1、2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 广 东 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 40分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.（ 5分 ） 设 集 合 M=x|x2+2x=0， x R， N=x|x2 2x=0， x R， 则 M N=（ ）A.0B.0， 2C. 2， 0D. 2， 0， 2解 析 ： M为 方 程 x 2+2x=0 的 解 集 ， 则 M=x|x2+2x=0=0， 2，N为 方 程 x2 2x=0的
2、 解 集 ， 则 N=x|x2 2x=0=0， 2，故 集 合 M N=0， 2， 2，答 案 ： D.2.（ 5 分 ） 定 义 域 为 R的 四 个 函 数 y=x3， y=2x， y=x2+1， y=2sinx中 ， 奇 函 数 的 个 数 是 （ ）A.4B.3C.2D.1解 析 ： y=x 3的 定 义 域 为 R， 关 于 原 点 对 称 ， 且 （ x） 3= x3， 所 以 函 数 y=x3为 奇 函 数 ；y=2x的 图 象 过 点 （ 0， 1） ， 既 不 关 于 原 点 对 称 ， 也 不 关 于 y轴 对 称 ， 为 非 奇 非 偶 函 数 ；y=x2+1的 图 象
3、过 点 （ 0， 1） 关 于 y轴 对 称 ， 为 偶 函 数 ；y=2sinx的 定 义 域 为 R， 关 于 原 点 对 称 ， 且 2sin（ x） = 2sinx， 所 以 y=2sinx为 奇 函 数 ；所 以 奇 函 数 的 个 数 为 2，答 案 ： C.3.（ 5分 ） 若 复 数 z满 足 iz=2+4i， 则 在 复 平 面 内 ， z对 应 的 点 的 坐 标 是 （ ）A.（ 2， 4）B.（ 2， 4）C.（ 4， 2）D.（ 4， 2） 解 析 ： 复 数 z满 足 iz=2+4i， 则 有 z= = =4 2i，故 在 复 平 面 内 ， z 对 应 的 点 的
4、 坐 标 是 （ 4， 2） ，答 案 ： C.4.（ 5分 ） 已 知 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 列 为X 1 2 3P则 X 的 数 学 期 望 E（ X） =（ ）A. B.2C.D.3解 析 ： 由 数 学 期 望 的 计 算 公 式 即 可 得 出 ： E（ X） = = .答 案 ： A.5.（ 5分 ） 某 四 棱 台 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 四 棱 台 的 体 积 是 （ ） A.4B.C.D.6解 析 ： 几 何 体 是 四 棱 台 ， 下 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 上 底 面 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ，
5、棱 台的 高 为 2， 并 且 棱 台 的 两 个 侧 面 与 底 面 垂 直 ， 四 棱 台 的 体 积 为V= = .答 案 ： B.6.（ 5分 ） 设 m， n 是 两 条 不 同 的 直 线 ， ， 是 两 个 不 同 的 平 面 ， 下 列 命 题 中 正 确 的 是 （ ）A.若 ， m ， n ， 则 m nB.若 ， m ， n ， 则 m nC.若 m n， m ， n ， 则 D.若 m ， m n， n ， 则 解 析 ： 选 项 A， 若 ， m ， n ， 则 可 能 m n， m n， 或 m， n 异 面 ， 故 A 错 误 ；选 项 B， 若 ， m ， n
6、， 则 m n， 或 m， n 异 面 ， 故 B 错 误 ；选 项 C， 若 m n， m ， n ， 则 与 可 能 相 交 ， 也 可 能 平 行 ， 故 C错 误 ；选 项 D， 若 m ， m n， 则 n ， 再 由 n 可 得 ， 故 D正 确 .答 案 ： D 7.（ 5 分 ） 已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 C 的 右 焦 点 为 F（ 3， 0） ， 离 心 率 等 于 ， 则 C 的 方 程 是（ ）A.B.C. D.解 析 ： 设 双 曲 线 方 程 为 （ a 0， b 0） ， 则 双 曲 线 C的 右 焦 点 为 F（ 3， 0） ， 离 心 率 等
7、 于 ， ， c=3， a=2， b 2=c2 a2=5 双 曲 线 方 程 为 .答 案 ： B.8.（ 5分 ） 设 整 数 n 4， 集 合 X=1， 2， 3， ， n.令 集 合 S=（ x， y， z） |x， y， z X，且 三 条 件 x y z， y z x， z x y 恰 有 一 个 成 立 .若 （ x， y， z） 和 （ z， w， x） 都 在 S中 ， 则 下 列 选 项 正 确 的 是 （ ）A.（ y， z， w） S， （ x， y， w） SB.（ y， z， w） S， （ x， y， w） S C.（ y， z， w） S， （ x， y， w）
8、SD.（ y， z， w） S， （ x， y， w） S解 析 ： 特 殊 值 排 除 法 ，取 x=2， y=3， z=4， w=1， 显 然 满 足 （ x， y， z） 和 （ z， w， x） 都 在 S 中 ，此 时 （ y， z， w） =（ 3， 4， 1） S， （ x， y， w） =（ 2， 3， 1） S， 故 A、 C、 D 均 错 误 ；只 有 B 成 立 ， 故 选答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 考 生 作 答 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 30分 .9.（ 5分 ） 不 等 式 x 2+x 2 0的 解
9、集 为 . 解 析 ： 方 程 x2+x 2=0的 两 根 为 2， 1，且 函 数 y=x2+x 2 的 图 象 开 口 向 上 ，所 以 不 等 式 x2+x 2 0 的 解 集 为 （ 2， 1） .答 案 ： （ 2， 1） .10.（ 5分 ） 若 曲 线 y=kx+lnx在 点 （ 1， k） 处 的 切 线 平 行 于 x轴 ， 则 k= .解 析 ： 由 题 意 得 ， y =k+ ， 在 点 （ 1， k） 处 的 切 线 平 行 于 x轴 ， k+1=0， 得 k= 1，答 案 ： 1.11.（ 5分 ） 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 n的 值
10、 为 4， 则 输 出 s 的 值 为 . 解 析 ： 当 i=1 时 ， S=1+1 1=1；当 i=2时 ， S=1+2 1=2；当 i=3时 ， S=2+3 1=4；当 i=4时 ， S=4+4 1=7；当 i=5时 ， 退 出 循 环 ， 输 出 S=7；答 案 ： 7.12.（ 5分 ） 在 等 差 数 列 a n中 ， 已 知 a3+a8=10， 则 3a5+a7= .解 析 ： 由 等 差 数 列 的 性 质 得 ：3a5+a7=2a5+（ a5+a7） =2a5+（ 2a6） =2（ a5+a6） =2（ a3+a8） =20，答 案 ： 20.13.（ 5分 ） 给 定 区
11、域 D： .令 点 集 T=（ x0， y0） D|x0， y0 Z， （ x0， y0） 是 z=x+y在 D 上 取 得 最 大 值 或 最 小 值 的 点 ， 则 T 中 的 点 共 确 定 条 不 同 的 直 线 .解 析 ： 画 出 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 . 作 出 目 标 函 数 对 应 的 直 线 ， 因 为 直 线 z=x+y 与 直 线 x+y=4 平 行 ， 故 直 线 z=x+y过 直 线 x+y=4上 的 整 数 点 ： （ 4， 0） ， （ 3， 1） ， （ 2， 2） ， （ 1， 3） 或 （ 0， 4） 时 ， 直 线 的 纵
12、截 距 最 大 ， z 最大 ；当 直 线 过 （ 0， 1） 时 ， 直 线 的 纵 截 距 最 小 ， z最 小 ， 从 而 点 集 T=（ 4， 0） ， （ 3， 1） ， （ 2， 2） ，（ 1， 3） ， （ 0， 4） ， （ 0， 1） ， 经 过 这 六 个 点 的 直 线 一 共 有 6 条 .即 T 中 的 点 共 确 定 6条 不 同 的 直 线 .答 案 ： 6.14.（ 5分 ） （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ）已 知 曲 线 C的 参 数 方 程 为 （ t为 参 数 ） ， C 在 点 （ 1， 1） 处 的 切 线 为 l， 以 坐 标原
13、点 为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 则 l 的 极 坐 标 方 程 为 . 解 析 ： 由 （ t为 参 数 ） ， 两 式 平 方 后 相 加 得 x2+y2=2， （ 4分 ） 曲 线 C 是 以 （ 0， 0） 为 圆 心 ， 半 径 等 于 的 圆 .C在 点 （ 1， 1） 处 的 切 线 l 的 方 程 为 x+y=2，令 x= cos ， y= sin ，代 入 x+y=2， 并 整 理 得 cos + sin 2=0， 即 或，则 l 的 极 坐 标 方 程 为 cos + sin 2=0（ 填 或也 得 满 分 ） . （ 10分
14、 ） 答 案 ： cos + sin 2=0（ 填 或 也 得满 分 ） . 15.如 图 ， AB是 圆 O的 直 径 ， 点 C在 圆 O 上 ， 延 长 BC到 D使 BC=CD， 过 C 作 圆 O的 切 线 交AD于 E.若 AB=6， ED=2， 则 BC= .解 析 ： AB是 圆 O的 直 径 ， ACB=90 .即 AC BD.又 BC=CD， AB=AD， D= ABC， EAC= BAC. CE 与 O相 切 于 点 C， ACE= ABC. AEC= ACB=90 . CED ACB. ， 又 CD=BC， .答 案 ：三 、 答 案 题 ： 本 大 题 共 6 小 题
15、 ， 满 分 80分 .答 案 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 .16.（ 12分 ） 已 知 函 数 ， x R.（ 1） 求 的 值 ； （ 2） 若 ， ， 求 .解 析 ： （ 1） 把 x= 直 接 代 入 函 数 解 析 式 求 解 .（ 2） 先 由 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 出 sin 的 值 以 及 sin2 ， 然 后 将 x=2 + 代 入 函 数解 析 式 ， 并 利 用 两 角 和 与 差 公 式 求 得 结 果 .答 案 ： （ 1）（ 2） 因 为 ，所 以 所 以 所 以 =17.（ 12分 ） 某 车
16、间 共 有 12 名 工 人 ， 随 机 抽 取 6名 ， 他 们 某 日 加 工 零 件 个 数 的 茎 叶 图 如 图所 示 ， 其 中 茎 为 十 位 数 ， 叶 为 个 位 数 .（ 1） 根 据 茎 叶 图 计 算 样 本 均 值 ；（ 2） 日 加 工 零 件 个 数 大 于 样 本 均 值 的 工 人 为 优 秀 工 人 .根 据 茎 叶 图 推 断 该 车 间 12名 工 人 中有 几 名 优 秀 工 人 ？（ 3） 从 该 车 间 12 名 工 人 中 ， 任 取 2 人 ， 求 恰 有 1 名 优 秀 工 人 的 概 率 . 解 析 ： （ 1） 茎 叶 图 中 共 同 的
17、 数 字 是 数 字 的 十 位 ， 这 是 解 决 本 题 的 突 破 口 ， 根 据 所 给 的 茎叶 图 数 据 ， 代 入 平 均 数 公 式 求 出 结 果 ；（ 2） 先 由 （ 1） 求 得 的 平 均 数 ， 再 利 用 比 例 关 系 即 可 推 断 该 车 间 12名 工 人 中 有 几 名 优 秀 工人 的 人 数 ；（ 3） 设 “ 从 该 车 间 12名 工 人 中 ， 任 取 2 人 ， 恰 有 1名 优 秀 工 人 ” 为 事 件 A， 结 合 组 合 数 利用 概 率 的 计 算 公 式 即 可 求 解 事 件 A 的 概 率 .答 案 ： （ 1） 样 本 均
18、 值 为（ 2） 抽 取 的 6 名 工 人 中 有 2 名 为 优 秀 工 人 ，所 以 12名 工 人 中 有 4 名 优 秀 工 人（ 3） 设 “ 从 该 车 间 12 名 工 人 中 ， 任 取 2 人 ， 恰 有 1名 优 秀 工 人 ” 为 事 件 A，所 以 ， 即 恰 有 1 名 优 秀 工 人 的 概 率 为 .18.（ 14分 ） 如 图 1， 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， A=90 ， BC=6， D， E 分 别 是 AC， AB 上的 点 ， ， O为 BC的 中 点 .将 ADE沿 DE折 起 ， 得 到 如 图 2所 示 的 四 棱 椎 A BC
19、DE，其 中 A O= .（ 1） 证 明 ： A O 平 面 BCDE；（ 2） 求 二 面 角 A CD B 的 平 面 角 的 余 弦 值 . 解 析 ： （ 1） 连 接 OD， OE.在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， B= C=45 ， ，AD=AE= ， CO=BO=3.分 别 在 COD与 OBE 中 ， 利 用 余 弦 定 理 可 得 OD， OE.利 用 勾 股 定 理的 逆 定 理 可 证 明 A OD= A OE=90 ， 再 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 明 ；（ 2） 方 法 一 ： 过 点 O 作 OF CD 的 延 长 线 于
20、 F， 连 接 A F.利 用 （ 1） 可 知 ： A O 平 面 BCDE，根 据 三 垂 线 定 理 得 A F CD， 所 以 A FO为 二 面 角 A CD B的 平 面 角 .在 直 角 OCF中 ，求 出 OF即 可 ；方 法 二 ： 取 DE中 点 H， 则 OH OB.以 O 为 坐 标 原 点 ， OH、 OB、 OA 分 别 为 x、 y、 z 轴 建 立 空间 直 角 坐 标 系 .利 用 两 个 平 面 的 法 向 量 的 夹 角 即 可 得 到 二 面 角 .答 案 ： （ 1） 证 明 ： 连 接 OD， OE.因 为 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中
21、， B= C=45 ， ， CO=BO=3.在 COD中 ， ， 同 理 得 .因 为 ， . 所 以 A O2+OD2=A D2， A O2+OE2=A E2.所 以 A OD= A OE=90所 以 A O OD， A O OE， OD OE=O.所 以 A O 平 面 BCDE.（ 2） 方 法 一 ：过 点 O作 OF CD的 延 长 线 于 F， 连 接 A F因 为 A O 平 面 BCDE.根 据 三 垂 线 定 理 ， 有 A F CD.所 以 A FO为 二 面 角 A CD B的 平 面 角 .在 Rt COF中 ， .在 Rt A OF 中 ， . 所 以 .所 以 二
22、面 角 A CD B 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 .方 法 二 ：取 DE 中 点 H， 则 OH OB.以 O 为 坐 标 原 点 ， OH、 OB、 OA 分 别 为 x、 y、 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 则 O（ 0， 0， 0） ， A （ 0， 0， ） ， C（ 0， 3， 0） ， D（ 1， 2， 0） =（ 0， 0， ）是 平 面 BCDE的 一 个 法 向 量 .设 平 面 A CD 的 法 向 量 为 n=（ x， y， z） ， .所 以 ， 令 x=1， 则 y= 1， .所 以 是 平 面 A CD 的 一 个 法 向 量设 二 面 角
23、 A CD B 的 平 面 角 为 ， 且所 以 所 以 二 面 角 A CD B 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 19.（ 14分 ） 设 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 已 知 a1=1， ， n N*.（ 1） 求 a2的 值 ；（ 2） 求 数 列 an的 通 项 公 式 ；（ 3） 证 明 ： 对 一 切 正 整 数 n， 有 .解 析 ： （ 1） 利 用 已 知 a1=1， ， n N*.令 n=1即 可 求 出 ；（ 2） 利 用 a n=Sn Sn 1（ n 2） 即 可 得 到 nan+1=（ n+1） an+n（ n+1） ， 可 化 为 ，.再 利 用
24、等 差 数 列 的 通 项 公 式 即 可 得 出 ； （ 3） 利 用 （ 2） ， 通 过 放 缩 法 （ n 2） 即 可 证 明 .答 案 ： 解 ： （ 1） 当 n=1时 ， ， 解 得 a2=4（ 2） 当 n 2 时 ， 得整 理 得 na n+1=（ n+1） an+n（ n+1） ， 即 ，当 n=1时 ，所 以 数 列 是 以 1 为 首 项 ， 1为 公 差 的 等 差 数 列所 以 ， 即所 以 数 列 a n的 通 项 公 式 为 ， n N*（ 3） 因 为 （ n 2）所 以=20.（ 14分 ） 已 知 抛 物 线 C 的 顶 点 为 原 点 ， 其 焦 点
25、F（ 0， c） （ c 0） 到 直 线 l： x y 2=0的 距 离 为 ， 设 P 为 直 线 l 上 的 点 ， 过 点 P作 抛 物 线 C 的 两 条 切 线 PA， PB， 其 中 A， B 为 切 点 .（ 1） 求 抛 物 线 C 的 方 程 ；（ 2） 当 点 P（ x0， y0） 为 直 线 l 上 的 定 点 时 ， 求 直 线 AB 的 方 程 ；（ 3） 当 点 P 在 直 线 l 上 移 动 时 ， 求 |AF|BF|的 最 小 值 .解 析 ： （ 1） 利 用 焦 点 到 直 线 l： x y 2=0的 距 离 建 立 关 于 变 量 c 的 方 程 ， 即
26、 可 解 得 c，从 而 得 出 抛 物 线 C 的 方 程 ；（ 2） 先 设 ， ， 由 （ 1） 得 到 抛 物 线 C 的 方 程 求 导 数 ， 得到 切 线 PA， PB的 斜 率 ， 最 后 利 用 直 线 AB 的 斜 率 的 不 同 表 示 形 式 ， 即 可 得 出 直 线 AB 的 方 程 ；（ 3） 根 据 抛 物 线 的 定 义 ， 有 ， ， 从 而 表 示 出 |AF|BF|， 再 由（ 2） 得 x 1+x2=2x0， x1x2=4y0， x0=y0+2， 将 它 表 示 成 关 于 y0的 二 次 函 数 的 形 式 ， 从 而 即 可 求 出|AF|BF|的
27、 最 小 值 . 答 案 ： （ 1） 焦 点 F（ 0， c）（ c 0） 到 直 线 l： x y 2=0 的 距 离 ，解 得 c=1所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为 x2=4y（ 2） 设 ，由 （ 1） 得 抛 物 线 C的 方 程 为 ， ， 所 以 切 线 PA， PB的 斜 率 分 别 为 ，所 以 PA： PB： 联 立 可 得 点 P 的 坐 标 为 ， 即 ， 又 因 为 切 线 PA 的 斜 率 为 ， 整 理 得直 线 AB的 斜 率所 以 直 线 AB的 方 程 为整 理 得 ， 即因 为 点 P（ x 0， y0） 为 直 线 l： x y 2=0上 的 点
28、 ， 所 以 x0 y0 2=0， 即 y0=x0 2所 以 直 线 AB的 方 程 为（ 3） 根 据 抛 物 线 的 定 义 ， 有 ，所 以 =由 （ 2） 得 x 1+x2=2x0， x1x2=4y0， x0=y0+2所 以 =所 以 当 时 ， |AF|BF|的 最 小 值 为点 评 ： 本 题 以 抛 物 线 为 载 体 ， 考 查 抛 物 线 的 标 准 方 程 ， 考 查 利 用 导 数 研 究 曲 线 的 切 线 方 程 ，考 查 计 算 能 力 ， 有 一 定 的 综 合 性 .21.（ 14分 ） 设 函 数 f（ x） =（ x 1） e x kx2（ k R） . （
29、 1） 当 k=1时 ， 求 函 数 f（ x） 的 单 调 区 间 ；（ 2） 当 时 ， 求 函 数 f（ x） 在 0， k上 的 最 大 值 M.解 析 ： （ 1） 利 用 导 数 的 运 算 法 则 即 可 得 出 f （ x） ， 令 f （ x） =0， 即 可 得 出 实 数 根 ，通 过 列 表 即 可 得 出 其 单 调 区 间 ；（ 2） 利 用 导 数 的 运 算 法 则 求 出 f （ x） ， 令 f （ x） =0得 出 极 值 点 ， 列 出 表 格 得 出 单 调 区间 ， 比 较 区 间 端 点 与 极 值 即 可 得 到 最 大 值 .答 案 ： 解 ：
30、 （ 1） 当 k=1时 ， f（ x） =（ x 1） e x x2，f（ x） =ex+（ x 1） ex 2x=x（ ex 2）令 f（ x） =0， 解 得 x1=0， x2=ln2 0所 以 f（ x） ， f（ x） 随 x的 变 化 情 况 如 下 表 ：所 以 函 数 f（ x） 的 单 调 增 区 间 为 （ ， 0） 和 （ ln2， + ） ， 单 调 减 区 间 为 （ 0， ln2）（ 2） f（ x） =（ x 1） e x kx2， x 0， k， .f（ x） =xex 2kx=x（ ex 2k） f（ x） =0， 解 得 x1=0， x2=ln（ 2k）令
31、（ k） =k ln（ 2k） ， ，所 以 （ k） 在 上 是 减 函 数 ， （ 1） （ k） ， 1 ln2 （ k） k.即 0 ln（ 2k） k所 以 f（ x） ， f（ x） 随 x的 变 化 情 况 如 下 表 ： f（ 0） = 1， f（ k） =（ k 1） ek k3f（ k） f（ 0） =（ k 1） ek k3+1=（ k 1） ek （ k3 1） =（ k 1） ek （ k 1） （ k2+k+1） =（ k 1） ek （ k2+k+1） 因 为 ， 所 以 k 1 0对 任 意 的 ， y=ek的 图 象 恒 在 y=k2+k+1下 方 ， 所 以 ek （ k2+k+1） 0所 以 f（ k） f（ 0） 0， 即 f（ k） f（ 0）所 以 函 数 f（ x） 在 0， k上 的 最 大 值 M=f（ k） =（ k 1） e k k3.
