1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 广 东 卷 ） B数 学 （ 文 科 ）本 试 卷 共 4页 ， 21题 ， 满 分 150分 。 考 试 用 时 120分 钟 。注 意 事 项 ： 1.答 卷 前 ， 考 生 务 必 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 自 己 的 姓 名 和 考 生 号 、 试 室号 、 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上 。 用 2B铅 笔 将 试 卷 类 型 （ B） 填 涂 在 答 题 卡 相 应位 置 上 。 将 条 形 码 横 贴 在 答 题 卡 右 上 角 “ 条 形 码 粘 贴 处
2、 ” 。2.选 择 题 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B铅 笔 把 答 题 卡 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑 ， 如 需 改 动 ， 用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 ， 答 案 不 能 答 在 试 卷 上 。3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 钢 笔 或 签 字 笔 作 答 ， 答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指定 区 域 相 应 位 置 上 ； 如 需 改 动 ， 先 划 掉 原 来 的 答 案 ， 然 后 再 写 上 新 的 答 案 ；不 准 使 用 铅 笔 盒 涂 改 液 。 不 按 以 上 要
3、 求 作 答 的 答 案 无 效 。4.作 答 选 做 题 时 ， 请 先 用 2B铅 笔 填 涂 选 做 题 的 题 号 对 应 的 信 息 点 ， 再 作 答 。漏 涂 、 错 涂 、 多 涂 的 ， 答 案 无 效 。5.考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁 。 考 试 结 束 后 ， 将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。参 考 公 式 ： 球 的 体 积 34=3V R ， 其 中 R为 球 的 半 径 . 锥 体 的 体 积 公 式 为 1=3V Sh， 其 中 S为 锥 体 的 底 面 积 ， h为 锥 体 的 高 。一 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小
4、题 ， 每 小 题 5分 ， 共 50分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1.设 集 合 2 | 2 0, S x x x x R ， 2 | 2 0, T x x x x R ， 则 S T A. |0| B. |02|， C. | 2,0| D. | 2,0,2|2.函 数 lg( 1)1xy x 的 定 义 域 是A.( 1, ) B. 1, ) C.( 1,1) (1, ) D. 1,1 (1, ) 3.若 ( ) 3 4 , , ,i x yi i x y R 则 复 数 x yi 的 模 是A.2 B.3 C.
5、4） D.5 4.已 知 5 1sin( )2 5 ， 那 么 cos 2. 5A 1. 5B 1.5C 2.5D5.执 行 如 图 1所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 n的 值 为 3， 则 输 入 s的 值 是 .1A .2B C.4 .7D6.某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 2所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是1.6A 1.3B 2.3C .1A7 垂 直 于 直 线 1y x 且 与 圆 2 2 1x y 相 切 于 第 一 象 限 的 直 线 方 程 是. 2 0Ax y . 1 0B x y . 1 0C x y . 2 0D x y 8.设 l 为
6、直 线 ， , 是 两 个 不 同 的 平 面 .下 列 命 题 中 正 确 的 是A若 l ， l ， 则 B若 l ， l ， 则 C若 l ， l ， 则 D若 ， l ， 则 l 9.已 知 中 心 在 原 点 的 椭 圆 C的 右 焦 点 为 F（ 1,0） ， 离 心 率 等 于 12 ， 则 C的 方 程 是2 2. 13 4x yA 2 2. 14 3x yB 2 2. 14 2x yC 2 2. 14 3x yD 10.设 是 已 知 的 平 面 向 量 且 0 .关 于 向 量 的 分 解 ， 有 如 下 四 个 命 题 ： 给 定 向 量 b,总 存 在 向 量 c， 使
7、 a b c ； 给 定 向 量 b和 c,总 存 在 实 数 和 ， 使 a b c ； 给 定 向 量 b和 正 数 ， 总 存 在 单 位 向 量 c,使 a b c . 给 定 正 数 和 ， 总 存 在 单 位 向 量 b和 单 位 向 量 c,使 a b c . 上 述 命 题 中 的 向 量 b,c和 a在 同 一 平 面 内 且 两 两 不 共 线 ， 则 真 命 题 的 个 数 是A.1 B.2 C.3 D.4二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 考 生 作 答 4小 题 ， 每 小 题 5分 ， 满 分 20分 。（ 一 ） 必 做 题 （ 1113题 ）1
8、1 设 数 列 | na |是 首 项 为 1， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 则 1 2 3 4| | | |a a a a _。12 若 曲 线 2 lny ax x 在 点 （ 1， a） 处 的 切 线 平 行 于 x 轴 ， 则 a=_。13 已 知 变 量 x ， y 满 足 约 束 条 件 3 01 11x yxy 则 z x y 的 最 大 值 是 _。（ 二 ） 选 做 题 （ 14-15题 ， 考 生 只 能 从 中 选 做 一 题 ）14 （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 已 知 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 =2cos ， 以 极 点 为
9、 原 点 ， 极轴 为 x 轴 的 正 半 轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， 则 曲 线 C的 参 数 方 程 为 _。 15 （ 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ） 如 图 3， 在 矩 形 ABCD中 ， 3AB ， 3BC ， BE AC ，垂 足 为 E， 则 ED =_。三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 满 分 30分 ， 解 答 题 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 。 16、 （ 本 小 题 满 分 12分 ）已 知 函 数 ( ) 2cos( )12f x x ， x R（ 1） 求 ( )3f 的 值 ；（ 2） 若 3
10、cos 5 ， 3( ,2 )2 ， 求 ( )6f 。17、 （ 本 小 题 满 分 12分 ）从 一 批 苹 果 中 ， 随 机 抽 取 50个 ， 其 重 量 （ 单 位 ： 克 ） 的 频 数 分 布 表 如 下 ：分 组 （ 重 量 ） 80， 85 ) 85， 90 ) 90， 95 ) 95， 100 )频 数 （ 个 ） 5 10 20 15（ 1） 根 据 频 数 分 布 表 计 算 苹 果 的 重 量 在 90， 95 )的 频 率 ；（ 2） 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 重 量 在 80， 85 )和 95， 100 )的 苹 果 中 共 抽 取 4个 ， 其 中
11、 重 量 在 80， 85 )的 有 几 个 ？（ 3） 在 （ 2） 中 抽 出 的 4个 苹 果 中 ， 任 取 2个 ， 求 重 量 在 80， 85 )和 95， 100 )中 各 有 1的 概 率 。 BA E DC 18 （ 本 小 题 满 分 13分 ）如 图 4， 在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC 中 ， ,D E 分 别 是 ,AB AC 边 上 的 点 ， AD AE ，F 是 BC 的 中 点 ， AF 与 DE 交 于 点 G ， 将 ABF 沿 AF 折 起 ， 得 到 如 图 5所 示 的 三 棱锥 A BCF ， 其 中 22BC (1) 证 明
12、 ： DE /平 面 BCF ；(2) 证 明 ： CF 平 面 ABF ；(3) 当 23AD 时 ， 求 三 棱 锥 F DEG 的 体 积 F DEGV 19 （ 本 小 题 满 分 14分 ）设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 | na |的 前 n 项 和 为 nS ， 满 足 2 14 4 1, ,n nS a n n N 且2 5 14, ,a a a 构 成 等 比 数 列 (1) 证 明 ： 2 14 5a a ；(2) 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；(3) 证 明 ： 对 一 切 正 整 数 n， 有 1 2 2 3 11 1 1 12n na a a a a
13、 a 20 （ 本 小 题 满 分 14分 ）已 知 抛 物 线 C 的 顶 点 为 原 点 ， 其 焦 点 0, 0F c c 到 直 线 : 2 0l x y 的 距 离 为3 22 设 P为 直 线 l 上 的 点 ， 过 点 P作 抛 物 线 C的 两 条 切 线 ,PA PB ， 其 中 ,A B为 切 点 (1) 求 抛 物 线 C的 方 程 ；(2) 当 点 0 0,P x y 为 直 线 l 上 的 定 点 时 ， 求 直 线 AB 的 方 程 ；(3) 当 点 P在 直 线 l 上 移 动 时 ， 求 AF BF 的 最 小 值 21 （ 本 小 题 满 分 14分 ）设 函
14、 数 xkxxxf 23)( Rk (1) 当 1k 时 ,求 函 数 )(xf 的 单 调 区 间 ；(2) 当 0k 时 ,求 函 数 )(xf 在 kk , 上 的 最 小 值 m 和 最 大 值 M 试 题 参 考 答 案一 、 选 择 题 ： 本 大 题 供 1 0 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 5 0 分 .1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0A C D C C B A B D B二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 2 0 分 ， 期 中 1 4 -1 5 题 市 选 做 题 ， 考 生 只能 选 做 一 提
15、.1 1 .1 5 1 2 . 12 1 3 .5 1 4 . 1 cossinx ty t （ t 为 参 数 ） 1 5 . 212三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 满 分 80分 ， 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 . 16. 解 ： （ 1） ( ) 2cos 1.3 12 4f （ 2） 3 3cos ,5 2 由 于 0， 2 14 5.a a （ 2） 由 题 设 条 件 ， 当 n2时 ，14 4( )n n na S S 2 212 21( 4 1) ( 4( 1) 1)4,n nn na n a na a 整
16、理 得 1 1( 2)( 2) 0.n n n na a a a na注 意 到 0得 1 2, 2.n na a n 2 5 142 25 2 2 22 1, ,( 6) ( 24).3,3 2( 2) 2 1, 2.(1) 1, , 2 1.n na a aa a a aaa n n na n a n 成 等 比 数 列 ，解 得又 得 得故 对 一 切 正 整 数 有（ 3） 1 2 2 3 11 1 1 1 1 1. .1 3 3 5 (2 1)(2 1)n na a a a a a n n 1 1 1 1 1 1(1 . )2 3 3 5 2 1 2 11 1 1(1 ) .2 2
17、1 2 n nn 20.解 ： （ 1） 由 题 设 条 件 ， 可 得 20 2 3 2, 0 1.22 4 .c c cC x y 由 得的 方 程 为 ：（ 2） 设 过 点 0 0( , )p x y 的 两 切 线 的 切 点 分 别 为 1 1( , )A x y 和 2 2( , )B x y ， 则 直 线 AB的方 程 可 表 示 为 ： 2 11 12 1y ( )y yy x xx x 1 1 2 211 1 1 111 , , =2 2 2( ), 42;2 A Bx xxy A B K KxPA x x x yxy y x 由 于 所 以 过 的 切 线 的 斜 率
18、分 别 为 和因 此 直 线 的 方 程 可 表 示 为 ： y-y 结 合 得 ，22 10 1 00 0 10 1 0.2 2( ) ,2xPB y y x xy y xP x y xy y x 同 理 的 方 程 可 表 示 为 ：由 于 在 这 两 条 直 线 上 ， 所 以 因 此02 12 1 11 0 0,22 xy yx xxy x y 代 入 得 到 直 线 AB的 方 程 为 ：0 0 0 0 0 01 1 1( 2 ( 2) ).2 2 2y x x y y x x x y y x y 或 或(3) 由 于 1y 为 抛 物 线 C的 准 线 ， 所 以1 2( 1) (
19、 1)AF BF y y 1 2 1 2 1.y y y y 由 （ 2） 可 知 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 的 方 程 组 2 0 042x yxy x y 的 两 解 ， 由 得 2 22 2 2 20 00 0( ) , ) =4 4x xy y x y y x 将 代 入 （ 得 到 ：2 2 20 0 0(2 ) 0.y y x y y 易 得 ： 2 21 2 0 0 1 2 02 ,y y x y y y y 22 21 2 1 2 0 01 ( 1) .AF BF y y y y x y PF 由 于 点 F到 直 线 L的 距 离 为 3 22 ，
20、故 AF BF 的 最 小 值 为 92 .21.解 ： （ 1） 当 3 2 1 21 ( ) , ( ) 3 2 1.k f x x x x f x x x 时 ， 于 是8 0.（ 2） 1 2 2( ) 3 2 1, 4( 3).f x x kx k )a k当 0， 于 是 1( )f x =0有 两 个 根 21 32k kx k，22 33k kx 03k k k . 当 1 11 2 1 2( , ) ( , ) ( ) 0 ( ) ( )x k x x k f x x x x f x 时 ， ； 当 时 ， 0，因 此 函 数 ( )f x 在 2 1 2, , ,k x x
21、 k x x与 上 增 函 数 ， 在 上 为 减 函 数 . 2 1min ( ), ( ) , max ( ), ( ) .m f k f x M f k f x 故 1 23 2 3 3 31 1 1 122 2 2 2 2 30( ) 2 ( ),( ) ( ) ( ).( ) , ( ) 2 .k x xf x x kx x k k k k k f kf x x x k x x k f km f k k M f k k k 由 于 -k， 所 以 因 此b) 1 233 ( ) 3( ) 0, ( ) - 3 33k f x x f x 当 时 ， 在 ， 上 为 增 函数 .因 此 ( 3) 3, ( 3) 7 3.m f M f c) 当 3 0k 时 ， 0， 于 是 x R, 1( ) 0f x ，( ) , .f x k k 在 上 为 增 函 数 3( ) , ( ) 2 .m f k k M f k k k 因 此
