1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (广 东 卷 )数 学 （ 理 科 ）本 试 卷 共 4页 ,21小 题 ,满 分 150分 .考 试 用 时 120分 钟注 意 事 项 ： 1. 答 卷 前 ， 考 生 务 必 用 黑 色 笔 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 自 己 的 姓 名 和 考生 号 、 考 场 号 、 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上 。 用 2B铅 笔 讲 试 卷 类 型 （ A）填 涂 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 。 将 条 形 码 横 贴 在 答 题 卡 右 上 角 “ 条形 码 粘 贴 处 ” 。
2、2.选 择 题 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的答 案 信 息 点 涂 黑 ； 如 需 改 动 ， 用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 ，答 案 不 能 答 在 试 卷 上 。 3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答 ， 答 案 必 须 写 在 答题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上 ； 如 需 改 动 ， 先 划 掉 原 来 的 答 案 ，然 后 再 写 上 新 的 答 案 ； 不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液 。 不 按 以 上
3、要 求 作 答的 答 案 无 效 。4.作 答 选 做 题 时 ， 请 先 用 2B 铅 笔 填 涂 选 做 题 的 题 组 号 对 应 的 信 息点 ， 再 作 答 。 漏 涂 、 错 涂 、 多 涂 的 ， 答 案 无 效 。5.考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁 ， 考 试 结 束 后 ， 将 试 题 与 答 题 卡 一 并交 回 。参 考 公 式 ： 台 体 的 体 积 公 式 V=13(S 1+S2+ S1S2)h,其 中 S1， S2分 别 表 示 台 体 的 上 、下 底 面 积 ， h表 示 台 体 的 高 。一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 8小 题 ， 每
4、 小 题 5分 ， 满 分 40分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 M= x x2+2x=0,x R,N=x x2-2x=0,x R,则 M N=A. 0 B. 0， 2 C. -2,0 D-2,0,22.定 义 域 为 R的 四 个 函 数 y=x 3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中 ， 奇 函 数 的 个 数 是A. 4 B.3 C. 2 D.13.若 复 数 z满 足 iz=2+4i， 则 在 复 平 面 内 ， z对 应 的 点 的 坐 标 是A. （ 2,4） B.（ 2,-4） C. (
5、4,-2) D(4,2)4.已 知 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 列 为X P 1 2 3P 3 31 11则 X的 数 学 期 望 E（ X） =A. 32 B. 2 C. 2 D 3X 5 某 四 棱 太 的 三 视 图 如 图 1所 示 ， 则 该 四 棱 台 的 体 积 是A 4 B 143 C 163 D 66 设 m， n是 两 条 不 同 的 直 线 ， ， 是 两 个 不 同 的 平 面 ， 下 列 命 题 中 正 确 的 是A 若 ， m ， n ， 则 mn B 若 ， m ， n ， 则 m nC 若 mn， m ， n ， 则 D 若 m ， m n， n
6、， 则 7 已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 C的 右 焦 点 为 F（ 3， 0） ， 离 心 率 等 于 32， 则 C的 方 程 是A x24 y2 =1 B x24 y2 =1 C x22 y2 =1 D x22 y2=18.设 整 数 n 4， 集 合 X= 1， 2， 3 ， n 。 令 集 合 S= （ x,y,z） |x， y， z X，且 三 条 件 xyz,yzx， zxy恰 有 一 个 成 立 ， 若 （ x， y， z） 和 （ z， w， x） 都在 s中 ， 则 下 列 选 项 正 确 的 是A.（ y， z， w） s， （ x， y， w） S B.（
7、 y， z， w） s， （ x， y， w） SC. （ y， z， w） s， （ x， y， w） S D. （ y， z， w） s， （ x， y， w） S二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 考 生 作 答 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 30 分 。（ 一 ） 必 做 题 （ 913 题 ）9.不 等 式 x 2+x-20的 解 集 为 。10.若 曲 线 y=kx+lnx在 点 （ 1， k） 处 的 切 线 平 行 于 x轴 ， 则 k= 。11.执 行 如 图 2所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 n的 值 为 4， 则 输 出
8、s的 值 为 。 12， 在 等 差 数 列 an中 ， 已 知 a3+a8=10， 则 3a5+a7=_13 给 定 区 域 ： .令 点 集 T=|(x0,y0) D|x0,y0 Z,(x0,y0)是 z=x+y在D上 取 得 最 大 值 或 最 小 值 的 点 ， 则 T中 的 点 共 确 定 _条 不 同 的 直 线 。（ 二 ） 选 做 题 （ 14-15 题 ， 考 生 只 能 从 中 选 做 一 题 ）14（ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 已 知 曲 线 C的 参 数 方 程 为 （ t为 参数 ） ， C在 点 （ 1,1） 处 的 切 线 为 L， 一 座
9、标 原 点 为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建立 极 坐 标 ， 则 L的 极 坐 标 方 程 为 _.15.（ 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ） 如 图 3， AB是 圆 O 的 直 径 ， 点 C在 圆 O上 ， 延 长 BC到 D是 BC=CD， 过 C作 圆 O的 切 线 交 AD于 E。 若 AB=6， ED=2， 则 BC=_.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 满 分 80分 ， 解 答 需 写 出 文 字 说 明 。 证 明 过 程 和演 算 步 骤 。 16.（ 本 小 题 满 分 12分 ）已 知 函 数 ( ) 2cos( )12
10、f x x ， x R（ 1） 求 f（ - ） 的 值 ；（ 2） 若 cos = ， E（ ， 2 ） ， 求 f（ 2 + ） 。17 （ 本 小 题 满 分 12分 ）某 车 间 共 有 12名 工 人 ， 随 机 抽 取 6名 ， 他 们 某 日 加 工 零 件 个 数 的 茎 叶 图如 图 4所 示 ， 其 中 茎 为 十 位 数 ， 叶 为 个 位 数 。 （ 1） 根 据 茎 叶 图 计 算 样 本 均 值 ；（ 2） 日 加 工 零 件 个 数 大 于 样 本 均 值 的 工 人 为 优 秀 工 人 。 根 据 茎 叶 图 推 断 该 车 间12名 工 人 中 有 几 名 优
11、 秀 工 人 ？（ 3） 从 该 车 间 12名 工 人 中 ， 任 取 2人 ， 求 恰 有 1名 优 秀 工 人 的 概 率18（ 本 小 题 满 分 4分 ）如 图 5， 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 ， A =900 BC=6,D,E 分 别 是 AC， AB 上 的 点 ，CD=BE= ， O为 BC的 中 点 .将 ADE 沿 DE折 起 ， 得 到 如 图 6所 示 的 四 棱 椎 A-BCDE，其 中 AO= 3 （ 1 ） 证 明 ： AO 平 面 BCDE；（ 2 ） 求 二 面 角 A-CD-B 的 平 面 角 的 余 弦 值19.（ 本 小 题 满 分 1
12、4分 ）设 数 列 na 的 前 n项 和 为 nS .已 知 1 1a , 212 1 23 3n nS a n nn , *nN . （ 1） 求 a2的 值（ 2） 求 数 列 an 的 通 项 公 式 a1（ 3 ） 证 明 :对 一 切 正 整 数 n,有 1 21 1 1 74na a a .20.(本 小 题 满 分 14分 )已 知 抛 物 线 c的 顶 点 为 原 点 ， 其 焦 点 F（ 0， c） （ c 0） 到 直 线 L:x-y-2=0的 距 离 为 . 设 P为 直 线 L上 的 点 ， 过 点 P做 抛 物 线 C的 两 条 切 线 PA， PB,其 中 A,B
13、为 切 点 。（ 1 ） 求 抛 物 线 C 的 方 程 ；（ 2 ） 当 点 P（ x 0 ， y0 ） 为 直 线 L 上 的 定 点 时 ， 求 直 线 AB 的 方 程 ；（ 3 ） 当 点 P 在 直 线 L 上 移 动 时 ， 求 |AF| |BF|的 最 小 值21.（ 本 小 题 满 分 14分 ）设 函 数 f（ x） =（ x-1） ex-kx2（ k R） .(1 ) 当 k=1 时 ， 求 函 数 f（ x） 的 单 调 区 间 ；(2) 当 k （ 12 ,1时 ， 求 函 数 f（ x） 在 0,k上 的 最 大 值 M.参 考 答 案 一 、 选 择 题 ： 本
14、大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 4 0 分题 号 1 2 3 4 5 6 7 8A 卷 D C C A B D B B二 、 填 空 题 :本 大 题 共 7 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 3 0 分 。 其 中 1 4 -1 5 题 是 选 做 题 ， 考 生只 能 选 做 一 题 。9 .（ 2 ,1 ）1 0 . 11 1 . 71 2 . 2 01 3 . 61 4 . （ cos +sin ）1 5 . 2 3 三 、 解 答 题 :本 大 题 共 6 小 题 ， 满 分 8 0 分 。 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程
15、 和 演 算 步 骤 。1 6 .解 ： （ 1 ） （ 6 ） = 2 cos （ 4 ） = 2 2 2 =1 （ 2 ） cos =35， 32 2 sin= 21-cos = 91-25 = 45sin2=2sin cos = 2425cos2 = 2cos - 2sin = 725 （ + 3 ） = 2cos（ 2 + 3 -12 ） = 2cos（ 2 + 4 ）= 2cos2 cos 4 - 2sin2 sin 4= 2 （ 725） 22 2 （ 2425 ） 22 =172517. 解 ： （ 1） 样 本 均 值 x=16(17+19+20+21+25+30)=22（ 2
16、） 从 茎 叶 图 知 ， 6名 工 人 中 有 2名 为 优 秀 工 人 ， 由 此 推 断 该 车 间 12名 工 人中 ， 有 优 秀 工 人 ：26 12=4（ 人 ）（ 3） 记 :任 取 2人 中 恰 有 1名 优 秀 员 工 的 事 件 为 A， 则P（ A） = 1 14 8212c cc = 3266=163318.证 明 :(1)设 F为 ED的 中 点 ， 连 接 OF,AF,计 算 得 AF=2， OF=1 AF为 等 腰 ADE底 边 的 中 线 ， AF DE OF在 原 等 腰 ABC底 边 BC的 高 线 上 ， OF DE又 AF， OF平 面 AOF,AFO
17、F=F, DE 平 面 AOF AO平 面 AOF, DE AO在 AFO中 ， A 2O + 2OF =3+1= 2A F , AO OF OFDE=F,OF平 面 BCDE,DE平 面 BCDE, AO 平 面 BCDE(2)解 法 一 ： 如 答 图 1， 过 O作 CD的 垂 线 交 CD的 延 长 线 于 M， 连 接 AM AO 平 面 BCDE,CD平 面 BCDE, CD AO OMAO=O, CD 平 面 AOM AM平 面 AOM CD AM AMO为 所 求 二 面 角 的 平 面 角 在 Rt OMC中 ， OM= sin 4OC =3 22 ,AO= 3 于 是 在
18、Rt AOM中 ， AM= 2 2 30 2OA OM cos AOM= 15 5OMA M 解 法 二 :如 答 图 2， 以 O为 原 点 ， 分 别 以 , , OF OB OA为 x,y,z轴 正 方 向 ， 建 立 直 角 坐 标 系 。 于 是 A(0， 0， 3),D(1， -2， 0)设 n=(x,y,z)为 平 面 ACD的 一 个 法 向 量 ， 则 n ,A C n CD于 是(0, 3, 3) 0(1,1,0) 0nn 故3 3 0,0 3y xy zx y z x 即 ， 取 n=(-1,1,- 3)再 取 平 面 BCDE的 一 个 法 向 量 m=(0,0,1)设
19、 n与 m的 夹 角 为 ， 则 由 答 图 2可 知 ， 二 面角 A-CD-B的 平 面 角 的 余 弦 值 为 155 19. 解 ：(1)依 题 意 , 1 2 1 22 13 3S a ,又 1 1 1S a ,所 以 2 4a ；（ 2） 2n 时 , 3 21 1 22 3 3n nS na n n n , 3 21 1 22 1 1 1 13 3n nS n a n n n 两 式 相 减 得 21 1 22 1 3 3 1 2 13 3n n na na n a n n n 整 理 得 11 1n nn a na n n ,即 1 11n na an n ,又 2 1 12
20、1a a 故 数 列 nan 是 首 项 为 1 11a ,公 差 为 1的 等 差 数 列 ,所 以 1 1 1na n nn ,所 以 2na n .(3)当 1n 时 , 11 71 4a ； 当 2n 时 , 1 21 1 1 5 71 4 4 4a a ；当 3n 时 , 21 1 1 1 11 1na n n n n n ,此 时2 2 21 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 14 3 4 4 2 3 3 4 1na a a n n n 1 1 1 7 1 71 4 2 4 4n n 综 上 ,对 一 切 正 整 数 n,有 1 21 1 1 74na a
21、 a .20.解 ： (1)依 题 意 ,设 抛 物 线 C的 方 程 为 2 4x cy ,由 0 2 3 222c 结 合 0c ,解 得 1c .所 以 抛 物 线 C的 方 程 为 2 4x y .(2)抛 物 线 C的 方 程 为 2 4x y ,即 214y x ,求 导 得 12y x设 1 1,A x y , 2 2,B x y (其 中 2 21 21 2,4 4x xy y ),则 切 线 ,PA PB 的 斜 率 分 别 为112 x , 212 x , 所 以 切 线 PA 的 方 程 为 11 12xy y x x , 即 21 1 12 2x xy x y , 即
22、1 12 2 0 x x y y 同 理 可 得 切 线 PB的 方 程 为 2 22 2 0 x x y y 因 为 切 线 ,PA PB均 过 点 0 0,P x y ,所 以 1 0 0 12 2 0 x x y y , 2 0 0 22 2 0 x x y y 所 以 1 1 2 2, , ,x y x y 为 方 程 0 02 2 0 x x y y 的 两 组 解 .所 以 直 线 AB 的 方 程 为 0 02 2 0 x x y y .(3)由 抛 物 线 定 义 可 知 1 1AF y , 2 1BF y ,所 以 1 2 1 2 1 21 1 1AF BF y y y y
23、y y 联 立 方 程 0 02 2 2 04x x y yx y ,消 去 x整 理 得 2 2 20 0 02 0y y x y y 由 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 可 得 21 2 0 02y y x y , 21 2 0y y y 所 以 2 21 2 1 2 0 0 01 2 1AF BF y y y y y x y 又 点 0 0,P x y 在 直 线 l上 ,所 以 0 0 2x y ,所 以 22 2 20 0 0 0 0 0 1 92 1 2 2 5 2 2 2y x y y y y 所 以 当 0 12y 时 , AF BF 取 得 最 小 值 ,
24、且 最 小 值 为 92 .21.解 :(1)当 1k 时 , 21 xf x x e x , 1 2 2 2x x x xf x e x e x xe x x e 令 0f x ,得 1 0 x , 2 ln2x 当 x变 化 时 , ,f x f x 的 变 化 如 下 表 :x ,0 0 0,ln2 ln2 ln2, f x 0 0 f x 极 大 值 极 小 值 右 表 可 知 ,函 数 f x 的 递 减 区 间 为 0,ln2 ,递 增 区 间 为 ,0 , ln2, .(2) 1 2 2 2x x x xf x e x e kx xe kx x e k ,令 0f x ,得 1
25、0 x , 2 ln 2x k , 令 ln 2g k k k ,则 1 11 0kg k k k ,所 以 g k 在 1,12 上 递 增 ,所 以 ln2 1 ln2 ln 0g k e ,从 而 ln 2k k ,所 以 ln 2 0,k k所 以 当 0,ln 2x k 时 , 0f x ； 当 ln 2 ,x k 时 , 0f x ；所 以 3max 0 , max 1, 1 kM f f k k e k 令 31 1kh k k e k ,则 3kh k k e k ,令 3kk e k ,则 3 3 0kk e e 所 以 k 在 1,12 上 递 减 ,而 1 31 3 02 2e e 所 以 存 在 0 1,12x 使 得 0 0 x ,且 当 01,2k x 时 , 0k ,当 0,1k x 时 , 0k ,所 以 k 在 01,2 x 上 单 调 递 增 ,在 0,1x 上 单 调 递 减 . 因 为 1 1 7 02 2 8h e , 1 0h ,所 以 0h k 在 1,12 上 恒 成 立 ,当 且 仅 当 1k 时 取 得 “ ” .综 上 ,函 数 f x 在 0,k 上 的 最 大 值 31 kM k e k .
