1、绝 密 启 封 并 使 用 完 毕 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 。 第 卷 1 至 2 页 ， 第 卷3 至 4 页 。 全 卷 满 分 150 分 。 考 试 时 间 120 分 钟 。注 意 事 项 ：1. 本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 。 第 卷 1 至 3 页 ， 第 卷 3至 5 页 。2. 答 题 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在
2、 本 试 题 相 应 的 位 置 。3. 全 部 答 案 在 答 题 卡 上 完 成 ， 答 在 本 试 题 上 无 效 。 4. 考 试 结 束 ， 将 本 试 题 和 答 题 卡 一 并 交 回 。第 卷一 、 选 择 题 共 12小 题 。 每 小 题 5分 ， 共 60分 。 在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的 一 项 。1、 已 知 集 合 A= x|x2 2x 0 ， B= x| 5 x 5 ， 则 ( )A、 AB= B、 A B=R C、 B A D、 A B2、 若 复 数 z满 足 (3 4i)z |4 3i
3、|， 则 z的 虚 部 为 ( )A、 4 （ B） 45 （ C） 4 （ D） 453、 为 了 解 某 地 区 的 中 小 学 生 视 力 情 况 ， 拟 从 该 地 区 的 中 小 学 生 中 抽 取 部 分 学 生 进 行 调 查 ，事 先 已 了 解 到 该 地 区 小 学 、 初 中 、 高 中 三 个 学 段 学 生 的 视 力 情 况 有 较 大 差 异 ， 而 男 女 生视 力 情 况 差 异 不 大 ， 在 下 面 的 抽 样 方 法 中 ， 最 合 理 的 抽 样 方 法 是 ( )A、 简 单 随 机 抽 样 B、 按 性 别 分 层 抽 样 C、 按 学 段 分 层
4、 抽 样 D、 系 统 抽 样4、 已 知 双 曲 线 C:x 2a2 y2b2 1(a 0， b 0)的 离 心 率 为 52 ， 则 C的 渐 近 线 方 程 为 ( )A、 y= 14x （ B） y= 13x （ C） y= 12x （ D） y= x5、 执 行 右 面 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 t 1， 3， 则 输 出 的 s属 于 ( )A、 3,4B、 5,2C、 4,3D、 2,5 6、 如 图 ， 有 一 个 水 平 放 置 的 透 明 无 盖 的 正 方 体 容 器 ， 容 器 高 8cm， 将 一 个 球 放 在 容 器 口 ，再 向 容 器 内 注
5、 水 ， 当 球 面 恰 好 接 触 水 面 时 测 得 水 深 为 6cm， 如 果 不 计 容 器 的 厚 度 ， 则 球的 体 积 为 ( )A、 5003 cm3 B、 8663 cm3 C、 13723 cm3 D 、20483 cm3 7、 设 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3， 则 m ( )A、 3 B、 4 C、 5 D、 68、 某 几 何 函 数 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 的 体 积 为 ( )A、 18+8 B、 8+8C、 16+16 D、 8+16 开 始输 入 ttb0)的 右
6、焦 点 为 F(1,0)， 过 点 F 的 直 线 交 椭 圆 于 A、 B两 点 。 若AB的 中 点 坐 标 为 (1， 1)， 则 E的 方 程 为 ( )A、 x245 y236 1 B、 x236 y227 1 C、 x227 y218 1 D、 x218 y29111、 已 知 函 数 f(x) x 2 2x x 0ln(x 1) x 0 ， 若 |f(x)| ax， 则 a 的 取 值 范 围 是 ( )A、 （ ， 0 B、 （ ， 1 C、 2， 1 D、 2， 012、 设 AnBnCn的 三 边 长 分 别 为 an,bn,cn， AnBnCn的 面 积 为 Sn， n=
7、1,2,3,若 b1 c1， b1 c1 2a1， an 1 an， bn 1 cn an2 ， cn 1 bn an2 ， 则 ()A、 Sn为 递 减 数 列 B、 Sn为 递 增 数 列C、 S2n 1为 递 增 数 列 ， S2n为 递 减 数 列D、 S2n 1为 递 减 数 列 ， S2n为 递 增 数 列第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 个 部 分 。 第 （ 13） 题 -第 （ 21） 题 为 必 考 题 ， 每 个 考 生 都 必 须 作答 。 第 （ 22） 题 -第 （ 24） 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。二 填 空 题
8、 ： 本 大 题 共 四 小 题 ， 每 小 题 5分 。13、 已 知 两 个 单 位 向 量 a， b的 夹 角 为 60， c ta (1 t)b， 若 bc=0， 则 t=_.14、 若 数 列 a n的 前 n 项 和 为 Sn 23an 13， 则 数 列 an的 通 项 公 式 是 an=_.15、 设 当 x=时 ， 函 数 f(x) sinx 2cosx取 得 最 大 值 ， 则 cos=_16、 若 函 数 f(x)=(1 x2)(x2 ax b)的 图 像 关 于 直 线 x= 2对 称 ， 则 f(x)的 最 大 值 是 _.三 .解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文
9、 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。17、 （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 在 ABC中 ， ABC 90， AB= 3 ， BC=1， P为 ABC内 一 点 ， BPC 90 侧 视 图俯 视 图44 4 222 42 主 视 图 (1)若 PB=12， 求 PA；(2)若 APB 150， 求 tan PBA 18、 （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， CA=CB， AB=AA1， BAA1=60.（ ） 证 明 AB A1C;（ ） 若 平 面 ABC 平 面 AA1B1B， AB=CB=2， 求 直
10、线 A1C 与 平 面 BB1C1C所 成 角 的 正弦 值 。 19、 （ 本 小 题 满 分 12分 ）一 批 产 品 需 要 进 行 质 量 检 验 ， 检 验 方 案 是 ： 先 从 这 批 产 品 中 任 取 4件 作 检 验 ， 这 4件产 品 中 优 质 品 的 件 数 记 为 n。 如 果 n=3， 再 从 这 批 产 品 中 任 取 4件 作 检 验 ， 若 都 为 优 质品 ， 则 这 批 产 品 通 过 检 验 ； 如 果 n=4， 再 从 这 批 产 品 中 任 取 1件 作 检 验 ， 若 为 优 质 品 ，则 这 批 产 品 通 过 检 验 ； 其 他 情 况 下
11、， 这 批 产 品 都 不 能 通 过 检 验 。假 设 这 批 产 品 的 优 质 品 率 为 50%， 即 取 出 的 产 品 是 优 质 品 的 概 率 都 为 ， 且 各 件 产 品 是否 为 优 质 品 相 互 独 立（ 1） 求 这 批 产 品 通 过 检 验 的 概 率 ；（ 2） 已 知 每 件 产 品 检 验 费 用 为 100元 ， 凡 抽 取 的 每 件 产 品 都 需 要 检 验 ， 对 这 批 产 品作 质 量 检 验 所 需 的 费 用 记 为 X（ 单 位 ： 元 ） ， 求 X的 分 布 列 及 数 学 期 望 。(20)(本 小 题 满 分 12分 )已 知
12、圆 M： (x 1) 2 y2=1， 圆 N： (x 1)2 y2=9， 动 圆 P与 圆 M外 切 并 与 圆 N内 切 ， 圆 心P的 轨 迹 为 曲 线 C（ ） 求 C的 方 程 ；（ ） l 是 与 圆 P， 圆 M都 相 切 的 一 条 直 线 ， l 与 曲 线 C交 于 A， B两 点 ， 当 圆 P的 半 径 最长 时 ， 求 |AB|.（ 21） （ 本 小 题 满 分 共 12分 ） A BCP A BC C1A1 B1 已 知 函 数 f(x) x2 ax b， g(x) ex(cx d)， 若 曲 线 y f(x)和 曲 线 y g(x)都 过 点 P(0， 2)，且
13、 在 点 P处 有 相 同 的 切 线 y 4x+2（ ） 求 a， b， c， d的 值（ ） 若 x 2时 ， f(x) kgf(x)， 求 k的 取 值 范 围 。请 考 生 在 第 （ 22） 、 （ 23） 、 （ 24） 三 题 中 任 选 一 题 作 答 。 注 意 ： 只 能 做 所 选 定 的 题 目 。 如 果多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 个 题 目 计 分 ， 作 答 时 请 用 2B 铅 笔 在 答 题 卡 上 将 所 选 题 号 后 的 方 框涂 黑 。（ 22） （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 41： 几 何 证 明 选 讲 如 图 ， 直 线
14、 AB为 圆 的 切 线 ， 切 点为 B， 点 C在 圆 上 ， ABC的 角 平 分 线 BE交 圆 于 点 E， DB垂 直 BE交 圆 于 D。 （ ） 证 明 ： DB=DC；（ ） 设 圆 的 半 径 为 1， BC= 3， 延 长 CE交 AB于 点 F， 求 BCF外 接 圆 的 半 径 。（ 23） （ 本 小 题 10分 ） 选 修 44： 坐 标 系 与 参 数 方 程已 知 曲 线 C1的 参 数 方 程 为 x=4+5costy=5+5sint （ t 为 参 数 ） ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为极 轴 建 立 极 坐 标 系 ，
15、 曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 为 =2sin。（ ） 把 C1的 参 数 方 程 化 为 极 坐 标 方 程 ；（ ） 求 C 1与 C2交 点 的 极 坐 标 （ 0,0 2）（ 24） （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 45： 不 等 式 选 讲已 知 函 数 f(x) |2x 1| |2x a|， g(x)=x+3.（ ） 当 a=-2时 ， 求 不 等 式 f(x) g(x)的 解 集 ；（ ） 设 a 1， 且 当 x a2， 12)时 ， f(x) g(x)， 求 a 的 取 值 范 围 .参 考 答 案 一 、 选 择 题1、 B； 2、 D； 3、 C； 4、
16、 C； 5、 A； 6、 A； 7、 C； 8、 A； 9、 B； 10、 D； 11、 D； 12、 B；二 填 空 题 ： 本 大 题 共 四 小 题 ， 每 小 题 5分 。13、 2. 14、 1( 2)n ；15、 2 55 ；16、 16;三 .解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。17、 （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 在 ABC中 ， ABC 90， AB= 3 ， BC=1， P为 ABC内 一 点 ， BPC 90(1)若 PB=12， 求 PA；(2)若 APB 150， 求 tan PBA 【 答 案
17、 】 （ 1） 由 已 知 网 ， PBC=60 ， 所 以 PBA=30 .2 01 1 73 2 3 cos30 .4 2 4PA 故 22PA（ 2 ） 设 PBA ， 由 已 知 得 sinPB ， 在 PBA 中 ， 由 正 弦 定 理 得0 03 sinsin150 sin(30 ) ， 化 简 得 3cos 4sin ， 故 3tan 4 .18、 （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1中 ， CA=CB， AB=AA1， BAA1=60.（ ） 证 明 AB A1C;（ ） 若 平 面 ABC 平 面 AA1B1B， AB=CB， 求
18、直 线 A1C 与 平 面 BB1C1C 所 成 角 的 正 弦值 。 A BCP A BC C1A1 B1 【 答 案 】 （ 1） 取 AB的 中 点 O， 连 接 1OC O、 1OAO、 1AB， 因 为 CA=CB， 所 以 OC AB ，由 于 AB=AA1， BAA1=600， 故 1AA B为 等 边 三 角 形 ， 所 以 1OA AB ， 所 以 AB 平 面1OAC ， 因 为 1AC 平 面 1OAC ， 所 以 AB 平 面 A1C；（ 2） 由 （ I） 知 OCAB， 1 .OA AB 又 平 面 ABC平 面 1 1AAB B， 故 OA, 1OA OC两 两
19、相 互垂 直 。以 O为 原 点 ， 1OA 的 方 向 为 x轴 的 正 方 向 ， OA 为 单 位 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系O-xyz. 由 题 设 知 (1,0,0)A ， 1(0, 3,0)A ， (0,0, 3), ( 1,0,0)C B ， 则 (1,0, 3)BC ，1 1 ( 1, 3,0)BB AA ， 1 (0, 3, 3)AC ， 设 ( , , )n x y z 为 平 面 1 1BBCC 的 法 向 量 ， ，则 1 00n BCn BB ， 即 3 03 0 x zx y 所 以 ( 3,1, 1)n 11 1 105N ACAC
20、 N AC 所 以 直 线 A 1C 与 平 面 BB1C1C所 成 角 的 正 弦 值 105 .19、 （ 本 小 题 满 分 12分 ）一 批 产 品 需 要 进 行 质 量 检 验 ， 检 验 方 案 是 ： 先 从 这 批 产 品 中 任 取 4件 作 检 验 ， 这 4件产 品 中 优 质 品 的 件 数 记 为 n。 如 果 n=3， 再 从 这 批 产 品 中 任 取 4件 作 检 验 ， 若 都 为 优 质 品 ， 则 这 批 产 品 通 过 检 验 ； 如 果 n=4， 再 从 这 批 产 品 中 任 取 1件 作 检 验 ， 若 为 优 质 品 ，则 这 批 产 品 通
21、过 检 验 ； 其 他 情 况 下 ， 这 批 产 品 都 不 能 通 过 检 验 。假 设 这 批 产 品 的 优 质 品 率 为 50%， 即 取 出 的 产 品 是 优 质 品 的 概 率 都 为 ， 且 各 件 产 品 是否 为 优 质 品 相 互 独 立（ 1） 求 这 批 产 品 通 过 检 验 的 概 率 ；（ 2） 已 知 每 件 产 品 检 验 费 用 为 100元 ， 凡 抽 取 的 每 件 产 品 都 需 要 检 验 ， 对 这 批 产 品作 质 量 检 验 所 需 的 费 用 记 为 X（ 单 位 ： 元 ） ， 求 X的 分 布 列 及 数 学 期 望 。 【 答 案
22、 】 （ 1） 设 第 一 次 取 出 的 4 件 产 品 中 恰 有 3 件 优 质 品 为 事 件 1A 。 第 一 次 取 出 的 4 件 产品 全 是 优 质 品 为 事 件 2A ,第 二 次 取 出 的 4 件 产 品 都 是 优 质 品 为 事 件 1B ， 第 一 次 取 出 的 1 件产 品 为 事 件 2B ， 这 批 产 品 通 过 检 验 为 事 件 题 意 有 A= 1 1 2 2( )AB A B与 ,且 1 1AB 与 2 2A B 互 斥 ，所 以 1 1 2 2( )P A P AB P A B 1 1 1 2 2( ) ( ) ( )P A P B A P
23、B A 4 1 1 116 16 16 2364 （ 2） X的 可 能 取 值 为 400、 500、 800；4 1 11( 400) 1 16 16 16P X ， 1( 500) 16P X ， 1( 800) 4P X ， 则 X 的 分 布 列 为X 400 500 800P 1116 116 1411 1 1400 500 800 506.2516 16 4EX (20)(本 小 题 满 分 12分 )已 知 圆 M： (x 1) 2 y2=1， 圆 N： (x 1)2 y2=9， 动 圆 P与 圆 M外 切 并 与 圆 N内 切 ， 圆 心P的 轨 迹 为 曲 线 C（ ） 求
24、 C的 方 程 ；（ ） l 是 与 圆 P， 圆 M都 相 切 的 一 条 直 线 ， l 与 曲 线 C交 于 A， B两 点 ， 当 圆 P的 半 径 最长 时 ， 求 |AB|.【 答 案 】 因 为 圆 P 与 圆 M 外 切 并 且 与 圆 N 内 切 ， 所 以1 2 1 2( ) ( ) 4PM PN R r r R r r 由 椭 圆 的 定 义 可 知 ， 曲 线 C是 以 M,N为 左 右 焦 点 ， 长 半 轴 长 为 2， 短 半 轴 长 为 3的 椭 圆 （ 左顶 点 除 外 ） ， 其 方 程 为 2 2 1( 2)4 3x y x ； （ 2） 对 于 曲 线
25、C上 任 意 一 点 ( , )P x y ， 由 于 2 2PM PN R （ R为 圆 P的 半 径 ） ，所 以 R2， 所 以 当 圆 P的 半 径 最 长 时 ， 其 方 程 为 2 2( 2) 4x y ；若 l的 倾 斜 角 为 90 ， 则 l与 y轴 重 合 ， 可 得 2 3AB ； 若 l的 倾 斜 角 不 为 90 ， 由 1r R 知 l不 平 行 于 x轴 ， 设 l与 x轴 的 交 点 为 Q， 则 1QP RQM r ，可 求 得 ( 4,0)Q ， 所 以 可 设 l： ( 4)y k x ； 有 l与 圆 M相 切 得 23 11 kk ， 解 得 24k
26、；当 24k 时 ， 直 线 2 24y x ， 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 解 得 187AB ； 同 理 ， 当24k 时 ， 187AB .（ 21） （ 本 小 题 满 分 共 12分 ）已 知 函 数 f(x) x2 ax b， g(x) ex(cx d)， 若 曲 线 y f(x)和 曲 线 y g(x)都 过 点 P(0， 2)，且 在 点 P处 有 相 同 的 切 线 y 4x+2 （ ） 求 a， b， c， d的 值（ ） 若 x 2时 ， f(x) kg(x)， 求 k的 取 值 范 围 。【 答 案 】 （ 1） 由 已 知 得 1 1(0) 2, (0)
27、2, (0) 4, (0) 4.f g f g 1 1 1( ) 2 , ( ) ( ),x x a g x e ex d c 而 f 故2, 2, 4, 4b d a d c 4, 2, 2, 2a b c d 从 而（ 2） 令 ( ) ( ) ( )F x kg x f x ， 则 ( ) ( 1)(2 4)xF x ke x ， 由 题 设 可 得 (0) 0F ， 故1k ， 令 ( ) 0F x 得 1 2ln , 2x k x ，（ 1） 若 21 k e ， 则 2 0k ， 从 而 当 1( 2, )x x 时 ， ( ) 0F x ， 当 1( , )x x 时( ) 0F
28、 x ， 即 ( )F x 学 科 ， 网 ， 在 ( 2, ) 上 最 小 值 为21 1 1 1 1 1( ) 2 2 4 2 ( 2) 0F x x x x x x ， 此 时 f(x) kg(x)恒 成 立 ；（ 2） 若 2k e ， 2( ) ( 1)(2 4) 0 xF x e x ， 学 科 ， 网 ， 故 ( )F x 在 ( 2, ) 上 单 调 递增 ， 因 为 ( ) 0F x 所 以 f(x) kg(x)恒 成 立（ 3） 若 2k e ， 则 2( 2) 2 2 0F ke ， 故 f(x) kg(x)不 恒 成 立 ；综 上 所 述 k的 取 值 范 围 为 21
29、,e .请 考 生 在 第 （ 22） 、 （ 23） 、 （ 24） 三 题 中 任 选 一 题 作 答 。 注 意 ： 只 能 做 所 选 定 的 题 目 。 如 果多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 个 题 目 计 分 ， 作 答 时 请 用 2B 铅 笔 在 答 题 卡 上 将 所 选 题 号 后 的 方 框 涂 黑 。（ 22） （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 41： 几 何 证 明 选 讲 如 图 ， 直 线 AB为 圆 的 切 线 ， 切 点为 B， 点 C在 圆 上 ， ABC的 角 平 分 线 BE交 圆 于 点 E， DB垂 直 BE交 圆 于 D。 （ ）
30、 证 明 ： DB=DC；（ ） 设 圆 的 半 径 为 1， BC= 3， 延 长 CE交 AB于 点 F， 求 BCF外 接 圆 的 半 径 。【 答 案 】 （ 1） 连 接 DE， 交 BC为 G， 由 弦 切 角 定 理 得 ， ABE BCE ， BE CE ， 又因 为 DB BE ， 所 以 DE为 直 径 ， 由 勾 股 顶 底 得 DB=DC.（ 2） 由 （ 1） 知 ， CDE BDE ， DB DC ， DG = BC ， 故 32BG ， 圆 心 为 O，连 接 BO， 则 060BOG ， 030ABE BCE CBE ， 所 以 CF BF ， 故 外 接圆 半
31、 径 为 32 .（ 23） （ 本 小 题 10分 ） 选 修 4 4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 已 知 曲 线 C1的 参 数 方 程 为 x=4+5costy=5+5sint （ t 为 参 数 ） ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 为 =2sin。（ ） 把 C1的 参 数 方 程 化 为 极 坐 标 方 程 ；（ ） 求 C1与 C2交 点 的 极 坐 标 （ 0,0 2）【 答 案 】 （ 1） 因 为 4 5cos5 5sinx ty t ， 消 去 参 数 ， 得 2
32、 2( 4) ( 5) 25x y ， 即2 2 8 10 16 0 x y x y ，故 1C 极 坐 标 方 程 为 2 8 cos 10 sin 16 0 ；（ 2） 2C 的 普 通 方 程 为 2 2 2 0 x y y ， 由 2 22 2 8 10 16 02 0 x y x yx y y 解 得 11xy 或 02xy ，所 以 1C 、 2C 交 点 的 极 坐 标 为 ( 2, ),(2, )4 2 .（ 24） （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 45： 不 等 式 选 讲已 知 函 数 f(x) |2x 1| |2x a|， g(x)=x+3. （ ） 当 a=
33、-2时 ， 求 不 等 式 f(x) g(x)的 解 集 ；（ ） 设 a 1， 且 当 x a2， 12)时 ， f(x) g(x)， 求 a 的 取 值 范 围 .【 答 案 】 当 2a 时 ， 令 2 1 2 2 3 0 x x x ， 设 函 数 2 1 2 2 3 0y x x x ， 则y= 15 , 212, 123 6, 1x xx xx x ， 做 出 函 数 图 像 可 知 ， 当 (0,2)x 时 ， 0y ， 故 原 不 等 式 的 解 集 为 ， 0 2x x ；（ 2） 依 题 意 ， 原 不 等 式 化 为 1 3a x ， 故 2x a 对 1,2 2a 都 成 立 ， 故 22a a ， 故 43a ， 故 a的 取 值 范 围 是 41,3 .
