1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 安 徽 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 .每 小 题 5 分 ， 共 50 分 .在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )设 i 是 虚 数 单 位 ， 若 复 数 a- (a R)是 纯 虚 数 ， 则 a 的 值 为 ( )A.-3B.-1C.1D.3解 析 ： =(a-3)-i是 纯 虚 数 ， a-3=0， 解 得 a=3.答 案 ： D.2.(5分 )已 知 A=x|x+1 0， B=-2， -1，
2、 0， 1， 则 (CRA) B=( )A.-2， -1B.-2C.-2， 0， 1D.0， 1解 析 ： A=x|x+1 0=x|x -1， C UA=x|x -1， (CRA) B=x|x -1 -2， -1， 0， 1=-2， -1.答 案 ： A.3.(5分 )如 图 所 示 ， 程 序 据 图 (算 法 流 程 图 )的 输 出 结 果 为 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ， 循 环 体 被 执 行 后 S 的 值 依 次 为 ：第 1 次 S=0+ ，第 2 次 S= + ，第 3 次 S= + + ， 此 时 n=8不 满 足 选 择 条 件 n 8
3、， 退 出 循 环 ， 故 输 出 的 结 果 是 S= + + = . 答 案 ： C.4.(5分 )“ (2x-1)x=0” 是 “ x=0” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 若 (2x-1)x=0 则 x=0或 x= .即 (2x-1)x=0 推 不 出 x=0.反 之 ， 若 x=0， 则 (2x-1)x=0， 即 x=0推 出 (2x-1)x=0， 所 以 “ (2x-1)x=0” 是 “ x=0” 的 必要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B 5.(5分 )若 某
4、 公 司 从 五 位 大 学 毕 业 生 甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戌 中 录 用 三 人 ， 这 五 人 被 录 用 的 机 会均 等 ， 则 甲 或 乙 被 录 用 的 概 率 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 设 “ 甲 或 乙 被 录 用 ” 为 事 件 A， 则 其 对 立 事 件 表 示 “ 甲 乙 两 人 都 没 有 被 录 取 ” ， 则= = .因 此 P(A)=1-P( )=1- = . 答 案 ： D.6.(5分 )直 线 x+2y-5+ =0被 圆 x2+y2-2x-4y=0截 得 的 弦 长 为 ( )A.1 B.2C.4D.4解 析 ： 由 x2+y2-2
5、x-4y=0， 得 (x-1)2+(y-2)2=5， 所 以 圆 的 圆 心 坐 标 是 C(1， 2)， 半 径 r= .圆 心 C到 直 线 x+2y-5+ =0 的 距 离 为 d= .所 以 直 线 直 线 x+2y-5+ =0 被 圆 x 2+y2-2x-4y=0 截 得 的 弦 长 为 .答 案 ： C.7.(5分 )设 sn为 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 ， S8=4a3， a7=-2， 则 a9=( )A.-6B.-4C.-2D.2解 析 ： s n为 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 ， s8=4a3， a7=-2， 即 .解 得 a1=10， 且 d=-2
6、， a9=a1+8d=-6，答 案 ： A.8.(5分 )函 数 y=f(x)的 图 象 如 图 所 示 ， 在 区 间 a， b上 可 找 到 n(n 2)个 不 同 的 数 x1， x2， xn，使 得 = = = ， 则 n 的 取 值 范 围 为 ( ) A.2， 3B.2， 3， 4C.3， 4D.3， 4， 5解 析 ： 令 y=f(x)， y=kx， 作 直 线 y=kx， 可 以 得 出 2， 3， 4 个 交 点 ， 故 k= (x 0)可 分 别 有 2， 3， 4个 解 .故 n 的 取 值 范 围 为 2， 3， 4.答 案 ： B.9.(5分 )设 ABC的 内 角
7、A， B， C所 对 边 的 长 分 别 为 a， b， c， 若 b+c=2a， 3sinA=5sinB， 则角 C=( )A.B.C.D. 解 析 ： 2b=a+c， 由 正 弦 定 理 知 ， 5sinB=3sinA可 化 为 ： 5b=3a， 解 得 c= b，由 余 弦 定 理 得 ， cosC= = ， C= ，答 案 ： B.10.(5分 )已 知 函 数 f(x)=x 3+ax2+bx+c 有 两 个 极 值 点 x1， x2， 若 f(x1)=x1 x2， 则 关 于 x 的 方程 3(f(x)2+2af(x)+b=0的 不 同 实 根 个 数 为 ( )A.3B.4C.5D
8、.6解 析 ： 函 数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有 两 个 极 值 点 x 1， x2， f (x)=3x2+2ax+b=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， =4a2-12b 0.解 得 = . x1 x2， ， . 而 方 程 3(f(x)2+2af(x)+b=0的 1= 0， 此 方 程 有 两 解 且 f(x)=x1或 x2.不 妨 取 0 x1 x2， f(x1) 0. 把 y=f(x)向 下 平 移 x1个 单 位 即 可 得 到 y=f(x)-x1的 图 象 ， f(x1)=x1， 可 知 方 程 f(x)=x1有 两 解 . 把 y=f(x)向 下 平 移 x
9、2个 单 位 即 可 得 到 y=f(x)-x2的 图 象 ， f(x1)=x1， f(x1)-x2 0， 可知 方 程 f(x)=x2只 有 一 解 .综 上 可 知 ： 方 程 f(x)=x1或 f(x)=x2.只 有 3 个 实 数 解 .即 关 于 x 的 方 程3(f(x) 2+2af(x)+b=0的 只 有 3 不 同 实 根 .答 案 ： A. 二 .填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .11.(5分 )函 数 y=ln(1+ )+ 的 定 义 域 为 .解 析 ： 由 题 意 得 ： ， 即 解 得 ： x (0， 1.答 案 ：
10、 (0， 1.12.(5分 )若 非 负 数 变 量 x、 y满 足 约 束 条 件 ， 则 x+y的 最 大 值 为 4 . 解 析 ： 画 出 可 行 域 如 图 阴 影 部 分 ， 由 ， 得 A(3， 2)，目 标 函 数 z=x+y可 看 做 斜 率 为 -1 的 动 直 线 ， 其 纵 截 距 越 大 z 越 大 ，由 图 数 形 结 合 可 得 当 动 直 线 过 点 A时 ， z 最 大 =4+0=4.答 案 ： 413.(5分 )若 非 零 向 量 ， 满 足 | |=3| |=| +2 |， 则 与 夹 角 的 余 弦 值 为 .解 析 ： 由 题 意 可 得 =9 ， 且
11、 = +4 +4 ， 化 简 可 得 4 =-4 ， | | | |=-| | | |cos ， ， cos ， =- =- ， 答 案 ： - .14.(5分 )定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)满 足 f(x+1)=2f(x).若 当 0 x 1时 .f(x)=x(1-x)， 则 当-1 x 0 时 ， f(x)= .解 析 ： 当 -1 x 0 时 ， 0 x+1 1， 由 题 意 f(x)= f(x+1)= (x+1)1-(x+1)=- x(x+1)，答 案 ： - x(x+1).15.(5分 )如 图 ， 正 方 体 ABCD-A 1B1C1D1的 棱 长 为 1， P 为 B
12、C的 中 点 ， Q 为 线 段 CC1上 的 动 点 ，过 点 A， P， Q 的 平 面 截 该 正 方 体 所 得 的 截 面 记 为 S， 则 下 列 命 题 正 确 的 是 (写 出 所 有正 确 命 题 的 编 号 ). 当 0 CQ 时 ， S 为 四 边 形 当 CQ= 时 ， S 为 等 腰 梯 形 当 CQ= 时 ， S 与 C 1D1的 交 点 R满 足 C1R= 当 CQ 1 时 ， S 为 六 边 形 当 CQ=1 时 ， S的 面 积 为 . 解 析 ： 如 图 . 当 CQ= 时 ， 即 Q为 CC1中 点 ， 此 时 可 得 PQ AD1， AP=QD1= =
13、，故 可 得 截 面 APQD1为 等 腰 梯 形 ， 故 正 确 ；由 上 图 当 点 Q 向 C 移 动 时 ， 满 足 0 CQ ， 只 需 在 DD1上 取 点 M满 足 AM PQ，即 可 得 截 面 为 四 边 形 APQM， 故 正 确 ； 当 CQ= 时 ， 如 图 ， 延 长 DD1至 N， 使 D1N= ， 连 接 AN交 A1D1于 S， 连 接 NQ交 C1D1于 R， 连 接 SR，可 证 AN PQ， 由 NRD1 QRC1， 可 得 C1R： D1R=C1Q： D1N=1： 2， 故 可 得 C1R= ， 故 正 确 ； 由 可 知 当 CQ 1 时 ， 只 需
14、点 Q 上 移 即 可 ， 此 时 的 截 面 形 状 仍 然 上 图 所 示 的 APQRS，显 然 为 五 边 形 ， 故 错 误 ； 当 CQ=1 时 ， Q与 C1重 合 ， 取 A1D1的 中 点 F， 连 接 AF， 可 证 PC1 AF， 且 PC1=AF，可 知 截 面 为 APC1F 为 菱 形 ， 故 其 面 积 为 AC1 PF= = ， 故 正 确 .答 案 ： 三 、 解 答 题16.(12分 )设 函 数 f(x)=sinx+sin(x+ ).( )求 f(x)的 最 小 值 ， 并 求 使 f(x)取 得 最 小 值 的 x 的 集 合 ； ( )不 画 图 ，
15、说 明 函 数 y=f(x)的 图 象 可 由 y=sinx的 图 象 经 过 怎 样 的 变 化 得 到 .解 析 ： ( )f(x)解 析 式 第 二 项 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 及 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 化 为 一个 角 的 正 弦 函 数 ， 根 据 正 弦 函 数 的 图 象 与 性 质 即 可 求 出 满 足 题 意 x的 集 合 ；( )根 据 变 换 及 平 移 规 律 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： ( )f(x)=sinx+ sinx+ cosx= sinx+ cosx= sin(x+ )， 当 x+ =2k - (k Z
16、)， 即 x=2k - (x Z)时 ， f(x)取 得 最 小 值 - ，此 时 x的 取 值 集 合 为 x|x=2k - (k Z)；( )先 由 y=sinx的 图 象 上 的 所 有 点 的 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍 ， 横 坐 标 不 变 ， 即 为 y= sinx的 图 象 ； 再 由 y= sinx的 图 象 上 的 所 有 点 向 左 平 移 个 单 位 ， 得 到 y=f(x)的 图 象 .17.(12分 )为 调 查 甲 、 乙 两 校 高 三 年 级 学 生 某 次 联 考 数 学 成 绩 情 况 ， 用 简 单 随 机 抽 样 ， 现 从这 两 个 学 校
17、中 各 抽 取 30 名 高 三 年 级 学 生 ， 以 他 们 的 数 学 成 绩 (百 分 制 )作 为 样 本 ， 样 本 数 据的 茎 叶 图 如 下 ：( )若 甲 校 高 三 年 级 每 位 学 生 被 抽 取 的 概 率 为 0.05， 求 甲 校 高 三 年 级 学 生 总 人 数 ， 并 估 计甲 校 高 三 年 级 这 次 联 考 数 学 成 绩 的 及 格 率 (60分 及 60分 以 上 为 及 格 )； ( )设 甲 、 乙 两 校 高 三 年 级 学 生 这 次 联 考 数 学 平 均 成 绩 分 别 为 、 ， 估 计 - 的 值 .解 析 ： (I)先 设 甲
18、校 高 三 年 级 总 人 数 为 n， 利 用 甲 校 高 三 年 级 每 位 学 生 被 抽 取 的 概 率 为 0.05得 =0.05 求 出 n， 又 样 本 中 甲 校 高 三 年 级 这 次 联 考 数 学 成 绩 的 不 及 格 人 数 为 5， 利 用 对 立事 件 的 概 率 可 估 计 甲 校 高 三 年 级 这 次 联 考 数 学 成 绩 的 及 格 率 ； (II)设 样 本 中 甲 、 乙 两 校 高 三 年 级 学 生 这 次 联 考 数 学 平 均 成 绩 分 别 为 a1， a2， 利 用 茎 叶 图 中同 一 行 的 数 据 之 差 可 得 30(a1-a2
19、)=(7-5)+55+(2-8)+(5-0)+(5-6)+ +92=15， 从 而 求 出 a1-a2的 值 ， 最 后 利 用 样 本 估 计 总 体 的 思 想 得 出 结 论 即 可 .答 案 ： (I)设 甲 校 高 三 年 级 总 人 数 为 n， 则 =0.05， n=600，又 样 本 中 甲 校 高 三 年 级 这 次 联 考 数 学 成 绩 的 不 及 格 人 数 为 5， 估 计 甲 校 高 三 年 级 这 次 联 考 数 学 成 绩 的 及 格 率 1- = ；(II)设 样 本 中 甲 、 乙 两 校 高 三 年 级 学 生 这 次 联 考 数 学 平 均 成 绩 分
20、别 为 a 1， a2，由 茎 叶 图 可 知 ， 30(a1-a2 )=(7-5)+55+(2-8)+(5-0)+(5-6)+ +92=15， a1-a2= =0.5. 利 用 样 本 估 计 总 体 ， 故 估 计 x1-x2 的 值 为 0.5. 18.(12分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 ， BAD=60 ， 已 知 PB=PD=2，PA= .( )证 明 ： PC BD( )若 E 为 PA 的 中 点 ， 求 三 棱 锥 P-BCE 的 体 积 .解 析 ： (I)连 接 AC 交 BD 于 O， 连 接 PO.菱
21、形 ABCD中 ， 证 出 AC BD且 O是 BD的 中 点 ， 从 而 得 到 PO是 等 腰 PBD中 ， PO是 底 边 BD的 中 线 ， 可 得 PO BD， 结 合 PO、 AC是 平 面 PAC 内 的相 交 直 线 ， 证 出 BD 平 面 PAC， 从 而 得 到 PC BD；(II)根 据 ABCD是 边 长 为 2 的 菱 形 且 BAD=60 ， 算 出 ABC的 面 积 为 ， PAO中 证 出AO2+PO2=6=PA2可 得 PO AC， 结 合 PO BD 证 出 PO 平 面 ABCD， 所 以 PO= 是 三 棱 锥 P-ABC的 高 ， 从 而 三 棱 锥
22、 P-ABC 的 体 积 VP-ABC=1， 再 由 E 为 PA 中 点 算 出 三 棱 锥 E-ABC 的 体 积 VE-ABC= ，进 而 可 得 三 棱 锥 P-BCE 的 体 积 等 于 V P-ABC-VE-ABC= ， 得 到 本 题 答 案 . 答 案 ： (I)连 接 AC 交 BD 于 O， 连 接 PO， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AC BD， 且 O 是 BD 的 中 点 ， PBD中 ， PD=PB， O 为 BD 中 点 ， PO BD， PO、 AC平 面 PAC， PO AC=O， BD 平 面 PAC， PC平 面 PAC， PC BD.(II)
23、ABCD是 边 长 为 2 的 菱 形 ， BAD=60 ， BO= AB=1， AC= =2 ， 可 得 ABC的 面 积 为 S= AC BO= ， PBD中 ， PB=PD=BD=2， 中 线 PO= BD= ，因 此 ， PAO中 AO 2+PO2=6=PA2， PO AC， 结 合 PO BD 得 到 PO 平 面 ABCD，得 到 三 棱 锥 P-ABC 的 体 积 VP-ABC= S ABC PO= =1， E 为 PA 中 点 ， E到 平 面 ABC的 距 离 d= PO= ，由 此 可 得 三 棱 锥 E-ABC 的 体 积 V E-ABC= S ABC d= = ，因 此
24、 ， 三 棱 锥 P-BCE的 体 积 VP-EBC=VP-ABC-VE-ABC= .19.(13分 )设 数 列 a n满 足 a1=2， a2+a4=8， 且 对 任 意 n N*， 函 数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满 足 f ( )=0( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )若 bn=2(an+ )求 数 列 bn的 前 n项 和 Sn.解 析 ： (I)利 用 导 数 的 运 算 法 则 先 求 出 f (x)， 再 利 用 ， 即 可 得 到 数 列 an是 等 差 数 列 ， 再 利 用 已 知 及 等 差 数 列 的 通
25、 项 公 式 即 可 得 出 an；(II)利 用 (I)得 出 bn， 利 用 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 即 可 得 出 Sn.答 案 ： (I) f (x)=an-an+1+an+2-an+1sinx-an+2cosx， . 2an+1=an+an+2对 任 意 n N*， 都 成 立 . 数 列 a n是 等 差 数 列 ， 设 公 差 为 d， a1=2， a2+a4=8， 2+d+2+3d=8， 解 得 d=1. an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.(II)由 (I)可 得 ， =2(n+1)+ ， Sn=22+3+ +(n+1)+ =
26、 .20.(13分 )设 函 数 f(x)=ax-(1+a 2)x2， 其 中 a 0， 区 间 I=x|f(x) 0( )求 I 的 长 度 (注 ： 区 间 (a， )的 长 度 定 义 为 - )；( )给 定 常 数 k (0， 1)， 当 1-k a 1+k时 ， 求 I长 度 的 最 小 值 .解 析 ： ( )解 不 等 式 f(x) 0可 得 区 间 I， 由 区 间 长 度 定 义 可 得 I的 长 度 ；( )由 ( )构 造 函 数 d(a)= ， 利 用 导 数 可 判 断 d(a)的 单 调 性 ， 由 单 调 性 可 判 断 d(a)的 最 小 值 必 定 在 a=
27、1-k 或 a=1+k 处 取 得 ， 通 过 作 商 比 较 可 得 答 案 .答 案 ： ( )因 为 方 程 ax-(1+a 2)x2=0(a 0)有 两 个 实 根 x1=0， 0，故 f(x) 0的 解 集 为 x|x1 x x2， 因 此 区 间 I=(0， )， 区 间 长 度 为 ；( )设 d(a)= ， 则 d (a)= ，令 d (a)=0， 得 a=1， 由 于 0 k 1，故 当 1-k a 1时 ， d (a) 0， d(a)单 调 递 增 ； 当 1 a 1+k时 ， d (a) 0， d(a)单 调 递减 ，因 此 当 1-k a 1+k时 ， d(a)的 最
28、小 值 必 定 在 a=1-k或 a=1+k处 取 得 ， 而 = 1， 故 d(1-k) d(1+k)，因 此 当 a=1-k 时 ， d(a)在 区 间 1-k， 1+k上 取 得 最 小 值 ， 即 I 长 度 的 最 小 值 为.21.(13分 )已 知 椭 圆 C： + (a b 0)的 焦 距 为 4， 且 过 点 P( ， ). ( )求 椭 圆 C 的 方 程 ； ( )设 Q(x0， y0)(x0y0 0)为 椭 圆 C上 一 点 ， 过 点 Q作 x轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 E.取 点 A(0， 2 )，连 接 AE， 过 点 A作 AE的 垂 线 交 x轴 于 点
29、D.点 G是 点 D 关 于 y轴 的 对 称 点 ， 作 直 线 QG， 问这 样 作 出 的 直 线 QG 是 否 与 椭 圆 C 一 定 有 唯 一 的 公 共 点 ？ 并 说 明 理 由 .解 析 ： (I)根 据 椭 圆 的 焦 距 为 4， 得 到 c= =2， 再 由 点 P( )在 椭 圆 C 上 得到 ， 两 式 联 解 即 可 得 到 a2=8 且 b2=4， 从 而 得 到 椭 圆 C的 方 程 ；(II)由 题 意 得 E(x 0， 0)， 设 D的 坐 标 为 (xD， 0)， 可 得 向 量 、 的 坐 标 ， 根 据 AD AE得， 从 而 算 出 xD=- ，
30、因 为 点 G是 点 D 关 于 y轴 的 对 称 点 ， 得 到 G( ， 0).直 线QG的 斜 率 为 kQG= ， 结 合 点 Q 是 椭 圆 C 上 的 点 化 简 得 kQG=- ， 从 而 得 到 直 线 QG的 方 程 为 ： y=- (x- )， 将 此 方 程 与 椭 圆 C 的 方 程 联 解 可 得 =0， 从 而 得 到 方 程 组 有唯 一 解 ， 即 点 Q是 直 线 QG与 椭 圆 C的 唯 一 公 共 点 ， 由 此 即 得 直 线 QG 与 椭 圆 C 一 定 有 唯 一 的公 共 点 . 答 案 ： (I) 椭 圆 C： + (a b 0)的 焦 距 为
31、4， c=2， 可 得 =2 又 点 P( )在 椭 圆 C上 ， 联 解 ， 可 得 a2=8且 b2=4， 椭 圆 C 的 方 程 为 .(II)由 题 意 ， 得 E 点 坐 标 为 (x 0， 0)，设 D(xD， 0)， 可 得 =(x0， - )， =(xD， - )， AD AE， 可 得 ， x0 xD+(- ) (- )=0， 即 x0 xD+8=0， 得 xD=- ， 点 G是 点 D 关 于 y轴 的 对 称 点 ， 点 G 的 坐 标 为 ( ， 0)， 因 此 ， 直 线 QG 的 斜 率 为 kQG= = ，又 点 Q(x0， y0)在 椭 圆 C上 ， 可 得 ， kQG= =- .由 此 可 得 直 线 QG的 方 程 为 ： y=- (x- )，代 入 椭 圆 C方 程 ， 化 简 得 ( )x 2-16x0 x+64-16 =0，将 代 入 上 式 ， 得 8x2-16x0 x+8 =0，化 简 得 x2-2x0 x+ =0， 所 以 = ，从 而 可 得 x=x0， y=y0是 方 程 组 的 唯 一 解 ， 即 点 Q是 直 线 QG与 椭 圆 C的 唯 一 公 共 点 .综 上 所 述 ， 可 得 直 线 QG 与 椭 圆 C 一 定 有 唯 一 的 公 共 点 .
