1、2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 安 徽 卷 ）数 学 （ 理 科 ）本 试 卷 分 第 卷 和 第 II卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 ， 第 卷 第 1至 第 2页 ， 第 II卷 第 3至 第 4页 。 全 卷 满分 150分 ， 考 试 时 间 为 120分 钟 。参 考 公 式 ：如 果 事 件 A与 B互 斥 ， 那 么( ) ( ) ( )P A B P A P B 如 果 事 件 A与 B相 互 独 立 ， 那 么( ) ( ) ( )P AB P A P B 第 卷 （ 选 择 题 共 50 分 ）一 选 择 题 ： 本 大 题
2、 共 10小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 50分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 。 （ 1） 设 i是 虚 数 单 位 ， _z是 复 数 z 的 共 轭 复 数 ， 若 z +2=2zzi ， 则 z=（ A） 1+i （ B） 1 i（ C） 1+i （ D） 1-i（ 2） 如 图 所 示 ， 程 序 框 图 （ 算 法 流 程 图 ） 的 输 出 结 果 是 （ A） 16 （ B） 2524（ C） 34 （ D） 1112（ 3） 在 下 列 命 题 中 ， 不 是 公 理 的 是（ A） 平 行 于 同
3、 一 个 平 面 的 两 个 平 面 相 互 平 行（ B） 过 不 在 同 一 条 直 线 上 的 三 点 ， 有 且 只 有 一 个 平 面（ C） 如 果 一 条 直 线 上 的 两 点 在 一 个 平 面 内 ， 那 么 这 条 直 线 上 所 有 的 点 都 在 此 平 面 内（ D） 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点 ， 那 么 他 们 有 且 只 有 一 条 过 该 点 的 公 共 直 线（ 4） 0a “ 是 函 数 ( )= ( -1)f x ax x 在 区 间 (0,+ ) 内 单 调 递 增 ” 的 （ A） 充 分 不 必 要 条 件 （
4、 B） 必 要 不 充 分 条 件（ C） 充 分 必 要 条 件 （ D） 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件（ 5） 某 班 级 有 50名 学 生 ， 其 中 有 30名 男 生 和 20名 女 生 ， 随 机 询 问 了 该 班 五 名 男 生 和 五 名 女 生 在 某次 数 学 测 验 中 的 成 绩 ， 五 名 男 生 的 成 绩 分 别 为 86,94,88,92,90， 五 名 女 生 的 成 绩 分 别 为 88,93,93,88,93.下 列 说 法 一 定 正 确 的 是（ A） 这 种 抽 样 方 法 是 一 种 分 层 抽 样（ B） 这 种 抽 样 方 法 是
5、 一 种 系 统 抽 样（ C） 这 五 名 男 生 成 绩 的 方 差 大 于 这 五 名 女 生 成 绩 的 方 差（ D） 该 班 级 男 生 成 绩 的 平 均 数 小 于 该 班 女 生 成 绩 的 平 均 数（ 6） 已 知 一 元 二 次 不 等 式 ( )0f x 的 解 集 为 1| 2x x x或 ， 则 (10 )0 xf 的 解 集 为（ A） | lg2x x x或 （ B） |-1 -lg2x x （ D） | 0I x f x（ ） 求 的 长 度 （ 注 ： 区 间 ( , ) 的 长 度 定 义 为 ） ；（ ） 给 定 常 数 (0,1)k ， 当 时 ，
6、求 l长 度 的 最 小 值 。（ 18） （ 本 小 题 满 分 12分 ）设 椭 圆 2 22 2: 11x yE a a 的 焦 点 在 x 轴 上（ ） 若 椭 圆 E的 焦 距 为 1， 求 椭 圆 E的 方 程 ；（ ） 设 1 2,F F 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， P为 椭 圆 E上 的 第 一 象 限 内 的 点 ， 直 线 2F P交 y轴 与 点 Q，并 且 1 1FP FQ ， 证 明 ： 当 a变 化 时 ， 点 p在 某 定 直 线 上 。（ 19） （ 本 小 题 满 分 13分 ）如 图 ， 圆 锥 顶 点 为 p。 底 面 圆 心 为 o，
7、 其 母 线 与 底 面 所 成 的 角 为 22.5 。AB和 CD是 底 面 圆 O上 的 两 条 平 行 的 弦 ， 轴 OP与 平 面 PCD所 成 的 角 为 60 ，（ ） 证 明 ： 平 面 PAB与 平 面 PCD的 交 线 平 行 于 底 面 ；（ ） 求 cos COD 。（ 20） （ 本 小 题 满 分 13分 ）设 函 数 2 22 2 2( ) 1 ( , )2 3 n nn x x xf x x x R n Nn ， 证 明 ： （ ） 对 每 个 nn N ， 存 在 唯 一 的 2 ,13nx ， 满 足 ( ) 0n nf x ；（ ） 对 任 意 np N
8、 ， 由 （ ） 中 nx 构 成 的 数 列 nx 满 足 10 n n px x n 。（ 21） （ 本 小 题 满 分 13分 ）某 高 校 数 学 系 计 划 在 周 六 和 周 日 各 举 行 一 次 主 题 不 同 的 心 理 测 试 活 动 ， 分 别 由 李 老 师 和 张 老 师 负 责 ，已 知 该 系 共 有 n位 学 生 ， 每 次 活 动 均 需 该 系 k 位 学 生 参 加 （ n和 k 都 是 固 定 的 正 整 数 ） 。 假 设 李 老 师和 张 老 师 分 别 将 各 自 活 动 通 知 的 信 息 独 立 、 随 机 地 发 给 该 系 k 位 学 生
9、 ， 且 所 发 信 息 都 能 收 到 。 记 该 系收 到 李 老 师 或 张 老 师 所 发 活 动 通 知 信 息 的 学 生 人 数 为 x（ ） 求 该 系 学 生 甲 收 到 李 老 师 或 张 老 师 所 发 活 动 通 知 信 息 的 概 率 ；（ ） 求 使 ( )P X m 取 得 最 大 值 的 整 数 m参 考 答 案 一 、 选 择 题 ： 本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 50分 。（ 1） A (2)D (3)A (4)C (5)C(6)D (7)B (8)B (9)D (10)A二 、 填 空 题 ： 本
10、题 考 查 基 本 知 识 运 算 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 25分 。（ 11） 21 （ 12） 32 （ 13） ，1 （ 14） 3 2na n （ 15） 三 、 解 答 题(16)（ 本 小 题 满 分 12 分 ） :本 题 考 查 三 角 恒 等 变 换 和 三 角 函 数 的 图 像 及 基 本 性 质 等 基 础 知 识 和 基 本 技能 ,考 查 逻 辑 推 理 能 力 运 算 求 解 能 力 . 解 ： （ ） 4sincos4 xxxf 24cos (sin cos cos sin )4 42 2cos (sin cos )2 2(cos sin cos )
11、2sin2 2cos2 22sin(2 ) 24x x xx x xx x xx xx .因 为 ( )f x 的 最 小 正 周 期 为 ， 且 0 ， 从 而 有 22 ， 故 1 。 （ ） 由 （ ） 知 ( ) 2sin(2 ) 24f x x ， 若 0 2x ， 则 524 4 4x 当 24 4 2x ， 即 0 8x 时 ， ( )f x 单 调 递 增 ， 当 522 4 4x ， 即 8 2x 时 ， ( )f x 单 调 递 减 ，综 上 可 知 ， ( )f x 在 区 间 0,8 上 单 调 递 增 ， 在 区 间 ,8 2 上 单 调 递 减 。（ 17） （ 本
12、 小 题 满 分 12 分 ） ： 本 题 主 要 考 查 二 次 不 等 式 的 求 解 ， 以 及 导 数 的 计 算 和 应 用 等 基 础 知 识 和基 本 技 能 、 考 查 分 类 讨 论 思 想 和 综 合 运 用 数 学 知 识 解 决 问 题 的 能 力 。解 ： （ ） 因 为 方 程 2 2(1 ) 0( 0)ax a x a 有 两 个 实 根 1 2 20, 1 ax x a ，( ) 0f x 的 解 集 为 1 2x x x x ， 因 此 区 间 20,1 aI a ， I 的 长 度 为 21 aa 。 （ ） 设 2( ) 1 ad a a ， 则 2 22
13、1( ) 1 ad a a ， 令 ( ) 0d a ， 得 1a ， 由 于 0 1k ， 故当 1 1k a 时 ， ( ) 0d a ， ( )d a 单 调 递 增 ；当 1 1a k 时 ， ( ) 0d a ， ( )d a 单 调 递 减 ；所 以 当 1 1k a k 时 ， ( )d a 的 最 小 值 必 定 在 1a k 或 1a k 取 得 ，而 2 32 2 321(1 ) 21 (1 ) 11(1 ) 21 (1 )kd k k kkkd k k kk ， 故 (1 ) (1 )d k d k 。 因 此 当 1a k 时 ， ( )d a 在 区 间 1 ,1k
14、k 上 取 得 最 小 值 2 312 kk k 。（ 18） （ 本 小 题 满 分 12 分 ） :本 题 主 要 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程 及 其 几 何 性 质 ， 直 线 和 椭 圆 的 位 置 关 系 等基 础 知 识 和 基 本 技 能 ， 考 察 数 形 结 合 的 思 想 ， 逻 辑 推 理 能 力 和 运 算 求 解 能 力 。解 ： （ ） 因 为 焦 距 为 1， 所 以 2 12 1 4a ， 解 得 2 58a ，故 椭 圆 E的 方 程 为 2 28 8 15 3x y 。（ ） 设 0 0 1 2( , ), ( ,0), ( ,0)P x y F c
15、 F c ， 其 中 22 1c a ， 由 题 设 知 0 x c ，则 直 线 1FP的 斜 率 1 00F P yk x c ， 直 线 2F P的 斜 率 2 00F P yk x c ，故 直 线 2F P的 方 程 为 00 ( )yy x cx c ，当 0 x 时 0 0cyy c x ， 即 点 Q的 坐 标 为 0 00, cyc x , 因 此 直 线 1FQ 的 斜 率 为 1 0 0FQ yk c x ，由 于 1 1FP FQ ， 所 以 1 1 0 00 0 1F p FQ y yk k c x c x g化 简 得 2 2 20 0 (2 1)y x a 将 上
16、 式 代 入 椭 圆 E的 方 程 ， 由 于 0 0( , )P x y 在 第 一 象 限 ， 解 得 2 20 0, 1x a y a ， 即 点 P在 直线 1x y 上 。（ 19） （ 本 小 题 满 分 13分 ） :本 题 主 要 考 查 空 间 直 线 与 直 线 、 直 线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 间 的 位 置 关 系 ， 直 线 与 平 面 、 直 线 与 直 线 间 所 成 角 的 计 算 等 基 础 知 识 和 基 本 技 能 ， 考 查 空 间 概 念 、 推 理 论 证 能 力 和 运算 求 解 能 力 。解 ： （ ） 证 明 ;设 面 PAB与
17、面 PCD的 交 线 为 l，因 为 /AB CD ， AB 不 在 面 PCD内 ，所 以 /AB PCD面 ,又 因 为 AB PAB面 , 面 PAB 与 面PCD 的 交 线 为 l， 所 以 /AB l ，由 直 线 AB在 底 面 上 ， 而 l在 地 面 外 可 知 ，l与 底 面 平 行 。 （ ） 解 ： 设 CD的 中 点 为 F ， 连 接 ,OF PF ,由 圆 的 性 质 ， 2 ,COD COF OF CD ,因 为 ,OP OP CD OP OF O OPF 底 面 ， CD 底 面 ， 所 以 ， 又 故 CD 面又 CD PCD面 ,因 此 OPF PCD面
18、面 ,而 直 线 OP在 面 PCD上 的 射 影 为 直 线 PF ， 故OPF 为 OP与 面 PCD所 成 的 角 ， 由 题 设 ， 60OPF o设 =OP h， 则 tan tan60 3OF OP OPF h h o ，根 据 题 设 有 22.5OCP o ,得 tan tan22.5OP hOC OCP o ，由 22tan22.51 tan45 1 tan 22.5 oo o 和 tan22.5 0o ， 可 解 得 tan22.5 2 1 o ， 因 此 ( 2 1)2 1hOC h ，在 Rt OCFV 中 ， 3cos 6 3( 2 1)OF hCOF OC h ，故
19、 2 2cos cos(2 ) 2cos 1 2( 6 3) 1 17 12 2COD COF COF 。（ 20） （ 本 小 题 满 分 13分 ） :本 题 主 要 考 查 函 数 的 导 数 及 其 应 用 ， 函 数 零 点 的 判 定 ， 等 比 数 列 的 求 和 ，以 及 不 等 式 的 放 缩 等 基 础 知 识 和 基 本 技 能 ， 考 查 综 合 运 用 知 识 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力 ， 推 理 论 证 和 运算 求 解 能 力 。解 ： （ ） 对 每 个 *n N ， 当 0 x 时 ， 1( ) 1 02 nn x xf x n L ， 故 (
20、)nf x 在 (0, ) 内 单 调 递 增 。 由 于 1( ) 0f x ， 当 2n ， 2 2 21 1 1(1) 02 3nf n L ， 故 (1) 0nf ， 又22 222 2 1 1 2313 3 3 4 3k kn nn k kf k 2 1 12 213 31 1 1 2 023 4 3 31 3 n n ，所 以 存 在 唯 一 的 2 ,13nx ， 满 足 ( ) 0n nf x 。 （ ） 当 0 x 时 ， 11 2( ) ( ) ( )( 1)nn n nxf x f x f xn ， 故 1 1 1( ) ( ) ( ) 0n n n n n nf x f
21、 x f x ， 由 1( )nf x 在 (0, ) 内 单 调 递 增 知 ， 1n nx x ， 故 nx 为 单 调 递 减 数 列 。从 而 对 任 意 的 *,n p N , n p nx x ，对 任 意 的 *p N ， 由 于22 2( ) 1 0 (1)2 nn nn n n x xf x x n L 2 12 2 2 2( ) 1 0 (2)2 ( 1) ( )n n n pn p n p n p n pn p n p n p x x x xf x x n n n p L L（ 1） 式 减 去 （ 2） 式 并 移 项 ， 利 用 0 1n p nx x ， 得2 2
22、2 2 1 1k k k kn p n pn n p n n p n pn n p k k n k nx x x xx x k k k 21 11 1 1 1 1( 1)n p n pk n k nk k k n n p n 。因 此 ， 对 任 意 *p N ， 都 有 10 n n px x n ，（ 21） （ 本 小 题 满 分 13 分 ） :本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 ， 计 数 原 理 ， 分 类 讨 论 思 想 等 基 础 知 识 和 基 本 技能 ， 考 查 抽 象 的 思 想 ， 逻 辑 推 理 能 力 ， 运 算 求 解 能 力 ， 以 及 运 用 数 学 知
23、 识 考 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力 。解 ： （ ） 因 为 事 件 A： “ 学 生 甲 收 到 李 老 师 所 发 信 息 ” 与 事 件 B： “ 学 生 甲 收 到 张 老 师 所 发 信 息 ” 是相 互 独 立 的 事 件 ， 所 以 A与 B相 互 独 立 ， 由 于 11( ) ( ) knknC kP A P B C n ， 故 ( ) ( ) 1 kP A P B n ， 因 此 学 生 甲 收 到 活 动 通 知 信 息 的 概 率 22 221 (1 )k kn kP n n 。（ ） 当 k n 时 ， m 只 能 取 n， 有 ( ) ( ) 1P X
24、 m P X n ，当 k n 时 ， 整 数 m 满 足 k m t ， 其 中 t是 2k 和 n中 的 较 小 者 ， 由 于 “ 李 老 师 和 张 老 师 各自 独 立 ， 随 机 地 发 活 动 通 知 信 息 给 k 位 同 学 ” 所 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 2knC（ ） ， 当 X m 时 ，同 时 收 到 李 老 师 和 张 老 师 转 发 信 息 的 学 生 人 数 为 2 -k m 仅 收 到 李 老 师 或 张 老 师 转 发 信 息 的 学 生人 数 均 为 -m k ， 由 乘 法 计 数 原 理 知 ： 事 件 X m 所 包 含 基 本 事
25、件 件 数 为2k k m m k k m k m kn k n k n k n kC C C C C C ,此 时 ，2 2( ) ( )k k m m k m k m kn k n k k n kk kn nC C C C CP X m C C ， 当 k m t 时 ， ( ) ( +1)P X m P X m +1 +1m k m k m k m kk n k k n kC C C C 21 (2 - )m k n k k m （ ） （ ） 2( 1)2 2km k n ， 假 如 2( 1)2 2kk k tn 成 立 ， 则 当 2( 1)k 能 被 2n 整 除 时 ，2 2(
26、 1) ( 1)2 2 12 2k kk k k tn n ，故 ( )P X m 在 2( 1)2 2km k n 和 2( 1)2 1 2km k n 处 达 到 最 大 值 ；当 2( 1)k 不 能 被 2n 整 除 时 ， ( )P X m 在 2( 1)2 2km k n 处 达 到 最 大 值 ， （ 注 x 表 示不 超 过 x 的 最 大 整 数 ） 。下 面 证 明 2( 1)2 2kk k tn ， 因 为 1 k n ， 所 以 2 2 2( 1) 1 ( 1) 1 12 02 2 2 2k kn k k k k kk kn n n n ，而 2 2( 1) ( 1)2 02 2k n kk nn n ， 故 2( 1)2 2kk nn ， 显 然 2( 1)2 22kk kn ，因 此 2( 1)2 2kk k tn 。
