1、2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (天 津 卷 )数 学 （ 文 科 ）本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 (非 选 择 题 )两 部 分 , 共 150 分 . 考 试 用时 120 分 钟 . 第 卷 1 至 2 页 , 第 卷 3 至 5 页 .答 卷 前 , 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 , 并 在 规 定 位 置粘 贴 考 试 用 条 形 码 . 答 卷 时 , 考 生 务 必 将 答 案 凃 写 在 答 题 卡 上 , 答 在 试 卷 上 的 无效 . 考 试 结 束
2、后 , 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 .祝 各 位 考 生 考 试 顺 利 ! 第 卷注 意 事 项 ： 1.每 小 题 选 出 答 案 后 , 用 铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 . 如 需 改动 , 用 橡 皮 擦 干 净 后 , 再 选 凃 其 他 答 案 标 号 .2.本 卷 共 8 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 40 分 .参 考 公 式 :如 果 事 件 A, B 互 斥 , 那 么) ( ) ( )( B P AP A P B 棱 柱 的 体 积 公 式 V = Sh，其 中 S 表 示 棱 柱 的 底 面 面
3、积 , h 表 示 棱 柱 的 高 .如 果 事 件 A, B 相 互 独 立 , 那 么) ( ) ( )B P AA PP B球 的 体 积 公 式 34 .3V R其 中 R 表 示 球 的 半 径 . 一 选 择 题 : 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ,只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .(1) 已 知 集 合 A =x R|x|2, B =x R| x1, 则 A B (A) ( ,2 (B)1,2 (C) 2,2 (D) 2,1(2) 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 3 6 0,2 0,3 0,x yyx y 则 目 标 函 数 z =
4、 y 2x 的 最 小 值 为(A) 7 (B) 4(C)1 (D)2 (3) 阅 读 右 边 的 程 序 框 图 , 运 行 相 应 的 程 序 , 则 输 出 n 的 值 为(A)7 (B)6(C)5 (D)4(4) 设 ,a bR, 则 “ 2( ) 0a b a ”是 “ a b ”的(A) 充 分 而 不 必 要 条 件(B) 必 要 而 不 充 分 条 件(C) 充 要 条 件(D) 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件(5) 已 知 过 点 P(2,2) 的 直 线 与 圆 2 2 5( 1)x y 相 切 , 且 与 直 线1 0ax y 垂 直 , 则 a (A) 12 (
5、B)1(C)2 (D) 12(6) 函 数 ( ) sin 2 4f x x 在 区 间 0,2 上 的 最 小 值 是(A) 1 (B) 22(C) 22 (D)0(7) 已 知 函 数 ( )f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 0, ) 上 单 调 递 增 . 若 实 数a 满 足 2 12(log ) (log ) 2 (1)f a f fa , 则 a 的 取 值 范 围 是(A) 1,2 (B) 10,2 (C) 1,22 (D) (0,2(8) 设 函 数 22, ( ) ln) 3( x x g x xx xf e . 若 实 数 a, b 满 足
6、 ( ) 0, ( ) 0f a g b , 则(A) ( ) 0 ( )g a f b (B) ( ) 0 ( )f b g a (C) 0 ( ) ( )g a f b (D) ( ) ( ) 0f b g a 第 卷注意事项：1. 用 黑 色 墨 水 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 答 案 写 在 答 题 卡 上 .2. 本 卷 共 12 小 题 , 共 110分 .二 填 空 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 30 分 .(9) i 是 虚 数 单 位 . 复 数 (3+ i)(1 2i)= .(10) 已 知 一 个 正 方 体 的 所 有 顶 点
7、在 一 个 球 面 上 . 若 球 的 体 积 为 92 , 则 正 方 体 的棱 长 为 .(11) 已 知 抛 物 线 2 8y x 的 准 线 过 双 曲 线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b 的 一 个 焦 点 , 且 双曲 线 的 离 心 率 为 2, 则 该 双 曲 线 的 方 程 为 .(12) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , AD =1, 60BAD , E 为 CD 的 中 点 . 若 1AC BE ,则 AB 的 长 为 .(13) 如 图 , 在 圆 内 接 梯 形 ABCD中 , AB/DC, 过 点A 作 圆 的 切 线 与 CB 的 延
8、 长 线 交 于 点 E. 若 AB =AD =5, BE =4, 则 弦 BD 的 长 为 .(14) 设 a + b = 2, b0, 则 1 | |2| | aa b 的 最 小 值为 . 三 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 共 70 分 . 解 答 应 写 出 文 字 说 明 , 证 明 过 程 或 演 算步 骤 .(15)(本 小 题 满 分 13 分 )某 产 品 的 三 个 质 量 指 标 分 别 为 x, y, z, 用 综 合 指 标 S = x + y + z 评 价 该 产 品 的 等 级 .若 S4, 则 该 产 品 为 一 等 品 . 现 从 一 批
9、该 产 品 中 , 随 机 抽 取 10 件 产 品 作 为 样 本 ,其 质 量 指 标 列 表 如 下 :产 品 编 号 A1 A2 A3 A4 A5质 量 指 标 (x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)产 品 编 号 A6 A7 A8 A9 A10质 量 指 标 (x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)( ) 利 用 上 表 提 供 的 样 本 数 据 估 计 该 批 产 品 的 一 等 品 率 ;( ) 在 该 样 品 的 一 等 品 中 , 随 机 抽 取 2 件 产
10、 品 ,( ) 用 产 品 编 号 列 出 所 有 可 能 的 结 果 ;( ) 设 事 件 B 为 “在 取 出 的 2 件 产 品 中 , 每 件 产 品 的 综 合 指 标 S 都 等 于 4”, 求 事 件 B 发 生 的 概 率 .(16)(本 小 题 满 分 13 分 ) 在 ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c. 已 知 sin 3 sinb A c B , a = 3,2cos 3B .( ) 求 b 的 值 ;( ) 求 sin 2 3B 的 值 .(17)(本 小 题 满 分 13 分 )如 图 , 三 棱 柱 ABC A 1B
11、1C1 中 , 侧 棱 A1A 底 面ABC,且 各 棱 长 均 相 等 . D, E, F 分 别 为 棱 AB, BC,A1C1的 中 点 .( ) 证 明 EF/平 面 A1CD;( ) 证 明 平 面 A1CD 平 面 A1ABB1;( ) 求 直 线 BC 与 平 面 A1CD 所 成 角 的 正 弦 值 .(18)(本 小 题 满 分 13 分 )设 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b 的 左 焦 点 为 F, 离 心 率 为 33 , 过 点 F且 与 x轴 垂 直 的 直线 被 椭 圆 截 得 的 线 段 长 为 4 33 .( ) 求 椭 圆 的 方 程 ;
12、( ) 设 A, B 分 别 为 椭 圆 的 左 ,右 顶 点 , 过 点 F 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 椭 圆 交 于 C, D两 点 . 若 8AC DB ADCB , 求 k 的 值 . (19)(本 小 题 满 分 14 分 )已 知 首 项 为 32 的 等 比 数 列 na 的 前 n 项 和 为 ( *)nS nN , 且 2 3 4,2 , 4SS S 成 等 差 数列 .( ) 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ; ( ) 证 明 13 *)61 (n nS nS N .(20)(本 小 题 满 分 14 分 )设 2,0a , 已 知 函 数 33 2( 5)
13、 , 03 , 0( ,) .2xf a x xax x x xx a ( ) 证 明 ( )f x 在 区 间 ( 1,1)内 单 调 递 减 , 在 区 间 (1,+)内 单 调 递 增 ; ( ) 设 曲 线 ( )y f x 在 点 ( , ( )( 1,2,3)i i ix f x iP 处 的 切 线 相 互 平 行 , 且 1 2 3 0,x xx 证明 1 2 3 13xx x . 参考答案一 、 选 择 题 ： 本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 础 运 算 。 每 小 题 5 分 。 满 分 40 分 。（ 1） D （ 2） A （ 3） D （ 4） A（ 5） C
14、 （ 6） B （ 7） C （ 8） A二 、 填 空 题 ： 本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算 。 每 小 题 5 分 ， 满 分 30 分 。（ 9） 5-5i （ 10） 3 （ 11） 22 13yx （ 12） 12 （ 13） 152 （ 14） 34三 、 解 答 题（ 15） 本 小 题 主 要 考 查 样 本 估 计 总 体 的 方 法 、 用 列 举 法 计 算 随 机 事 件 所 含 的 基 本 事 件 数 、 古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式 等 基 础 知 识 。 考 查 数 据 处 理 能 力 和 运 用 概率 知 识 解 决 简
15、单 问 题 的 能 力 。 满 分 13 分 。（ I）解： 计 算 10 件 产 品 的 综 合 指 标 S， 如 下 表 :产 品 编 号 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10AS 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5其 中 S 4 的 有 1A ， 2A ， 4A ， 5A ， 7A ， 9A ， 共 6 件 ， 故 该 样 本 的 一 等 品 率 为 610=0.6，从 而 可 估 计 该 批 产 品 的 一 等 品 率 为 0.6.（ II）（ i）解：在 该 样 本 的 一 等 品 中 ， 随 机 抽 取 2 件 产 品 的 所 有 可 能 结 果 为 1,
16、 2A A ， 1, 4A A ， 1, 5A A ， 1, 7A A ， 1, 9A A ， 2 4,A A ， 2 5,A A ， 2 7,A A ， 2 9,A A ， 4 5,A A ， 4 7,A A ， 4 9,A A ， 5 7,A A ， 5 9,A A ， 7 9,A A ， 共 15 种 .（ ii）解：在 该 样 本 的 一 等 品 中 ， 综 合 指 标 S 等 于 4 的 产 品 编 号 分 别 为 1A ， 2A ，5A ， 7A ， 则 事 件 B 发 生 的 所 有 可 能 结 果 为 1, 2A A ， 1, 5A A ， 1, 7A A ， 2 5,A A
17、， 2 7,A A ， 5 7,A A 共 6 种 。所 以 P(B)= 6 215 5 .（ 16） 本 小 题 主 要 考 查 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 、 二 倍 角 的 正 弦 与 余 弦 公 式、 两 角 差 的 正 弦 公 式 以 及 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 等 基 础 知 识 .考 查 基 本 运 算 求 解 能力 .满 分 13 分 。 （ I）解： 在 ABC 中 ， 由 sinaA = sinbB ， 可 得 sin sinb A a B ,又 由sin 3 sinb A c B ， 可 得 a=3c， 又 a=3， 故 c=1. 由 2 2
18、2 2 cosb a c ac B ， cosB=23 ， 可 得 6.b （ II）解： 由 cosB=23 ， 得 sinB = 53 ， 进 而 得 cos2B= 22cos 1B = 19 ，4 5sin2 2sin cos 9B B B .所 以 sin 2 3B =sin2 cos 3B cos2 sin 3B 4 5 3.18（ 17） 本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 平 面 平 行 、 平 面 与 平 面 垂 直 、 直 线 与 平 面 所 成 的 角等 基 础 知 识 。 考 查 空 间 想 象 能 力 、 运 算 求 解 能 力 和 推 理 论 证 能 力 。 满
19、分 13 分 。（ I）证明： 如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC 1 1 1ABC 中 ，AC 1 1AC ， 且 AC= 1 1AC ， 连 接 ED， 在 ABC 中 ， 因为 D,E 分 别 为 AB,BC 的 中 点 ， 所 以 DE=12 AC 且 DE AC， 又 因 为 F 为 1 1AC 的 中 点 ， 可 得 1AF DE ,且 1AF DE ， 即 四 边 形 1ADEF 为 平 行 四 边 形 ， 所 以 EF 1.DA 又 EF 平 面 1ACD, 1DA 平 面 1ACD ， 所 以 ，EF 平 面 1ACD 。（ II）证明： 由 于 底 面 ABC 是 正 三
20、角 形 ， D 为 AB 的 中 点 ， 故 CD AB， 又 由 于侧 棱 1A A 底 面 ABC ， CD平 面 ABC ， 所 以 1A A CD， 又 1A A AB A ， 因此 CD 平 面 1 1A ABB ， 而 CD平 面 1ACD ， 所 以 平 面 1ACD 1 1A ABB 。（ III）解： 在 平 面 1 1A ABB 内 ， 过 点 B 作 BG 1AD 交 直 线 1AD 于 点 G， 连 接 CG.由 于 平 面 1ACD 平 面 1 1A ABB ， 而 直 线 1AD 是 平 面 1ACD 与 平 面 1 1A ABB 的 交 线 ，故 BG 平 面 1
21、ACD 。 由 此 得 BCG 为 直 线 BC 与 平 面 1ACD 所 成 的 角 。设 棱 长 为 a， 可 得 1AD 52a ， 由 1A AD BGD ， 易 得 BG 55a 。 在Rt BGC 中 ， sin 55BGBCG BC .所 以 直 线 BC 与 平 面 1ACD 所 成 角 的 正 弦 值 为 55 。（ 18） 本 小 题 主 要 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质 、 直 线 的 方 程 、 向 量 的 运 算 等基 础 知 识 。 考 查 用 代 数 方 法 研 究 圆 锥 曲 线 的 性 质 。 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 以
22、及 用 方程 思 想 解 决 问 题 的 能 力 。 满 分 13 分 。 （ I）解： 设 F（ ,0c ） ， 由 3,3ca 知 3a c . 过 点 F 且 与 x 轴 垂 直 的 直 线为 x c ， 代 入 椭 圆 方 程 有 2 22 2( ) 1c ya b ， 解 得 63by ， 于 是 2 6 4 33 3b ，解 得 2b ， 又 2 2 2a c b ， 从 而 3a ， c=1， 所 以 椭 圆 的 方 程 为 2 2 13 2x y .（ II）解： 设 点 1 1( , )C x y ， 2 2( , )D x y ,由 F（ -1， 0） 得 直 线 CD的
23、方 程 为 ( 1)y k x ，由 方 程 组 2 2( 1)13 2y k xx y 消 去 y ， 整 理 得 2 2 2 2(2+3 ) 6 3 6 0k x k x k .求 解 可 得 21 2 262 3kx x k ， 21 2 23 62 3kx x k . 因 为 A( 3,0 ), ( 3,0)B ， 所 以AC DB AD CB =（ 1 13,x y ） 2 2( 3 , )x y + 2 2( 3, )x y 1 1( 3 , )x y = 1 2 1 26 2 2x x y y = 21 2 1 25 2 2 ( 1)( 1)x x k x x 6 2 2 21
24、2 1 2(2 2 ) 2 ( ) 2k x x k x x k = 2 22 126 2 3k k .由 已 知 得 2 22 126 2 3k k =8， 解 得 2.k （ 19） 本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 概 念 ， 等 比 数 列 的 概 念 、 通 项 公 式 、 前 n 项 和公 式 ， 数 列 的 基 本 性 质 等 基 础 知 识 . 考 查 分 类 讨 论 的 思 想 ， 考 查 运 算 能 力 、 分 析问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 . 满 分 14 分 .（ I）解： 设 等 比 数 列 na 的 公 比 为 q， 因 为 22S , 3
25、S , 44S 成 等 差 数 列 ， 所以 3S + 22S = 44S 3S ， 即 4S 3S = 2 4S S ， 可 得 2 4 3a a ， 于 是 43 12aq a . 又1 32a ， 所 以 等 比 数 列 na 的 通 项 公 式 为 1 13 1 3( 1)2 2 2n nn na .（ II）证明：nS = 1 1 1 11 , 12 2 11 2n nn nnS S = 12 ,2 (2 1)12 ,2 (2 1)n nn n nn 为 奇 数 ，为 偶 数 。当 n 为 奇 数 时 ， 1 n nS S 随 n 的 增 大 而 减 小 ， 所 以 1n nS S
26、1 11 13.6S S 当 n 为 偶 数 时 ， 1n nS S 随 n 的 增 大 而 减 小 ， 所 以 1n nS S 2 21 25.12S S 故 对 于 n ,nN 有 1n nS S 13.6（ 20） 本 小 题 主 要 考 查 导 数 的 运 算 及 其 几 何 意 义 ， 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ，考 查 分 类 讨 论 思 想 、 化 归 思 想 、 函 数 思 想 . 考 查 综 合 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 .满 分 14 分 。（ I）证明： 设 函 数 31( ) ( 5)f x x a x ( 0)x ， 2(
27、)f x 3 232ax x ax ( 0),x 1( )f x = 23 ( 5),x a 由 2,0a ， 从 而 当 1 x 0 时 ，1( )f x = 23 ( 5)x a 3 5 0a ， 所 以 函 数 1( )f x 在 区 间 1,0 内 单 调 递减 . 2 ( )f x = 23 ( 3) (3 )( 1)x a x a x a x ， 由 于 2,0a ， 所 以 当 0 x 1时 ， 2 ( )f x 0； 当 x 1 时 ， 2 ( )f x 0. 即 函 数 2( )f x 在 区 间 0,1 内 单 调 递减 ， 在 区 间 (1, ) 内 单 调 递 增 .综
28、 合 ， 及 1 2(0) (0)f f ， 可 知 函 数 ( )f x 在 区 间 （ -1,1） 内 单 调 递 减 ， 在区 间 (1, ) 内 单 调 递 增 .（ II）证明： 由 （ I） 知 ( )f x 在 区 间 ( ,0) 内 单 调 递 减 ， 在 区 间 30, 6a 内 单调 递 减 ， 在 区 间 3,6a 内 单 调 递 增 . 因 为 曲 线 ( )y f x 在 点 1 1 1( , ( )P x f x（ i=1,2,3） 处 的 切 线 相 互 平 行 ， 从 而 1 2 3, ,x x x 互 不 相 等 ， 且 1 2 3( ) ( ) ( )f x
29、 f x f x .不 防 设 1x 0 2x 3x ， 由2 2 2 1 2 2 3 33 ( 5) 3 ( 3) 3 ( 3)x a x a x a x a x a ，可 得 223x 23 2 33 ( 3)( ) 0 x a x x ， 解 得 2 3 33ax x ， 从 而 0 2x 36a 3x .设 2( ) 3 ( 3)g x x a x a ， 则 36ag 2( )g x (0)g a .由 21 2( 5) ( )3 a g xx a ， 解 得 2 53a 1x 0， 所 以 1x + 2x + 3x 2 53a 33a ， 设 2 53at ， 则 23 52ta ， 因 为 2,0a ， 所 以3 15,3 3t ， 故 1x + 2x + 3x 2 23 1 1 1 1( 1)6 2 3 3tt t ，即 1x + 2x + 3x 13 .
