1、2013年 湖 北 省 武 汉 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 30 分 )下 列 各 题 中 均 有 四 个 备 选 答 案 中 ， 其 中有 且 只 有 一 个 是 正 确 的 。1.(3分 )下 列 各 数 中 ， 最 大 的 是 ( )A.-3B.0C.1D.2解 析 ： 表 示 -3、 0、 1、 2的 数 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 . 由 图 示 知 ， 这 四 个 数 中 ， 最 大 的 是 2.答 案 ： D.2.(3分 )式 子 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 则 x的 取 值 范
2、围 是 ( )A.x 1B.x 1C.x -1D.x 1解 析 ： 根 据 题 意 得 ： x-1 0， 即 x 1 时 ， 二 次 根 式 有 意 义 .答 案 ： B. 3.(3分 )不 等 式 组 的 解 集 是 ( )A.-2 x 1B.-2 x 1C.x -1D.x 2解 析 ： ，由 得 ， x -2；由 得 ， x 1；故 不 等 式 组 的 解 集 为 -2 x 1.答 案 ： A. 4.(3分 )袋 子 中 装 有 4 个 黑 球 和 2个 白 球 ， 这 些 球 的 形 状 、 大 小 、 质 地 等 完 全 相 同 ， 在 看 不到 球 的 条 件 下 ， 随 机 地 从
3、 袋 子 中 摸 出 三 个 球 ， 下 列 事 件 是 必 然 事 件 的 是 ( )A.摸 出 的 三 个 球 中 至 少 有 一 个 球 是 黑 球B.摸 出 的 三 个 球 中 至 少 有 一 个 球 是 白 球C.摸 出 的 三 个 球 中 至 少 有 两 个 球 是 黑 球D.摸 出 的 三 个 球 中 至 少 有 两 个 球 是 白 球 解 析 ： A、 是 必 然 事 件 ；B、 是 随 机 事 件 ， 选 项 错 误 ；C、 是 随 机 事 件 ， 选 项 错 误 ；D、 是 随 机 事 件 ， 选 项 错 误 .答 案 ： A.5.(3分 )若 x1， x2是 一 元 二
4、次 方 程 x2-2x-3=0的 两 个 根 ， 则 x1 x2的 值 是 ( )A.3B.-3C.2D.-2解 析 ： x 1， x2是 一 元 二 次 方 程 x2-2x-3=0的 两 个 根 ， x1 x2= =-3.答 案 ： B6.(3分 )如 图 ， ABC中 ， AB=AC， A=36 ， BD是 AC边 上 的 高 ， 则 DBC 的 度 数 是 ( ) A.18B.24C.30D.36解 析 ： AB=AC， A=36 ， ABC= ACB=72 BD 是 AC边 上 的 高 ， BD AC， DBC=90 -72 =18 .答 案 ： A.7.(3分 )如 图 是 由 四
5、个 大 小 相 同 的 正 方 体 组 合 而 成 的 几 何 体 ， 其 主 视 图 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 从 正 面 看 ， 下 面 一 行 是 横 放 3 个 正 方 体 ， 上 面 一 行 最 右 边 是 一 个 正 方 体 .答 案 ： C.8.(3分 )两 条 直 线 最 多 有 1 个 交 点 ， 三 条 直 线 最 多 有 3个 交 点 ， 四 条 直 线 最 多 有 6个 交 点 ， ，那 么 六 条 直 线 最 多 有 ( )A.21个 交 点B.18个 交 点C.15个 交 点 D.10个 交 点解 析 ： 两 条 直 线 最 多 有 1 个 交 点
6、，三 条 直 线 最 多 有 3 个 交 点 ， 1+2=3，四 条 直 线 最 多 有 6 个 交 点 ， 1+2+3=6， n 条 直 线 最 多 的 交 点 个 数 为 1+2+3+4+ +n-1， 当 n=6时 ， 6条 直 线 最 多 的 交 点 个 数 为 1+2+3+4+5=15.答 案 ： C. 9.(3分 )为 了 了 解 学 生 课 外 阅 读 的 喜 好 ， 某 校 从 八 年 级 随 机 抽 取 部 分 学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 调查 要 求 每 人 只 选 取 一 种 喜 好 的 书 籍 ， 如 果 没 有 喜 好 的 书 籍 ， 则 作 “ 其 它 ” 类
7、 统 计 .图 (1)与 图(2)是 整 理 数 据 后 绘 制 的 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 .以 下 结 论 不 正 确 的 是( )A.由 这 两 个 统 计 图 可 知 喜 好 “ 科 普 常 识 ” 的 学 生 有 90 人 B.若 该 年 级 共 有 1200名 学 生 ， 则 由 这 两 个 统 计 图 可 估 计 喜 爱 “ 科 普 常 识 ” 的 学 生 约 有 360人C.这 两 个 统 计 图 不 能 确 定 喜 好 “ 小 说 ” 的 人 数 D.在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 漫 画 ” 所 在 扇 形 的 圆 心 角 为 72解 析 ： A、 喜 欢
8、“ 其 它 ” 类 的 人 数 为 ： 30人 ， 扇 形 图 中 所 占 比 例 为 ： 10%， 样 本 总 数 为 ： 30 10%=300(人 )， 喜 好 “ 科 普 常 识 ” 的 学 生 有 ： 300 30%=90(人 )， 故 此 选 项 不 符 合 题 意 ；B、 若 该 年 级 共 有 1200名 学 生 ， 则 由 这 两 个 统 计 图 可 估 计 喜 爱 “ 科 普 常 识 ” 的 学 生 约 有 ： 90=360(人 )， 故 此 选 项 不 符 合 题 意 ；C、 喜 好 “ 小 说 ” 的 人 数 为 ： 300-90-60-30=120(人 )， 故 此 选
9、 项 错 误 符 合 题 意 ；D、 “ 漫 画 ” 所 在 扇 形 的 圆 心 角 为 ： 360 =72 ， 故 此 选 项 不 符 合 题 意 .答 案 ： C.10.(3分 )如 图 ， A与 B 外 切 于 点 D， PC， PD， PE分 别 是 圆 的 切 线 ， C， D， E 是 切 点 .若 CDE=x ， ECD=y ， B的 半 径 为 R， 则 的 长 度 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 根 据 题 意 ， 由 切 线 长 定 理 可 知 ： PC=PD=PE，即 点 C、 D、 E 在 以 P 为 圆 心 ， PC长 为 半 径 的 P 上 ， 由 圆 周
10、角 定 理 得 ： DPE=2 ECD=2y .如 图 ， 连 接 BD、 BE， 则 BDP= BEP=90 ， 在 四 边 形 BDPE 中 ， B+ BDP+ DPE+ BEP=360 ，即 ： B+90 +2y +90 =360 ， 解 得 ： B=180 -2y . 的 长 度 是 ： = .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 18分 )11.(3分 )计 算 ： cos45 = .解 析 ： 根 据 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 可 知 ： cos45 = .答 案 ： . 12.(3分 )在 2013年 的 体 育 中
11、考 中 ， 某 校 6名 学 生 的 分 数 分 别 是 27、 28、 29、 28、 26、 28，这 组 数 据 的 众 数 是 .解 析 ： 27、 28、 29、 28、 26、 28 中 ， 28出 现 的 次 数 最 多 ，故 这 组 数 据 的 众 数 是 28.答 案 ： 28.13.(3分 )太 阳 的 半 径 约 为 696 000千 米 ， 用 科 学 记 数 法 表 示 数 696 000为 .解 析 ： 696 000=6.96 10 5，答 案 ： 6.96 105.14.(3分 )设 甲 、 乙 两 车 在 同 一 直 线 公 路 上 匀 速 行 驶 ， 开 始
12、 甲 车 在 乙 车 的 前 面 ， 当 乙 车 追 上甲 车 后 ， 两 车 停 下 来 ， 把 乙 车 的 货 物 转 给 甲 车 ， 然 后 甲 车 继 续 前 行 ， 乙 车 向 原 地 返 回 .设 x秒 后 两 车 间 的 距 离 为 y 米 ， y关 于 x 的 函 数 关 系 如 图 所 示 ， 则 甲 车 的 速 度 是 米 /秒 . 解 析 ： 设 甲 车 的 速 度 是 a米 /秒 ， 乙 车 的 速 度 为 b 米 /秒 ，由 题 意 ， 得 ， 解 得 ： .答 案 ： 20. 15.(3分 )如 图 ， 已 知 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， BC=
13、2AB.A， B 两 点 的 坐 标 分 别 是 (-1， 0)，(0， 2)， C， D 两 点 在 反 比 例 函 数 y= (k 0)的 图 象 上 ， 则 k 等 于 . 解 析 ： 设 点 C 坐 标 为 (a， )， (a 0)， 点 D 的 坐 标 为 (x， y)， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AC与 BD 的 中 点 坐 标 相 同 ， ( ， )=( ， )，则 x=a-1， y= ， 代 入 y= ， 可 得 ： k=2a-2a2 ；在 Rt AOB中 ， AB= = ， BC=2AB=2 ， 故 BC2=(0-a)2+( -2)2=(2 )2，整
14、理 得 ： a 4+k2-4ka=16a2，将 k=2a-2a2， 代 入 后 化 简 可 得 ： a2=4， a 0， a=-2， k=-4-8=-12.答 案 ： -12.16.(3分 )如 图 ， E， F 是 正 方 形 ABCD 的 边 AD 上 两 个 动 点 ， 满 足 AE=DF.连 接 CF交 BD于 点 G，连 接 BE交 AG 于 点 H.若 正 方 形 的 边 长 为 2， 则 线 段 DH长 度 的 最 小 值 是 . 解 析 ： 在 正 方 形 ABCD中 ， AB=AD=CD， BAD= CDA， ADG= CDG，在 ABE和 DCF中 ， ， ABE DCF(
15、SAS)， 1= 2，在 ADG和 CDG中 ， ， ADG CDG(SAS)， 2= 3， 1= 3， BAH+ 3= BAD=90 ， 1+ BAH=90 ， AHB=180 -90 =90 ，取 AB 的 中 点 O， 连 接 OH、 OD， 则 OH=AO= AB=1，在 Rt AOD中 ， OD= = = ， 根 据 三 角 形 的 三 边 关 系 ， OH+DH OD， 当 O、 D、 H 三 点 共 线 时 ， DH的 长 度 最 小 ， 最 小 值 =OD-OH= -1.答 案 ： -1.三 、 解 答 题 (共 9 小 题 ， 共 72分 )17.(6分 )解 方 程 ： .
16、解 析 ： 观 察 可 得 最 简 公 分 母 是 x(x-3)， 方 程 两 边 乘 最 简 公 分 母 ， 可 以 把 分 式 方 程 转 化 为 整式 方 程 求 解 .答 案 ： 方 程 两 边 同 乘 以 x(x-3)， 得 2x=3(x-3).解 这 个 方 程 ， 得 x=9.检 验 ： 将 x=9代 入 x(x-3)知 ， x(x-3) 0.所 以 x=9是 原 方 程 的 根 . 18.(6分 )直 线 y=2x+b经 过 点 (3， 5)， 求 关 于 x的 不 等 式 2x+b 0的 解 集 .解 析 ： 先 把 点 (3， 5)代 入 直 线 y=2x+b， 求 出 b
17、的 值 ， 再 根 据 2x+b 0即 可 得 出 x 的 取 值 范围 .答 案 ： 直 线 y=2x+b经 过 点 (3， 5)， 5=2 3+b， 解 得 b=-1， 2x+b 0， 2x-1 0， 解 得 x .19.(6分 )如 图 ， 点 E、 F在 BC上 ， BE=FC， AB=DC， B= C.求 证 ： A= D. 解 析 ： 可 通 过 证 ABF DCE， 来 得 出 A= D的 结 论 .答 案 ： BE=FC， BE+EF=CF+EF， 即 BF=CE；又 AB=DC， B= C， ABF DCE； (SAS) A= D.20.(7分 )有 两 把 不 同 的 锁
18、和 四 把 不 同 的 钥 匙 ， 其 中 两 把 钥 匙 恰 好 分 别 能 打 开 这 两 把 锁 ， 其余 的 钥 匙 不 能 打 开 这 两 把 锁 .现 在 任 意 取 出 一 把 钥 匙 去 开 任 意 一 把 锁 .(1)请 用 列 表 或 画 树 状 图 的 方 法 表 示 出 上 述 事 件 所 有 可 能 的 结 果 ；(2)求 一 次 打 开 锁 的 概 率 .解 析 ： (1)首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 ；(2)由 (1)中 的 树 状 图 ， 可 求 得 一 次 打 开 锁 的 情 况
19、 ， 再 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： (1)分 别 用 A 与 B 表 示 锁 ， 用 A、 B、 C、 D表 示 钥 匙 ， 画 树 状 图 得 ： 则 可 得 共 有 8 种 等 可 能 的 结 果 ； (2) 一 次 打 开 锁 的 有 2 种 情 况 ， 一 次 打 开 锁 的 概 率 为 ： = .21.(7分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， Rt ABC的 三 个 顶 点 分 别 是 A(-3， 2)， B(0， 4)， C(0，2). (1)将 ABC以 点 C 为 旋 转 中 心 旋 转 180 ， 画 出 旋 转
20、 后 对 应 的 A1B1C； 平 移 ABC， 若 点 A的 对 应 点 A2的 坐 标 为 (0， -4)， 画 出 平 移 后 对 应 的 A2B2C2；(2)若 将 A1B1C绕 某 一 点 旋 转 可 以 得 到 A2B2C2； 请 直 接 写 出 旋 转 中 心 的 坐 标 ；(3)在 x 轴 上 有 一 点 P， 使 得 PA+PB的 值 最 小 ， 请 直 接 写 出 点 P的 坐 标 .解 析 ： (1)延 长 AC到 A1， 使 得 AC=A1C， 延 长 BC 到 B1， 使 得 BC=B1C， 利 用 点 A 的 对 应 点 A2的坐 标 为 (0， -4)， 得 出
21、图 象 平 移 单 位 ， 即 可 得 出 A2B2C2；(2)根 据 A1B1C 绕 某 一 点 旋 转 可 以 得 到 A2B2C2进 而 得 出 ， 旋 转 中 心 即 可 ；(3)根 据 B 点 关 于 x 轴 对 称 点 为 A 2， 连 接 AA2， 交 x 轴 于 点 P， 再 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出P点 坐 标 即 可 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ： (2)如 图 所 示 ： 旋 转 中 心 的 坐 标 为 ： ( ， -1)； (3) PO AC， = ， = ， OP=2， 点 P 的 坐 标 为 (-2， 0).22.(8分 )如 图 ，
22、已 知 ABC是 O的 内 接 三 角 形 ， AB=AC， 点 P是 的 中 点 ， 连 接 PA， PB，PC. (1)如 图 ， 若 BPC=60 .求 证 ： AC= AP；(2)如 图 ， 若 sin BPC= ， 求 tan PAB的 值 .解 析 ： (1)根 据 圆 周 角 定 理 得 BPC= BAC=60 ， 可 判 断 ABC为 等 边 三 角 形 ， ACB= ABC=60 ， 再 利 用 圆 周 角 定 理 得 到 APC= ABC=60 ， 而 点 P是 的 中 点 ， 则 ACP= ACB=30 ， 于 是 PAC=90 ， 然 后 根 据 30 度 的 正 切
23、可 计 算 出 AC= AP；(2)过 A 点 作 AD BC交 BC于 D， 连 结 OP交 AB于 E， 根 据 垂 径 定 理 的 推 论 得 到 点 O 在 AD 上 ，连 结 OB， 根 据 圆 周 角 定 理 得 BOD= BAC， BPC= BAC， 所 以 sin BOD=sin BPC= = ，设 OB=25x， 则 BD=24x， 在 Rt OBD中 可 计 算 出 OD=7x， 再 在 Rt ABD计 算 出 AB=40 x， 由 于 点 P 是 的 中 点 ， 根 据 垂 径 定 理 的 推 论 OP垂 直 平 分 AB， 则 AE= AB=20 x，在 Rt AEO中
24、 ， 根 据 勾 股 定 理 计 算 出 OE=15x， 所 以 PE=OP-OE=25x-15x=10 x， 最 后 在 Rt APE中 ， 利 用 正 切 的 定 义 求 解 .答 案 ： (1) BPC=60 ， BAC=60 ， AB=AC， ABC为 等 边 三 角 形 ， ACB= ABC=60 ， APC= ABC=60 ，而 点 P是 的 中 点 ， ACP= ACB=30 ， PAC=90 ， tan PCA= =tan30 = ， AC= PA；(2)过 A 点 作 AD BC交 BC于 D， 连 结 OP交 AB 于 E， 如 图 ， AB=AC， AD平 分 BC， 点
25、 O 在 AD 上 ， 连 结 OB， 则 BOD= BAC， BPC= BAC， sin BOD=sin BPC= = ，设 OB=25x， 则 BD=24x， OD= =7x，在 Rt ABD中 ， AD=25x+7x=32x， BD=24x， AB= =40 x， 点 P是 的 中 点 ， OP 垂 直 平 分 AB， AE= AB=20 x， AEP= AEO=90 ，在 Rt AEO中 ， OE= =15x， PE=OP-OE=25x-15x=10 x，在 Rt APE中 ， tan PAE= = = ， 即 tan PAB的 值 为 . 23.(10分 )科 幻 小 说 实 验 室
26、 的 故 事 中 ， 有 这 样 一 个 情 节 ： 科 学 家 把 一 种 珍 奇 的 植 物 分 别放 在 不 同 温 度 的 环 境 中 ， 经 过 一 天 后 ， 测 试 出 这 种 植 物 高 度 的 增 长 情 况 (如 下 表 )：由 这 些 数 据 ， 科 学 家 推 测 出 植 物 每 天 高 度 增 长 量 y是 温 度 x的 函 数 ， 且 这 种 函 数 是 反 比 例 函数 、 一 次 函 数 和 二 次 函 数 中 的 一 种 .(1)请 你 选 择 一 种 适 当 的 函 数 ， 求 出 它 的 函 数 关 系 式 ， 并 简 要 说 明 不 选 择 另 外 两
27、种 函 数 的 理由 ；(2)温 度 为 多 少 时 ， 这 种 植 物 每 天 高 度 增 长 量 最 大 ？(3)如 果 实 验 室 温 度 保 持 不 变 ， 在 10天 内 要 使 该 植 物 高 度 增 长 量 的 总 和 超 过 250mm， 那 么 实验 室 的 温 度 x 应 该 在 哪 个 范 围 内 选 择 ？ 请 直 接 写 出 结 果 .解 析 ： (1)选 择 二 次 函 数 ， 设 y=ax 2+bx+c(a 0)， 然 后 选 择 x=-2、 0、 2 三 组 数 据 ， 利 用 待 定系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式 即 可 ， 再 根 据 反 比 例
28、 函 数 的 自 变 量 x 不 能 为 0， 一 次 函 数 的 特 点 排除 另 两 种 函 数 ；(2)把 二 次 函 数 解 析 式 整 理 成 顶 点 式 形 式 ， 再 根 据 二 次 函 数 的 最 值 问 题 解 答 ； (3)求 出 平 均 每 天 的 高 度 增 长 量 为 25mm， 然 后 根 据 y=25求 出 x 的 值 ， 再 根 据 二 次 函 数 的 性质 写 出 x 的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)选 择 二 次 函 数 ， 设 y=ax2+bx+c(a 0)， x=-2时 ， y=49，x=0时 ， y=49，x=2时 ， y=41， ， 解 得
29、， 所 以 ， y关 于 x 的 函 数 关 系 式 为 y=-x 2-2x+49；不 选 另 外 两 个 函 数 的 理 由 ： 点 (0， 49)不 可 能 在 反 比 例 函 数 图 象 上 ， y 不 是 x的 反 比 例 函 数 ； 点 (-4， 41)， (-2， 49)， (2， 41)不 在 同 一 直 线 上 ， y不 是 x 的 一 次 函 数 ；(2)由 (1)得 ， y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50， a=-1 0， 当 x=-1时 ， y有 最 大 值 为 50，即 当 温 度 为 -1 时 ， 这 种 作 物 每 天 高 度 增 长 量 最 大 ；(3)
30、 10天 内 要 使 该 植 物 高 度 增 长 量 的 总 和 超 过 250mm， 平 均 每 天 该 植 物 高 度 增 长 量 超 过 25mm，当 y=25时 ， -x 2-2x+49=25， 整 理 得 ， x2+2x-24=0， 解 得 x1=-6， x2=4， 在 10 天 内 要 使 该 植 物 高 度 增 长 量 的 总 和 超 过 250mm， 实 验 室 的 温 度 应 保 持 在 -6 x4 .24.(10分 )已 知 四 边 形 ABCD中 ， E， F 分 别 是 AB， AD边 上 的 点 ， DE与 CF交 于 点 G. (1)如 图 ， 若 四 边 形 AB
31、CD是 矩 形 ， 且 DE CF.求 证 ： ；(2)如 图 ， 若 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 .试 探 究 ： 当 B与 EGC满 足 什 么 关 系 时 ， 使 得成 立 ？ 并 证 明 你 的 结 论 ；(3)如 图 ， 若 BA=BC=6， DA=DC=8， BAD=90 ， DE CF.请 直 接 写 出 的 值 .解 析 ： (1)根 据 矩 形 性 质 得 出 A= FDC=90 ， 求 出 CFD= AED， 证 出 AED DFC即 可 ；(2)当 B+ EGC=180 时 ， = 成 立 ， 证 DFG DEA， 得 出 = ， 证 CGD CDF，得
32、出 = ， 即 可 得 出 答 案 ； (3)过 C 作 CN AD 于 N， CM AB交 AB 延 长 线 于 M， 连 接 BD， 设 CN=x， BAD BCD， 推 出 BCD= A=90 ， 证 BCM DCN， 求 出 CM= x， 在 Rt CMB中 ， 由 勾 股 定 理 得 出 BM2+CM2=BC2，代 入 得 出 方 程 (x-6)2+( x)2=62， 求 出 CN= ， 证 出 AED NFC， 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， A= FDC=90 ， CF DE， DGF=90 ， ADE+ CFD=90 ， ADE
33、+ AED=90 ， CFD= AED， A= CDF， AED DFC， = ；(2)当 B+ EGC=180 时 ， = 成 立 .证 明 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， B= ADC， AD BC， B+ A=180 ， B+ EGC=180 ， A= EGC= FGD， FDG= EDA， DFG DEA， = ， B= ADC， B+ EGC=180 ， EGC+ DGC=180 ， CGD= CDF， GCD= DCF， CGD CDF， = ， = ， = ，即 当 B+ EGC=180 时 ， = 成 立 .(3) = .理 由 是 ： 过 C 作 CN A
34、D于 N， CM AB交 AB延 长 线 于 M， 连 接 BD， 设 CN=x， BAD=90 ， 即 AB AD， A= M= CNA=90 ， 四 边 形 AMCN是 矩 形 ， AM=CN， AN=CM， 在 BAD和 BCD 中 ， ， BAD BCD(SSS)， BCD= A=90 ， ABC+ ADC=180 ， ABC+ CBM=180 ， MBC= ADC， CND= M=90 ， BCM DCN， = ， = ， CM= x，在 Rt CMB中 ， CM= x， BM=AM-AB=x-6， 由 勾 股 定 理 得 ： BM 2+CM2=BC2， (x-6)2+( x)2=6
35、2， x=0(舍 去 )， x= ， CN= ， A= FGD=90 ， AED+ AFG=180 ， AFG+ NFC=180 ， AED= CFN， A= CNF=90 ， AED NFC， = = = .点 评 ： 本 题 考 查 了 矩 形 性 质 和 判 定 ， 勾 股 定 理 ， 平 行 四 边 形 的 性 质 和 判 定 ， 全 等 三 角 形 的25.(12分 )如 图 ， 点 P 是 直 线 l： y=-2x-2上 的 点 ， 过 点 P的 另 一 条 直 线 m 交 抛 物 线 y=x2于A、 B 两 点 . (1)若 直 线 m 的 解 析 式 为 y=- x+ ， 求
36、A， B 两 点 的 坐 标 ；(2) 若 点 P 的 坐 标 为 (-2， t).当 PA=AB 时 ， 请 直 接 写 出 点 A 的 坐 标 ； 试 证 明 ： 对 于 直 线 l 上 任 意 给 定 的 一 点 P， 在 抛 物 线 上 能 找 到 点 A， 使 得 PA=AB 成 立 .(3)设 直 线 l 交 y 轴 于 点 C， 若 AOB的 外 心 在 边 AB 上 ， 且 BPC= OCP， 求 点 P的 坐 标 .解 析 ： (1)联 立 抛 物 线 y=x2与 直 线 y=- x+ 的 解 析 式 ， 求 出 点 A、 B 的 坐 标 .(2) 如 答 图 1 所 示 ，
37、 求 出 点 P 坐 标 (-2， 2)， 设 A(m， m 2).作 辅 助 线 ， 构 造 直 角 梯 形 PGFB，AE为 中 位 线 ， 求 出 点 B 的 坐 标 (用 含 m的 代 数 式 表 示 )， 然 后 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 求 出 m 的值 ； 与 解 题 思 路 一 致 .设 P(a， -2a-2)， A(m， m2).作 辅 助 线 ， 构 造 直 角 梯 形 PGFB， AE为 中 位线 ， 求 出 点 B 的 坐 标 (用 含 a、 m 的 代 数 式 表 示 )， 然 后 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 得 到 关 于 m 的 一元 二 次 方
38、 程 ， 根 据 其 判 别 式 大 于 0， 可 证 明 题 中 结 论 成 立 .(3) AOB的 外 心 在 边 AB上 ， 则 AB为 AOB外 接 圆 的 直 径 ， AOB=90 .设 A(m， m2)， B(n，n 2).作 辅 助 线 ， 证 明 AEO OFB， 得 到 mn=-1.再 联 立 直 线 m： y=kx+b 与 抛 物 线 y=x2的 解析 式 ， 由 根 与 系 数 关 系 得 到 ： mn=-b， 所 以 b=1； 由 此 得 到 OD、 CD的 长 度 ， 从 而 得 到 PD的长 度 ； 作 辅 助 线 ， 构 造 Rt PDG， 由 勾 股 定 理 求
39、 出 点 P的 坐 标 .答 案 ： (1) 点 A、 B是 抛 物 线 y=x2与 直 线 y=- x+ 的 交 点 ， x2=- x+ ， 解 得 x=1或 x=- .当 x=1时 ， y=1； 当 x=- 时 ， y= ， A(- ， )， B(1， 1).(2) 点 P(-2， t)在 直 线 y=-2x-2上 ， t=2， P(-2， 2).设 A(m， m 2)， 如 答 图 1 所 示 ， 分 别 过 点 P、 A、 B作 x轴 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 点 G、 E、 F. PA=AB， AE是 梯 形 PGFB的 中 位 线 ， GE=EF， AE= (PG+BF)
40、. OF=|EF-OE|， GE=EF， OF=|GE-EO|， GE=GO-EO=2+m， EO=-m， OF=|2+m-(-m)|=|2+2m| OF=2m+2， AE= (PG+BF)， BF=2AE-PG=2m2-2. B(2+2m， 2m2-2). 点 B在 抛 物 线 y=x2上 ， 2m2-2=(2+2m)2解 得 ： m=-1或 -3，当 m=-1时 ， m 2=1； 当 m=-3时 ， m2=9， 点 A 的 坐 标 为 (-1， 1)或 (-3， 9). 设 P(a， -2a-2)， A(m， m2).如 答 图 1 所 示 ， 分 别 过 点 P、 A、 B作 x轴 的
41、垂 线 ， 垂 足 分 别 为 点 G、 E、 F.与 同 理 可 求 得 ： B(2m-a， 2m2+2a+2). 点 B在 抛 物 线 y=x2上 ， 2m2+2a+2=(2m-a)2整 理 得 ： 2m2-4am+a2-2a-2=0. =16a2-8(a2-2a-2)=8a2+16a+16=8(a+1)2+8 0， 无 论 a 为 何 值 时 ， 关 于 m 的 方 程 总 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 .即 对 于 任 意 给 定 的 点 P， 抛 物线 上 总 能 找 到 两 个 满 足 条 件 的 点 A， 使 得 PA=AB成 立 .(3) AOB的 外 心 在 边 A
42、B上 ， AB 为 AOB外 接 圆 的 直 径 ， AOB=90 .设 A(m， m 2)， B(n， n2)，如 答 图 2 所 示 ， 过 点 A、 B 分 别 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 E、 F， 则 易 证 AEO OFB. ， 即 ， 整 理 得 ： mn(mn+1)=0， mn 0， mn+1=0， 即 mn=-1.设 直 线 m 的 解 析 式 为 y=kx+b， 联 立 ， 得 ： x2-kx-b=0. m， n是 方 程 的 两 个 根 ， mn=-b. b=1.设 直 线 m 与 y 轴 交 于 点 D， 则 OD=1.易 知 C(0， -2)， OC=2， CD=OC+OD=3. BPC= OCP， PD=CD=3.设 P(a， -2a-2)， 过 点 P作 PG y轴 于 点 G， 则 PG=-a， GD=OG-OD=-2a-3.在 Rt PDG中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： PG 2+GD2=PD2，即 ： (-a)2+(-2a-3)2=32， 整 理 得 ： 5a2+12a=0， 解 得 a=0(舍 去 )或 a=- ，当 a=- 时 ， -2a-2= ， P(- ， ).
