1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 新 课 标 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 是 符合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )已 知 集 合 A=x|x2-2x 0， ， 则 ( )A.A B=B.A B=RC.BAD.AB解 析 ： 集 合 A=x|x 2-2x 0=x|x 2或 x 0， A B=x|2 x 或 - x 0，A B=R.答 案 ： B.2.(5分 )若 复 数 z 满 足 (3-4i)z=|4+3i|， 则
2、z 的 虚 部 为 ( )A.-4B.C.4D.解 析 ： 复 数 z满 足 (3-4i)z=|4+3i|， z= = = = + i， 故 z 的 虚 部 等 于 ，答 案 ： D.3.(5分 )为 了 解 某 地 区 中 小 学 生 的 视 力 情 况 ， 拟 从 该 地 区 的 中 小 学 生 中 抽 取 部 分 学 生 进 行 调查 ， 事 先 已 经 了 解 到 该 地 区 小 学 、 初 中 、 高 中 三 个 学 段 学 生 的 视 力 情 况 有 较 大 差 异 ， 而 男 女生 视 力 情 况 差 异 不 大 .在 下 面 的 抽 样 方 法 中 ， 最 合 理 的 抽 样
3、方 法 是 ( )A.简 单 的 随 机 抽 样B.按 性 别 分 层 抽 样C.按 学 段 分 层 抽 样D.系 统 抽 样解 析 ： 我 们 常 用 的 抽 样 方 法 有 ： 简 单 随 机 抽 样 、 分 层 抽 样 和 系 统 抽 样 ，而 事 先 已 经 了 解 到 该 地 区 小 学 、 初 中 、 高 中 三 个 学 段 学 生 的 视 力 情 况 有 较 大 差 异 ， 而 男 女 生 视 力 情 况 差 异 不 大 .了 解 某 地 区 中 小 学 生 的 视 力 情 况 ， 按 学 段 分 层 抽 样 ， 这 种 方 式 具 有 代 表 性 ， 比 较 合 理 .答 案
4、： C.4.(5分 )已 知 双 曲 线 C： 的 离 心 率 为 ， 则 C 的 渐 近 线 方 程为 ( ) A.B.C.D.y= x解 析 ： 已 知 双 曲 线 C： 的 离 心 率 为 ， 故 有 = ， = ， 解 得 = .故 C的 渐 近 线 方 程 为 ， 答 案 ： C.5.(5分 )执 行 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 t -1， 3， 则 输 出 的 s属 于 ( ) A.-3， 4B.-5， 2C.-4， 3D.-2， 5解 析 ： 由 判 断 框 中 的 条 件 为 t 1， 可 得 ： 函 数 分 为 两 段 ， 即 t 1与 t 1， 又 由 满 足
5、条 件 时 函 数 的 解 析 式 为 ： s=3t；不 满 足 条 件 时 ， 即 t 1 时 ， 函 数 的 解 析 式 为 ： s=4t-t2故 分 段 函 数 的 解 析 式 为 ： s= ，如 果 输 入 的 t -1， 3， 画 出 此 分 段 函 数 在 t -1， 3时 的 图 象 ， 则 输 出 的 s属 于 -3， 4.答 案 ： A.6.(5分 )如 图 ， 有 一 个 水 平 放 置 的 透 明 无 盖 的 正 方 体 容 器 ， 容 器 高 8cm， 将 一 个 球 放 在 容 器口 ， 再 向 容 器 注 水 ， 当 球 面 恰 好 接 触 水 面 时 测 得 水
6、深 为 6cm， 如 不 计 容 器 的 厚 度 ， 则 球 的 体积 为 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 设 正 方 体 上 底 面 所 在 平 面 截 球 得 小 圆 M， 则 圆 心 M为 正 方 体 上 底 面 正 方 形 的 中 心 .如图 .设 球 的 半 径 为 R， 根 据 题 意 得 球 心 到 上 底 面 的 距 离 等 于 (R-2)cm， 而 圆 M 的 半 径 为 4， 由 球 的截 面 圆 性 质 ， 得 R 2=(R-2)2+42， 解 出 R=5， 根 据 球 的 体 积 公 式 ， 该 球 的 体 积 V= = = .答 案 ： A.7.(5分 )设 等
7、 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 若 Sm-1=-2， Sm=0， Sm+1=3， 则 m=( )A.3B.4C.5D.6解 析 ： a m=Sm-Sm-1=2， am+1=Sm+1-Sm=3， 所 以 公 差 d=am+1-am=1， Sm= =0， 得 a1=-2，所 以 am=-2+(m-1) 1=2， 解 得 m=5，答 案 ： C.8.(5分 )某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16解 析 ： 三 视 图 复 原 的 几 何 体 是 一 个 长 方 体 与 半 个
8、 圆 柱 的 组 合 体 ， 如 图 ， 其 中 长 方 体 长 、 宽 、 高 分 别 是 ： 4， 2， 2， 半 个 圆 柱 的 底 面 半 径 为 2， 母 线 长 为 4. 长 方 体的 体 积 =4 2 2=16，半 个 圆 柱 的 体 积 = 22 4=8 所 以 这 个 几 何 体 的 体 积 是 16+8 ；答 案 ： A.9.(5分 )设 m 为 正 整 数 ， (x+y)2m展 开 式 的 二 项 式 系 数 的 最 大 值 为 a， (x+y)2m+1展 开 式 的 二 项式 系 数 的 最 大 值 为 b， 若 13a=7b， 则 m=( )A.5B.6C.7D.8解
9、 析 ： m 为 正 整 数 ， 由 (x+y) 2m展 开 式 的 二 项 式 系 数 的 最 大 值 为 a， 以 及 二 项 式 系 数 的 性 质可 得 a= ，同 理 ， 由 (x+y)2m+1展 开 式 的 二 项 式 系 数 的 最 大 值 为 b， 可 得 b= = .再 由 13a=7b， 可 得 13 =7 ， 即 13 =7 ，即 13=7 ， 即 13(m+1)=7(2m+1)， 解 得 m=6，答 案 ： B. 10.(5分 )已 知 椭 圆 E： 的 右 焦 点 为 F(3， 0)， 过 点 F 的 直 线 交 椭 圆E于 A、 B 两 点 .若 AB的 中 点 坐
10、 标 为 (1， -1)， 则 E 的 方 程 为 ( )A.B.C. D.解 析 ： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 代 入 椭 圆 方 程 得 ，相 减 得 ， . x 1+x2=2， y1+y2=-2， = = . ，化 为 a2=2b2， 又 c=3= ， 解 得 a2=18， b2=9. 椭 圆 E 的 方 程 为 .答 案 ： D.11.(5分 )已 知 函 数 f(x)= ， 若 |f(x)| ax， 则 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， 0B.(- ， 1C.-2， 1 D.-2， 0解 析 ： 由 题 意 可 作 出 函 数 y=|f(x)|的
11、图 象 ， 和 函 数 y=ax的 图 象 ， 由 图 象 可 知 ： 函 数 y=ax 的 图 象 为 过 原 点 的 直 线 ， 当 直 线 介 于 l 和 x 轴 之 间 符 合 题 意 ， 直 线l为 曲 线 的 切 线 ， 且 此 时 函 数 y=|f(x)|在 第 二 象 限 的 部 分 解 析 式 为 y=x2-2x，求 其 导 数 可 得 y =2x-2， 因 为 x 0， 故 y -2， 故 直 线 l 的 斜 率 为 -2，故 只 需 直 线 y=ax的 斜 率 a 介 于 -2与 0之 间 即 可 ， 即 a -2， 0答 案 ： D 12.(5分 )设 AnBnCn的
12、三 边 长 分 别 为 an， bn， cn， AnBnCn的 面 积 为 Sn， n=1， 2， 3 若 b1 c1，b1+c1=2a1， an+1=an， ， ， 则 ( )A.Sn为 递 减 数 列B.Sn为 递 增 数 列C.S2n-1为 递 增 数 列 ， S2n为 递 减 数 列D.S2n-1为 递 减 数 列 ， S2n为 递 增 数 列解 析 ： 因 为 a n+1=an， ， ， 所 以 an=a1，所 以 bn+1+cn+1=an+ =a1+ ， 所 以 bn+1+cn+1-2a1= ，又 b1+c1=2a1， 所 以 bn+cn=2a1，于 是 ， 在 AnBnCn中 ，
13、 边 长 BnCn=a1为 定 值 ， 另 两 边 AnCn、 AnBn的 长 度 之 和 bn+cn=2a1为 定 值 ，因 为 bn+1-cn+1= = ， 所 以b n-cn= ，当 n + 时 ， 有 bn-cn 0， 即 bn cn，于 是 AnBnCn的 边 BnCn的 高 hn随 着 n的 增 大 而 增 大 ， 所 以 其 面 积 =为 递 增 数 列 ，答 案 ： B.二 .填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 .13.(5分 )已 知 两 个 单 位 向 量 ， 的 夹 角 为 60 ， =t +(1-t) .若 =0， 则 t= .解 析 ：
14、 ， ， =0， tcos60 +1-t=0， 1 =0， 解 得 t=2.答 案 ： 2.14.(5分 )若 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn= an+ ， 则 数 列 an的 通 项 公 式 是 an= .解 析 ： 当 n=1时 ， a1=S1= ， 解 得 a1=1当 n 2 时 ， a n=Sn-Sn-1=( )-( )= ，整 理 可 得 ， 即 =-2，故 数 列 an是 以 1 为 首 项 ， -2为 公 比 的 等 比 数 列 ， 故 an=1 (-2)n-1=(-2)n-1 答 案 ： (-2)n-115.(5分 )设 当 x= 时 ， 函 数 f(x)=sinx-
15、2cosx 取 得 最 大 值 ， 则 cos = .解 析 ： f(x)=sinx-2cosx= ( sinx- cosx)= sin(x- )(其 中 cos = ，sin = )， x= 时 ， 函 数 f(x)取 得 最 大 值 ， sin( - )=1， 即 sin -2cos = ，又 sin 2 +cos2 =1， 联 立 解 得 cos =- .答 案 ： -16.(5分 )若 函 数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的 图 象 关 于 直 线 x=-2 对 称 ， 则 f(x)的 最 大 值为 .解 析 ： 函 数 f(x)=(1-x 2)(x2+ax+b)的 图 象
16、 关 于 直 线 x=-2对 称 ， f(-1)=f(-3)=0 且 f(1)=f(-5)=0，即 1-(-3)2(-3)2+a (-3)+b=0且 1-(-5)2(-5)2+a (-5)+b=0， 解 之 得 ，因 此 ， f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=-x4-8x3-14x2+8x+15， 求 导 数 ， 得 f(x)=-4x3-24x2-28x+8，令 f(x)=0， 得 x1=-2- ， x2=-2， x3=-2+ ，当 x (- ， -2- )时 ， f(x) 0； 当 x (-2- ， -2)时 ， f(x) 0；当 x (-2， -2+ )时 ， f(x) 0； 当
17、 x (-2+ ， + )时 ， f(x) 0， f(x)在 区 间 (- ， -2- )、 (-2， -2+ )上 是 增 函 数 ， 在 区 间 (-2- ， -2)、 (-2+ ，+ )上 是 减 函 数 ，又 f(-2- )=f(-2+ )=16， f(x)的 最 大 值 为 16.答 案 ： 16 三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.(12分 )如 图 ， 在 ABC中 ， ABC=90 ， ， BC=1， P 为 ABC内 一 点 ， BPC=90( )若 ， 求 PA；( )若 APB=150 ， 求 tan
18、 PBA. 解 析 ： (I)在 Rt PBC， 利 用 边 角 关 系 即 可 得 到 PBC=60 ， 得 到 PBA=30 .在 PBA中 ，利 用 余 弦 定 理 即 可 求 得 PA. (II)设 PBA= ， 在 Rt PBC中 ， 可 得 PB=sin .在 PBA 中 ， 由 正 弦 定 理 得， 即 ， 化 简 即 可 求 出 .答 案 ： (I)在 Rt PBC中 ， = ， PBC=60 ， PBA=30 .在 PBA中 ， 由 余 弦 定 理 得PA 2=PB2+AB2-2PB ABcos30 = = . PA= .(II)设 PBA= ， 在 Rt PBC中 ， PB
19、=BCcos(90 - )=sin .在 PBA中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， 即 ，化 为 . .18.(12分 )如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1中 ， CA=CB， AB=AA1， BAA1=60 .( )证 明 AB A 1C；( )若 平 面 ABC 平 面 AA1B1B， AB=CB， 求 直 线 A1C 与 平 面 BB1C1C 所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： ( )取 AB的 中 点 O， 连 接 OC， OA1， A1B， 由 已 知 可 证 OA1 AB， AB 平 面 OA1C， 进 而可 得 AB A1C；( )易 证 OA， OA1， OC
20、两 两 垂 直 .以 O为 坐 标 原 点 ， 的 方 向 为 x 轴 的 正 向 ， | |为 单 位长 ， 建 立 坐 标 系 ， 可 得 ， ， 的 坐 标 ， 设 =(x， y， z)为 平 面 BB 1C1C 的 法 向 量 ，则 ， 可 解 得 =( ， 1， -1)， 可 求 cos ， ， 即 为 所 求 正 弦 值 .答 案 ： ( )取 AB的 中 点 O， 连 接 OC， OA1， A1B，因 为 CA=CB， 所 以 OC AB， 由 于 AB=AA1， BAA1=60 ， 所 以 AA1B为 等 边 三 角 形 ， 所 以 OA1 AB，又 因 为 OC OA 1=O
21、， 所 以 AB 平 面 OA1C， 又 A1C平 面 OA1C， 故 AB A1C.( )由 ( )知 OC AB， OA1 AB， 又 平 面 ABC 平 面 AA1B1B， 交 线 为 AB，所 以 OC 平 面 AA1B1B， 故 OA， OA1， OC两 两 垂 直 .以 O 为 坐 标 原 点 ， 的 方 向 为 x轴 的 正 向 ， | |为 单 位 长 ， 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ， 可 得 A(1， 0， 0)， A1(0， ， 0)， C(0， 0， )， B(-1， 0， 0)，则 =(1， 0， )， =(-1， ， 0)， =(0， - ， )，设 =
22、(x， y， z)为 平 面 BB1C1C 的 法 向 量 ， 则 ， 即 ，可 取 y=1， 可 得 =( ， 1， -1)， 故 cos ， = = ，故 直 线 A 1C与 平 面 BB1C1C所 成 角 的 正 弦 值 为 ： .19.(12分 )一 批 产 品 需 要 进 行 质 量 检 验 ， 检 验 方 案 是 ： 先 从 这 批 产 品 中 任 取 4件 作 检 验 ， 这4件 产 品 中 优 质 品 的 件 数 记 为 n.如 果 n=3， 再 从 这 批 产 品 中 任 取 4 件 作 检 验 ， 若 都 为 优 质 品 ，则 这 批 产 品 通 过 检 验 ； 如 果 n
23、=4， 再 从 这 批 产 品 中 任 取 1 件 作 检 验 ， 若 为 优 质 品 ， 则 这 批 产品 通 过 检 验 ； 其 他 情 况 下 ， 这 批 产 品 都 不 能 通 过 检 验 .假 设 这 批 产 品 的 优 质 品 率 为 50%， 即取 出 的 产 品 是 优 质 品 的 概 率 都 为 ， 且 各 件 产 品 是 否 为 优 质 品 相 互 独 立 .( )求 这 批 产 品 通 过 检 验 的 概 率 ；( )已 知 每 件 产 品 检 验 费 用 为 100元 ， 凡 抽 取 的 每 件 产 品 都 需 要 检 验 ， 对 这 批 产 品 作 质 量 检验 所
24、需 的 费 用 记 为 X(单 位 ： 元 )， 求 X的 分 布 列 及 数 学 期 望 .解 析 ： ( )设 第 一 次 取 出 的 4 件 产 品 中 恰 有 3件 优 质 品 为 事 件 A 1， 第 一 次 取 出 的 4 件 产 品 全是 优 质 品 为 事 件 A2， 第 二 次 取 出 的 4件 产 品 全 是 优 质 品 为 事 件 B1， 第 二 次 取 出 的 1 件 产 品 是优 质 品 为 事 件 B2， 这 批 产 品 通 过 检 验 为 事 件 A， 依 题 意 有 A=(A1B1) (A2B2)， 且 A1B1与 A2B2互 斥 ， 由 概 率 得 加 法 公
25、 式 和 条 件 概 率 ， 代 入 数 据 计 算 可 得 ；( )X可 能 的 取 值 为 400， 500， 800， 分 别 求 其 概 率 ， 可 得 分 布 列 ， 进 而 可 得 期 望 值 .答 案 ： ( )设 第 一 次 取 出 的 4 件 产 品 中 恰 有 3件 优 质 品 为 事 件 A1， 第 一 次 取 出 的 4 件 产 品 全是 优 质 品 为 事 件 A2，第 二 次 取 出 的 4件 产 品 全 是 优 质 品 为 事 件 B 1， 第 二 次 取 出 的 1件 产 品 是 优 质 品 为 事 件 B2，这 批 产 品 通 过 检 验 为 事 件 A， 依
26、 题 意 有 A=(A1B1) (A2B2)， 且 A1B1与 A2B2互 斥 ，所 以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)= =( )X可 能 的 取 值 为 400， 500， 800， 并 且 P(X=800)= ， P(X=500)= ， P(X=400)=1- - = ， 故 X 的 分 布 列 如 下 ：故 EX=400 +500 +800 =506.2520.(12分 )已 知 圆 M： (x+1) 2+y2=1， 圆 N： (x-1)2+y2=9， 动 圆 P与 圆 M 外 切 并 与 圆 N 内 切 ，圆 心 P的
27、 轨 迹 为 曲 线 C.( )求 C 的 方 程 ；( )l是 与 圆 P， 圆 M 都 相 切 的 一 条 直 线 ， l 与 曲 线 C 交 于 A， B两 点 ， 当 圆 P 的 半 径 最 长 时 ，求 |AB|.解 析 ： (I)设 动 圆 的 半 径 为 R， 由 已 知 动 圆 P与 圆 M 外 切 并 与 圆 N 内 切 ， 可 得|PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4， 而 |NM|=2， 由 椭 圆 的 定 义 可 知 ： 动 点 P 的 轨 迹 是 以 M， N 为 焦 点 ，4为 长 轴 长 的 椭 圆 ， 求 出 即 可 ；(II)设 曲 线 C 上 任 意 一
28、 点 P(x， y)， 由 于 |PM|-|PN|=2R-2 4-2=2， 所 以 R 2， 当 且 仅 当 P的 圆 心 为 (2， 0)R=2时 ， 其 半 径 最 大 ， 其 方 程 为 (x-2) 2+y2=4.分 l 的 倾 斜 角 为 90 ， 此 时 l与 y 轴 重 合 ， 可 得 |AB|. 若 l的 倾 斜 角 不 为 90 ， 由 于 M 的 半 径 1 R， 可 知 l 与 x 轴 不平 行 ， 设 l 与 x 轴 的 交 点 为 Q， 根 据 ， 可 得 Q(-4， 0)， 所 以 可 设 l： y=k(x+4)，与 椭 圆 的 方 程 联 立 ， 得 到 根 与 系
29、 数 的 关 系 利 用 弦 长 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： (I)由 圆 M： (x+1)2+y2=1， 可 知 圆 心 M(-1， 0)； 圆 N： (x-1)2+y2=9， 圆 心 N(1， 0)， 半径 3.设 动 圆 的 半 径 为 R， 动 圆 P与 圆 M 外 切 并 与 圆 N 内 切 ， |PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4，而 |NM|=2， 由 椭 圆 的 定 义 可 知 ： 动 点 P的 轨 迹 是 以 M， N 为 焦 点 ， 4为 长 轴 长 的 椭 圆 ， a=2， c=1， b 2=a2-c2=3. 曲 线 C 的 方 程 为 .(去 掉 点 (
30、-2， 0)(II)设 曲 线 C 上 任 意 一 点 P(x， y)，由 于 |PM|-|PN|=2R-2 4-2=2， 所 以 R 2， 当 且 仅 当 P 的 圆 心 为 (2， 0)R=2时 ， 其 半 径 最大 ， 其 方 程 为 (x-2)2+y2=4. l 的 倾 斜 角 为 90 ， 则 l 与 y 轴 重 合 ， 可 得 |AB|= . 若 l的 倾 斜 角 不 为 90 ， 由 于 M 的 半 径 1 R， 可 知 l与 x轴 不 平 行 ，设 l 与 x 轴 的 交 点 为 Q， 则 ， 可 得 Q(-4， 0)， 所 以 可 设 l： y=k(x+4)， 由 l 于 M
31、 相 切 可 得 ： ， 解 得 . 当 时 ， 联 立 ， 得 到 7x2+8x-8=0. ， . |AB|= = =由 于 对 称 性 可 知 ： 当 时 ， 也 有 |AB|= .综 上 可 知 ： |AB|= 或 .21.(12分 )已 知 函 数 f(x)=x 2+ax+b， g(x)=ex(cx+d)若 曲 线 y=f(x)和 曲 线 y=g(x)都 过 点 P(0，2)， 且 在 点 P 处 有 相 同 的 切 线 y=4x+2.( )求 a， b， c， d 的 值 ；( )若 x -2 时 ， f(x) kg(x)， 求 k 的 取 值 范 围 .解 析 ： (I)对 f(x
32、)， g(x)进 行 求 导 ， 已 知 在 交 点 处 有 相 同 的 切 线 及 曲 线 y=f(x)和 曲 线 y=g(x)都 过 点 P(0， 2)， 从 而 解 出 a， b， c， d的 值 ；(II)由 (I)得 出 f(x)， g(x)的 解 析 式 ， 再 求 出 F(x)及 它 的 导 函 数 ， 通 过 对 k 的 讨 论 ， 判 断 出F(x)的 最 值 ， 从 而 判 断 出 f(x) kg(x)恒 成 立 ， 从 而 求 出 k的 范 围 .答 案 ： (I)由 题 意 知 f(0)=2， g(0)=2， f (0)=4， g (0)=4，而 f (x)=2x+a，
33、 g (x)=e x(cx+d+c)， 故 b=2， d=2， a=4， d+c=4，从 而 a=4， b=2， c=2， d=2；(II)由 (I)知 ， f(x)=x2+4x+2， g(x)=2ex(x+1)设 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2， 则 F (x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1)，由 题 设 得 F(0) 0， 即 k 1， 令 F (x)=0， 得 x1=-lnk， x2=-2，(i)若 1 k e2， 则 -2 x1 0， 从 而 当 x (-2， x1)时 ， F (x) 0， 当 x (x1， + )时 ，
34、F (x) 0，即 F(x)在 (-2， x 1)上 减 ， 在 (x1， + )上 是 增 ， 故 F(x)在 -2， + )上 的 最 小 值 为 F(x1)，而 F(x1)=-x1(x1+2) 0， x -2时 F(x) 0， 即 f(x) kg(x)恒 成 立 ，(ii)若 k=e2， 则 F (x)=2e2(x+2)(ex-e-2)， 从 而 当 x (-2， + )时 ， F (x) 0，即 F(x)在 (-2， + )上 是 增 ， 而 f(-2)=0， 故 当 x -2 时 ， F(x) 0， 即 f(x) kg(x)恒 成 立 ，(iii)若 k e2时 ， x1 -2=x2
35、， 当 x -2时 ， F (x) 0， F(x) F(0)， 故 f(x) kg(x)恒 成立 ，综 上 ， k的 取 值 范 围 是 1， + ).四 、 请 考 生 在 第 22、 23、 24 题 中 任 选 一 道 作 答 ， 并 用 2B 铅 笔 将 答 题 卡 上 所 选 的 题 目 对 应的 题 号 右 侧 方 框 涂 黑 ， 按 所 涂 题 号 进 行 评 分 ； 多 涂 、 多 答 ， 按 所 涂 的 首 题 进 行 评 分 ， 不 涂 ，按 本 选 考 题 的 首 题 进 行 评 分 .22.(10分 )(选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 ) 如 图 ， 直 线
36、AB 为 圆 的 切 线 ， 切 点 为 B， 点 C在 圆 上 ， ABC的 角 平 分 线 BE 交 圆 于 点 E， DB垂 直 BE交 圆 于 D. ( )证 明 ： DB=DC；( )设 圆 的 半 径 为 1， BC= ， 延 长 CE交 AB于 点 F， 求 BCF外 接 圆 的 半 径 .解 析 ： (I)连 接 DE 交 BC 于 点 G， 由 弦 切 角 定 理 可 得 ABE= BCE， 由 已 知 角 平 分 线 可 得 ABE= CBE， 于 是 得 到 CBE= BCE， BE=CE.由 已 知 DB BE， 可 知 DE为 O 的 直 径 ，Rt DBE Rt D
37、CE， 利 用 三 角 形 全 等 的 性 质 即 可 得 到 DC=DB.(II)由 (I)可 知 ： DG 是 BC的 垂 直 平 分 线 ， 即 可 得 到 BG= .设 DE的 中 点 为 O， 连 接 BO， 可得 BOG=60 .从 而 ABE= BCE= CBE=30 .得 到 CF BF.进 而 得 到 Rt BCF的 外 接 圆 的 半径 = .答 案 ： (I)连 接 DE 交 BC 于 点 G. 由 弦 切 角 定 理 可 得 ABE= BCE， 而 ABE= CBE， CBE= BCE， BE=CE.又 DB BE， DE 为 O的 直 径 ， DCE=90 . DBE
38、 DCE， DC=DB.(II)由 (I)可 知 ： CDE= BDE， DB=DC.故 DG是 BC 的 垂 直 平 分 线 ， BG= .设 DE 的 中 点 为 O， 连 接 BO， 则 BOG=60 .从 而 ABE= BCE= CBE=30 . CF BF. Rt BCF的 外 接 圆 的 半 径 = .23.(选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 )已 知 曲 线 C 1的 参 数 方 程 为 (t为 参 数 )， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 为 =2sin .(
39、)把 C1的 参 数 方 程 化 为 极 坐 标 方 程 ；( )求 C1与 C2交 点 的 极 坐 标 ( 0， 0 2 ) 解 析 ： ( )对 于 曲 线 C1利 用 三 角 函 数 的 平 方 关 系 式 sin2t+cos2t=1即 可 得 到 圆 C1的 普 通 方 程 ；再 利 用 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 即 可 得 到 C1的 极 坐 标 方 程 ；( )先 求 出 曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 ； 再 将 两 圆 的 方 程 联 立 求 出 其 交 点 坐 标 ， 最 后 再 利 用 极 坐标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 即 可
40、求 出 C1与 C2交 点 的 极 坐 标 .答 案 ： ( )曲 线 C1的 参 数 方 程 式 (t为 参 数 )，得 (x-4)2+(y-5)2=25即 为 圆 C1的 普 通 方 程 ， 即 x2+y2-8x-10y+16=0.将 x= cos ， y= sin 代 入 上 式 ， 得 . 2-8 cos -10 sin +16=0， 此 即 为 C1的 极 坐 标 方 程 ；( )曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 为 =2sin 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 ： x2+y2-2y=0，由 ， 解 得 或 . C1与 C2交 点 的 极 坐 标 分 别 为 ( ， )， (2，
41、 ).24.(选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 )已 知 函 数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|， g(x)=x+3.( )当 a=-2时 ， 求 不 等 式 f(x) g(x)的 解 集 ；( )设 a -1， 且 当 时 ， f(x) g(x)， 求 a的 取 值 范 围 . 解 析 ： ( )当 a=-2 时 ， 求 不 等 式 f(x) g(x)化 为 |2x-1|+|2x-2|-x-3 0.设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3， 画 出 函 数 y 的 图 象 ， 数 形 结 合 可 得 结 论 .( )不 等 式 化 即 1+a x+3， 故 x a-2对 都 成 立
42、 .故 - a-2， 由 此 解 得a的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )当 a=-2 时 ， 求 不 等 式 f(x) g(x)化 为 |2x-1|+|2x-2|-x-3 0.设 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3， 则 y= ， 它 的 图 象 如 图 所 示 ： 结 合 图 象 可 得 ， y 0的 解 集 为 (0， 2)， 故 原 不 等 式 的 解 集 为 (0， 2). ( )设 a -1， 且 当 时 ， f(x)=1+a， 不 等 式 化 为 1+a x+3， 故 x a-2对都 成 立 .故 - a-2， 解 得 a ， 故 a 的 取 值 范 围 为 (-1， .
