1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 天 津 卷 ） 数 学 文一 .选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .共 8 小 题 ,每 小 题 5分 ,共 40 分 .1.(5分 )已 知 集 合 A=x R|x| 2， B=x R|x 1， 则 A B=( )A.(- ， 2B.1， 2C.-2， 2D.-2， 1解 析 ： A=x|x| 2=x|-2 x 2， A B=x|-2 x 2 x|x 1， x R=x|-2 x 1.答 案 ： D. 2.(5分 )设 变 量 x， y满 足
2、 约 束 条 件 ， 则 目 标 函 数 z=y-2x的 最 小 值 为 ( )A.-7B.-4C.1D.2解 析 ： 设 变 量 x、 y 满 足 约 束 条 件 ， 在 坐 标 系 中 画 出 可 行 域 三 角 形 ， 平 移 直 线 y-2x=0经 过 点 A(5， 3)时 ， y-2x最 小 ， 最 小 值 为 ： -7， 则 目 标 函 数 z=y-2x的 最 小值 为 -7.答 案 ： A.3.(5分 )阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 则 输 出 n 的 值 为 ( ) A.7B.6C.5D.4解 析 ： 由 程 序 框 图 可 知
3、 ： S=2=0+(-1)1 1+(-1)2 2+(-1)3 3+(-1)4 4，因 此 当 n=4时 ， S 2， 满 足 判 断 框 的 条 件 ， 故 跳 出 循 环 程 序 .故 输 出 的 n的 值 为 4.答 案 ： D.4.(5分 )设 a， b R， 则 “ (a-b)a 2 0” 是 “ a b” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 “ a b” 如 果 a=0， 则 (a-b)a2=0， 不 能 推 出 “ (a-b)a2 0” ， 故 必 要 性 不 成
4、立 .由 “ (a-b)a2 02” 可 得 a2 0， 所 以 a b， 故 充 分 性 成 立 .综 上 可 得 “ (a-b)a 2 0” 是 a b 的 充 分 也 不 必 要 条 件 ，答 案 ： A.5.(5分 )已 知 过 点 P(2， 2)的 直 线 与 圆 (x-1)2+y2=5相 切 ， 且 与 直 线 ax-y+1=0垂 直 ， 则a=( )A.B.1C.2D.解 析 ： 因 为 点 P(2， 2)满 足 圆 (x-1) 2+y2=5 的 方 程 ， 所 以 P在 圆 上 ，又 过 点 P(2， 2)的 直 线 与 圆 (x-1)2+y2=5相 切 ， 且 与 直 线 a
5、x-y+1=0 垂 直 ，所 以 切 点 与 圆 心 连 线 与 直 线 ax-y+1=0 平 行 ， 所 以 直 线 ax-y+1=0 的 斜 率 为 ： a= =2.答 案 ： C.6.(5分 )函 数 f(x)=sin(2x- )在 区 间 0， 上 的 最 小 值 是 ( )A.-1B.-C.D.0解 析 ： 由 题 意 x ， 得 2x - ， ， ， 1 函 数 在 区 间 的 最 小 值 为 .答 案 ： B.7.(5分 )已 知 函 数 f(x)是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ， 且 在 区 间 0， + )单 调 递 增 .若 实 数 a 满 足f(log2a)+f(l
6、og a) 2f(1)， 则 a的 取 值 范 围 是 ( )A.1， 2B.C. D.(0， 2解 析 ： f(x)是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ， ， 可 变 为 f(log2a) f(1)，即 f(|log2a|) f(1)，又 在 区 间 0， + )上 单 调 递 增 ， 且 f(x)是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ， ， 即 ， 解 得 a 2，答 案 ： C.8.(5分 )设 函 数 f(x)=e x+x-2， g(x)=lnx+x2-3.若 实 数 a， b满 足 f(a)=0， g(b)=0， 则 ( )A.g(a) 0 f(b)B.f(b) 0 g(a)C.0
7、 g(a) f(b)D.f(b) g(a) 0解 析 ： 由 于 y=ex及 y=x-2 关 于 x 是 单 调 递 增 函 数 ， 函 数 f(x)=ex+x-2在 R 上 单 调 递 增 ， 分 别 作 出 y=ex， y=2-x 的 图 象 ， f(0)=1+0-2 0， f(1)=e-1 0， f(a)=0， 0 a 1.同 理 g(x)=lnx+x2-3在 R+上 单 调 递 增 ， g(1)=ln1+1-3=-2 0，g( )= ， g(b)=0， . g(a)=lna+a2-3g(1)=ln1+1-3=-2 0，f(b)=eb+b-2 f(1)=e+1-2=e-1 0. g(a)
8、 0 f(b).答 案 ： A.二 .填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分 .9.(5分 )i 是 虚 数 单 位 .复 数 (3+i)(1-2i)= .解 析 ： (3+i)(1-2i)=3-6i+i-2i 2=5-5i.答 案 ： 5-5i.10.(5分 )已 知 一 个 正 方 体 的 所 有 顶 点 在 一 个 球 面 上 .若 球 的 体 积 为 ， 则 正 方 体 的 棱 长为 .解 析 ： 因 为 正 方 体 的 体 对 角 线 就 是 外 接 球 的 直 径 ，设 正 方 体 的 棱 长 为 a， 所 以 正 方 体 的 体 对 角
9、 线 长 为 ： a， 正 方 体 的 外 接 球 的 半 径 为 ： ，球 的 体 积 为 ： ， 解 得 a= .答 案 ： . 11.(5分 )已 知 抛 物 线 y2=8x的 准 线 过 双 曲 线 的 一 个 焦 点 ， 且双 曲 线 的 离 心 率 为 2， 则 该 双 曲 线 的 方 程 为 .解 析 ： 由 抛 物 线 y2=8x， 可 得 ， 故 其 准 线 方 程 为 x=-2.由 题 意 可 得 双 曲 线 的 一 个 焦 点 为 (-2， 0)， c=2. 又 双 曲 线 的 离 心 率 为 2， =2， 得 到 a=1， b2=c2-a2=3. 双 曲 线 的 方 程
10、 为 .答 案 ： .12.(5分 )在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AD=1， BAD=60 ， E 为 CD的 中 点 .若 ， 则 AB的 长 为 .解 析 ： ， . = = = + - = =1，化 为 ， ， .答 案 ： .13.(5分 )如 图 ， 在 圆 内 接 梯 形 ABCD中 ， AB DC， 过 点 A作 圆 的 切 线 与 CB的 延 长 线 交 于 点 E.若 AB=AD=5， BE=4， 则 弦 BD 的 长 为 . 解 析 ： 如 图 连 结 圆 心 O 与 A， 因 为 过 点 A 作 圆 的 切 线 与 CB的 延 长 线 交 于 点 E.所 以
11、OA AE，因 为 AB=AD=5， BE=4， 梯 形 ABCD中 ， AB DC， BC=5，由 切 割 线 定 理 可 知 ： AE 2=EB EC， 所 以 AE= =6，在 ABE中 ， BE2=AE2+AB2-2AB AEcos ， 即 16=25+36-60cos ， 所 以 cos = ， AB=AD=5，所 以 BD=2 ABcos = . 答 案 ： .14.(5分 )设 a+b=2， b 0， 则 的 最 小 值 为 .解 析 ： a+b=2， ， = ， b 0， |a| 0， 1(当 且 仅 当 b 2=4a2时 取 等 号 )， 1，故 当 a 0 时 ， 的 最
12、小 值 为 .答 案 ： .三 .解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.(13分 )某 产 品 的 三 个 质 量 指 标 分 别 为 x， y， z， 用 综 合 指 标 S=x+y+z评 价 该 产 品 的 等 级 .若 S 4， 则 该 产 品 为 一 等 品 .现 从 一 批 该 产 品 中 ， 随 机 抽 取 10件 产 品 作 为 样 本 ， 其 质 量 指标 列 表 如 下 ： ( )利 用 上 表 提 供 的 样 本 数 据 估 计 该 批 产 品 的 一 等 品 率 ；
13、( )在 该 样 品 的 一 等 品 中 ， 随 机 抽 取 2件 产 品 ，(i)用 产 品 编 号 列 出 所 有 可 能 的 结 果 ；(ii)设 事 件 B 为 “ 在 取 出 的 2件 产 品 中 ， 每 件 产 品 的 综 合 指 标 S 都 等 于 4” ， 求 事 件 B 发 生的 概 率 .解 析 ： ( )用 综 合 指 标 S=x+y+z计 算 出 10 件 产 品 的 综 合 指 标 并 列 表 表 示 ， 则 样 本 的 一 等 品率 可 求 ；( )(i)直 接 用 列 举 法 列 出 在 该 样 品 的 一 等 品 中 ， 随 机 抽 取 2 件 产 品 的 所
14、有 等 可 能 结 果 ；(ii)列 出 在 取 出 的 2 件 产 品 中 ， 每 件 产 品 的 综 合 指 标 S都 等 于 4的 所 有 情 况 ， 然 后 利 用 古 典概 型 概 率 计 算 公 式 求 解 .答 案 ： ( )计 算 10 件 产 品 的 综 合 指 标 S， 如 下 表 ： 其 中 S 4 的 有 A1， A2， A4， A5， A7， A9共 6件 ， 故 样 本 的 一 等 品 率 为 .从 而 可 估 计 该 批 产 品 的 一 等 品 率 为 0.6； ( )(i)在 该 样 本 的 一 等 品 种 ， 随 机 抽 取 2件 产 品 的 所 有 可 能
15、结 果 为 A1， A2， A1， A4， A1，A5， A1， A7， A1， A9， A2， A4， A2， A5， A2， A7， A2， A9， A4， A5， A4， A7，A4， A9， A5， A7， A5， A9， A7， A9共 15种 .(ii)在 该 样 本 的 一 等 品 种 ， 综 合 指 标 S等 于 4 的 产 品 编 号 分 别 为 A1， A2， A5， A7.则 事 件 B 发 生 的 所 有 可 能 结 果 为 A1， A2， A1， A5， A1， A7， A2， A5， A2， A7， A5， A7，共 6 种 .所 以 p(B)= .16.(13分
16、)在 ABC 中 ， 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 是 a， b， c.已 知 bsinA=3csinB， a=3，.( ) 求 b 的 值 ； ( ) 求 的 值 .解 析 ： ( ) 直 接 利 用 正 弦 定 理 推 出 bsinA=asinB， 结 合 已 知 条 件 求 出 c， 利 用 余 弦 定 理 直 接求 b 的 值 ；( ) 利 用 ( )求 出 B 的 正 弦 函 数 值 ， 然 后 利 用 二 倍 角 公 式 求 得 正 弦 、 余 弦 函 数 值 ， 利 用 两角 差 的 正 弦 函 数 直 接 求 解 的 值 .答 案 ： ( )在 ABC中 ，
17、有 正 弦 定 理 ， 可 得 bsinA=asinB，又 bsinA=3csinB， 可 得 a=3c， 又 a=3， 所 以 c=1.由 余 弦 定 理 可 知 ： b 2=a2+c2-2accosB， ， 即 b2=32+12-2 3 cosB， 可 得 b= .( )由 ， 可 得 sinB= ， 所 以 cos2B=2cos2B-1=- ， sin2B=2sinBcosB= ，所 以 = = =.17.(13分 )如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1中 ， 侧 棱 A1A 底 面 ABC， 且 各 棱 长 均 相 等 .D， E， F 分 别为 棱 AB， BC， A1C1
18、的 中 点 .( )证 明 ： EF 平 面 A 1CD；( )证 明 ： 平 面 A1CD 平 面 A1ABB1；( )求 直 线 BC 与 平 面 A1CD所 成 角 的 正 弦 值 . 解 析 ： (I)连 接 ED， 要 证 明 EF 平 面 平 面 A1CD， 只 需 证 明 EF DA1即 可 ；(II)欲 证 平 面 平 面 A1CD 平 面 A1ABB1， 即 证 平 面 内 一 直 线 与 另 一 平 面 垂 直 ， 根 据 直 线 与 平 面垂 直 的 判 定 定 理 证 得 CD 面 A1ABB1， 再 根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 得 证 ；(III)先
19、过 B 作 BG AD 交 A1D于 G， 利 用 (II)中 结 论 得 出 BG 面 A1CD， 从 而 BCG 为 所 求 的角 ， 最 后 在 直 角 BGC中 ， 求 出 sin BCG即 可 得 出 直 线 BC与 平 面 A1CD 所 成 角 的 正 弦 值 .答 案 ： (I)三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AC A1C1， AC=A1C1， 连 接 ED，可 得 DE AC， DE= AC， 又 F 为 棱 A 1C1的 中 点 . A1F=DE， A1F DE，所 以 A1DEF是 平 行 四 边 形 ， 所 以 EF DA1， DA1平 面 A1CD， EF平 面
20、 A1CD， EF 平 面 A1CD(II) D 是 AB 的 中 点 ， CD AB， 又 AA1 平 面 ABC， CD平 面 ABC， AA1 CD， 又 AA1 AB=A， CD 面 A1ABB1， 又 CD面 A1CD， 平 面 A1CD 平 面 A1ABB1；(III)过 B 作 BG A1D交 A1D 于 G， 平 面 A1CD 平 面 A1ABB1， 且 平 面 A1CD 平 面 A1ABB1=A1D， BG A1D， BG 面 A1CD，则 BCG为 所 求 的 角 ，设 棱 长 为 a， 可 得 A1D= ， 由 A1AD BGD， 得 BG= ，在 直 角 BGC中 ，
21、sin BCG= = ， 直 线 BC与 平 面 A1CD 所 成 角 的 正 弦 值 .18.(13分 )设 椭 圆 =1(a b 0)的 左 焦 点 为 F， 离 心 率 为 ， 过 点 F 且 与 x轴 垂 直的 直 线 被 椭 圆 截 得 的 线 段 长 为 .( )求 椭 圆 的 方 程 ； ( )设 A， B 分 别 为 椭 圆 的 左 ， 右 顶 点 ， 过 点 F 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 椭 圆 交 于 C， D 两 点 .若=8， 求 k 的 值 .解 析 ： (I)先 根 据 椭 圆 方 程 的 一 般 形 式 ， 令 x=c代 入 求 出 弦 长 使 其 等
22、于 ， 再 由 离 心 率 为， 可 求 出 a， b， c的 关 系 ， 进 而 得 到 椭 圆 的 方 程 . (II)直 线 CD： y=k(x+1)， 设 C(x1， y1)， D(x2， y2)， 由 由 消 去 y 得 ，(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0， 再 由 韦 达 定 理 进 行 求 解 .求 得 ， 利 用=8， 即 可 求 得 k 的 值 .答 案 ： (I)根 据 椭 圆 方 程 为 . 过 焦 点 且 垂 直 于 长 轴 的 直 线 被 椭 圆 截 得 的 线 段 长 为 ， = ， 离 心 率 为 ， = ， 解 得 b= ， c=1， a= . 椭
23、圆 的 方 程 为 ；(II)直 线 CD： y=k(x+1)，设 C(x1， y1)， D(x2， y2)， 由 消 去 y 得 ， (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0， x 1+x2=- ， x1x2= ， 又 A(- ， 0)， B( ， 0)，=(x1+ ， y1) ( -x2.-y2)+(x2+ ， y2) ( -x1.-y1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2，=6+ =8， 解 得 k= .19.(14分 )已 知 首 项 为 的 等 比 数 列 a n的 前 n 项 和 为 Sn(n N*)， 且 -2S2， S3， 4S4成 等 差 数列 .
24、( ) 求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( ) 证 明 .解 析 ： ( )由 题 意 得 2S3=-2S2+4S4， 变 形 为 S4-S3=S2-S4， 进 而 求 出 公 比 q的 值 ， 代 入 通 项 公式 进 行 化 简 ； ( )根 据 ( )求 出 ， 代 入 再 对 n 分 类 进 行 化 简 ， 判 断 出 Sn随 n的 变 化 情 况 ， 再 分 别 求 出 最 大 值 ， 再 求 出 的 最 大 值 .答 案 ： ( )设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， -2S2， S3， 4S4等 差 数 列 ， 2S3=-2S2+4S4， 即 S4-S3=S2-S4
25、， 得 2a4=-a3， q= ， ， = ；( )由 ( )得 ， S n= =1- ， ，当 n 为 奇 数 时 ， = = ，当 n 为 偶 数 时 ， = ， 随 着 n的 增 大 而 减 小 ， 即 ， 且 ，综 上 ， 有 成 立 .20.(14分 )设 a -2， 0， 已 知 函 数( ) 证 明 f(x)在 区 间 (-1， 1)内 单 调 递 减 ， 在 区 间 (1， + )内 单 调 递 增 ；( ) 设 曲 线 y=f(x)在 点 P i(xi， f(xi)(i=1， 2， 3)处 的 切 线 相 互 平 行 ， 且 x1x2x3 0， 证 明.解 析 ： ( )令
26、，.分 别 求 导 即 可 得 到 其 单 调 性 ； ( )由 ( )可 知 ： f (x)在 区 间 (- ， 0)内 单 调 递 减 ， 在 区 间 内 单 调 递 减 ，在 区 间 内 单 调 递 增 .已 知 曲 线 y=f(x)在 点 Pi(xi， f(xi)(i=1， 2， 3)处 的 切 线 相 互 平 行 ， 可 知 x1， x2， x3互 不 相等 ， 利 用 导 数 的 几 何 意 义 可 得 .不 妨 x 1 0 x2 x3， 根 据 以 上 等 式 可 得 ， 从 而 .设g(x)=3x2-(a+3)x+a， 利 用 二 次 函 数 的 单 调 性 可 得 .由 ，
27、解 得 ， 于 是 可 得， 通 过 换 元 设 t= ， 已 知 a -2， 0， 可 得，故 ， 即 可 证 明 .答 案 ： ( )令 ， . ， 由 于 a -2， 0， 从 而 当 -1 x 0 时 ，所 以 函 数 f1(x)在 区 间 (-1， 0)内 单 调 递 减 ， =(3x-a)(x-1)， 由 于 a -2， 0， 所 以 0 x 1时 ，；当 x 1 时 ， ， 即 函 数 f 2(x)在 区 间 (0， 1)内 单 调 递 减 ， 在 区 间 (1， + )上 单调 递 增 .综 合 及 f1(0)=f2(0)， 可 知 ： f(x)在 区 间 (-1， 1)内 单
28、 调 递 减 ， 在 区 间 (1， + )内 单 调 递增 ；( )由 ( )可 知 ： f (x)在 区 间 (- ， 0)内 单 调 递 减 ， 在 区 间 内 单 调 递 减 ，在 区 间 内 单 调 递 增 .因 为 曲 线 y=f(x)在 点 P i(xi， f(xi)(i=1， 2， 3)处 的 切 线 相 互 平 行 ， 从 而 x1， x2， x3互 不 相等 ， 且 . 不 妨 x1 0 x2 x3， 由 = .可 得 ， 解 得 ， 从 而.设 g(x)=3x2-(a+3)x+a， 则 .由 ， 解 得 ，所 以 ， 设 t= ， 则 ， a -2， 0， ，故 ， 故 .
