1、2013年 湖 北 省 咸 宁 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 )1.(3分 )如 果 温 泉 河 的 水 位 升 高 0.8m时 水 位 变 化 记 作 +0.8m， 那 么 水 位 下 降 0.5m时 水 位 变化 记 作 ( )A. 0mB. 0.5mC. -0.8mD. -0.5m解 析 ： 水 位 升 高 0.8m 时 水 位 变 化 记 作 +0.8m， 水 位 下 降 0.5m 时 水 位 变 化 记 作 -0.5m；答 案 ： D. 2.(3分 )2012 年 ， 咸 宁 全 面 推 进 “ 省 级 战
2、 略 ， 咸 宁 实 施 ” ， 经 济 持 续 增 长 ， 全 市 人 均 GDP再 攀 新 高 ， 达 到 约 24000元 .将 24000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.2.4 104B.2.4 103C.0.24 105D.2.4 105解 析 ： 将 24000用 科 学 记 数 法 表 示 为 2.4 104.答 案 ： A.3.(3分 )下 列 学 习 用 具 中 ， 不 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 合 题 意 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 合 题
3、 意 ， 故 本 选 项 错 误 ； C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 符 合 题 意 ， 故 本 选 项 正 确 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 合 题 意 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： C. 4.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a6 a2=a3B.3a2b-a2b=2C.(-2a3)2=4a6D.(a+b)2=a2+b2解 析 ： A、 a6 a2=a4， 原 式 计 算 错 误 ， 故 A 选 项 错 误 ；B、 3a2b-a2b=2a2b， 原 式 计 算 错 误 ， 故 B选 项 错 误 ；C、 (-2a 3)2=4a6， 计 算 正 确
4、， 故 C 选 项 正 确 ；D、 (a+b)2=a2+2ab+b2， 计 算 错 误 ， 故 D选 项 错 误 ；答 案 ： C.5.(3分 )如 图 ， 过 正 五 边 形 ABCDE的 顶 点 A作 直 线 l BE， 则 1的 度 数 为 ( )A.30B.36C.38 D.45解 析 ： ABCDE是 正 五 边 形 ， BAE=(5-2) 180 5=108 ， AEB=(180 -108 ) 2=36 ， l BE， 1=36 ，答 案 ： B.6.(3分 )关 于 x的 一 元 二 次 方 程 (a-1)x2-2x+3=0有 实 数 根 ， 则 整 数 a 的 最 大 值 是
5、( )A.2B.1C.0D.-1解 析 ： 根 据 题 意 得 ： =4-12(a-1) 0， 且 a-1 0， 解 得 ： a ， a 1， 则 整 数 a 的 最 大 值 为 0.答 案 ： C.7.(3分 )如 图 ， 正 方 形 ABCD是 一 块 绿 化 带 ， 其 中 阴 影 部 分 EOFB， GHMN都 是 正 方 形 的 花 圃 .已 知 自 由 飞 翔 的 小 鸟 ， 将 随 机 落 在 这 块 绿 化 带 上 ， 则 小 鸟 在 花 圃 上 的 概 率 为 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 设 正 方 形 的 ABCD 的 边 长 为 a， 则 BF= BC= ， AN
6、=NM=MC= a， 阴 影 部 分 的 面 积 为 ( ) 2+( a)2= a2， 小 鸟 在 花 圃 上 的 概 率 为 =答 案 ： C.8.(3分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 以 O为 圆 心 ， 适 当 长 为 半 径 画 弧 ， 交 x 轴 于 点 M， 交y轴 于 点 N， 再 分 别 以 点 M、 N 为 圆 心 ， 大 于 MN 的 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 在 第 二 象 限 交 于 点 P.若 点 P的 坐 标 为 (2a， b+1)， 则 a 与 b 的 数 量 关 系 为 ( ) A.a=bB.2a+b=-1C.2a-b=1D.2
7、a+b=1解 析 ： 根 据 作 图 方 法 可 得 点 P在 第 二 象 限 角 平 分 线 上 ， 则 P 点 横 纵 坐 标 的 和 为 0，故 2a+b+1=0， 整 理 得 ： 2a+b=-1，答 案 ： B.二 、 填 空 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 ) 9.(3分 )-3的 倒 数 为 .解 析 ： (-3) (- )=1， -3的 倒 数 是 - .答 案 ： - .10.(3分 )化 简 + 的 结 果 为 .解 析 ： 原 式 = - = =x.答 案 ： x. 11.(3分 )如 图 是 正 方 体 的 一 种 平 面 展 开 图 ，
8、 它 的 每 个 面 上 都 有 一 个 汉 字 ， 那 么 在 原 正 方 体的 表 面 上 ， 与 汉 字 “ 香 ” 相 对 的 面 上 的 汉 字 是 .解 析 ： 正 方 体 的 表 面 展 开 图 ， 相 对 的 面 之 间 一 定 相 隔 一 个 正 方 形 ，“ 力 ” 与 “ 城 ” 是 相 对 面 ，“ 香 ” 与 “ 泉 ” 是 相 对 面 ，“ 魅 ” 与 “ 都 ” 是 相 对 面 .答 案 ： 泉 . 12.(3分 )已 知 是 二 元 一 次 方 程 组 的 解 ， 则 m+3n的 立 方 根 为 .解 析 ： 把 代 入 方 程 组 ， 得 ： ，则 两 式 相
9、 加 得 ： m+3n=8， 所 以 = =2.答 案 ： 2.13.(3分 )在 数 轴 上 ， 点 A(表 示 整 数 a)在 原 点 的 左 侧 ， 点 B(表 示 整 数 b)在 原 点 的 右 侧 .若|a-b|=2013， 且 AO=2BO， 则 a+b的 值 为 .解 析 ： 如 图 ， a 0 b. |a-b|=2013， 且 AO=2BO， b-a=2013， a=-2b， 由 ， 解 得 b=671， a+b=-2b+b=-b=-671.答 案 ： -671.14.(3分 )跳 远 运 动 员 李 刚 对 训 练 效 果 进 行 测 试 ， 6 次 跳 远 的 成 绩 如
10、下 ： 7.6， 7.8， 7.7， 7.8，8.0， 7.9.(单 位 ： m)这 六 次 成 绩 的 平 均 数 为 7.8， 方 差 为 .如 果 李 刚 再 跳 两 次 ， 成 绩 分 别为 7.7， 7.9.则 李 刚 这 8次 跳 远 成 绩 的 方 差 (填 “ 变 大 ” 、 “ 不 变 ” 或 “ 变 小 ” ).解 析 ： 李 刚 再 跳 两 次 ， 成 绩 分 别 为 7.7， 7.9， 这 组 数 据 的 平 均 数 是 =7.8， 这 8次 跳 远 成 绩 的 方 差 是 ： S2= (7.6-7.8)2+(7.8-7.8)2+2 (7.7-7.8)2+(7.8-7.
11、8)2+(8.0-7.8)2+2 (7.9-7.8)2=， ， 方 差 变 小 ；答 案 ： 变 小 .15.(3分 )如 图 ， 在 Rt AOB中 ， OA=OB=3 ， O 的 半 径 为 1， 点 P是 AB边 上 的 动 点 ， 过点 P 作 O的 一 条 切 线 PQ(点 Q 为 切 点 )， 则 切 线 PQ 的 最 小 值 为 . 解 析 ： 连 接 OP、 OQ. PQ 是 O的 切 线 ， OQ PQ；根 据 勾 股 定 理 知 PQ 2=OP2-OQ2， 当 PO AB 时 ， 线 段 PQ 最 短 ， 在 Rt AOB中 ， OA=OB=3 ， AB= OA=6， OP
12、= =3， PQ= = =2 . 答 案 ： 2 .16.(3分 )“ 龟 兔 首 次 赛 跑 ” 之 后 ， 输 了 比 赛 的 兔 子 没 有 气 馁 ， 总 结 反 思 后 ， 和 乌 龟 约 定 再赛 一 场 .图 中 的 函 数 图 象 刻 画 了 “ 龟 兔 再 次 赛 跑 ” 的 故 事 (x表 示 乌 龟 从 起 点 出 发 所 行 的 时间 ， y1表 示 乌 龟 所 行 的 路 程 ， y2表 示 兔 子 所 行 的 路 程 ).有 下 列 说 法 ： “ 龟 兔 再 次 赛 跑 ” 的 路 程 为 1000米 ； 兔 子 和 乌 龟 同 时 从 起 点 出 发 ； 乌 龟
13、 在 途 中 休 息 了 10 分 钟 ； 兔 子 在 途 中 750米 处 追 上 乌 龟 .其 中 正 确 的 说 法 是 .(把 你 认 为 正 确 说 法 的 序 号 都 填 上 ) 解 析 ： 根 据 图 象 可 知 ：龟 兔 再 次 赛 跑 的 路 程 为 1000 米 ， 故 正 确 ；兔 子 在 乌 龟 跑 了 40 分 钟 之 后 开 始 跑 ， 故 错 误 ；乌 龟 在 30-40 分 钟 时 的 路 程 为 0， 故 这 10分 钟 乌 龟 没 有 跑 在 休 息 ， 故 正 确 ；y1=20 x-200(40 x 60)， y2=100 x-4000(40 x 50)，
14、 当 y1=y2时 ， 兔 子 追 上 乌 龟 ，此 时 20 x-200=100 x-4000，解 得 ： x=47.5，y 1=y2=750米 ， 即 兔 子 在 途 中 750米 处 追 上 乌 龟 ， 故 正 确 .综 上 可 得 正 确 .答 案 ： .三 、 解 答 题 (共 8 小 题 ， 满 分 72分 )17.(10分 )(1)计 算 ： +|2- |-( )-1(2)解 不 等 式 组 ： .解 析 ： (1)此 题 涉 及 到 二 次 根 式 的 化 简 、 绝 对 值 、 负 整 数 指 数 幂 ， 根 据 各 知 识 点 计 算 后 ， 再计 算 有 理 数 的 加
15、减 即 可 ； (2)分 别 计 算 出 两 个 不 等 式 的 解 集 ， 再 根 据 大 小 小 大 中 间 找 确 定 不 等 式 组 的 解 集 即 可 .答 案 ： (1)原 式 =2 +2- -2= .(2)解 不 等 式 x+6 3x+4， 得 ； x 1.解 不 等 式 x-1， 得 ： x 4.原 不 等 式 组 的 解 集 为 ： 1 x 4. 18.(7分 )在 咸 宁 创 建 ” 国 家 卫 生 城 市 “ 的 活 动 中 ， 市 园 林 公 司 加 大 了 对 市 区 主 干 道 两 旁 植“ 景 观 树 ” 的 力 度 ， 平 均 每 天 比 原 计 划 多 植 5
16、 棵 ， 现 在 植 60 棵 所 需 的 时 间 与 原 计 划 植 45棵 所 需 的 时 间 相 同 ， 问 现 在 平 均 每 天 植 多 少 棵 树 ？解 析 ： 设 现 在 平 均 每 天 植 树 x 棵 ， 则 原 计 划 平 均 每 天 植 树 (x-5)棵 .根 据 现 在 植 60 棵 所 需 的时 间 与 原 计 划 植 45棵 所 需 的 时 间 相 同 建 立 方 程 求 出 其 解 即 可 .答 案 ： 设 现 在 平 均 每 天 植 树 x棵 ， 则 原 计 划 平 均 每 天 植 树 (x-5)棵 .依 题 意 得 ： ， 解 得 ： x=20，经 检 验 ，
17、x=20是 方 程 的 解 ， 且 符 合 题 意 .答 ： 现 在 平 均 每 天 植 树 20 棵 .19.(8分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 y=2x+b(b 0)与 坐 标 轴 交 于 A， B两 点 ， 与 双 曲 线 y= (x 0)交 于 D 点 ， 过 点 D作 DC x轴 ， 垂 足 为 G， 连 接 OD.已 知 AOB ACD.(1)如 果 b=-2， 求 k的 值 ；(2)试 探 究 k 与 b 的 数 量 关 系 ， 并 写 出 直 线 OD 的 解 析 式 . 解 析 ： (1)首 先 求 出 直 线 y=2x-2与 坐 标 轴 交
18、 点 的 坐 标 ， 然 后 由 AOB ACD得 到 CD=OB， AO=AC，即 可 求 出 D坐 标 ， 由 点 D在 双 曲 线 y= ( x 0)的 图 象 上 求 出 k的 值 ；(2)首 先 直 线 y=2x+b 与 坐 标 轴 交 点 的 坐 标 为 A(- ， 0)， B(0， b)， 再 根 据 AOB ACD 得到 CD=DB， AO=AC， 即 可 求 出 D 坐 标 ， 把 D点 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 求 出 k和 b之 间 的关 系 ， 进 而 也 可 以 求 出 直 线 OD 的 解 析 式 .答 案 ： (1)当 b=-2时 ， 直 线
19、 y=2x-2与 坐 标 轴 交 点 的 坐 标 为 A(1， 0)， B(0， -2). AOB ACD， CD=OB， AO=AC， 点 D的 坐 标 为 (2， 2). 点 D在 双 曲 线 y= ( x 0)的 图 象 上 ， k=2 2=4.(2)直 线 y=2x+b与 坐 标 轴 交 点 的 坐 标 为 A(- ， 0)， B(0， b). AOB ACD， CD=OB， AO=AC， 点 D的 坐 标 为 (-b， -b). 点 D在 双 曲 线 y= ( x 0)的 图 象 上 ， k=(-b) (-b)=b2.即 k 与 b 的 数 量 关 系 为 ： k=b2.直 线 OD
20、的 解 析 式 为 ： y=x. 20.(8分 )如 图 ， ABC内 接 于 O， OC和 AB相 交 于 点 E， 点 D在 OC的 延 长 线 上 ， 且 B= D= BAC=30 .(1)试 判 断 直 线 AD 与 O的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；(2)AB=6 ， 求 O 的 半 径 .解 析 ： (1)连 接 OA， 求 出 AOC=2 B=60 ， 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 OAD， 根 据 切 线 判定 推 出 即 可 ； (2)求 出 AEC=90 ， 根 据 垂 径 定 理 求 出 AE， 根 据 锐 角 三 角 函 数 的 定 义
21、即 可 求 出 AC， 根 据 等边 三 角 形 的 性 质 推 出 即 可 .答 案 ： (1)直 线 AD 与 O相 切 .理 由 如 下 ： 如 图 ， 连 接 OA. B=30 ， AOC=2 B=60 ， OAD=180 - AOD- D=90 ， 即 OA AD， OA 为 半 径 ， AD 是 O的 切 线 .(2) OA=OC， AOC=60 ， ACO是 等 边 三 角 形 ， ACO=60 ， AC=OA， AEC=180 - EAC- ACE=90 ， OC AB，又 OC是 O 的 半 径 ， AE= AB= 6 =3 ，在 Rt ACE中 ， sin ACE= =si
22、n 60 ， AC=6， O 的 半 径 为 6.21.(8分 )在 对 全 市 初 中 生 进 行 的 体 质 健 康 测 试 中 ， 青 少 年 体 质 研 究 中 心 随 机 抽 取 的 10 名 学生 的 坐 位 体 前 屈 的 成 绩 (单 位 ： 厘 米 )如 下 ：11.2， 10.5， 11.4， 10.2， 11.4， 11.4， 11.2， 9.5， 12.0， 10.2(1)通 过 计 算 ， 样 本 数 据 (10名 学 生 的 成 绩 )的 平 均 数 是 10.9， 中 位 数 是 ， 众 数是 ；(2)一 个 学 生 的 成 绩 是 11.3厘 米 ， 你 认 为
23、 他 的 成 绩 如 何 ？ 说 明 理 由 ；(3)研 究 中 心 确 定 了 一 个 标 准 成 绩 ， 等 于 或 大 于 这 个 成 绩 的 学 生 该 项 素 质 被 评 定 为 “ 优 秀 ” 等 级 ， 如 果 全 市 有 一 半 左 右 的 学 生 能 够 达 到 “ 优 秀 ” 等 级 ， 你 认 为 标 准 成 绩 定 为 多 少 ？ 说 明理 由 .解 析 ： (1)利 用 中 位 数 、 众 数 的 定 义 进 行 解 答 即 可 ；(2)将 其 成 绩 与 中 位 数 比 较 即 可 得 到 答 案 ； (3)用 中 位 数 作 为 一 个 标 准 即 可 衡 量 是
24、 否 有 一 半 学 生 达 到 优 秀 等 级 .答 案 ： (1)中 位 数 是 11.2， 众 数 是 11.4.(2)方 法 1： 根 据 (1)中 得 到 的 样 本 数 据 的 结 论 ， 可 以 估 计 ， 在 这 次 坐 位 体 前 屈 的 成 绩 测 试 中 ，全 市 大 约 有 一 半 学 生 的 成 绩 大 于 11.2 厘 米 ， 有 一 半 学 生 的 成 绩 小 于 11.2厘 米 ， 这 位 学 生 的成 绩 是 11.3厘 米 ， 大 于 中 位 数 11.2厘 米 ， 可 以 推 测 他 的 成 绩 比 一 半 以 上 学 生 的 成 绩 好 .(5分 )方
25、法 2： 根 据 (1)中 得 到 的 样 本 数 据 的 结 论 ， 可 以 估 计 ， 在 这 次 坐 位 体 前 屈 的 成 绩 测 试 中 ，全 市 学 生 的 平 均 成 绩 是 10.9 厘 米 ， 这 位 学 生 的 成 绩 是 11.3厘 米 ， 大 于 平 均 成 绩 10.9厘 米 ，可 以 推 测 他 的 成 绩 比 全 市 学 生 的 平 均 成 绩 好 .(5分 )(3)如 果 全 市 有 一 半 左 右 的 学 生 评 定 为 “ 优 秀 ” 等 级 ， 标 准 成 绩 应 定 为 11.2厘 米 (中 位 数 ).因 为 从 样 本 情 况 看 ， 成 绩 在 1
26、1.2厘 米 以 上 (含 11.2厘 米 )的 学 生 占 总 人 数 的 一 半 左 右 .可 以估 计 ， 如 果 标 准 成 绩 定 为 11.2厘 米 ， 全 市 将 有 一 半 左 右 的 学 生 能 够 评 定 为 “ 优 秀 ” 等 级 .(8分 ) 22.(9分 )为 鼓 励 大 学 毕 业 生 自 主 创 业 ， 某 市 政 府 出 台 了 相 关 政 策 ： 由 政 府 协 调 ， 本 市 企 业按 成 本 价 提 供 产 品 给 大 学 毕 业 生 自 主 销 售 ， 成 本 价 与 出 厂 价 之 间 的 差 价 由 政 府 承 担 .李 明 按照 相 关 政 策 投
27、 资 销 售 本 市 生 产 的 一 种 新 型 节 能 灯 .已 知 这 种 节 能 灯 的 成 本 价 为 每 件 10元 ， 出厂 价 为 每 件 12 元 ， 每 月 销 售 量 y(件 )与 销 售 单 价 x(元 )之 间 的 关 系 近 似 满 足 一 次 函 数 ：y=-10 x+500.(1)李 明 在 开 始 创 业 的 第 一 个 月 将 销 售 单 价 定 为 20 元 ， 那 么 政 府 这 个 月 为 他 承 担 的 总 差 价 为多 少 元 ？(2)设 李 明 获 得 的 利 润 为 w(元 )， 当 销 售 单 价 定 为 多 少 元 时 ， 每 月 可 获 得
28、 最 大 利 润 ？(3)物 价 部 门 规 定 ， 这 种 节 能 灯 的 销 售 单 价 不 得 高 于 25 元 .如 果 李 明 想 要 每 月 获 得 的 利 润 不低 于 3000 元 ， 那 么 政 府 为 他 承 担 的 总 差 价 最 少 为 多 少 元 ？解 析 ： (1)把 x=20代 入 y=-10 x+500求 出 销 售 的 件 数 ， 然 后 求 出 政 府 承 担 的 成 本 价 与 出 厂 价之 间 的 差 价 ；(2)由 利 润 =销 售 价 -成 本 价 ， 得 w=(x-10)(-10 x+500)， 把 函 数 转 化 成 顶 点 坐 标 式 ， 根
29、据 二 次 函 数 的 性 质 求 出 最 大 利 润 ；(3)令 -10 x2+600 x-5000=3000， 求 出 x的 值 ， 结 合 图 象 求 出 利 润 的 范 围 ， 然 后 设 设 政 府 每 个月 为 他 承 担 的 总 差 价 为 p 元 ， 根 据 一 次 函 数 的 性 质 求 出 总 差 价 的 最 小 值 .答 案 ： (1)当 x=20时 ， y=-10 x+500=-10 20+500=300，300 (12-10)=300 2=600 元 ，即 政 府 这 个 月 为 他 承 担 的 总 差 价 为 600元 .(2)依 题 意 得 ， w=(x-10)(
30、-10 x+500)=-10 x2+600 x-5000=-10(x-30)2+4000 a=-10 0， 当 x=30 时 ， w有 最 大 值 4000元 .即 当 销 售 单 价 定 为 30元 时 ， 每 月 可 获 得 最 大 利 润 4000元 .(3)由 题 意 得 ： -10 x 2+600 x-5000=3000， 解 得 ： x1=20， x2=40. a=-10 0， 抛 物 线 开 口 向 下 ， 结 合 图 象 可 知 ： 当 20 x 40 时 ， 4000 w 3000.又 x 25， 当 20 x 25 时 ， w 3000.设 政 府 每 个 月 为 他 承
31、担 的 总 差 价 为 p 元 ， p=(12-10) (-10 x+500)=-20 x+1000. k=-20 0. p随 x的 增 大 而 减 小 ， 当 x=25时 ， p 有 最 小 值 500元 .即 销 售 单 价 定 为 25元 时 ， 政 府 每 个 月 为 他 承 担 的 总 差 价 最 少 为 500 元 .23.(10分 )阅 读 理 解 ：如 图 1， 在 四 边 形 ABCD的 边 AB上 任 取 一 点 E(点 E不 与 点 A、 点 B 重 合 )， 分 别 连 接 ED， EC，可 以 把 四 边 形 ABCD 分 成 三 个 三 角 形 ， 如 果 其 中
32、有 两 个 三 角 形 相 似 ， 我 们 就 把 E 叫 做 四 边 形ABCD的 边 AB上 的 相 似 点 ； 如 果 这 三 个 三 角 形 都 相 似 ， 我 们 就 把 E叫 做 四 边 形 ABCD的 边 AB上 的 强 相 似 点 .解 决 问 题 ： (1)如 图 1， A= B= DEC=55 ， 试 判 断 点 E 是 否 是 四 边 形 ABCD的 边 AB 上 的 相 似 点 ， 并说 明 理 由 ；(2)如 图 2， 在 矩 形 ABCD中 ， AB=5， BC=2， 且 A， B， C， D 四 点 均 在 正 方 形 网 格 (网 格 中 每 个小 正 方 形
33、的 边 长 为 1)的 格 点 (即 每 个 小 正 方 形 的 顶 点 )上 ， 试 在 图 2中 画 出 矩 形 ABCD的 边 AB上 的 一 个 强 相 似 点 E；拓 展 探 究 ：(3)如 图 3， 将 矩 形 ABCD沿 CM 折 叠 ， 使 点 D落 在 AB边 上 的 点 E处 .若 点 E 恰 好 是 四 边 形 ABCM的 边 AB上 的 一 个 强 相 似 点 ， 试 探 究 AB和 BC的 数 量 关 系 .解 析 ： (1)要 证 明 点 E 是 四 边 形 ABCD的 AB边 上 的 相 似 点 ， 只 要 证 明 有 一 组 三 角 形 相 似 就 行 ，很 容
34、 易 证 明 ADE BEC， 所 以 问 题 得 解 .(2)根 据 两 个 直 角 三 角 形 相 似 得 到 强 相 似 点 的 两 种 情 况 即 可 .(3)因 为 点 E 是 梯 形 ABCD的 AB 边 上 的 一 个 强 相 似 点 ， 所 以 就 有 相 似 三 角 形 出 现 ， 根 据 相 似三 角 形 的 对 应 线 段 成 比 例 ， 可 以 判 断 出 AE和 BE 的 数 量 关 系 ， 从 而 可 求 出 解 . 答 案 ： (1)点 E 是 四 边 形 ABCD的 边 AB 上 的 相 似 点 .理 由 ： A=55 ， ADE+ DEA=125 . DEC=
35、55 ， BEC+ DEA=125 . ADE= BEC. A= B， ADE BEC. 点 E 是 四 边 形 ABCD 的 AB边 上 的 相 似 点 .(2)作 图 如 下 ：(3) 点 E 是 四 边 形 ABCM的 边 AB 上 的 一 个 强 相 似 点 ， AEM BCE ECM， BCE= ECM= AEM.由 折 叠 可 知 ： ECM DCM， ECM= DCM， CE=CD， BCE= BCD=30 ， BE= CE= AB. 在 Rt BCE中 ， tan BCE= =tan30 ， ， .24.(12分 )如 图 ， 已 知 直 线 y= x+1 与 x 轴 交 于
36、点 A， 与 y 轴 交 于 点 B， 将 AOB绕 点 O 顺 时针 旋 转 90 后 得 到 COD. (1)点 C 的 坐 标 是 线 段 AD 的 长 等 于 ；(2)点 M 在 CD 上 ， 且 CM=OM， 抛 物 线 y=x2+bx+c 经 过 点 C， M， 求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(3)如 果 点 E 在 y 轴 上 ， 且 位 于 点 C 的 下 方 ， 点 F 在 直 线 AC 上 ， 那 么 在 (2)中 的 抛 物 线 上 是否 存 在 点 P， 使 得 以 C， E， F， P 为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 该 菱
37、 形 的 周 长 l；若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)首 先 求 出 图 象 与 x 轴 交 于 点 A， 与 y 轴 交 于 点 B的 坐 标 ， 进 而 得 出 C 点 坐 标 以 及线 段 AD的 长 ；(2)首 先 得 出 点 M 是 CD 的 中 点 ， 即 可 得 出 M 点 坐 标 ， 进 而 利 用 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式 ；(3)分 别 根 据 当 点 F 在 点 C 的 左 边 时 以 及 当 点 F 在 点 C 的 右 边 时 ， 分 析 四 边 形 CFPE 为 菱 形 得出 即 可 .答 案 ： (1) 直 线
38、y= x+1 与 x 轴 交 于 点 A， 与 y 轴 交 于 点 B， y=0时 ， x=-3， x=0时 ， y=1， A 点 坐 标 为 ： (-3， 0)， B 点 坐 标 为 ： (0， 1)， OC=3， DO=1， 点 C 的 坐 标 是 (0， 3)， 线 段 AD的 长 等 于 4；(2) CM=OM， OCM= COM. OCM+ ODM= COM+ MOD=90 ， ODM= MOD， OM=MD=CM， 点 M是 CD的 中 点 ， 点 M 的 坐 标 为 ( ， ).(说 明 ： 由 CM=OM 得 到 点 M 在 OC 在 垂 直 平 分 线 上 ， 所 以 点 M
39、 的 纵 坐 标 为 ， 再 求 出 直 线 CD的 解 析 式 ， 进 而 求 出 点 M的 坐 标 也 可 .) 抛 物 线 y=x 2+bx+c经 过 点 C， M， ， 解 得 ： . 抛 物 线 y=x2+bx+c的 解 析 式 为 ： y=x2- x+3.(3)抛 物 线 上 存 在 点 P， 使 得 以 C， E， F， P为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形 .情 形 1： 如 图 1， 当 点 F 在 点 C 的 左 边 时 ， 四 边 形 CFEP为 菱 形 . FCE= PCE，由 题 意 可 知 ， OA=OC， ACO= PCE=45 ， FCP=90 ， 菱 形
40、CFEP为 正 方 形 .过 点 P作 PH CE， 垂 足 为 H， 则 Rt CHP为 等 腰 直 角 三 角 形 . CP= CH= PH.设 点 P为 (x， x2- x+3)， 则 OH=x2- x+3， PH=x， PH=CH=OC-OH， 3-(x2- x+3)=x， 解 得 ： x= CP= CH= = ， 菱 形 CFEP的 周 长 l 为 ： 4=10 .情 形 2： 如 图 2， 当 点 F 在 点 C 的 右 边 时 ， 四 边 形 CFPE为 菱 形 . CF=PF， CE FP. 直 线 AC 过 点 A(-3， 0)， 点 C(0， 3)， 直 线 AC 的 解 析 式 为 ： y=x+3.过 点 C作 CM PF， 垂 足 为 M， 则 Rt CMF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， CM=FM.延 长 PF交 x 轴 于 点 N，则 PN x 轴 ， PF=FN-PN， 设 点 P为 (x， x2- x+3)， 则 点 F为 (x， x+3)， FC= x， FP=(x+3)-(x2- x+3)=-x2+ x， x=-x2+ x， 解 得 ： x= - ， FC= x= -2， 菱 形 CFEP的 周 长 l 为 ： ( -2) 4=18 -8.综 上 所 述 ， 这 样 的 菱 形 存 在 ， 它 的 周 长 为 10 或 18 -8.
