 不 等式 的 解 集 .答 案 ： (1)过 A 作 AD x 轴 ， 可 得 AD=1， C(2， 0)， 即 OC=2， AC= OC= ，在 Rt ACD中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ： CD=1， OD=OC+CD=2+1=3， A(3， 1)，将 A 与 C 坐 标 代 入 一 次 函 数 解 析 式 得 ： ， 解 得 ： a=1， b=-2， 一 次 函 数 解 析 式 为 y=x-2；将 A(3， 1)代 入 反 比 例 解 析 式 得 ： k=3， 则 反
22、 比 例 解 析 式 为 y= ；(2)将 B(-1， n)代 入 反 比 例 解 析 式 得 ： n=-3， 即 B(-1， -3)，根 据 图 形 得 ： 不 等 式 ax+b 的 解 集 为 -1 x 0 或 x 3. 23.(10分 )如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， CD 与 O相 切 于 点 C， DA AB， DO及 DO 的 延 长 线 与 O分 别 相 交 于 点 E、 F， EB 与 CF相 交 于 点 G.(1)求 证 ： DA=DC；(2) O的 半 径 为 3， DC=4， 求 CG 的 长 . 解 析 ： (1)由 AB是 O 的 直 径 ， AB DA， 可
23、 得 AD是 O 的 切 线 ， 又 由 DC是 O 切 线 ， 根 据切 线 长 定 理 即 可 求 得 答 案 ；(2)连 接 BF、 CE、 AC， 由 切 线 长 定 理 求 出 DC=DA=4， 求 出 DO=5， CM、 AM 的 长 ， 由 勾 股 定 理 求出 BC长 ， 根 据 BGC FGE求 出 = = ， 则 CG= CF； 利 用 勾 股 定 理 求 出 CF的 长 ， 则CG的 长 度 可 求 得 .答 案 ： (1) AB是 O 的 直 径 ， AB DA， AD是 O 的 切 线 ， DC 是 O切 线 ， DA=DC.(2)连 接 BF、 CE、 AC， 由
24、切 线 长 定 理 得 ： DC=DA=4， DO AC， DO平 分 AC，在 Rt DAO中 ， AO=3， AD=4， 由 勾 股 定 理 得 ： DO=5， 由 三 角 形 面 积 公 式 得 ： DA AO= DO AM， 则 AM= ， 同 理 CM=AM= ， AC= . AB 是 直 径 ， ACB=90 ， 由 勾 股 定 理 得 ： BC= = . GCB= GEF， GFE= GBC， (圆 周 角 定 理 ) BGC FGE， = = = ，在 Rt OMC中 ， CM= ， OC=3， 由 勾 股 定 理 得 ： OM= ，在 Rt EMC中 ， CM= ， ME=O
25、E-OM=3- = ， 由 勾 股 定 理 得 ： CE= ， 在 Rt CEF中 ， EF=6， CE= ， 由 勾 股 定 理 得 ： CF= . CF=CG+GF， = ， CG= CF= = .24.(11分 )如 图 ， 一 次 函 数 y=- x+4的 图 象 与 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 点 A、 B.P 是 射 线 BO上的 一 个 动 点 (点 P 不 与 点 B 重 合 )， 过 点 P 作 PC AB， 垂 足 为 C， 在 射 线 CA 上 截 取 CD=CP，连 接 PD.设 BP=t. (1)t为 何 值 时 ， 点 D恰 好 与 点 A 重 合 ？(
26、2)设 PCD与 AOB重 叠 部 分 的 面 积 为 S， 求 S 与 t 的 函 数 关 系 式 ， 并 直 接 写 出 t 的 取 值 范围 .解 析 ： (1)首 先 求 出 点 A、 B 的 坐 标 ， 然 后 在 Rt BCP中 ， 解 直 角 三 角 形 求 出 BC， CP 的 长 度 ；进 而 利 用 关 系 式 AB=BC+CD， 列 方 程 求 出 t 的 值 ；(2)点 P 运 动 的 过 程 中 ， 分 为 四 个 阶 段 ， 需 要 分 类 讨 论 ： 当 0 t 时 ， 如 题 图 所 示 ， 重 合 部 分 为 PCD； 当 t 4时 ， 如 答 图 1所 示
27、， 重 合 部 分 为 四 边 形 ACPE； 当 4 t 时 ， 如 答 图 2所 示 ， 重 合 部 分 为 ACE； 当 t 时 ， 无 重 合 部 分 .答 案 ： (1)在 一 次 函 数 解 析 式 y=- x+4中 ， 令 x=0， 得 y=4； 令 y=0， 得 x=3， A(3， 0)， B(0， 4).在 Rt AOB中 ， OA=3， OB=4， 由 勾 股 定 理 得 ： AB=5.在 Rt BCP中 ， CP=PB sin ABO= t， BC=PB cos ABO= t， CD=CP= t.若 点 D恰 好 与 点 A 重 合 ， 则 BC+CD=AB， 即 t+
28、t=5， 解 得 ： t= ， 当 t= 时 ， 点 D恰 好 与 点 A 重 合 .(2)当 点 P 与 点 O 重 合 时 ， t=4；当 点 C与 点 A 重 合 时 ， 由 BC=BA， 即 t=5， 得 t= .点 P 在 射 线 BO 上 运 动 的 过 程 中 ： 当 0 t 时 ， 此 时 S=S PCD= CP CD= t t= t2； 当 t 4时 ， 如 答 图 1所 示 ， 设 PD与 x轴 交 于 点 E. BD=BC+CD= t+ t= t，过 点 D作 DN y轴 于 点 N， 则 ND=BD sin ABO= t = t，BN=BD cos ABO= t = t
29、. PN=BN-BP= t-t= t， ON=BN-OB= t-4. ND x 轴 ， ， 即 ， 得 ： OE=28-7t. AE=OA-OE=3-(28-7t)=7t-25.故 S=S PCD-S ADE= CP CD- AE ON= t2- (7t-25)( t-4)= t2+28t-50； 当 4 t 时 ， 如 答 图 2所 示 ， 设 PC与 x轴 交 于 点 E. AC=AB-BC=5- t， tan OAB= = ， CE=AC tan OAB=(5- t) = - t.故 S=S ACE= AC CE= (5- t) ( - t)= t2- t+ ； 当 t 时 ， 无 重
30、合 部 分 ， 故 S=0.综 上 所 述 ， S 与 t 的 函 数 关 系 式 为 ： S= . 25.(12分 )将 ABC 绕 点 B 逆 时 针 旋 转 得 到 DBE， DE的 延 长 线 与 AC 相 交 于 点 F， 连 接 DA、BF.(1)如 图 1， 若 ABC= =60 ， BF=AF. 求 证 ： DA BC； 猜 想 线 段 DF、 AF 的 数 量 关 系 ， 并 证 明 你 的 猜 想 ； (2)如 图 2， 若 ABC ， BF=mAF(m为 常 数 )， 求 的 值 (用 含 m、 的 式 子 表 示 ). 解 析 ： (1)由 旋 转 性 质 证 明 AB
31、D为 等 边 三 角 形 ， 则 DAB= ABC=60 ， 所 以 DA BC；(2) 如 答 图 1所 示 ， 作 辅 助 线 (在 DF上 截 取 DG=AF， 连 接 BG)， 构 造 全 等 三 角 形 DBG ABF，得 到 BG=BF， DBG= ABF； 进 而 证 明 BGF为 等 边 三 角 形 ， 则 GF=BF=AF； 从 而 DF=2AF； 与 类 似 ， 作 辅 助 线 ， 构 造 全 等 三 角 形 DBG ABF， 得 到 BG=BF， DBG= ABF， 由 此可 知 BGF为 顶 角 为 的 等 腰 三 角 形 ， 解 直 角 三 角 形 求 出 GF 的
32、长 度 ， 从 而 得 到 DF长 度 ， 问题 得 解 .答 案 ： (1) 由 旋 转 性 质 可 知 ， DBE= ABC=60 ， BD=AB ABD为 等 边 三 角 形 ， DAB=60 ， DAB= ABC， DA BC. 猜 想 ： DF=2AF.证 明 ： 如 答 图 1所 示 ， 在 DF 上 截 取 DG=AF， 连 接 BG. 由 旋 转 性 质 可 知 ， DB=AB， BDG= BAF. 在 DBG与 ABF 中 ， DBG ABF(SAS)， BG=BF， DBG= ABF. DBG+ GBE= =60 ， GBE+ ABF=60 ， 即 GBF= =60 ，又
33、BG=BF， BGF 为 等 边 三 角 形 ， GF=BF， 又 BF=AF， GF=AF. DF=DG+GF=AF+AF=2AF.(2)如 答 图 2 所 示 ， 在 DF上 截 取 DG=AF， 连 接 BG. 由 (1)， 同 理 可 证 明 DBG ABF， BG=BF， GBF= .过 点 B作 BN GF于 点 N， BG=BF， 点 N 为 GF 中 点 ， FBN= .在 Rt BFN中 ， NF=BF sin FBN=BFsin =mAFsin . GF=2NF=2mAFsin DF=DG+GF=AF+2mAFsin ， =1+2msin . 26.(12分 )如 图 ，
34、抛 物 线 y=- x2+ x-4与 x 轴 相 交 于 点 A、 B， 与 y轴 相 交 于 点 C， 抛 物 线的 对 称 轴 与 x 轴 相 交 于 点 M.P是 抛 物 线 在 x轴 上 方 的 一 个 动 点 (点 P、 M、 C 不 在 同 一 条 直 线上 ).分 别 过 点 A、 B 作 直 线 CP的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 D、 E， 连 接 点 MD、 ME. (1)求 点 A， B 的 坐 标 (直 接 写 出 结 果 )， 并 证 明 MDE是 等 腰 三 角 形 ；(2) MDE能 否 为 等 腰 直 角 三 角 形 ？ 若 能 ， 求 此 时 点 P的 坐
35、 标 ； 若 不 能 ， 说 明 理 由 ；(3)若 将 “ P是 抛 物 线 在 x轴 上 方 的 一 个 动 点 (点 P、 M、 C不 在 同 一 条 直 线 上 )” 改 为 “ P 是 抛物 线 在 x 轴 下 方 的 一 个 动 点 ” ， 其 他 条 件 不 变 ， MDE能 否 为 等 腰 直 角 三 角 形 ？ 若 能 ， 求 此时 点 P的 坐 标 (直 接 写 出 结 果 )； 若 不 能 ， 说 明 理 由 .解 析 ： (1)在 抛 物 线 解 析 式 中 ， 令 y=0， 解 一 元 二 次 方 程 ， 可 求 得 点 A、 点 B的 坐 标 ；如 答 图 1 所
36、示 ， 作 辅 助 线 ， 构 造 全 等 三 角 形 AMF BME， 得 到 点 M 为 为 Rt EDF斜 边 EF的 中 点 ， 从 而 得 到 MD=ME， 问 题 得 证 ；(2)首 先 分 析 ， 若 MDE为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 直 角 顶 点 只 能 是 点 M.如 答 图 2 所 示 ， 设 直 线 PC与 对 称 轴 交 于 点 N， 首 先 证 明 ADM NEM， 得 到 MN=AM， 从 而 求 得 点 N 坐 标 为 (3， 2)； 其次 利 用 点 N、 点 C 坐 标 ， 求 出 直 线 PC的 解 析 式 ； 最 后 联 立 直 线 PC与 抛
37、物 线 的 解 析 式 ， 求 出点 P 的 坐 标 .(3)当 点 P 是 抛 物 线 在 x 轴 下 方 的 一 个 动 点 时 ， 解 题 思 路 与 (2)完 全 相 同 . 答 案 ： (1)抛 物 线 解 析 式 为 y=- x2+ x-4， 令 y=0，即 - x2+ x-4=0， 解 得 x=1或 x=5， A(1， 0)， B(5， 0).如 答 图 1 所 示 ， 分 别 延 长 AD 与 EM， 交 于 点 F. AD PC， BE PC， AD BE， MAF= MBE.在 AMF与 BME中 ， ， AMF BME(ASA)， ME=MF， 即 点 M 为 Rt ED
38、F 斜 边 EF 的 中 点 ， MD=ME， 即 MDE是 等 腰 三 角 形 .(2)答 ： 能 .抛 物 线 解 析 式 为 y=- x2+ x-4=- (x-3)2+ ， 对 称 轴 是 直 线 x=3， M(3， 0)；令 x=0， 得 y=-4， C(0， -4). MDE为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 有 3 种 可 能 的 情 形 ： 若 DE EM， 由 DE BE， 可 知 点 E、 M、 B 在 一 条 直 线 上 ，而 点 B、 M 在 x 轴 上 ， 因 此 点 E 必 然 在 x 轴 上 ，由 DE BE， 可 知 点 E 只 能 与 点 O重 合 ， 即 直
39、线 PC与 y轴 重 合 ， 不 符 合 题 意 ， 故 此 种 情 况 不 存 在 ； 若 DE DM， 与 同 理 可 知 ， 此 种 情 况 不 存 在 ； 若 EM DM， 如 答 图 2 所 示 ： 设 直 线 PC 与 对 称 轴 交 于 点 N， EM DM， MN AM， EMN= DMA.在 ADM与 NEM中 ， ADM NEM(ASA)， MN=MA.抛 物 线 解 析 式 为 y=- x2+ x-4=- (x-3)2+ ， 故 对 称 轴 是 直 线 x=3， M(3， 0)， MN=MA=2， N(3， 2).设 直 线 PC 解 析 式 为 y=kx+b， 点 N(
40、3， 2)， C(0， -4)在 直 线 上 ， ， 解 得 k=2， b=-4， y=2x-4.将 y=2x-4 代 入 抛 物 线 解 析 式 得 ： 2x-4=- x 2+ x-4， 解 得 ： x=0或 x= ，当 x=0时 ， 交 点 为 点 C； 当 x= 时 ， y=2x-4=3. P( ， 3).综 上 所 述 ， MDE能 成 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 此 时 点 P坐 标 为 ( ， 3). (3)答 ： 能 .如 答 题 3 所 示 ， 设 对 称 轴 与 直 线 PC交 于 点 N.与 (2)同 理 ， 可 知 若 MDE为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 直
41、 角 顶 点 只 能 是 点 M. MD ME， MA MN， DMN= EMB.在 DMN与 EMB中 ， ， DMN EMB(ASA)， MN=MB. N(3， -2).设 直 线 PC 解 析 式 为 y=kx+b， 点 N(3， -2)， C(0， -4)在 抛 物 线 上 ， ， 解 得 k= ， b=-4， y= x-4.将 y= x-4代 入 抛 物 线 解 析 式 得 ： x-4=- x 2+ x-4， 解 得 ： x=0或 x= ，当 x=0时 ， 交 点 为 点 C； 当 x= 时 ， y= x-4= . P( ， ).综 上 所 述 ， MDE能 成 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 此 时 点 P坐 标 为 ( ， ).
