1、2013年 河 北 省 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 16个 小 题 ， 1 6 小 题 ， 每 小 题 2 分 ； 7 16小 题 ， 每 小 题 2 分 ， 共42分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ）1.（ 2分 ） 气 温 由 1 上 升 2 后 是 （ ）A. 1B.1C.2D.3解 析 ： 气 温 由 1 上 升 2 ， 1 +2 =1 .答 案 ： B. 2.（ 2分 ） 截 至 2013年 3月 底 ， 某 市 人 口 总 数 已 达 到 4 230 000人 .将 4 230
2、 000 用 科 学 记数 法 表 示 为 （ ）A.0.423 107B.4.23 106C.42.3 105D.423 104解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .将 4230 000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 4.23 10 6.答 案 ： B.3.（ 2分 ） 下 列 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ ）A.B. C.D.解 析 ： A、 是 中 心 对 称 图 形 ， 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ； B、
3、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 .答 案 ： C.4.（ 2分 ） 下 列 等 式 从 左 到 右 的 变 形 ， 属 于 因 式 分 解 的 是 （ ）A.a（ x y） =ax ayB.x 2+2x+1=x（ x+2） +1C.（ x+1） （ x+3） =x2+4x+3D.x3 x=x（ x+1） （ x 1）解 析 ： A、 右 边 不 是
4、 整 式 积 的 形 式 ， 不 是 因 式 分 解 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 右 边 不 是 整 式 积 的 形 式 ， 不 是 因 式 分 解 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 右 边 不 是 整 式 积 的 形 式 ， 不 是 因 式 分 解 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 符 合 因 式 分 解 的 定 义 ， 故 本 选 项 正 确 ；答 案 ： D.5.（ 2分 ） 若 x=1， 则 |x 4|=（ ）A.3B. 3 C.5D. 5解 析 ： x=1， |x 4|=|1 4|=| 3|=3.答 案 ： A.6.（ 2分 ） 下 列 运 算 中 ， 正 确 的 是 （
5、 ）A. = 3B. =2C.（ 2） 0=0D.2 1=解 析 ： A、 =3， 故 本 选 项 错 误 ；B、 = 2， 故 本 选 项 错 误 ；C、 （ 2） 0=1， 故 本 选 项 错 误 ；D、 2 1= ， 故 本 选 项 正 确 .答 案 ： D.7.（ 3分 ） 甲 队 修 路 120m与 乙 队 修 路 100m所 用 天 数 相 同 ， 已 知 甲 队 比 乙 队 每 天 多 修 10m.设 甲 队 每 天 修 路 xm， 依 题 意 ， 下 面 所 列 方 程 正 确 的 是 （ ）A. = B. =C. =D. =解 析 ： 设 甲 队 每 天 修 路 xm， 依
6、题 意 得 ：= ，答 案 ： A.8.（ 3分 ） 如 图 ， 一 艘 海 轮 位 于 灯 塔 P的 南 偏 东 70 方 向 的 M处 ， 它 以 每 小 时 40海 里 的 速度 向 正 北 方 向 航 行 ， 2小 时 后 到 达 位 于 灯 塔 P的 北 偏 东 40 的 N处 ， 则 N 处 与 灯 塔 P 的 距 离 为 （ ）A.40海 里B.60海 里C.70海 里D.80海 里解 析 ： MN=2 40=80（ 海 里 ） ， M=70 ， N=40 ， NPM=180 M N=180 70 40 =70 ， NPM= M， NP=MN=80（ 海 里 ） .答 案 ： D
7、.9.（ 3分 ） 如 图 ， 淇 淇 和 嘉 嘉 做 数 学 游 戏 ： 假 设 嘉 嘉 抽 到 牌 的 点 数 为 x， 淇 淇 猜 中 的 结 果 应 为 y， 则 y=（ ） A.2B.3C.6D.x+3解 析 ： 根 据 题 意 得 ：（ x 2+6） 2 x=x+3 x=3；答 案 ： B.10.（ 3分 ） 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 如 图 所 示 ， 以 下 结 论 ： 常 数 m 1； 在 每 个 象 限 内 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ； 若 A（ 1， h） ， B（ 2， k） 在 图 象 上 ， 则 h k； 若 P（ x， y） 在 图 象 上
8、， 则 P （ x， y） 也 在 图 象 上 .其 中 正 确 的 是 （ ）A. B. C. D. 解 析 ： 反 比 例 函 数 的 图 象 位 于 一 三 象 限 ， m 0故 错 误 ；当 反 比 例 函 数 的 图 象 位 于 一 三 象 限 时 ， 在 每 一 象 限 内 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， 故 错 误 ；将 A（ 1， h） ， B（ 2， k） 代 入 y= 得 到 h= m， 2k=m， m 0 h k故 正 确 ；将 P（ x， y） 代 入 y= 得 到 m=xy， 将 P （ x， y） 代 入 y= 得 到 m=xy，故 P（ x， y） 在 图
9、 象 上 ， 则 P （ x， y） 也 在 图 象 上 故 正 确 ，答 案 ： C11.（ 3 分 ） 如 图 ， 菱 形 ABCD中 ， 点 M， N 在 AC 上 ， ME AD， NF AB.若 NF=NM=2， ME=3， 则AN=（ ） A.3B.4C.5D.6解 析 ： 在 菱 形 ABCD中 ， 1= 2，又 ME AD， NF AB， AEM= AFN=90 ， AFN AEM， = ，即 = ，解 得 AN=4. 答 案 ： B.12.（ 3分 ） 已 知 ： 线 段 AB， BC， ABC=90 .求 作 ： 矩 形 ABCD.以 下 是 甲 、 乙 两 同 学 的 作
10、 业 ：甲 ：1.以 点 C 为 圆 心 ， AB长 为 半 径 画 弧 ；2.以 点 A 为 圆 心 ， BC长 为 半 径 画 弧 ；3.两 弧 在 BC上 方 交 于 点 D， 连 接 AD， CD， 四 边 形 ABCD即 为 所 求 （ 如 图 1） .乙 ：1.连 接 AC， 作 线 段 AC的 垂 直 平 分 线 ， 交 AC于 点 M；2.连 接 BM 并 延 长 ， 在 延 长 线 上 取 一 点 D， 使 MD=MB， 连 接 AD， CD， 四 边 形 ABCD即 为 所 求 （ 如图 2） .对 于 两 人 的 作 业 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ） A.两
11、 人 都 对B.两 人 都 不 对C.甲 对 ， 乙 不 对D.甲 不 对 ， 乙 对解 析 ： 由 甲 同 学 的 作 业 可 知 ， CD=AB， AD=BC， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ，又 ABC=90 ， ABCD是 矩 形 .所 以 甲 的 作 业 正 确 ；由 乙 同 学 的 作 业 可 知 ， CM=AM， MD=MB， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ，又 ABC=90 ， ABCD是 矩 形 . 所 以 乙 的 作 业 正 确 ；答 案 ： A.13.（ 3 分 ） 一 个 正 方 形 和 两 个 等 边 三 角 形 的 位 置 如 图 所
12、 示 ， 若 3=50 ， 则 1+ 2=（ ）A.90B.100C.130 D.180解 析 ： 如 图 ， BAC=180 90 1=90 1， ABC=180 60 3=120 3， ACB=180 60 2=120 2，在 ABC中 ， BAC+ ABC+ ACB=180 ， 90 1+120 3+120 2=180 ， 1+ 2=150 3， 3=50 ， 1+ 2=150 50 =100 .答 案 ： B.14.（ 3分 ） 如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， 弦 CD AB， C=30 ， CD=2 .则 S 阴 影 =（ ）A.B.2C. D. 解 析 ： CD AB， C
13、D=2 CE=DE= CD= ， 在 Rt ACE中 ， C=30 ，则 AE=CEtan30 =1，在 Rt OED中 ， DOE=2 C=60 ，则 OD= =2， OE=OA AE=OD AE=1，S 阴 影 =S 扇 形 OAD S OED+S ACE= 1 + 1 = . 答 案 ： D.15.（ 3分 ） 如 图 1， M是 铁 丝 AD的 中 点 ， 将 该 铁 丝 首 尾 相 接 折 成 ABC， 且 B=30 ， C=100 ，如 图 2.则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）A.点 M 在 AB 上 B.点 M 在 BC 的 中 点 处C.点 M 在 BC 上 ， 且
14、距 点 B 较 近 ， 距 点 C 较 远D.点 M 在 BC 上 ， 且 距 点 C 较 近 ， 距 点 B 较 远解 析 ： C=100 ， AB AC，如 图 ， 取 BC的 中 点 E， 则 BE=CE， AB+BE AC+CE，由 三 角 形 三 边 关 系 ， AC+BC AB， AB AD， AD 的 中 点 M 在 BE上 ，即 点 M在 BC上 ， 且 距 点 B 较 近 ， 距 点 C 较 远 . 答 案 ： C.16.（ 3分 ） 如 图 ， 梯 形 ABCD中 ， AB DC， DE AB， CF AB， 且 AE=EF=FB=5， DE=12动 点 P从 点 A出 发
15、 ， 沿 折 线 AD DC CB以 每 秒 1个 单 位 长 的 速 度 运 动 到 点 B停 止 .设 运 动 时 间 为 t秒 ， y=S EPF， 则 y 与 t 的 函 数 图 象 大 致 是 （ ） A. B.C.D.解 析 ： 在 Rt ADE中 ， AD= =13， 在 Rt CFB中 ， BC= =13， 点 P在 AD上 运 动 ：过 点 P作 PM AB于 点 M， 则 PM=APsin A= t，此 时 y= EF PM= t， 为 一 次 函 数 ； 点 P在 DC上 运 动 ， y= EF DE=30； 点 P在 BC上 运 动 ， 过 点 P 作 PN AB于 点
16、 N， 则 PN=BPsin B= （ AD+CD+BC t）= ，则 y= EF PN= ， 为 一 次 函 数 . 综 上 可 得 选 项 A的 图 象 符 合 .答 案 ： A.二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 4 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 12分 .把 答 案 写 在 题 中 横 线 上 ）17.（ 3分 ） 如 图 ， A 是 正 方 体 小 木 块 （ 质 地 均 匀 ） 的 一 顶 点 ， 将 木 块 随 机 投 掷 在 水 平 桌 面 上 ，则 A 与 桌 面 接 触 的 概 率 是 . 解 析 ： 共 有 6 个 面 ， A 与 桌 面 接 触 的 有
17、 3 个 面 ， A 与 桌 面 接 触 的 概 率 是 ： = .答 案 ： .18.（ 3分 ） 若 x+y=1， 且 x 0， 则 （ x+ ） 的 值 为 .解 析 ： （ x+ ） = = =x+y，把 x+y=1 代 入 上 式 得 ：原 式 =1； 答 案 ： 1.19.（ 3分 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ， 点 M、 N分 别 在 AB、 BC上 ， 将 BMN沿 MN翻 折 ， 得 FMN，若 MF AD， FN DC， 则 B= .解 析 ： MF AD， FN DC， BMF= A=100 ， BNF= C=70 ， BMN沿 MN 翻 折 得 FMN， B
18、MN= BMF= 100 =50 ， BNM= BNF= 70 =35 ，在 BMN中 ， B=180 （ BMN+ BNM） =180 （ 50 +35 ） =180 85 =95 .答 案 ： 95.20.（ 3分 ） 如 图 ， 一 段 抛 物 线 ： y= x（ x 3） （ 0 x 3） ， 记 为 C 1， 它 与 x 轴 交 于 点 O， A1；将 C1绕 点 A1旋 转 180 得 C2， 交 x轴 于 点 A2；将 C2绕 点 A2旋 转 180 得 C3， 交 x轴 于 点 A3；如 此 进 行 下 去 ， 直 至 得 C13.若 P（ 37， m） 在 第 13段 抛 物
19、 线 C13上 ， 则 m= . 解 析 ： 一 段 抛 物 线 ： y= x（ x 3） （ 0 x 3） ， 图 象 与 x轴 交 点 坐 标 为 ： （ 0， 0） ， （ 3， 0） ， 将 C1绕 点 A1旋 转 180 得 C2， 交 x 轴 于 点 A2；将 C2绕 点 A2旋 转 180 得 C3， 交 x轴 于 点 A3；如 此 进 行 下 去 ， 直 至 得 C13. C13的 解 析 式 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 （ 36， 0） ， （ 39， 0） ， 且 图 象 在 x 轴 上 方 ， C 13的 解 析 式 为 ： y13= （ x 36） （ x 39
20、） ，当 x=37时 ， y= （ 37 36） （ 37 39） =2.答 案 ： 2.三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 共 66分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）21.（ 9 分 ） 定 义 新 运 算 ： 对 于 任 意 实 数 a， b， 都 有 a b=a（ a b） +1， 等 式 右 边 是 通 常 的加 法 、 减 法 及 乘 法 运 算 ， 比 如 ：2 5=2 （ 2 5） +1=2 （ 3） +1= 6+1= 5（ 1） 求 （ 2） 3的 值 ；（ 2） 若 3 x 的 值 小 于 13， 求
21、x 的 取 值 范 围 ， 并 在 图 所 示 的 数 轴 上 表 示 出 来 .解 析 ： （ 1） 按 照 定 义 新 运 算 a b=a（ a b） +1， 求 解 即 可 ； （ 2） 先 按 照 定 义 新 运 算 a b=a（ a b） +1， 得 出 3 x， 再 令 其 小 于 13， 得 到 一 元 一 次 不等 式 ， 解 不 等 式 求 出 x 的 取 值 范 围 ， 即 可 在 数 轴 上 表 示 .答 案 ： （ 1） a b=a（ a b） +1， （ 2） 3= 2（ 2 3） +1=10+1=11；（ 2） 3 x 13， 3（ 3 x） +1 13，9 3x+
22、1 13， 3x 3，x 1.在 数 轴 上 表 示 如 下 ： 22.（ 10分 ） 某 校 260名 学 生 参 加 植 树 活 动 ， 要 求 每 人 植 4 7棵 ， 活 动 结 束 后 随 机 抽 查 了20名 学 生 每 人 的 植 树 量 ， 并 分 为 四 种 类 型 ， A： 4棵 ； B： 5 棵 ； C： 6棵 ； D： 7棵 .将 各 类 的 人 数 绘 制 成 扇 形 图 （ 如 图 1） 和 条 形 图 （ 如 图 2） ， 经 确 认 扇 形 图 是 正 确 的 ， 而 条 形 图 尚 有 一处 错 误 .回 答 下 列 问 题 ：（ 1） 写 出 条 形 图 中
23、 存 在 的 错 误 ， 并 说 明 理 由 ；（ 2） 写 出 这 20名 学 生 每 人 植 树 量 的 众 数 、 中 位 数 ；（ 3） 在 求 这 20名 学 生 每 人 植 树 量 的 平 均 数 时 ， 小 宇 是 这 样 解 析 的 ： 小 宇 的 解 析 是 从 哪 一 步 开 始 出 现 错 误 的 ？ 请 你 帮 他 计 算 出 正 确 的 平 均 数 ， 并 估 计 这 260名 学 生 共 植 树 多 少 棵 .解 析 ： （ 1） 条 形 统 计 图 中 D 的 人 数 错 误 ， 应 为 20 10%；（ 2） 根 据 条 形 统 计 图 及 扇 形 统 计 图
24、得 出 众 数 与 中 位 数 即 可 ； （ 3） 小 宇 的 解 析 是 从 第 二 步 开 始 出 现 错 误 的 ； 求 出 正 确 的 平 均 数 ， 乘 以 260 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： （ 1） D错 误 ， 理 由 为 ： 20 10%=2 3；（ 2） 众 数 为 5， 中 位 数 为 5；（ 3） 第 二 步 ； = =5.3，估 计 260 名 学 生 共 植 树 5.3 260=1378（ 棵 ） .23.（ 10分 ） 如 图 ， A（ 0， 1） ， M（ 3， 2） ， N（ 4， 4） .动 点 P从 点 A 出 发 ， 沿 y轴 以 每 秒 1
25、个 单 位 长 的 速 度 向 上 移 动 ， 且 过 点 P 的 直 线 l： y= x+b 也 随 之 移 动 ， 设 移 动 时 间 为 t 秒 .（ 1） 当 t=3时 ， 求 l 的 解 析 式 ； （ 2） 若 点 M， N位 于 l 的 异 侧 ， 确 定 t的 取 值 范 围 ；（ 3） 直 接 写 出 t 为 何 值 时 ， 点 M 关 于 l 的 对 称 点 落 在 坐 标 轴 上 . 解 析 ： （ 1） 利 用 一 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 ， 求 出 一 次 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 分 别 求 出 直 线 l 经 过 点 M、 点 N
26、 时 的 t值 ， 即 可 得 到 t 的 取 值 范 围 ；（ 3） 找 出 点 M 关 于 直 线 l 在 坐 标 轴 上 的 对 称 点 E、 F， 如 答 案 图 所 示 .求 出 点 E、 F的 坐 标 ，然 后 分 别 求 出 ME、 MF 中 点 坐 标 ， 最 后 分 别 求 出 时 间 t 的 值 .答 案 ： （ 1） 直 线 y= x+b 交 y 轴 于 点 P（ 0， b） ，由 题 意 ， 得 b 0， t 0， b=1+t.当 t=3时 ， b=4，故 y= x+4.（ 2） 当 直 线 y= x+b过 点 M（ 3， 2） 时 ，2= 3+b，解 得 ： b=5，
27、5=1+t， 解 得 t=4.当 直 线 y= x+b过 点 N（ 4， 4） 时 ，4= 4+b，解 得 ： b=8，8=1+t，解 得 t=7.故 若 点 M， N 位 于 l 的 异 侧 ， t的 取 值 范 围 是 ： 4 t 7.（ 3） 如 右 图 ， 过 点 M 作 MF 直 线 l， 交 y 轴 于 点 F， 交 x轴 于 点 E， 则 点 E、 F 为 点 M 在 坐标 轴 上 的 对 称 点 .过 点 M作 MD x轴 于 点 D， 则 OD=3， MD=2.已 知 MED= OEF=45 ， 则 MDE与 OEF 均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， DE=MD=2，
28、OE=OF=1， E（ 1， 0） ， F（ 0， 1） . M（ 3， 2） ， F（ 0， 1） ， 线 段 MF 中 点 坐 标 为 （ ， ） .直 线 y= x+b过 点 （ ， ） ， 则 = +b， 解 得 ： b=2，2=1+t，解 得 t=1. M（ 3， 2） ， E（ 1， 0） ， 线 段 ME 中 点 坐 标 为 （ 2， 1） .直 线 y= x+b过 点 （ 2， 1） ， 则 1= 2+b， 解 得 ： b=3，3=1+t，解 得 t=2.故 点 M关 于 l 的 对 称 点 ， 当 t=1时 ， 落 在 y轴 上 ， 当 t=2时 ， 落 在 x 轴 上 .
29、24.（ 11 分 ） 如 图 ， OAB中 ， OA=OB=10， AOB=80 ， 以 点 O为 圆 心 ， 6 为 半 径 的 优 弧 分别 交 OA， OB于 点 M， N.（ 1） 点 P在 右 半 弧 上 （ BOP是 锐 角 ） ， 将 OP绕 点 O 逆 时 针 旋 转 80 得 OP .求 证 ： AP=BP ；（ 2） 点 T 在 左 半 弧 上 ， 若 AT与 弧 相 切 ， 求 点 T到 OA的 距 离 ；（ 3） 设 点 Q 在 优 弧 上 ， 当 AOQ的 面 积 最 大 时 ， 直 接 写 出 BOQ的 度 数 . 解 析 ： （ 1） 首 先 根 据 已 知 得
30、 出 AOP= BOP ， 进 而 得 出 AOP BOP ， 即 可 得 出 答 案 ；（ 2） 利 用 切 线 的 性 质 得 出 ATO=90 ， 再 利 用 勾 股 定 理 求 出 AT 的 长 ， 进 而 得 出 TH 的 长 即可 得 出 答 案 ；（ 3） 当 OQ OA 时 ， AOQ面 积 最 大 ， 且 左 右 两 半 弧 上 各 存 在 一 点 分 别 求 出 即 可 .答 案 ： （ 1） 如 图 1， AOP= AOB+ BOP=80 + BOP， BOP = POP + BOP=80 + BOP， AOP= BOP ， 在 AOP和 BOP 中 AOP BOP （
31、SAS） ， AP=BP ；（ 2） 解 ： 如 图 1， 连 接 OT， 过 点 T 作 TH OA 于 点 H， AT 与 相 切 ， ATO=90 ， AT= = =8， OA TH= AT OT，即 10 TH= 8 6， 解 得 ： TH= ， 即 点 T 到 OA 的 距 离 为 ；（ 3） 解 ： 如 图 2， 当 OQ OA时 ， AOQ的 面 积 最 大 ；理 由 ： OQ OA， QO 是 AOQ中 最 长 的 高 ， 则 AOQ的 面 积 最 大 ， BOQ= AOQ+ AOB=90 +80 =170 ，当 Q 点 在 优 弧 右 侧 上 ， OQ OA， QO 是 AO
32、Q中 最 长 的 高 ， 则 AOQ的 面 积 最 大 ， BOQ= AOQ AOB=90 80 =10 ，综 上 所 述 ： 当 BOQ的 度 数 为 10 或 170 时 ， AOQ的 面 积 最 大 . 25.（ 12分 ） 某 公 司 在 固 定 线 路 上 运 输 ， 拟 用 运 营 指 数 Q 量 化 考 核 司 机 的 工 作 业 绩 .Q=W+100，而 W 的 大 小 与 运 输 次 数 n及 平 均 速 度 x（ km/h） 有 关 （ 不 考 虑 其 他 因 素 ） ， W 由 两 部 分 的 和 组成 ： 一 部 分 与 x的 平 方 成 正 比 ， 另 一 部 分 与
33、 x 的 n 倍 成 正 比 .试 行 中 得 到 了 表 中 的 数 据 .次 数 n 2 1速 度 x 40 60指 数 Q 420 100（ 1） 用 含 x 和 n 的 式 子 表 示 Q；（ 2） 当 x=70， Q=450 时 ， 求 n 的 值 ； （ 3） 若 n=3， 要 使 Q最 大 ， 确 定 x的 值 ；（ 4） 设 n=2， x=40， 能 否 在 n 增 加 m%（ m 0） 同 时 x 减 少 m%的 情 况 下 ， 而 Q的 值 仍 为 420？若 能 ， 求 出 m 的 值 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 .参 考 公 式 ： 抛 物 线 y=ax2+
34、bx+c（ a 0） 的 顶 点 坐 标 是 （ ， ）解 析 ： （ 1） 根 据 题 目 所 给 的 信 息 ， 设 W=k1x2+k2nx， 然 后 根 据 Q=W+100， 列 出 用 Q 的 解 析式 ；（ 2） 将 x=70， Q=450， 代 入 求 n 的 值 即 可 ；（ 3） 把 n=3代 入 ， 确 定 函 数 关 系 式 ， 然 后 求 Q 最 大 值 时 x 的 值 即 可 ；（ 4） 根 据 题 意 列 出 关 系 式 ， 求 出 当 Q=420 时 m 的 值 即 可 .答 案 ： （ 1） 设 W=k 1x2+k2nx， 则 Q=k1x2+k2nx+100，由
35、表 中 数 据 ， 得 ，解 得 ： ， Q= x 2+6nx+100；（ 2） 将 x=70， Q=450 代 入 Q 得 ，450= 702+6 70n+100，解 得 ： n=2；（ 3） 当 n=3时 ， Q= x 2+18x+100= （ x 90） 2+910， 0， 函 数 图 象 开 口 向 下 ， 有 最 大 值 ，则 当 x=90 时 ， Q有 最 大 值 ，即 要 使 Q 最 大 ， x=90；（ 4） 由 题 意 得 ， 420= 40（ 1 m%） 2+6 2（ 1+m%） 40（ 1 m%） +100，即 2（ m%） 2 m%=0，解 得 ： m%= 或 m%=0
36、（ 舍 去 ） ， m=50. 26.（ 14分 ） 一 透 明 的 敞 口 正 方 体 容 器 ABCD A B C D 装 有 一 些 液 体 ， 棱 AB始 终 在 水平 桌 面 上 ， 容 器 底 部 的 倾 斜 角 为 （ CBE= ， 如 图 1 所 示 ） .探 究 如 图 1， 液 面 刚 好 过 棱CD， 并 与 棱 BB 交 于 点 Q， 此 时 液 体 的 形 状 为 直 三 棱 柱 ， 其 三 视 图 及 尺 寸 如 图 2所 示 .解 决 问 题 ：（ 1） CQ与 BE 的 位 置 关 系 是 ， BQ 的 长 是 dm；（ 2） 求 液 体 的 体 积 ； （ 参
37、 考 算 法 ： 直 棱 柱 体 积 V 液 =底 面 积 S BCQ 高 AB）（ 3） 求 的 度 数 .（ 注 ： sin49 =cos41 = ， tan37 = ） 拓 展 ： 在 图 1 的 基 础 上 ， 以 棱 AB 为 轴 将 容 器 向 左 或 向 右 旋 转 ， 但 不 能 使 液 体 溢 出 ， 图 3 或图 4 是 其 正 面 示 意 图 .若 液 面 与 棱 C C或 CB交 于 点 P， 设 PC=x， BQ=y.分 别 就 图 3 和 图 4求 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 相 应 的 的 范 围 .延 伸 ： 在 图 4的 基 础 上 ，
38、 于 容 器 底 部 正 中 间 位 置 ， 嵌 入 一 平 行 于 侧 面 的 长 方 形 隔 板 （ 厚 度 忽略 不 计 ） ， 得 到 图 5， 隔 板 高 NM=1dm， BM=CM， NM BC.继 续 向 右 缓 慢 旋 转 ， 当 =60 时 ， 通过 计 算 ， 判 断 溢 出 容 器 的 液 体 能 否 达 到 4dm3. 解 析 ： （ 1） 根 据 水 面 与 水 平 面 平 行 可 以 得 到 CQ 与 BE 平 行 ， 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 得 BQ的 长 ；（ 2） 液 体 正 好 是 一 个 以 BCQ是 底 面 的 直 棱 柱 ， 据 此 即 可
39、 求 得 液 体 的 体 积 ；（ 3） 根 据 液 体 体 积 不 变 ， 据 此 即 可 列 方 程 求 解 ；延 伸 ： 当 =60 时 ， 如 图 6所 示 ， 设 FN EB， GB EB， 过 点 G 作 GH BB 于 点 H， 此 时容 器 内 液 体 形 成 两 层 液 面 ， 液 体 的 形 状 分 别 是 以 Rt NFM和 直 角 梯 形 MBB G 为 底 面 的 直 棱柱 ， 求 得 棱 柱 的 体 积 ， 即 可 求 得 溢 出 的 水 的 体 积 ， 据 此 即 可 作 出 判 断 .答 案 ： （ 1） CQ BE， BQ= =3；（ 2） V 液 = 3 4
40、 4=24（ dm3） ； （ 3） 在 Rt BCQ中 ， tan BCQ= ， = BCQ=37 .当 容 器 向 左 旋 转 时 ， 如 图 3， 0 37 ， 液 体 体 积 不 变 ， （ x+y） 4 4=24， y= x+3.当 容 器 向 右 旋 转 时 ， 如 图 4.同 理 可 得 ： y= ；当 液 面 恰 好 到 达 容 器 口 沿 ， 即 点 Q与 点 B 重 合 时 ， 如 图 5，由 BB =4， 且 PBBB 4=24， 得 PB=3， 由 tan PB B= ， 得 PB B=37 . = B PB=53 .此 时 37 53 ；延 伸 ： 当 =60 时 ， 如 图 6 所 示 ， 设 FN EB， GB EB， 过 点 G作 GH BB 于 点 H.在 Rt B GH 中 ， GH=MB=2， GB B=30 ， HB =2 . MG=BH=4 2 MN.此 时 容 器 内 液 体 形 成 两 层 液 面 ， 液 体 的 形 状 分 别 是 以 Rt NFM和 直 角 梯 形 MBB G 为 底 面 的直 棱 柱 . S NFM+SMBB G= 1+ （ 4 2 +4） 2=8 . V 溢 出 =24 4（ 8 ） = 8 4（ dm3） . 溢 出 液 体 可 以 达 到 4dm3.
