1、2013年 湖 北 省 黄 石 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 题 有 10个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分 )下 面 的 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 个 是 正 确 的 。1.(3分 )-7的 倒 数 是 ( )A.-B.7C.D.-7解 析 ： 设 -7的 倒 数 是 x， 则 -7x=1， 解 得 x=- . 答 案 ： A.2.(3分 )一 年 之 中 地 球 与 太 阳 之 间 的 距 离 随 时 间 而 变 化 ， 1 个 天 文 单 位 是 地 球 与 太 阳 之 间 的平 均 距 离 ， 即 1.4960亿
2、 千 米 .用 科 学 记 数 法 表 示 1 个 天 文 单 位 应 是 ( )A.1.4960 107千 米B.14.960 107千 米C.1.4960 108千 米D.0.14960 10 8千 米解 析 ： 将 1.4960亿 千 米 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 1.4960 108千 米 .答 案 ： C.点 评 ： 此 题 考 查 了 科 学 记 数 法 的 表 示 方 法 .科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中3.(3分 )分 式 方 程 = 的 解 为 ( )A.x=-1B.x=2C.x=4D.x=3解 析 ： 方 程 的
3、两 边 同 乘 2x(x-1)， 得 ： 3(x-1)=2x， 解 得 ： x=3. 检 验 ： 把 x=3代 入 2x(x-1)=12 0， 故 原 方 程 的 解 为 ： x=3.答 案 ： D.4.(3分 )如 图 ， 下 列 四 个 几 何 体 中 ， 它 们 各 自 的 三 视 图 (主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 )有 两 个 相同 ， 而 另 一 个 不 同 的 几 何 体 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 正 方 体 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 都 是 正 方 形 ；圆 柱 主 视 图 和 左 视 图 是 长 方 形 ， 俯 视 图 是
4、圆 ；圆 锥 主 视 图 和 左 视 图 是 三 角 形 、 俯 视 图 是 带 圆 心 的 圆 ；球 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 都 是 圆 ，答 案 ： B.5.(3分 )已 知 直 角 三 角 形 ABC的 一 条 直 角 边 AB=12cm， 另 一 条 直 角 边 BC=5cm， 则 以 AB为 轴旋 转 一 周 ， 所 得 到 的 圆 锥 的 表 面 积 是 ( )A.90 cm 2B.209 cm2C.155 cm2D.65 cm2解 析 ： 圆 锥 的 表 面 积 = 10 13+ 52=90 cm2.答 案 ： A.6.(3分 )为 了 帮 助 本 市 一 名
5、 患 “ 白 血 病 ” 的 高 中 生 ， 某 班 15 名 同 学 积 极 捐 款 ， 他 们 捐 款 数额 如 下 表 ： 关 于 这 15 名 学 生 所 捐 款 的 数 额 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.众 数 是 100B.平 均 数 是 30C.极 差 是 20D.中 位 数 是 20解 析 ： A、 众 数 是 20， 故 本 选 项 错 误 ；B、 平 均 数 为 26.67， 故 本 选 项 错 误 ；C、 极 差 是 95， 故 本 选 项 错 误 ；D、 中 位 数 是 20， 故 本 选 项 正 确 ；答 案 ： D.7.(3分 )四 川 雅 安 地
6、震 期 间 ， 为 了 紧 急 安 置 60 名 地 震 灾 民 ， 需 要 搭 建 可 容 纳 6 人 或 4人 的帐 篷 ， 若 所 搭 建 的 帐 篷 恰 好 (既 不 多 也 不 少 )能 容 纳 这 60名 灾 民 ， 则 不 同 的 搭 建 方 案 有 ( ) A.1 种B.11种C.6 种D.9 种解 析 ： 设 6人 的 帐 篷 有 x顶 ， 4 人 的 帐 篷 有 y 顶 ，依 题 意 ， 有 ： 6x+4y=60， 整 理 得 y=15-1.5x，因 为 x、 y 均 为 非 负 整 数 ， 所 以 15-1.5x 0， 解 得 ： 0 x 10， 从 2 到 10 的 偶
7、 数 共 有 5 个 ， 所 以 x 的 取 值 共 有 6 种 可 能 ， 即 共 有 6 种 搭 建 方 案 .答 案 ： C.8.(3分 )如 图 ， 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， AC=3， BC=4， 以 点 C 为 圆 心 ， CA 为 半 径 的 圆 与AB交 于 点 D， 则 AD 的 长 为 ( )A. B.C.D.解 析 ： 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， AC=3， BC=4， AB= = =5，过 C 作 CM AB， 交 AB于 点 M， 如 图 所 示 ， CM AB， M为 AD的 中 点 ， S ABC= AC BC= AB CM， 且 A
8、C=3， BC=4， AB=5， CM= ，在 Rt ACM中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ： AC2=AM2+CM2， 即 9=AM2+( )2， 解 得 ： AM= ， AD=2AM= .答 案 ： C.9.(3分 )把 一 副 三 角 板 如 图 甲 放 置 ， 其 中 ACB= DEC=90 ， A=45 ， D=30 ， 斜 边 AB=6，DC=7， 把 三 角 板 DCE绕 点 C 顺 时 针 旋 转 15 得 到 D 1CE1(如 图 乙 )， 此 时 AB与 CD1交 于 点 O，则 线 段 AD1的 长 为 ( ) A.B.5C.4D.解 析 ： ACB= DEC=90
9、， D=30 ， DCE=90 -30 =60 ， ACD=90 -60 =30 ， 旋 转 角 为 15 ， ACD1=30 +15 =45 ，又 A=45 ， ACO是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AO=CO= AB= 6=3， AB CO， DC=7， D 1C=DC=7， D1O=7-3=4， 在 Rt AOD1中 ， AD1= = =5.答 案 ： B.10.(3分 )如 图 ， 已 知 某 容 器 都 是 由 上 下 两 个 相 同 的 圆 锥 和 中 间 一 个 与 圆 锥 同 底 等 高 的 圆 柱组 合 而 成 ， 若 往 此 容 器 中 注 水 ， 设 注 入 水 的
10、体 积 为 y， 高 度 为 x， 则 y 关 于 x 的 函 数 图 象 大致 是 ( ) A. B.C. D.解 析 ： 如 图 ， 水 在 下 边 的 圆 锥 体 内 时 ， 水 面 的 半 径 为 xtan ，水 的 体 积 y= (xtan ) 2 x= tan2 x3，所 以 ， y 与 x 成 立 方 关 系 变 化 ， 即 小 于 直 线 增 长 ； 水 面 在 圆 柱 体 内 时 ， y是 x的 一 次 函 数 ； 水 在 上 边 的 圆 锥 体 时 ， 水 的 高 度 增 长 的 速 度 与 中 相 反 ， 即 直 线 变 缓 了 ，纵 观 各 选 项 ， 只 有 A选 项
11、 符 合 .答 案 ： A.二 、 填 空 题 (本 题 有 6 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 )11.(3分 )分 解 因 式 ： 3x 2-27= .解 析 ： 3x2-27=3(x2-9)=3(x+3)(x-3).答 案 ： 3(x+3)(x-3). 12.(3分 )若 关 于 x 的 函 数 y=kx2+2x-1 与 x 轴 仅 有 一 个 公 共 点 ， 则 实 数 k 的 值 为 .解 析 ： 令 y=0， 则 kx2+2x-1=0. 关 于 x 的 函 数 y=kx2+2x-1 与 x 轴 仅 有 一 个 公 共 点 ， 关 于 x 的 方 程 kx2+2x
12、-1=0只 有 一 个 根 . 当 k=0时 ， 2x-1=0， 即 x= ， 原 方 程 只 有 一 个 根 ， k=0符 合 题 意 ； 当 k 0 时 ， =4+4k=0， 解 得 ， k=-1.综 上 所 述 ， k=0或 -1.答 案 ： 0或 -1.13.(3分 )甲 、 乙 玩 猜 数 字 游 戏 ， 游 戏 规 则 如 下 ： 有 四 个 数 字 0、 1、 2、 3， 先 由 甲 心 中 任 选一 个 数 字 ， 记 为 m， 再 由 乙 猜 甲 刚 才 所 选 的 数 字 ， 记 为 n.若 m、 n 满 足 |m-n| 1， 则 称 甲 、乙 两 人 “ 心 有 灵 犀
13、” ， 则 甲 、 乙 两 人 “ 心 有 灵 犀 ” 的 概 率 是 . 解 析 ： 首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 m、 n 满 足 |m-n| 1的 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： 画 树 状 图 得 ： 共 有 16 种 等 可 能 的 结 果 ， m、 n满 足 |m-n| 1的 有 10 种 情 况 ， 甲 、 乙 两 人 “ 心 有 灵 犀 ” 的 概 率 是 ： = . 答 案 ： .14.(3分 )如 图 所 示 ， 在 边 长 为 3的 正 方
14、形 ABCD中 ， O1与 O2外 切 ， 且 O1分 别 于 DA、 DC边 外 切 ， O2分 别 与 BA、 BC边 外 切 ， 则 圆 心 距 ， O1O2为 . 解 析 ： 如 图 所 示 ， 过 点 O1作 O1F CD交 CD于 点 F， 过 点 O2作 O2E AB 于 点 E. 设 O1半 径 x， O2半 径 y， O1在 ADC的 平 分 线 上 ； O2在 ABC平 分 线 上 ， 而 BD为 正 方 形 对 角 线 ， 平 分 对 角 ， O1O2 在 BD上 ， ADB= DBA=45 ， DO1= x， BO2= y则 DB=DO1+O1O2+O2B=x+y+ (
15、x+y)=3 解 得 x+y= =6-3 .答 案 ： 6-3 .15.(3分 )如 图 所 示 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 次 函 数 y=ax+b(a 0)的 图 象 与 反 比 例 函 数(k 0)的 图 象 交 于 二 、 四 象 限 的 A、 B 两 点 ， 与 x 轴 交 于 C 点 .已 知 A(-2， m)， B(n， -2)，tan BOC= ， 则 此 一 次 函 数 的 解 析 式 为 . 解 析 ： 过 点 B 作 BD x 轴 ，在 Rt BOD中 ， tan BOC= = = ， OD=5， 则 点 B 的 坐 标 为 (5， -2)，把 点 B
16、的 坐 标 为 (5， -2)代 入 反 比 例 函 数 (k 0)中 ， 则 -2= ， 即 k=-10， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y=- ， 把 A(-2， m)代 入 y=- 中 ， m=5， A的 坐 标 为 (-2， 5)，把 A(-2， 5)和 B(5， -2)代 入 一 次 函 数 y=ax+b(a 0)中 ， 得 ： ， 解 得 ，则 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y=-x+3.答 案 ： y=-x+3.16.(3分 )在 计 数 制 中 ， 通 常 我 们 使 用 的 是 “ 十 进 位 制 ” ， 即 “ 逢 十 进 一 ” ， 而 计 数 制 方 法
17、很 多 ， 如 60进 位 制 ： 60秒 化 为 1分 ， 60 分 化 为 1 小 时 ； 24 进 位 制 ： 24小 时 化 为 一 天 ； 7进 位 制 ： 7天 化 为 1周 等 而 二 进 位 制 是 计 算 机 处 理 数 据 的 依 据 .已 知 二 进 位 制 与 十 进 位 制比 较 如 下 表 ： 请 将 二 进 位 制 数 10101010(二 )写 成 十 进 位 制 数 为 .解 析 ： 10101010(二 )=27+25+23+2=128+32+8+2=170.答 案 ： 170.三 、 解 答 题 (本 题 有 9 个 小 题 ， 共 72分 )17.(7分
18、 )计 算 ： .解 析 ： 本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 负 指 数 幂 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 绝 对 值 等 考 点 .针 对 每 个 考 点分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： 原 式 =3+ -2-1+ =3+1-2-1+3=4. 18.(7分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 a= ， b= .解 析 ： 本 题 中 直 接 代 数 求 值 是 非 常 麻 烦 的 .本 题 的 关 键 是 正 确 进 行 分 式 的 通 分 、 约 分 ， 并 准确 代 值 计 算 .答
19、案 ： 原 式 = = = ， ； 原 式 = .19.(7分 )如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， AM 和 BN是 O 的 两 条 切 线 ， E 是 O上 一 点 ， D 是 AM 上一 点 ， 连 接 DE 并 延 长 交 BN 于 点 C， 且 OD BE， OF BN. (1)求 证 ： DE与 O 相 切 ；(2)求 证 ： OF= CD.解 析 ： (1)连 接 OE， 由 AM与 圆 O 相 切 ， 利 用 切 线 的 性 质 得 到 OA 与 AM 垂 直 ， 即 OAD=90 ，根 据 OD与 BE 平 行 ， 利 用 两 直 线 平 行 得 到 一 对 内 错 角
20、相 等 ， 一 对 同 位 角 相 等 ， 再 由 OB=OE，利 用 等 边 对 等 角 得 到 一 对 角 相 等 ， 等 量 代 换 得 到 一 对 角 相 等 ， 再 由 OA=OE， OD为 公 共 边 ， 利用 SAS得 出 三 角 形 AOD与 三 角 形 EOD全 等 ， 利 用 全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等 得 到 OED=90 ，即 OE 垂 直 于 ED， 即 可 得 证 ；(2)连 接 OC， 由 CD 与 CB 为 圆 的 切 线 ， 利 用 切 线 的 性 质 得 到 一 对 直 角 相 等 ， 由 OB=OE， OC为公 共 边 ， 利 用 HL 得
21、 出 两 直 角 三 角 形 全 等 ， 进 而 得 到 BOC= EOC， 利 用 等 量 代 换 及 平 角 定 义得 到 COD=90 ， 即 三 角 形 COD为 直 角 三 角 形 ， 由 OF与 BN平 行 ， AM 与 BN平 行 ， 得 到 三 线平 行 ， 由 O 为 AB 的 中 的 ， 利 用 平 行 线 等 分 线 段 定 理 得 到 F 为 CD 的 中 点 ， 利 用 直 角 三 角 形 斜边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 即 可 得 证 . 答 案 ： (1)连 接 OE， AM 与 圆 O相 切 ， AM OA， 即 OAD=90 ， OD BE，
22、 AOD= ABE， EOD= OEB， OB=OE， ABE= OEB， AOD= EOD，在 AOD和 EOD中 ， ， AOD EOD(SAS)， OED= OAD=90 ， 则 DE 为 圆 O 的 切 线 ；(2)如 图 ， 连 接 OC. 在 Rt BCO和 Rt ECO中 ， ， Rt BCO Rt ECO， BOC= EOC， AOD= EOD， DOC= EOD+ EOC= 180 =90 ， AM、 BN 为 圆 O的 切 线 ， AM AB， BN AB， AM BN， OF BN， AM OF BN，又 O 为 AB 的 中 点 ， F 为 CD的 中 点 ， 则 OF
23、= CD.20.(8分 )解 方 程 组 ： .解 析 ： 先 由 第 二 个 方 程 得 ： x= ， 再 把 代 入 得 ： 2 ( ) 2-y2= ， 求出 y1、 y2， 再 代 入 即 可 .答 案 ： ，由 得 ： x= ，把 代 入 得 ： 2 ( ) 2-y2=- ，化 简 得 ： 9y2+ y+5=0，即 ： (3y+ )2=0解 得 ： y1=y2= ，代 入 得 ： x 1=x2= ， 原 方 程 组 的 解 为 .21.(8分 )青 少 年 “ 心 理 健 康 ” 问 题 越 来 越 引 起 社 会 的 关 注 ， 某 中 学 为 了 了 解 学 校 600名 学生 的
24、 心 理 健 康 状 况 ， 举 行 了 一 次 “ 心 理 健 康 ” 知 识 测 试 ， 并 随 即 抽 取 了 部 分 学 生 的 成 绩 (得分 取 正 整 数 ， 满 分 为 100分 )作 为 样 本 ， 绘 制 了 下 面 未 完 成 的 频 率 分 布 表 和 频 率 分 布 直 方 图 .请 回 答 下 列 问 题 ： (1)填 写 频 率 分 布 表 中 的 空 格 ， 并 补 全 频 率 分 布 直 方 图 ；(2)若 成 绩 在 70分 以 上 (不 含 70 分 )为 心 理 健 康 状 况 良 好 ， 同 时 ， 若 心 理 健 康 状 况 良 好 的 人数 占 总
25、 人 数 的 70%以 上 ， 就 表 示 该 校 学 生 的 心 理 健 康 状 况 正 常 ， 否 则 就 需 要 加 强 心 里 辅 导 .请 根 据 上 述 数 据 分 析 该 校 学 生 是 否 需 要 加 强 心 里 辅 导 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)由 50.5 60.5的 频 数 除 以 对 应 的 频 率 求 出 样 本 的 总 人 数 ， 进 而 求 出 70.5 80.5的 频 率 ， 90.5 100.5 的 频 数 ， 以 及 80.5 90.5的 频 率 与 频 数 ， 补 全 表 格 即 可 ；(2)该 校 学 生 需 要 加 强 心 理 辅 导
26、 ， 理 由 为 ： 求 出 70 分 以 上 的 人 数 ， 求 出 占 总 人 数 的 百 分 比 ，与 70%比 较 大 小 即 可 .答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： 样 本 的 容 量 为 4 0.08=50(人 )，则 70.5 80.5 的 频 率 为 =0.32， 80.5 90.5的 频 率 为 1-(0.08+0.28+0.32+0.20)=0.12，频 数 为 50 0.12=6； (2)该 校 学 生 需 要 加 强 心 理 辅 导 ， 理 由 为 ：根 据 题 意 得 ： 70分 以 上 的 人 数 为 16+6+10=32(人 )， 心 理 健 康 状 况
27、良 好 的 人 数 占 总 人 数 的 百 分 比 为 100%=64% 70%， 该 校 学 生 需 要 加 强 心 理 辅 导 .22.(8分 )高 考 英 语 听 力 测 试 期 间 ， 需 要 杜 绝 考 点 周 围 的 噪 音 .如 图 ， 点 A 是 某 市 一 高 考 考 点 ，在 位 于 A 考 点 南 偏 西 15 方 向 距 离 125米 的 C 处 有 一 消 防 队 .在 听 力 考 试 期 间 ， 消 防 队 突 然接 到 报 警 电 话 ， 告 知 在 位 于 C点 北 偏 东 75 方 向 的 F点 处 突 发 火 灾 ， 消 防 队 必 须 立 即 赶 往救 火
28、 .已 知 消 防 车 的 警 报 声 传 播 半 径 为 100 米 ， 若 消 防 车 的 警 报 声 对 听 力 测 试 造 成 影 响 ， 则消 防 车 必 须 改 进 行 驶 ， 试 问 ： 消 防 车 是 否 需 要 改 道 行 驶 ？ 请 说 明 理 由 .( 取 1.732) 解 析 ： 首 先 过 点 A 作 AH CF于 点 H， 易 得 ACH=60 ， 然 后 利 用 三 角 函 数 的 知 识 ， 求 得 AH的 长 ， 继 而 可 得 消 防 车 是 否 需 要 改 进 行 驶 .答 案 ： 如 图 ： 过 点 A作 AH CF于 点 H， 由 题 意 得 ： MC
29、F=75 ， CAN=15 ， AC=125 米 ， CM AN， ACM= CAN=15 ， ACH= MCF- ACM=75 -15 =60 ， 在 Rt ACH中 ， AH=AC sin ACH=125 108.25(米 ) 100米 .答 ： 消 防 车 不 需 要 改 道 行 驶 .23.(8分 )一 辆 客 车 从 甲 地 开 往 乙 地 ， 一 辆 出 租 车 从 乙 地 开 往 甲 地 ， 两 车 同 时 出 发 ， 设 客 车离 甲 地 的 距 离 为 y 1千 米 ， 出 租 车 离 甲 地 的 距 离 为 y2千 米 ， 两 车 行 驶 的 时 间 为 x 小 时 ， y
30、1、 y2关 于 x的 函 数 图 象 如 图 所 示 ：(1)根 据 图 象 ， 直 接 写 出 y 1、 y2关 于 x的 函 数 图 象 关 系 式 ；(2)若 两 车 之 间 的 距 离 为 S 千 米 ， 请 写 出 S 关 于 x 的 函 数 关 系 式 ；(3)甲 、 乙 两 地 间 有 A、 B 两 个 加 油 站 ， 相 距 200千 米 ， 若 客 车 进 入 A加 油 站 时 ， 出 租 车 恰 好进 入 B加 油 站 ， 求 A加 油 站 离 甲 地 的 距 离 . 解 析 ： (1)直 接 运 用 待 定 系 数 法 就 可 以 求 出 y1、 y2关 于 x的 函
31、数 图 关 系 式 ；(2)分 别 根 据 当 0 x 时 ， 当 x 6 时 ， 当 6 x 10时 ， 求 出 即 可 ；(3)分 A 加 油 站 在 甲 地 与 B 加 油 站 之 间 ， B加 油 站 在 甲 地 与 A加 油 站 之 间 两 种 情 况 列 出 方 程求 解 即 可 .答 案 ： (1)设 y1=k1x， 由 图 可 知 ， 函 数 图 象 经 过 点 (10， 600)， 10k1=600，解 得 ： k1=60， y1=60 x(0 x 10)，设 y 2=k2x+b， 由 图 可 知 ， 函 数 图 象 经 过 点 (0， 600)， (6， 0)，则 ， 解
32、得 ： y2=-100 x+600(0 x 6)；(2)由 题 意 ， 得 60 x=-100 x+600， x= ，当 0 x 时 ， S=y 2-y1=-160 x+600；当 x 6 时 ， S=y1-y2=160 x-600；当 6 x 10时 ， S=60 x； 即 S= ；(3)由 题 意 ， 得 当 A加 油 站 在 甲 地 与 B加 油 站 之 间 时 ， (-100 x+600)-60 x=200， 解 得 x= ， 此 时 ， A 加 油 站 距 离 甲 地 ： 60 =150km， 当 B加 油 站 在 甲 地 与 A加 油 站 之 间 时 ， 60 x-(-100 x+
33、600)=200，解 得 x=5， 此 时 ， A 加 油 站 距 离 甲 地 ： 60 5=300km，综 上 所 述 ， A加 油 站 到 甲 地 距 离 为 150km或 300km.24.(9分 )如 图 1， 点 C 将 线 段 AB 分 成 两 部 分 ， 如 果 ， 那 么 称 点 C 为 线 段 AB的 黄 金分 割 点 .某 数 学 兴 趣 小 组 在 进 行 课 题 研 究 时 ， 由 黄 金 分 割 点 联 想 到 “ 黄 金 分 割 线 ” ， 类 似 地给 出 “ 黄 金 分 割 线 ” 的 定 义 ： 直 线 l将 一 个 面 积 为 S 的 图 形 分 成 两 部
34、 分 ， 这 两 部 分 的 面 积 分别 为 S 1、 S2， 如 果 ， 那 么 称 直 线 l 为 该 图 形 的 黄 金 分 割 线 . (1)如 图 2， 在 ABC中 ， A=36 ， AB=AC， C的 平 分 线 交 AB于 点 D， 请 问 点 D 是 否 是 AB边 上 的 黄 金 分 割 点 ， 并 证 明 你 的 结 论 ；(2)若 ABC在 (1)的 条 件 下 ， 如 图 3， 请 问 直 线 CD是 不 是 ABC的 黄 金 分 割 线 ， 并 证 明 你 的结 论 ；(3)如 图 4， 在 直 角 梯 形 ABCD中 ， D= C=90 ， 对 角 线 AC、
35、BD 交 于 点 F， 延 长 AB、 DC 交于 点 E， 连 接 EF 交 梯 形 上 、 下 底 于 G、 H 两 点 ， 请 问 直 线 GH 是 不 是 直 角 梯 形 ABCD 的 黄 金 分割 线 ， 并 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： (1)证 明 AD=CD=BC， 证 明 BCD BCA， 得 到 ， 则 有 ， 所 以 点 D 是 AB边 上 的 黄 金 分 割 点 ；(2)证 明 S ACD： S ABC=S BCD： S ACD， 直 线 CD是 ABC的 黄 金 分 割 线 ；(3)根 据 相 似 三 角 形 比 例 线 段 关 系 ， 证 明 BG=GC，
36、AH=HD， 则 梯 形 ABGH 与 梯 形 GCDH 上 下 底 分别 相 等 ， 高 也 相 等 ， S 梯 形 ABGH=S 梯 形 GCDH= S 梯 形 ABCD， 所 以 GH 不 是 直 角 梯 形 ABCD 的 黄 金 分 割 线 .答 案 ： (1)点 D 是 AB边 上 的 黄 金 分 割 点 .理 由 如 下 ： AB=AC， A=36 ， B= ACB=72 . CD 是 角 平 分 线 ， ACD= BCD=36 ， A= ACD， AD=CD. CDB=180 - B- BCD=72 ， CDB= B， BC=CD. BC=AD.在 BCD与 BCA中 ， B=
37、B， BCD= A=36 ， BCD BAC， ， ， 点 D是 AB边 上 的 黄 金 分 割 点 .(2)直 线 CD是 ABC的 黄 金 分 割 线 .理 由 如 下 ： 设 ABC中 ， AB边 上 的 高 为 h， 则 S ABC= AB h， S ACD= AD h， S BCD= BD h. S ACD： S ABC=AD： AB， S BCD： S ACD=BD： AD.由 (1)知 ， 点 D 是 AB边 上 的 黄 金 分 割 点 ， ， S ACD： S ABC=S BCD： S ACD， CD 是 ABC的 黄 金 分 割 线 .(3)直 线 不 是 直 角 梯 形 A
38、BCD的 黄 金 分 割 线 .理 由 如 下 ： BC AD， EBG EAH， EGC EHD， ， ， ， 即 同 理 ， 由 BGF DHF， CGF AHF得 ： ， 即 由 、 得 ： ， AH=HD， BG=GC. 梯 形 ABGH与 梯 形 GCDH上 下 底 分 别 相 等 ， 高 也 相 等 ， S 梯 形 ABGH=S 梯 形 GCDH= S 梯 形 ABCD. GH不 是 直 角 梯 形 ABCD的 黄 金 分 割 线 .25.(10分 )如 图 1所 示 ， 已 知 直 线 y=kx+m与 x轴 、 y轴 分 别 交 于 点 A、 C两 点 ， 抛 物 线 y=-x2
39、+bx+c经 过 A、 C 两 点 ， 点 B 是 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 ， 当 x=- 时 ， y取 最 大 值 . (1)求 抛 物 线 和 直 线 的 解 析 式 ；(2)设 点 P 是 直 线 AC上 一 点 ， 且 S ABP： S BPC=1： 3， 求 点 P的 坐 标 ；(3)直 线 y= x+a 与 (1)中 所 求 的 抛 物 线 交 于 点 M、 N， 两 点 ， 问 ： 是 否 存 在 a 的 值 ， 使 得 MON=90 ？ 若 存 在 ， 求 出 a 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 猜 想 当 MON 90 时 ，
40、a 的 取 值 范 围 .(不 写 过 程 ， 直 接 写 结 论 )(参 考 公 式 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则 M、 N 两 点 之 间 的 距 离 为|MN|= )解 析 ： (1)先 根 据 抛 物 线 y=-x 2+bx+c， 当 x=- 时 ， y 取 最 大 值 ， 得 到 抛 物 线 的 顶 点 坐 标为 (- ， )， 可 写 出 抛 物 线 的 顶 点 式 ， 再 根 据 抛 物 线 的 解 析 式 求 出 A、 C 的 坐 标 ， 然 后 将 A、C的 坐 标 代 入 y=kx+m， 运 用 待 定 系
41、数 法 即 可 求 出 直 线 的 解 析 式 ；(2)根 据 等 高 三 角 形 的 面 积 比 等 于 底 边 比 ， 因 此 两 三 角 形 的 面 积 比 实 际 是 AP： PC=1： 3， 即3AP=PC， 可 先 求 出 AC的 长 ， 然 后 分 情 况 讨 论 ： 当 P在 线 段 AC上 时 ， 过 点 P 作 PH x 轴 ， 点 H 为 垂 足 .由 PH OC， 根 据 平 行 线 分 线 段 成比 例 定 理 求 出 PH的 长 ， 进 而 求 出 P 点 的 坐 标 ； 当 P在 CA的 延 长 线 上 时 ， 由 PG OC， 根 据 平 行 线 分 线 段 成
42、 比 例 定 理 求 出 PG 的 长 ， 进 而求 出 P点 的 坐 标 ；(3)联 立 两 函 数 的 解 析 式 ， 设 直 线 y= x+a与 抛 物 线 y=-x 2-x+6的 交 点 为 M(xM， yM)， N(xN，yN)(M 在 N 左 侧 )， 则 xM、 xN是 方 程 x2+ x+a-6=0 的 两 个 根 ， 由 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 关 系 得 ，xM+xN=- ， xM xN=a-6， 进 而 求 出 yM yN= (a-6)- a+a2. 由 于 MON=90 ， 根 据 勾 股 定 理 得 出 OM2+ON2=MN2， 据 此 列 出 关 于
43、 a 的 方 程 ， 解 方 程 即 可 求出 a 的 值 ； 由 于 MON 90 ， 根 据 勾 股 定 理 得 出 OM2+ON2 MN2， 据 此 列 出 关 于 a 的 不 等 式 ， 解 不 等 式即 可 求 出 a 的 范 围 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=-x2+bx+c， 当 x=- 时 ， y 取 最 大 值 ， 抛 物 线 的 解 析 式 是 ： y=-(x+ )2+ ， 即 y=-x2-x+6；当 x=0时 ， y=6， 即 C 点 坐 标 是 (0， 6)，当 y=0时 ， -x 2-x+6=0， 解 得 ： x=2或 -3， 即 A 点 坐 标 是 (-3，
44、 0)， B点 坐 标 是 (2， 0).将 A(-3， 0)， C(0， 6)代 入 直 线 AC的 解 析 式 y=kx+m，得 ， 解 得 ： ， 则 直 线 的 解 析 式 是 ： y=2x+6；(2)过 点 B 作 BD AC， D 为 垂 足 ， S ABP： S BPC=1： 3， = ， AP： PC=1： 3， 由 勾 股 定 理 ， 得 AC= =3 . 当 点 P 为 线 段 AC 上 一 点 时 ， 过 点 P 作 PH x 轴 ， 点 H 为 垂 足 . PH OC， = = ， PH= ， =2x+6， x=- ， 点 P(- ， )； 当 点 P 在 CA 延 长
45、 线 时 ， 作 PG x 轴 ， 点 G 为 垂 足 . AP： PC=1： 3， AP： AC=1： 2. PG OC， = = ， PG=3， -3=2x+6， x=- ， 点 P(- ， -3).综 上 所 述 ， 点 P的 坐 标 为 (- ， )或 (- ， -3).(3)设 直 线 y= x+a与 抛 物 线 y=-x2-x+6的 交 点 为 M(xM， yM)， N(xN， yN)(M在 N左 侧 ).则 ， 为 方 程 组 的 解 ，由 方 程 组 消 去 y整 理 ， 得 ： x 2+ x+a-6=0， xM、 xN是 方 程 x2+ x+a-6=0的 两 个 根 ， xM
46、+xN=- ， xM xN=a-6， yM yN=( xM+a)( xN+a)= xM xN+ (xM+xN)+a2= (a-6)- a+a2. 存 在 a 的 值 ， 使 得 MON=90 .理 由 如 下 ： MON=90 ， OM2+ON2=MN2， 即 + + + =(xM-xN)2+(yM-yN)2，化 简 得 xM xN+yM yN=0， (a-6)+ (a-6)- a+a2=0， 整 理 ， 得 2a2+a-15=0， 解 得 a1=-3， a2= ， 存 在 a 值 ， 使 得 MON=90 ， 其 值 为 a=-3或 a= ； MON 90 ， OM2+ON2 MN2， 即 + + + (xM-xN)2+(yM-yN)2，化 简 得 xM xN+yM yN 0， (a-6)+ (a-6)- a+a2 0，整 理 ， 得 2a 2+a-15 0， 解 得 -3 a ， 当 MON 90 时 ， a的 取 值 范 围 是 -3 a .
