1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (广 东 卷 )数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 50分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )设 集 合 S=x|x2+2x=0， x R， T=x|x2-2x=0， x R， 则 S T=( )A.0B.0， 2C.-2， 0D.-2， 0， 2解 析 ： 分 析 可 得 ，S为 方 程 x 2+2x=0 的 解 集 ， 则 S=x|x2+2x=0=0， -2，T为 方 程 x2-
2、2x=0 的 解 集 ， 则 T=x|x2-2x=0=0， 2，故 集 合 S T=0，答 案 ： A.2.(5分 )函 数 的 定 义 域 是 ( )A.(-1， + )B.-1， + )C.(-1， 1) (1， + )D.-1， 1) (1， + ) 解 析 ： 要 使 函 数 有 意 义 需 ，解 得 x -1且 x 1. 函 数 的 定 义 域 是 (-1， 1) (1， + ).答 案 ： C.3.(5分 )若 i(x+yi)=3+4i， x， y R， 则 复 数 x+yi的 模 是 ( )A.2B.3C.4D.5 解 析 ： i(x+yi)=xi-y=3+4i， x， y R，
3、 x=4， -y=3， 即 x=4， y=-3. |x+yi|=|4-3i|= =5.答 案 ： D.4.(5分 )已 知 ， 那 么 cos =( )A. B.C.D.解 析 ： sin( + )=sin(2 + + )=sin( + )=cos = .答 案 ： C5.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 n 的 值 为 3， 则 输 出 s 的 值 是 ( ) A.1B.2C.4D.7解 析 ： 当 i=1时 ， S=1+1-1=1；当 i=2时 ， S=1+2-1=2；当 i=3时 ， S=2+3-1=4；当 i=4时 ， 退 出 循 环 ， 输 出 S
4、=4；答 案 ： C.6.(5分 )某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 ( ) A.B.C.D.1解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ： 该 几 何 体 是 一 个 三 棱 锥 ， 其 中 PA 底 面 ABC， PA=2， AB BC， AB=BC=1. .因 此 V= = = .答 案 ： B. 7.(5分 )垂 直 于 直 线 y=x+1 且 与 圆 x2+y2=1 相 切 于 第 一 象 限 的 直 线 方 程 是 ( )A.B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.解 析 ： 设 所 求 的 直 线 为 l， 直 线 l 垂 直 于
5、直 线 y=x+1， 可 得 直 线 的 斜 率 为 k=-1 设 直 线 l方 程 为 y=-x+b， 即 x+y-b=0 直 线 l 与 圆 x 2+y2=1相 切 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 d= ， 解 之 得 b=当 b= 时 ， 可 得 切 点 坐 标 (- ， - )， 切 点 在 第 三 象 限 ；当 b=- 时 ， 可 得 切 点 坐 标 ( ， )， 切 点 在 第 一 象 限 ； 直 线 l 与 圆 x 2+y2=1的 切 点 在 第 一 象 限 ， b= 不 符 合 题 意 ， 可 得 b=- ， 直 线 方 程 为 x+y- =0答 案 ： A8.(5分 )设
6、 l 为 直 线 ， ， 是 两 个 不 同 的 平 面 ， 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ( )A.若 l ， l ， 则 B.若 l ， l ， 则 C.若 l ， l ， 则 D.若 ， l ， 则 l 解 析 ： 若 l ， l ， 则 平 面 ， 可 能 相 交 ， 此 时 交 线 与 l 平 行 ， 故 A错 误 ；若 l ， l ， 根 据 垂 直 于 同 一 直 线 的 两 个 平 面 平 行 ， 可 得 B 正 确 ；若 l ， l ， 则 存 在 直 线 m ， 使 l m， 则 m ， 故 此 时 ， 故 C错 误 ；若 ， l ， 则 l 与 可 能 相 交 ，
7、可 能 平 行 ， 也 可 能 线 在 面 内 ， 故 D 错 误 ；答 案 ： B9.(5分 )已 知 中 心 在 原 点 的 椭 圆 C的 右 焦 点 为 F(1， 0)， 离 心 率 等 于 ， 则 C 的 方 程 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 由 题 意 设 椭 圆 的 方 程 为 .因 为 椭 圆 C的 右 焦 点 为 F(1， 0)， 所 以 c=1， 又 离 心 率 等 于 ， 即 ， 所 以 a=2， 则 b2=a2-c2=3.所 以 椭 圆 的 方 程 为 .答 案 ： D.10.(5分 )设 是 已 知 的 平 面 向 量 且 ， 关 于 向 量 的 分 解 ，
8、有 如 下 四 个 命 题 ： 给 定 向 量 ， 总 存 在 向 量 ， 使 ； 给 定 向 量 和 ， 总 存 在 实 数 和 ， 使 ； 给 定 单 位 向 量 和 正 数 ， 总 存 在 单 位 向 量 和 实 数 ， 使 ； 给 定 正 数 和 ， 总 存 在 单 位 向 量 和 单 位 向 量 ， 使 ； 上 述 命 题 中 的 向 量 ， 和 在 同 一 平 面 内 且 两 两 不 共 线 ， 则 真 命 题 的 个 数 是 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 ： 选 项 ， 给 定 向 量 和 ， 只 需 求 得 其 向 量 差 即 为 所 求 的 向 量 ，故 总 存 在
9、向 量 ， 使 ， 故 正 确 ；选 项 ， 当 向 量 ， 和 在 同 一 平 面 内 且 两 两 不 共 线 时 ， 向 量 ， 可 作 基 底 ，由 平 面 向 量 基 本 定 理 可 知 结 论 成 立 ， 故 可 知 正 确 ； 选 项 ， 取 =(4， 4)， =2， =(1， 0)，无 论 取 何 值 ， 向 量 都 平 行 于 x 轴 ， 而 向 量 的 模 恒 等 于 2，要 使 成 立 ， 根 据 平 行 四 边 形 法 则 ， 向 量 的 纵 坐 标 一 定 为 4，故 找 不 到 这 样 的 单 位 向 量 使 等 式 成 立 ， 故 错 误 ；选 项 ， 因 为 和
10、为 正 数 ， 所 以 和 代 表 与 原 向 量 同 向 的 且 有 固 定 长 度 的 向 量 ，这 就 使 得 向 量 不 一 定 能 用 两 个 单 位 向 量 的 组 合 表 示 出 来 ，故 不 一 定 能 使 成 立 ， 故 错 误 . 答 案 ： B二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 .每 小 题 5 分 ， 满 分 15分 .(一 )必 做 题 (11 13题 )11.(5分 )设 数 列 an是 首 项 为 1， 公 比 为 -2的 等 比 数 列 ， 则 a1+|a2|+a3+|a4|=_.解 析 ： 数 列 an是 首 项 为 1， 公 比 为 -2的
11、等 比 数 列 ， an=a1qn-1=(-2)n-1， a1=1， a2=-2， a3=4， a4=-8， 则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，答 案 ： 15.12.(5分 )若 曲 线 y=ax 2-lnx在 点 (1， a)处 的 切 线 平 行 于 x轴 ， 则 a=_.（ 用 汉 字 表 示 ）解 析 ： 由 题 意 得 ， 在 点 (1， a)处 的 切 线 平 行 于 x 轴 ， 2a-1=0， 得 a= ，答 案 ： . 13.(5分 )已 知 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+y 的 最 大 值 是 _.解 析 ： 画 出 可 行
12、 域 如 图 阴 影 部 分 ，由 得 A(1， 4)目 标 函 数 z=x+y可 看 做 斜 率 为 -1 的 动 直 线 ， 其 纵 截 距 越 大 z 越 大 ，由 图 数 形 结 合 可 得 当 动 直 线 过 点 A(1， 4)时 ， z 最 大 =1+4=5.答 案 ： 5. 选 做 题 (14、 15题 ， 考 生 只 能 从 中 选 做 一 题 )14.(5分 )(坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 )已 知 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 =2cos .以 极 点 为 原 点 ， 极 轴 为 x轴 的 正 半 轴 建 立 直 角 坐 标 系 ，则 曲 线 C 的
13、 参 数 方 程 为 _.解 析 ： 首 先 把 曲 线 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ， 然 后 化 直 角 坐 标 方 程 为 参 数 方 程 .答 案 ： 由 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 =2cos ， 得 2=2 cos ， 即 x2+y2-2x=0.化 圆 的 方 程 为 标 准 式 ， 得 (x-1)2+y2=1.令 ， 得 .所 以 曲 线 C的 参 数 方 程 为 . 故 答 案 为 .15.(几 何 证 明 选 讲 选 做 题 )如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， ， BC=3， BE AC， 垂 足 为 E， 则 ED=_. 解 析
14、 ： 由 矩 形 ABCD， 得 到 三 角 形 ABC为 直 角 三 角 形 ， 由 AB与 BC的 长 ， 利 用 勾 股 定 理 求 出AC的 长 ， 进 而 得 到 AB为 AC的 一 半 ， 利 用 直 角 三 角 形 中 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 得 到 ACB=30 ， 且 利 用 射 影 定 理 求 出 EC的 长 ， 在 三 角 形 ECD 中 ， 利 用 余 弦 定 理 即 可 求 出 ED的 长 .答 案 ： 矩 形 ABCD， ABC=90 ， 在 Rt ABC中 ， AB= ， BC=3， 根 据 勾 股 定 理 得 ： AC=2 ， AB= AC， 即
15、 ACB=30 ， EC= = ， ECD=60 ，在 ECD中 ， CD=AB= ， EC= ，根 据 余 弦 定 理 得 ： ED 2=EC2+CD2-2ECCDcos ECD= +3- = ，则 ED= .故 答 案 为 ：四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 满 分 80分 .解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 .16.(12分 )已 知 函 数 .(1)求 的 值 ； (2)若 ， 求 .解 析 ： (1)把 x= 直 接 代 入 函 数 解 析 式 求 解 .(2)先 由 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 出
16、sin 的 值 ， 然 后 将 x= - 代 入 函 数 解 析 式 ， 并 利用 两 角 和 与 差 公 式 求 得 结 果 .答 案 ： (1)(2) ， ， . 17.(13分 )从 一 批 苹 果 中 ， 随 机 抽 取 50个 ， 其 重 量 (单 位 ： 克 )的 频 数 分 布 表 如 下 ：(1)根 据 频 数 分 布 表 计 算 苹 果 的 重 量 在 90， 95)的 频 率 ；(2)用 分 层 抽 样 的 方 法 从 重 量 在 80， 85)和 95， 100)的 苹 果 中 共 抽 取 4 个 ， 其 中 重 量 在 80，85)的 有 几 个 ？ (3)在 (2)中
17、 抽 出 的 4个 苹 果 中 ， 任 取 2个 ， 求 重 量 在 80， 85)和 95， 100)中 各 有 1 个 的 概率 .解 析 ： (1)用 苹 果 的 重 量 在 90， 95)的 频 数 除 以 样 本 容 量 ， 即 为 所 求 .(2)根 据 重 量 在 80， 85)的 频 数 所 占 的 比 例 ， 求 得 重 量 在 80， 85)的 苹 果 的 个 数 .(3)用 列 举 法 求 出 所 有 的 基 本 事 件 的 个 数 ， 再 求 出 满 足 条 件 的 事 件 的 个 数 ， 即 可 得 到 所 求 事件 的 概 率 .答 案 ： (1)苹 果 的 重 量
18、 在 90， 95)的 频 率 为 .(2)重 量 在 80， 85)的 有 个 .(3)设 这 4 个 苹 果 中 ， 重 量 在 80， 85)段 的 有 1 个 ， 编 号 为 1. 重 量 在 95， 100)段 的 有 3 个 ，编 号 分 别 为 2、 3、 4， 从 中 任 取 两 个 ， 可 能 的 情 况 有 ：(1， 2)(1， 3)(1， 4)(2， 3)(2， 4)(3， 4)共 6 种 . 设 任 取 2 个 ， 重 量 在 80， 85)和 95， 100)中 各 有 1 个 的 事 件 为 A， 则 事 件 A包 含 有 (1， 2)(1，3)(1， 4)共 3
19、种 ，所 以 .18.(13分 )如 图 1， 在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC中 ， D， E分 别 是 AB， AC 边 上 的 点 ， AD=AE，F是 BC的 中 点 ， AF 与 DE交 于 点 G， 将 ABF沿 AF 折 起 ， 得 到 如 图 2 所 示 的 三 棱 锥 A-BCF，其 中 BC= .(1)证 明 ： DE 平 面 BCF；(2)证 明 ： CF 平 面 ABF；(3)当 AD= 时 ， 求 三 棱 锥 F-DEG 的 体 积 V F-DEG.解 析 ： (1)在 等 边 三 角 形 ABC 中 ， 由 AD=AE， 可 得 ， 在 折 叠 后
20、 的 三 棱 锥 A-BCF 中 也 成 立 ， 故 有 DE BC， 再 根 据 直 线 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 证 得 DE 平 面 BCF.(2)由 条 件 证 得 AF CF ， 且 .在 三 棱 锥 A-BCF 中 ， 由 ， 可 得 BC2=BF2+CF2，从 而 CF BF ， 结 合 ， 证 得 CF 平 面 ABF. (3)由 (1)可 知 GE CF， 结 合 (2)可 得 GE 平 面 DFG.再 由， 运 算 求 得 结 果 .答 案 ： (1)在 等 边 三 角 形 ABC 中 ， AD=AE， ， 在 折 叠 后 的 三 棱 锥 A-BCF 中 也
21、成 立 ， DE BC.又 DE平 面 BCF， BC平 面 BCF， DE 平 面 BCF.(2)在 等 边 三 角 形 ABC中 ， F 是 BC的 中 点 ， 所 以 AF BC， 即 AF CF ， 且 . 在 三 棱 锥 A-BCF 中 ， ， BC 2=BF2+CF2， CF BF .又 BF AF=F， CF 平 面 ABF.(3)由 (1)可 知 GE CF， 结 合 (2)可 得 GE 平 面 DFG. = .19.(14分 )设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 a n的 前 n 项 和 为 Sn， 满 足 4Sn=an+12-4n-1， n N*， 且 a2，a5， a
22、14构 成 等 比 数 列 .(1)证 明 ： a2= ；(2)求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(3)证 明 ： 对 一 切 正 整 数 n， 有 .解 析 ： (1)对 于 ， 令 n=1即 可 证 明 ；(2)利 用 ， 且 ， (n 2)， 两 式相 减 即 可 求 出 通 项 公 式 . (3)由 (2)可 得 = .利 用 “ 裂 项 求 和 ”即 可 证 明 .答 案 ： (1)当 n=1时 ， ，(2)当 n 2时 ， 满 足 ， 且 ， ， ， an 0， an+1=an+2， 当 n 2 时 ， an是 公 差 d=2的 等 差 数 列 . a2， a5， a14构 成
23、 等 比 数 列 ， ， ， 解 得 a2=3，由 (1)可 知 ， ， a1=1 a2-a1=3-1=2， an是 首 项 a1=1， 公 差 d=2的 等 差 数 列 . 数 列 an的 通 项 公 式 an=2n-1.(3)由 (2)可 得 式 = . 20.(14分 )已 知 抛 物 线 C的 顶 点 为 原 点 ， 其 焦 点 F(0， c)(c 0)到 直 线 l： x-y-2=0 的 距 离 为， 设 P 为 直 线 l 上 的 点 ， 过 点 P作 抛 物 线 C 的 两 条 切 线 PA， PB， 其 中 A， B 为 切 点 .(1)求 抛 物 线 C 的 方 程 ；(2)
24、当 点 P(x0， y0)为 直 线 l 上 的 定 点 时 ， 求 直 线 AB 的 方 程 ；(3)当 点 P 在 直 线 l 上 移 动 时 ， 求 |AF|BF|的 最 小 值 .解 析 ： (1)利 用 焦 点 到 直 线 l： x-y-2=0 的 距 离 建 立 关 于 变 量 c 的 方 程 ， 即 可 解 得 c， 从 而 得出 抛 物 线 C的 方 程 ；(2)先 设 ， ， 由 (1)得 到 抛 物 线 C 的 方 程 求 导 数 ， 得 到 切线 PA， PB 的 斜 率 ， 最 后 利 用 直 线 AB 的 斜 率 的 不 同 表 示 形 式 ， 即 可 得 出 直 线
25、 AB 的 方 程 ；(3)根 据 抛 物 线 的 定 义 ， 有 ， ， 从 而 表 示 出 |AF|BF|， 再 由 (2) 得 x1+x2=2x0， x1x2=4y0， x0=y0+2， 将 它 表 示 成 关 于 y0的 二 次 函 数 的 形 式 ， 从 而 即 可 求 出|AF|BF|的 最 小 值 .答 案 ： 解 ： (1)焦 点 F(0， c)(c 0)到 直 线 l： x-y-2=0的 距 离 ，解 得 c=1所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为 x2=4y(2)设 ，由 (1)得 抛 物 线 C 的 方 程 为 ， ， 所 以 切 线 PA， PB 的 斜 率 分 别
26、为 ，所 以 PA： PB： 联 立 可 得 点 P 的 坐 标 为 ， 即 ， 又 因 为 切 线 PA 的 斜 率 为 ， 整 理 得直 线 AB的 斜 率所 以 直 线 AB的 方 程 为整 理 得 ， 即因 为 点 P(x 0， y0)为 直 线 l： x-y-2=0上 的 点 ， 所 以 x0-y0-2=0， 即 y0=x0-2所 以 直 线 AB的 方 程 为(3)根 据 抛 物 线 的 定 义 ， 有 ，所 以 =由 (2)得 x 1+x2=2x0， x1x2=4y0， x0=y0+2所 以 =所 以 当 时 ， |AF|BF|的 最 小 值 为21.(14分 )设 函 数 f(
27、x)=x 3-kx2+x(k R).(1)当 k=1 时 ， 求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；(2)当 k 0时 ， 求 函 数 f(x)在 k， -k上 的 最 小 值 m和 最 大 值 M.解 析 ： (1)当 k=1时 ， 求 出 f (x)=3x2-2x+1， 判 断 即 可 得 到 单 调 区 间 ；(2)解 法 一 ： 当 k 0 时 ， f (x)=3x2-2kx+1， 其 开 口 向 上 ， 对 称 轴 ， 且 过 (0， 1).分 0和 0 即 可 得 出 其 单 调 性 ， 进 而 得 到 其 最 值 .解 法 二 ： 利 用 “ 作 差 法 ” 比 较 ： 当
28、k 0 时 ， 对 x k， -k， f(x)-f(k)及 f(x)-f(-k).答 案 ： f (x)=3x 2-2kx+1(1)当 k=1 时 f (x)=3x2-2x+1， =4-12=-8 0， f (x) 0， f(x)在 R上 单 调 递 增 .(2)当 k 0时 ， f (x)=3x2-2kx+1， 其 开 口 向 上 ， 对 称 轴 ， 且 过 (0， 1) (i)当 ， 即 时 ， f (x) 0， f(x)在 k， -k上 单 调 递 增 ，从 而 当 x=k时 ， f(x)取 得 最 小 值 m=f(k)=k，当 x=-k时 ， f(x)取 得 最 大 值 M=f(-k)
29、=-k3-k3-k=-2k3-k.(ii)当 ， 即 时 ， 令f (x)=3x 2-2kx+1=0解 得 ： ， 注 意 到 k x2 x1 0， m=minf(k)， f(x1)， M=maxf(-k)， f(x2)， ， f(x)的 最 小 值m=f(k)=k， f(x)的 最 大 值 M=f(-k)=-2k3-k.综 上 所 述 ， 当 k 0 时 ， f(x)的 最 小 值 m=f(k)=k， 最 大 值 M=f(-k)=-2k3-k解 法 2： (2)当 k 0时 ， 对 x k， -k， 都 有 f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k) 0，故 f(x) f(k).f(x)-f(-k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)(x-k)2+k2+1 0，故 f(x) f(-k)， 而 f(k)=k 0， f(-k)=-2k3-k 0.所 以 ， f(x) min=f(k)=k.
