1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (天 津 卷 )理 科 数 学本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 (非 选 择 题 )两 部 分 , 共 150分 . 考 试 用时 120分 钟 . 第 卷 1至 2页 , 第 卷 3至 5页 .答 卷 前 , 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 , 并 在 规 定 位 置粘 贴 考 试 用 条 形 码 . 答 卷 时 , 考 生 务 必 将 答 案 凃 写 在 答 题 卡 上 , 答 在 试 卷 上 的 无效 . 考 试 结 束 后 , 将 本 试 卷
2、 和 答 题 卡 一 并 交 回 .祝 各 位 考 生 考 试 顺 利 ! 第 卷注 意 事 项 ：1.每 小 题 选 出 答 案 后 , 用 铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 . 如 需 改 动 , 用 橡 皮 擦 干 净 后 , 再 选 凃 其 他 答 案 标 号 .2 .本 卷 共 8 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 4 0 分 .参 考 公 式 :如 果 事 件 A,B 互 斥 , 那 么) ( ) ( )( B P AP A P B 棱 柱 的 体 积 公 式 V=Sh，其 中 S 表 示 棱 柱 的 底 面 面 积 , h 表示 棱 柱
3、 的 高 .如 果 事 件 A,B 相 互 独 立 , 那 么) ( ) ( )B P AA PP B球 的 体 积 公 式 34 .3V R其 中 R 表 示 球 的 半 径 . 一 选 择 题 : 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ,只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .(1) 已 知 集 合 A=x R|x|2, A=x R|x1, 则 A B (A) ( ,2 (B)1,2 (C)2,2 (D) 2,1(2) 设 变 量 x,y 满 足 约 束 条 件 3 6 0,2 0,3 0,x yyx y 则 目 标 函 数 z =y 2x 的 最 小 值 为(A) 7
4、 (B) 4(C)1 (D)2(3) 阅 读 右 边 的 程 序 框 图 , 运 行 相 应 的 程 序 , 若 输 入 x 的 值 为 1, 则 输出 S 的 值 为(A)64 (B)73(C)512 (D)585(4) 已 知 下 列 三 个 命 题 : 若 一 个 球 的 半 径 缩 小 到 原 来 的 12 , 则 其 体 积 缩 小 到 原 来 的 18; 若 两 组 数 据 的 平 均 数 相 等 , 则 它 们 的 标 准 差 也 相 等 ; 直 线 x+y +1=0与 圆 2 2 12x y 相 切 .其 中 真 命 题 的 序 号 是 :(A) (B) (C) (D) (5)
5、 已 知 双 曲 线 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b 的 两 条 渐 近 线 与 抛 物 线 2 2 ( 0)px py 的 准线 分 别 交 于 A, B 两 点 , O 为 坐 标 原 点 . 若 双 曲 线 的 离 心 率 为 2, AOB 的 面 积 为3, 则 p=(A)1 (B) 32 (C)2 (D)3(6) 在 ABC 中 , , 2, 3,4 AB BCABC 则 sin BAC = (A) 1010 (B) 105 (C) 3 1010 (D) 55(7) 函 数 0.5( ) 2 |log | 1xf x x 的 零 点 个 数 为(A)1 (B)2
6、(C)3 (D)4(8) 已 知 函 数 ( ) (1 | |)f x x a x . 设 关 于 x 的 不 等 式 ( ) ( )f x a f x 的 解 集 为 A, 若1 1,2 2 A , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是(A) 1 5,02 (B) 1 3,02 (C) 1 5,02 1 30, 2 (D) 52,1 第 卷注意事项：1. 用 黑 色 墨 水 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 答 案 写 在 答 题 卡 上 .2. 本 卷 共 12小 题 , 共 110分 .二 填 空 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 30 分 .(9) 已
7、 知 a,b R,i 是 虚 数 单 位 . 若 (a+i)(1+i)= bi, 则 a+bi = .(10) 61x x 的 二 项 展 开 式 中 的 常 数 项 为 .(11) 已 知 圆 的 极 坐 标 方 程 为 4cos , 圆 心 为 C, 点 P的 极 坐 标 为 4,3 , 则 |CP|= .(12) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,AD =1, 60BAD ,E 为 CD 的 中 点 . 若 1AD BE ,则 AB 的 长 为 .(13) 如 图 , ABC 为 圆 的 内 接 三 角 形 , BD 为 圆 的 弦 , 且BD/AC. 过 点 A 做 圆 的 切
8、线 与 DB的 延 长 线 交 于 点 E,AD与BC 交 于 点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则 线 段 CF 的 长为 .(14) 设 a+b =2,b0, 则 当 a = 时 , 1 | |2| | aa b 取 得 最小 值 .三 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 共 70 分 . 解 答 应 写 出 文 字 说 明 , 证 明 过 程 或 演 算步 骤 . (15)(本 小 题 满 分 13分 )已 知 函 数 2( ) 2sin 2 6sin cos 2cos4 1,f x x x x x x R.( ) 求 f(x)的 最 小 正 周
9、 期 ;( ) 求 f(x)在 区 间 0,2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .(16)(本 小 题 满 分 13分 )一 个 盒 子 里 装 有 7张 卡 片 , 其 中 有 红 色 卡 片 4张 , 编 号 分 别 为 1,2,3,4; 白 色 卡 片3张 , 编 号 分 别 为 2,3,4. 从 盒 子 中 任 取 4张 卡 片 (假 设 取 到 任 何 一 张 卡 片 的 可 能性 相 同 ).( ) 求 取 出 的 4张 卡 片 中 , 含 有 编 号 为 3的 卡 片 的 概 率 .( ) 再 取 出 的 4张 卡 片 中 , 红 色 卡 片 编 号 的 最 大 值 设 为
10、X, 求 随 机 变 量 X 的 分 布列 和 数 学 期 望 . (17)(本 小 题 满 分 13分 )如 图 , 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1中 , 侧 棱 A1A 底 面 ABCD,AB/DC, AB AD,AD =CD=1, AA1 = AB=2,E 为 棱 AA1的 中 点 .( ) 证 明 B1C1 CE;( ) 求 二 面 角 B1 CE C1的 正 弦 值 .( ) 设 点 M在 线 段 C1E上 , 且 直 线 AM与 平 面 ADD1A1所 成 角 的 正 弦 值 为 26 , 求线 段 AM 的 长 .(18)(本 小 题 满 分 13分 )设 椭 圆 2 2
11、2 2 1( 0)x y a ba b 的 左 焦 点 为 F, 离 心 率 为 33 , 过 点 F且 与 x轴 垂 直 的 直线 被 椭 圆 截 得 的 线 段 长 为 4 33 .( ) 求 椭 圆 的 方 程 ;( ) 设 A, B 分 别 为 椭 圆 的 左 右 顶 点 , 过 点 F 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 椭 圆 交 于 C,D 两 点 . 若 8AC DB ADCB , 求 k 的 值 .(19)(本 小 题 满 分 14分 )已 知 首 项 为 32 的 等 比 数 列 na 不 是 递 减 数 列 , 其 前 n项 和 为 ( *)nS nN , 且 S3 +a
12、3,S5 +a5,S4 + a4成 等 差 数 列 .( ) 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ;( ) 设 *( )1n n nT S nS N , 求 数 列 nT 的 最 大 项 的 值 与 最 小 项 的 值 .(20)(本 小 题 满 分 14分 )已 知 函 数 2l( ) nf x x x .( ) 求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ;( ) 证 明 : 对 任 意 的 t0, 存 在 唯 一 的 s, 使 ( )t f s .( ) 设 ( )中 所 确 定 的 s 关 于 t 的 函 数 为 ( )s g t , 证 明 : 当 2et 时 , 有2 ln ( )
13、15 ln 2g tt .参考答案 一 、 选 择 题 ： 本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算 . 每 小 题 5分 ， 满 分 40分 .1.D 2.A 3.B 4.C5.C 6.C 7.B 8.A二 、 填 空 题 ： 本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算 . 每 小 题 5分 ， 满 分 30分 .（ 9） 1 2i （ 10） 15 （ 11） 2 3（ 12） 12 （ 13） 83 （ 14） 2三 、 解 答 题（ 15） 本 小 题 主 要 考 察 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 /二 倍 角 的 正 弦 与 余 弦 公 式 ,三 角 函
14、数 的 最 小 正 周 期 /单 调 性 等 基 础 知 识 ,考 察 基 本 运 算 能 力 .满 分 13分 （ I）解： (x)f 2sin2x cos 2cos2x4 sin +3sin2x cos2x4 =2sin2x 2cos2x =2 2sin 2x 4 所 以 (x)f 的 最 小 正 周 期 2T= =2 （ ）解： 因 为 (x)f 在 区 间 30 8 ， 上 是 增 函 数 ， 在 区 间 38 2 ， 上 是 减 函 数 ，又f(0)= 2， f( 38 )=2 2 ， f( 2 )=2， 故 函 数 ( )f x 在 区 间 0 2 ， 上 的 最 大 值 为2 2
15、， 最 小 值 为 2. （ 16） 本 小 题 主 要 考 察 古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式 ， 互 斥 事 件 、 离 散 型 随 机变 量 的 分 布 列 与 数 学 期 望 等 基 础 知 识 。 考 察 运 用 概 率 知 识 解 决 简 单 实 际 问 题 的 能力 。 满 分 13分（ I）解： 设 “ 去 除 的 4张 卡 片 中 ， 含 有 编 号 为 3的 卡 片 ” 为 事 件 A， 则1 3 2 22 5 2 547 6P(A)= 7C C C CC 所 以 ， 取 出 的 4张 卡 片 中 ， 含 有 编 号 为 3的 卡 片 的 概 率 为 67.
16、 （ ）解： 随 机 变 量 X的 所 有 可 能 取 值 为 1, 2, 3, 43347 1P(X=1)= ,35CC 3447 4P(X=2)= ,35CC 3547 2P(X=3)= ,7CC 3647 4P(X=4)= ,7CC 所 以 随 机 变 量 X的 分 布 列 是X 1 2 3 4P 135 435 27 47 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 EX= 1 4 2 4 171 2 3 435 35 7 7 5 17.本 小 题 主 要 考 察 空 间 两 条 直 线 的 位 置 关 系 ， 二 面 角 、 直 线 与 平 面 所 成 的 角 ，直 线 与 平 面 垂 直
17、 等 基 础 知 识 。 考 查 用 空 间 向 量 解 决 立 体 几 何 问 题 的 方 法 。 考 查 空间 想 象 能 力 、 运 算 能 力 和 推 理 论 证 能 力 ， 满 分 13分（ 方 法 一 ）如 图 ， 以 点 A为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，依 题 意 得 A（ 0,0,0） ， B（ 0,0,2） ， C（ 1,0,1） ，1 1,2,2 ,2,1 ,1,0B（ 0 ） ,C（ 1 ） ,E（ 0 ）（ I）证明： 易 得 1 1 (1,0, 1), ( 1,1, 1)BC CE 于 是 1 1 1 10, C CEBC CE B 所 以 . （
18、 II）解： 1BC=(1, 2, 1) .设 平 面 1BCE 的 法 向 量 ( , , )m x y z ， 则1 0,0,m BCm CE 即 2 0,0,x y zx y z 消 去 x， 得 y+2z=0，不 防 令 z=1， 可 得 一 个 法 向 量 为 m=（ -3， -2,1） .由 （ I ） ， 1 1BC CE , 又 1 1 1CC BC ， 可 得 1 1 1BC CEC平 面 , 故1 1=(1 0 1)BC ， ， - 为 平 面 1CEC 的 一 个 法 向 量 。于 是 1 11 1 1 1cos , m BCm BC m BC 4 2 7714 2 ，
19、从 而 1 1 21sin , 7m BC . 所 以 二 面 角 1 1B CE C 的 正 弦 值 为 217 .（ ）解： (0,1,0)AE , AE=(1,1,1). 设 1 ( , , )EM EC ,0 1， 有( , 1, )AM AE EM . 可 取 (0,0,2)AB 为 平 面 1 1ADD A 的 一 个 法 向量 . 设 为 直 线 AM 与 平 面 1 1ADD A 所 成 的 角 ， 则 sin cos ,AM AB = AM ABAM AB = 2 22 22 3 2 11 2 .于 是 23 2 1 = 26 ， 解 得 13 ， 所 以 2AM . （ 方
20、 法 二 ）（ I）证明： 因 为 侧 棱 1CC 底 面 1 1 1 1ABC D , 1 1BC 平 面1 1 1 1ABC D ， 所 以 1CC 1 1BC . 经 计 算 可 得 1 5,B E 1 1BC 12, 3EC ,从 而 2 2 21 1 1 1BE BC EC ,所 以 在1 1B EC 中 ， 1 1BC 1C E ,又 1 1 1,CC C E CC E平 面 ，1 1 1CC C E C ， 所 以 1 1BC 平 面 1CC E ， 又 CE 平 面1CC E ， 故 1 1BC CE.（ II）解： 过 1B 作 1BG CE 于 点 G,连 接 1CG. 由
21、 （ I） ， 1 1BC CE ， 故 CE 平 面 1 1BCG ， 1CE CG ， 所 以 1 1BGC 为 二 面 角 1 1B CE C 的 平 面 角 ，1CC E 中 ， 由 1 3CE C E ， 1 2CC ， 可 得 1 2 63CG ， 在 1 1tR BCG 中 ，1 423BG ， 所 以 1 1 21sin 7BGC ， 即 二 面 角 1 1B CE C 的 正 弦 值 为 217 .(III)解： 连 接 1DE ,过 点 M 作 1MH ED 于 点 H ， 可 得 MH 平 面 1 1ADD A ，连 接 AH , AM ， 则 MAH 为 直 线 AM
22、与 平 面 1 1ADD A 所 成 的 角 .设 AM x ， 从 而 在 Rt AHM 中 ， 有 2 34,6 6MH x AH x .在1 1Rt C D E 中 ， 1 1 11, 2C D ED , 得 12 3EH MH x . 在 AEH 中 ，135AEH , 1AE ， 由 2 2 2 2 cos135AH AE EH AE EH ,得 2 217 1 2118 9 3x x x ，整 理 得 25 2 2 6 0 x x ， 解 得 2x . 所 以 线 段 AM 的 长 为 2 .（ 18） 本 小 题 主 要 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质 、
23、 直 线 的 方 程 、 向 量 的 运 算等 基 础 知 识 。 考 查 用 代 数 方 法 研 究 圆 锥 曲 线 的 性 质 。 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 以 及 用方 程 思 想 解 决 问 题 的 能 力 。 满 分 13分 。（ I）解： 设 ( ,0)F c ， 由 33ca ， 知 3a c .过 点 F 且 与 x轴 垂 直 的 直 线为 x c ， 代 人 椭 圆 方 程 有 2 22 2( ) 1c ya b ， 解 得 63by ， 于 是 2 6 4 33 3b ， 解 得 2b ， 又 2 2 2a c b ， 从 而 3, 1a c ， 所 以 椭 圆
24、的 方 程 为 2 2 13 2x y .（ II）解： 设 点 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y ， 由 ( 1,0)F 得 直 线 CD的 方 程 为 ( 1)y k x ，由 方 程 组 2 2( 1),13 2y k xx y 消 去 y， 整 理 得 2 2 2 2(2 3 ) 6 3 6 0k x k x k .求 解 可 得 21 2 262 3kx x k ， 21 2 23 62 3kx x k . 因 为 ( 3,0), ( 3,0)A B ， 所 以AC DB AD CB 1 1 2 2( 3, ) ( 3 , )x y x y 2 2( 3,
25、 )x y 1 1( 3 , )x y = 1 2 1 26 2 2x x y y 21 2 1 26 2 2 ( 1)( 1)x x k x x = 2 2 21 2 1 26 (2 2 ) 2 ( ) 2k x x k x x k = 2 22 126 2 3k k .由 已 知 得 2 22 126 2 3k k =8， 解 得 2k .（ 19） 本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 概 念 ， 等 比 数 列 的 概 念 、 通 项 公 式 、 前 n项 和 公 式 ， 数 列 的 基 本 性 质 等 基 础 知 识 。 考 查 分 类 讨 论 的 思 想 ， 考 查 运
26、算 能 力 、分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 . 满 分 14分 .（ I）解： 设 等 比 数 列 na 的 公 比 为 q ， 因 为 3 3 5 5 4 4, ,S a S a S a 成 等 差 数列 ， 所 以 5 5 3 3 4 4 5 5S a S a S a S a ， 即 5 34a a ， 于 是 2 53 14aq a . 又 na 不 是 递 减 数 列 且 1 32a ， 所 以 12q . 故 等 比 数 列 na 的 通 项 公 式 为1 13 1 3( 1)2 2 2n nn na .（ II）解： 由 （ I） 得 11 ,1 21 12 1
27、,2n nn n nS n 为 奇 数 ，为 偶 数 .当 n为 奇 数 时 ， nS 随 n的 增 大 而 减 小 ， 所 以 1 nS 1 3=2S ，故 0 1n nS S 1 11 3 2 52 3 6S S .当 n为 偶 数 时 ， nS 随 n的 增 大 而 增 大 ， 所 以 234 S nS 1， 故 0 1n nS S 2 21 3 4 74 3 12S S .综 上 ， 对 于 *,n N 总 有 712 1n nS S 56.所 以 数 列 nT 最 大 项 的 值 为 56， 最 小 项 的 值 为 712 .（ 20） 本 小 题 主 要 考 查 函 数 的 概 念
28、 、 函 数 的 零 点 、 导 数 的 运 算 、 利 用 导 数 研 究函 数 的 单 调 性 、 不 等 式 等 基 础 知 识 . 考 查 函 数 思 想 、 化 归 思 想 . 考 查 抽 象 概 括 能力 、 综 合 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 . 满 分 14分 。（ I）解： 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为 (0, ) . ( ) 2 ln (2ln 1)f x x x x x x ， 令 ( )f x =0， 得 1x e .当 x变 化 时 ， ( )f x ， ( )f x 的 变 化 情 况 如 下 表 ：x 10, e 1e 1 ,e (
29、 )f x 0 ( )f x 极 小 值 所 以 函 数 ( )f x 的 单 调 递 减 区 间 是 10, e ， 单 调 递 增 区 间 是 1 ,e .（ II）证明： 0 x 1时 ， ( )f x 0. 设 t 0， 令 ( ) ( )h x f x t ， 1,x .由 （ I） 知 ， ( )h x 在 区 间 (1, ) 内单 调 递 增 . (1)h t 0, 2 2( ) ln 1t t th e e e t t e 0.故 存 在 唯 一 的(1, )s ， 使 得 ( )t f s 成 立 .（ III）证明： 因 为 ( )s g t ， 由 （ II） 知 ， (
30、 )t f s ， s 1， 从 而2ln ( ) ln ln lnln ln ( ) ln( ln ) 2ln lnln 2 lng t s s s ut f s s s s s u u ，其 中 lnu s .要 使 25 ln ( )lng tt 12成 立 ， 只 需 0 lnu 2u.当 t 2e 时 ， 若 ( )s g t e ， 则 由 ( )f s 的 单 调 性 ， 有 2( ) ( )t f s f e e ，矛 盾 ， 所 以 s e， 即 u 1， 从 而 lnu 0成 立 .另 一 方 面 ， 令 1 1( ) ln , 1, ( )2 2uF u u u F u u ， 令 ( )F u =0， 得 u=2， 当 1 u 2时 ， ( )F u 0， 当 u 2时 ， ( )F u 0故 u 1， ( )F u (2)F 0. 因 此 lnu 2u 成 立 .综 上 ， 当 t 2e 时 ， 有 25 ln ( )lng tt 12.
