1、2013年 湖 北 省 黄 冈 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (下 列 各 题 A、 B、 C、 D 四 个 选 项 中 ， 有 且 仅 有 一 个 是 正 确 的 ， 每 小 题 3 分 ， 共24分 )1.(3分 )-(-3)2=( )A.-3B.3C.-9D.9解 析 ： -(-3) 2=-9.答 案 ： C.2.(3分 )随 着 人 们 生 活 水 平 的 提 高 ， 我 国 拥 有 汽 车 的 居 民 家 庭 也 越 来 越 多 ， 下 列 汽 车 标 志 中 ，是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 是 中 心 对 称 图 形
2、， 故 本 选 项 正 确 ；B、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： A.3.(3分 )如 图 ， AB CD EF， AC DF， 若 BAC=120 ， 则 CDF=( ) A.60B.120C.150 D.180解 析 ： AB CD， BAC+ ACD=180 ， BAC=120 ， ACD=180 -120 =60 ， AC DF， ACD= CDF， CDF=60 .答 案 ： A.4.(3分 )下 列 计
3、算 正 确 的 是 ( )A.x 4 x4=x16B.(a3)2 a4=a9C.(ab2)3 (-ab)2=-ab4D.(a6)2 (a4)3=1解 析 ： A、 x4 x4=x8， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 (a3)2 a4=a10， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 (ab2)3 (-ab)2=ab4， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 (a 6)2 (a4)3=1， 计 算 正 确 ， 故 本 选 项 正 确 ；答 案 ： D.5.(3分 ) 已 知 一 个 正 棱 柱 的 俯 视 图 和 左 视 图
4、如 图 ， 则 其 主 视 图 为 ( )A. B.C.D.解 析 ： 根 据 此 正 棱 柱 的 俯 视 图 和 左 视 图 得 到 该 几 何 体 是 正 五 棱 柱 ，其 主 视 图 应 该 是 矩 形 ， 而 且 有 看 到 两 条 棱 ， 背 面 的 棱 用 虚 线 表 示 ，答 案 ： D.6.(3分 )已 知 一 元 二 次 方 程 x 2-6x+C=0 有 一 个 根 为 2， 则 另 一 根 为 ( )A.2B.3C.4D.8解 析 ： 设 方 程 的 另 一 根 为 ， 则 +2=6， 解 得 =4. 答 案 ： C.7.(3分 ) 已 知 一 个 圆 柱 的 侧 面 展
5、开 图 为 如 图 所 示 的 矩 形 ， 则 其 底 面 圆 的 面 积 为 ( )A.B.4C. 或 4D.2 或 4解 析 ： 底 面 周 长 为 4 时 ， 半 径 为 4 2=2， 底 面 圆 的 面 积 为 2 2=4 ； 底 面 周 长 为 2 时 ， 半 径 为 2 2=1， 底 面 圆 的 面 积 为 12= .答 案 ： C.8.(3分 )一 列 快 车 从 甲 地 驶 往 乙 地 ， 一 列 特 快 车 从 乙 地 驶 往 甲 地 ， 快 车 的 速 度 为 100千 米 /小 时 ， 特 快 车 的 速 度 为 150千 米 /小 时 ， 甲 、 乙 两 地 之 间 的
6、 距 离 为 1000千 米 ， 两 车 同 时 出 发 ，则 图 中 折 线 大 致 表 示 两 车 之 间 的 距 离 y(千 米 )与 快 车 行 驶 时 间 (小 时 )之 间 的 函 数 图 象 是( ) A.B. C. D.解 析 ： 两 车 从 开 始 到 相 遇 ， 这 段 时 间 两 车 距 迅 速 减 小 ； 相 遇 后 向 相 反 方 向 行 驶 至 特 快 到 达 甲 地 ， 这 段 时 间 两 车 距 迅 速 增 加 ； 特 快 到 达 甲 地 至 快 车 到 达 乙 地 ， 这 段 时 间 两 车 距 缓 慢 增 大 ；结 合 图 象 可 得 C选 项 符 合 题
7、意 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ， 满 分 21 分 )9.(3分 )计 算 ： = . 解 析 ： 原 式 = = =- ， (或 ).答 案 ：10.(3分 )分 解 因 式 ： ab2-4a= .解 析 ： ab2-4a=a(b2-4)=a(b-2)(b+2).答 案 ： a(b-2)(b+2).11.(3分 )已 知 ABC为 等 边 三 角 形 ， BD为 中 线 ， 延 长 BC至 E， 使 CE=CD=1， 连 接 DE， 则 DE= . 解 析 ： ABC为 等 边 三 角 形 ， ABC= ACB=60 ， AB=BC， BD 为 中 线 ，
8、DBC= ABC=30 ， CD=CE， E= CDE， E+ CDE= ACB， E=30 = DBC， BD=DE， BD 是 AC中 线 ， CD=1， AD=DC=1， ABC是 等 边 三 角 形 ， BC=AC=1+1=2， BD AC，在 Rt BDC中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： BD= = ， 即 DE=BD= ， 答 案 ： .点 评 ： 本 题 考 查 了 等 边 三 角 形 性 质 ， 勾 股 定 理 ， 等 腰 三 角 形 性 质 ， 三 角 形 的 外 角 性 质 等 知12.(3分 )已 知 反 比 例 函 数 在 第 一 象 限 的 图 象 如 图 所 示
9、， 点 A在 其 图 象 上 ， 点 B为 x轴正 半 轴 上 一 点 ， 连 接 AO、 AB， 且 AO=AB， 则 S AOB= . 解 析 ： 过 点 A 作 AC OB 于 点 C， AO=AB， CO=BC， 点 A在 其 图 象 上 ， AC CO=3， AC BC=3， S AOB=6.答 案 ： 6.13.(3分 )如 图 ， M 是 CD 的 中 点 ， EM CD， 若 CD=4， EM=8， 则 所 在 圆 的 半 径 为 .解 析 ： 连 接 OC， M 是 CD 的 中 点 ， EM CD， EM 过 O的 圆 心 点 O，设 半 径 为 x， CD=4， EM=8
10、， CM= CD=2， OM=8-OE=8-x， 在 Rt OCM中 ， OM2+CM2=OC2， 即 (8-x)2+22=x2， 解 得 ： x= . 所 在 圆 的 半 径 为 ： .答 案 ： .14.(3分 )DiaoyuIsland自 古 就 是 中 国 领 土 ， 中 国 政 府 已 对 DiaoyuIsland 开 展 常 态 化 巡 逻 .某 天 ， 为 按 计 划 准 点 到 达 指 定 海 域 ， 某 巡 逻 艇 凌 晨 1： 00出 发 ， 匀 速 行 驶 一 段 时 间 后 ， 因 中途 出 现 故 障 耽 搁 了 一 段 时 间 ， 故 障 排 除 后 ， 该 艇 加
11、 快 速 度 仍 匀 速 前 进 ， 结 果 恰 好 准 点 到 达 .如 图 是 该 艇 行 驶 的 路 程 y(海 里 )与 所 用 时 间 t(小 时 )的 函 数 图 象 ， 则 该 巡 逻 艇 原 计 划 准 点 到达 的 时 刻 是 . 解 析 ： 由 图 象 及 题 意 ， 得故 障 前 的 速 度 为 ： 80 1=80海 里 /时 ，故 障 后 的 速 度 为 ： (180-80) 1=100 海 里 /时 .设 航 行 额 全 程 有 a 海 里 ， 由 题 意 ， 得 ， 解 得 ： a=480，则 原 计 划 行 驶 的 时 间 为 ： 480 80=6小 时 ，答 案
12、 ： 615.(3分 )如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ， AB=4， BC=3， 边 CD 在 直 线 l 上 ， 将 矩 形 ABCD 沿 直 线 l 作 无滑 动 翻 滚 ， 当 点 A 第 一 次 翻 滚 到 点 A 1位 置 时 ， 则 点 A 经 过 的 路 线 长 为 .解 析 ： 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， AB=4， BC=3， BC=AD=3， ADC=90 ， 对 角 线 AC(BD)=5. 根 据 旋 转 的 性 质 知 ， ADA =90 ， AD=A D=BC=3， 点 A第 一 次 翻 滚 到 点 A 位 置 时 ， 则 点 A 经 过 的 路 线 长
13、为 ： = . 同 理 ， 点 A 第 一 次 翻 滚 到 点 A 位 置 时 ， 则 点 A 经 过 的 路 线 长 为 ： =2 .点 A 第 一 次 翻 滚 到 点 A1位 置 时 ， 则 点 A 经 过 的 路 线 长 为 ： = .则 当 点 A 第 一 次 翻 滚 到 点 A1位 置 时 ， 则 点 A 经 过 的 路 线 长 为 ： +2 + =6 . 答 案 ： 6 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 10个 小 题 ， 共 86分 )16.(6分 )解 方 程 组 ： . 解 析 ： 把 方 程 组 整 理 成 一 般 形 式 ， 然 后 利 用 代 入 消 元 法 其
14、求 即 可 .答 案 ： 方 程 组 可 化 为 ，由 得 ， x=5y-3 ， 代 入 得 ， 5(5y-3)-11y=-1， 解 得 y=1，把 y=1代 入 得 ， x=5-3=2，所 以 ， 原 方 程 组 的 解 是 .17.(6分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， 对 角 线 AC、 BD相 交 于 点 O， DH AB 于 H， 连 接 OH，求 证 ： DHO= DCO. 解 析 ： 根 据 菱 形 的 对 角 线 互 相 平 分 可 得 OD=OB， 再 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的一 半 可 得 OH=OB， 然 后
15、 根 据 等 边 对 等 角 求 出 OHB= OBH， 根 据 两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 求出 OBH= ODC， 然 后 根 据 等 角 的 余 角 相 等 证 明 即 可 .答 案 ： 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， OD=OB， COD=90 ， DH AB， OH= BD=OB， OHB= OBH，又 AB CD， OBH= ODC，在 Rt COD中 ， ODC+ DCO=90 ，在 Rt DHB中 ， DHO+ OHB=90 ， DHO= DCO. 18.(7分 )为 了 倡 导 “ 节 约 用 水 ， 从 我 做 起 ” ， 黄 冈 市 政 府 决 定 对
16、 市 直 机 关 500户 家 庭 的 用水 情 况 作 一 次 调 查 ， 市 政 府 调 查 小 组 随 机 抽 查 了 其 中 100户 家 庭 一 年 的 月 平 均 用 水 量 (单 位 ：吨 ).并 将 调 查 结 果 制 成 了 如 图 所 示 的 条 形 统 计 图 .(1)请 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ； (2)求 这 100个 样 本 数 据 的 平 均 数 ， 众 数 和 中 位 数 ；(3)根 据 样 本 数 据 ， 估 计 黄 冈 市 直 机 关 500 户 家 庭 中 月 平 均 用 水 量 不 超 过 12吨 的 约 有 多 少户 ？解 析 ： (1
17、)根 据 条 形 图 中 数 据 得 出 平 均 用 水 11 吨 的 户 数 ， 进 而 画 出 条 形 图 即 可 ；(2)根 据 平 均 数 、 中 位 数 、 众 的 定 义 分 别 求 解 即 可 ；(3)根 据 样 本 估 计 总 体 得 出 答 案 即 可 .答 案 ： (1)根 据 条 形 图 可 得 出 ：平 均 用 水 11吨 的 用 户 为 ： 100-20-10-20-10=40(户 )，如 图 所 示 ： (2)平 均 数 为 ： (20 10+40 11+12 10+13 20+10 14)=11.6(吨 )，根 据 11出 现 次 数 最 多 ， 故 众 数 为
18、： 11，根 据 100个 数 据 的 最 中 间 为 第 50 和 第 51 个 数 据 ，按 大 小 排 列 后 第 50， 51 个 数 据 是 11， 故 中 位 数 为 ： 11；答 ： 这 100个 样 本 数 据 的 平 均 数 ， 众 数 和 中 位 数 分 别 是 11.6， 11， 11；(3)样 本 中 不 超 过 12吨 的 有 20+40+10=70(户 )，答 ： 黄 冈 市 直 机 关 500户 家 庭 中 月 平 均 用 水 量 不 超 过 12 吨 的 约 有 ： 500 =350(户 ).19.(6分 )如 图 ， 有 四 张 背 面 相 同 的 纸 牌 A
19、， B， C， D， 其 正 面 分 别 是 红 桃 、 方 块 、 黑 桃 、 梅花 ， 其 中 红 桃 、 方 块 为 红 色 ， 黑 桃 、 梅 花 为 黑 色 .小 明 将 这 4 张 纸 牌 背 面 朝 上 洗 匀 后 ， 摸 出一 张 ， 将 剩 余 3张 再 摸 出 一 张 . (1)用 树 状 图 (或 列 表 法 )表 示 两 次 摸 牌 所 有 可 能 出 现 的 结 果 (纸 牌 用 A， B， C， D 表 示 )；(2)求 摸 出 的 两 张 牌 同 为 红 色 的 概 率 .解 析 ： (1)画 出 树 状 图 即 可 ；(2)根 据 树 状 图 可 以 直 观 的
20、 得 到 共 有 12 种 情 况 ， 都 是 红 色 情 况 有 2 种 ， 进 而 得 到 概 率 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ：(2)根 据 树 状 图 可 得 共 有 12 种 情 况 ， 都 是 红 色 情 况 有 2 种 ， 概 率 为 P= = . 20.(7分 )如 图 ， AB为 O 的 直 径 ， C为 O 上 一 点 ， AD和 过 C 点 的 直 线 互 相 垂 直 ， 垂 足 为 D，且 AC 平 分 DAB.(1)求 证 ： DC为 O 的 切 线 ；(2)若 O 的 半 径 为 3， AD=4， 求 AC的 长 .解 析 ： (1)连 接 OC， 由 OA
21、=OC可 以 得 到 OAC= OCA， 然 后 利 用 角 平 分 线 的 性 质 可 以 证 明 DAC= OCA， 接 着 利 用 平 行 线 的 判 定 即 可 得 到 OC AD， 然 后 就 得 到 OC CD， 由 此 即 可 证 明 直 线 CD与 O 相 切 于 C 点 ；(2)连 接 BC， 根 据 圆 周 角 定 理 的 推 理 得 到 ACB=90 ， 又 DAC= OAC， 由 此 可 以 得 到 ADC ACB， 然 后 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1)连 接 OC， OA=OC， OAC= OCA， AC 平 分
22、 DAB， DAC= OAC， DAC= OCA， OC AD， AD CD OC CD， 直 线 CD与 O 相 切 于 点 C；(2)连 接 BC， 则 ACB=90 . DAC= OAC， ADC= ACB=90 ， ADC ACB， ， AC 2=AD AB， O的 半 径 为 3， AD=4， AB=6， AC=2 .21.(8分 )为 支 援 四 川 雅 安 地 震 灾 区 ， 某 市 民 政 局 组 织 募 捐 了 240吨 救 灾 物 资 ， 现 准 备 租 用甲 、 乙 两 种 货 车 ， 将 这 批 救 灾 物 资 一 次 性 全 部 运 往 灾 区 ， 它 们 的 载 货
23、 量 和 租 金 如 下 表 ：如 果 计 划 租 用 6辆 货 车 ， 且 租 车 的 总 费 用 不 超 过 2300元 ， 求 最 省 钱 的 租 车 方 案 .解 析 ： 根 据 设 租 用 甲 种 货 车 x 辆 ， 则 租 用 乙 种 (6-x)辆 ， 利 用 某 市 民 政 局 组 织 募 捐 了 240吨救 灾 物 资 ， 以 及 每 辆 货 车 的 载 重 量 得 出 不 等 式 求 出 即 可 ， 进 而 根 据 每 辆 车 的 运 费 求 出 最 省 钱 方 案 .答 案 ： 设 租 用 甲 种 货 车 x辆 ， 则 租 用 乙 种 (6-x)辆 ，根 据 题 意 得 出
24、 ： ， 解 得 ： 4 x 5，则 租 车 方 案 为 ：甲 4 辆 ， 乙 2 辆 ；甲 5 辆 ， 乙 1 辆 ；租 车 的 总 费 用 分 别 为 ：4 400+2 300=2200(元 )；5 400+1 300=2300(元 )，故 最 省 钱 的 租 车 方 案 是 租 用 甲 货 车 4 辆 ， 乙 货 车 2 辆 . 22.(8分 )如 图 ， 小 山 顶 上 有 一 信 号 塔 AB， 山 坡 BC 的 倾 角 为 30 ， 现 为 了 测 量 塔 高 AB， 测量 人 员 选 择 山 脚 C 处 为 一 测 量 点 ， 测 得 塔 顶 仰 角 为 45 ， 然 后 顺 山
25、 坡 向 上 行 走 100米 到 达 E处 ， 再 测 得 塔 顶 仰 角 为 60 ， 求 塔 高 AB(结 果 保 留 整 数 ， 1.73， 1.41) 解 析 ： 先 判 断 ACE为 等 腰 三 角 形 ， 在 Rt AEF中 表 示 出 EF、 AF， 在 Rt BEF 中 求 出 BF，根 据 AB=AF-BF即 可 得 出 答 案 .答 案 ： 依 题 意 可 得 ： EAB=30 ， ACE=15 ，又 AEB= ACE+ CAE CAE=15 ， 即 ACE为 等 腰 三 角 形 ， AE=CE=100m，在 Rt AEF中 ， AEF=60 ， EF=AEcos60 =
26、50m， AF=AEsin60 =50 m，在 Rt BEF中 ， BEF=30 ， BF=EFtan30 =50 = m， AB=AF-BF=50 - = 58(米 ).答 ： 塔 高 AB 大 约 为 58 米 .23.(12分 )某 公 司 生 产 的 一 种 健 身 产 品 在 市 场 上 受 到 普 遍 欢 迎 ， 每 年 可 在 国 内 、 国 外 市 场 上全 部 售 完 .该 公 司 的 年 产 量 为 6 千 件 ， 若 在 国 内 市 场 销 售 ， 平 均 每 件 产 品 的 利 润 y 1(元 )与 国内 销 售 量 x(千 件 )的 关 系 为 ： y1=若 在 国
27、外 销 售 ， 平 均 每 件 产 品 的 利 润 y2(元 )与 国 外 的 销 售 数 量 t(千 件 )的 关 系 为(1)用 x 的 代 数 式 表 示 t 为 ： t= ； 当 0 x 4 时 ， y 2与 x的 函 数 关 系 为 ： y2= ；当 x 时 ， y2=100；(2)求 每 年 该 公 司 销 售 这 种 健 身 产 品 的 总 利 润 w(千 元 )与 国 内 销 售 数 量 x(千 件 )的 函 数 关 系式 ， 并 指 出 x 的 取 值 范 围 ；(3)该 公 司 每 年 国 内 、 国 外 的 销 售 量 各 为 多 少 时 ， 可 使 公 司 每 年 的
28、总 利 润 最 大 ？ 最 大 值 为 多少 ？答 案 ： (1)由 该 公 司 的 年 产 量 为 6 千 件 ， 每 年 可 在 国 内 、 国 外 市 场 上 全 部 售 完 ， 可 得 国 内 销售 量 +国 外 销 售 量 =6千 件 ， 即 x+t=6， 变 形 即 为 t=6-x；根 据 平 均 每 件 产 品 的 利 润 y 2(元 )与 国 外 的 销 售 数 量 t(千 件 )的 关 系及 t=6-x 即 可 求 出 y2与 x 的 函 数 关 系 ： 当 0 x 4 时 ，y2=5x+80； 当 4 x 6 时 ， y2=100；(2)根 据 总 利 润 =国 内 销 售
29、 的 利 润 +国 外 销 售 的 利 润 ， 结 合 函 数 解 析 式 ， 分 三 种 情 况 讨 论 ： 0 x 2； 2 x 4； 4 x 6； (3)先 利 用 配 方 法 将 各 解 析 式 写 成 顶 点 式 ， 再 根 据 二 次 函 数 的 性 质 ， 求 出 三 种 情 况 下 的 最 大值 ， 再 比 较 即 可 .答 案 ： (1)由 题 意 ， 得 x+t=6， t=6-x； ， 当 0 x 4 时 ， 2 6-x 6， 即 2 t 6，此 时 y2与 x 的 函 数 关 系 为 ： y2=-5(6-x)+110=5x+80；当 4 x 6时 ， 0 6-x 2， 即
30、 0 t 2， 此 时 y 2=100.故 答 案 为 ： 6-x； 5x+80； 4， 6；(2)分 三 种 情 况 ： 当 0 x 2 时 ， w=(15x+90)x+(5x+80)(6-x)=10 x2+40 x+480； 当 2 x 4 时 ， w=(-5x+130)x+(5x+80)(6-x)=-10 x2+80 x+480； 当 4 x 6 时 ， w=(-5x+130)x+100(6-x)=-5x2+30 x+600；综 上 可 知 ， w= ；(3)当 0 x 2 时 ， w=10 x 2+40 x+480=10(x+2)2+440， 此 时 x=2 时 ， w 最 大 =60
31、0；当 2 x 4时 ， w=-10 x2+80 x+480=-10(x-4)2+640， 此 时 x=4时 ， w 最 大 =640；当 4 x 6时 ， w=-5x2+30 x+600=-5(x-3)2+645， 4 x 6时 ， w 640； a=-5， 当 x 3 时 ， w随 x的 增 大 而 减 小 ， x=4时 ， w 最 大 =640.故 该 公 司 每 年 国 内 、 国 外 的 销 售 量 各 为 4千 件 、 2 千 件 ， 可 使 公 司 每 年 的 总 利 润 最 大 ， 最 大值 为 640 千 元 .24.(15分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中
32、 ， 四 边 形 ABCO是 梯 形 ， 其 中 A(6， 0)， B(3， )，C(1， )， 动 点 P从 点 O以 每 秒 2个 单 位 的 速 度 向 点 A运 动 ， 动 点 Q也 同 时 从 点 B沿 B C O的 线 路 以 每 秒 1个 单 位 的 速 度 向 点 O 运 动 ， 当 点 P 到 达 A点 时 ， 点 Q 也 随 之 停 止 ， 设 点 P，Q运 动 的 时 间 为 t(秒 ). (1)求 经 过 A， B， C 三 点 的 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)当 点 Q 在 CO边 上 运 动 时 ， 求 OPQ的 面 积 S与 时 间 t的 函 数 关 系
33、式 ；(3)以 O， P， Q 顶 点 的 三 角 形 能 构 成 直 角 三 角 形 吗 ？ 若 能 ， 请 求 出 t 的 值 ； 若 不 能 ， 请 说 明理 由 ；(4)经 过 A， B， C 三 点 的 抛 物 线 的 对 称 轴 、 直 线 OB 和 PQ 能 够 交 于 一 点 吗 ？ 若 能 ， 请 求 出 此时 t 的 值 (或 范 围 )， 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 ).答 案 ： (1)利 用 待 定 系 数 法 求 出 二 次 函 数 解 析 式 即 可 ；(2)根 据 已 知 得 出 OPQ的 高 ， 进 而 利 用 三 角 形 面 积 公 式 求 出 即
34、可 ； (3)根 据 题 意 得 出 ： 0 t 3， 当 0 t 2时 ， Q 在 BC 边 上 运 动 ， 得 出 若 OPQ为 直 角 三 角 形 ，只 能 是 OPQ=90 或 OQP=90 ， 当 2 t 3 时 ， Q在 OC边 上 运 动 ， 得 出 OPQ不 可 能 为 直角 三 角 形 ；(4)首 先 求 出 抛 物 线 对 称 轴 以 及 OB直 线 解 析 式 和 PM的 解 析 式 ， 得 出 (1-t) =3-t-2t，恒 成 立 ， 即 0 t 2 时 ， P， M， Q总 在 一 条 直 线 上 ， 再 利 用 2 t 3时 ， 求 出 t的 值 ， 根 据t的
35、取 值 范 围 得 出 答 案 .答 案 ： (1)设 所 求 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+bx+c， 把 A(6， 0)， B(3， )， C(1， )三 点坐 标 代 入 得 ： ， 解 得 ： ， 即 所 求 抛 物 线 解 析 式 为 ： y=- x2+ x+ ；(2)如 图 1， 依 据 题 意 得 出 ： OC=CB=2， C(1， )， tan COA= ， COA=60 ， 当 动 点 Q 运 动 到 OC 边 时 ， OQ=4-t， OPQ的 高 为 ： OQ sin60 =(4-t) ， 又 OP=2t， S= 2t (4-t) =- (t2-4t)(2 t
36、 3)；(3)根 据 题 意 得 出 ： 0 t 3，当 0 t 2时 ， Q 在 BC 边 上 运 动 ， 此 时 OP=2t， OQ= ，PQ= = ， POQ POC=60 ， 若 OPQ为 直 角 三 角 形 ， 只 能 是 OPQ=90 或 OQP=90 ，若 OPQ=90 ， 如 图 2， 则 OP2+PQ2=QO2， 即 4t2+3+(3t-3)2=3+(3-t)2，解 得 ： t1=1， t2=0(舍 去 )，若 OPQ为 直 角 三 角 形 ， 只 能 是 OPQ=90 或 OQP=90 ，若 OQP=90 ， 如 图 3，则 OQ 2+PQ2=PO2， 即 (3-t)2+6
37、+(3t-3)2=4t2， 解 得 ： t=2，当 2 t 3时 ， Q 在 OC 边 上 运 动 ， 此 时 OP=2t 4， POQ= COP=60 ， OQ OC=2，故 OPQ不 可 能 为 直 角 三 角 形 ，综 上 所 述 ， 当 t=1或 t=2时 ， OPQ为 直 角 三 角 形 ；(4)由 (1)可 知 ， 抛 物 线 y=- x2+ x+ =- (x-2)2+ ， 其 对 称 轴 为 x=2，又 OB的 直 线 方 程 为 y= x， 抛 物 线 对 称 轴 与 OB 交 点 为 M(2， )，又 P(2t， 0)设 过 P， M 的 直 线 解 析 式 为 ： y=kx
38、+b， ， 解 得 ： ， 即 直 线 PM 的 解 析 式 为 ： y= x- ， 即 (1-t)y=x-2t，又 0 t 2时 ， Q(3-t， )， 代 入 上 式 ， 得 ： (1-t) =3-t-2t， 恒 成 立 ，即 0 t 2时 ， P， M， Q总 在 一 条 直 线 上 ，即 M 在 直 线 PQ 上 ；当 2 t 3时 ， OQ=4-t， QOP=60 ， Q( ， )，代 入 上 式 得 ： (1-t)= -2t， 解 得 ： t=2 或 t= (均 不 合 题 意 ， 舍 去 ). 综 上 所 述 ， 可 知 过 点 A、 B、 C三 点 的 抛 物 线 的 对 称 轴 OB 和 PQ能 够 交 于 一 点 ， 此 时 0 t 2.
