1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 天 津 卷 ） 数 学 理一 .选 择 题 ： (每 题 5 分 ， 共 40分 )在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求的 .1.(5分 )已 知 集 合 A=x R|x| 2， B=x R|x 1， 则 A B=( )A.(- ， 2B.1， 2C.-2， 2D.-2， 1解 析 ： A=x|x| 2=x|-2 x 2， A B=x|-2 x 2 x|x 1，x R=x|-2 x 1.答 案 ： D. 2.(5分 )设 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 ，
2、则 目 标 函 数 z=y-2x的 最 小 值 为 ( )A.-7B.-4C.1D.2解 析 ： 设 变 量 x、 y 满 足 约 束 条 件 ， 在 坐 标 系 中 画 出 可 行 域 三 角 形 ， 平 移 直 线 y-2x=0经 过 点 A(5， 3)时 ， y-2x最 小 ， 最 小 值 为 ： -7， 则 目 标 函 数 z=y-2x的 最 小值 为 -7.答 案 ： A.3.(5分 )阅 读 右 边 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 若 输 入 x的 值 为 1， 则 输 出 S 的 值 为 ( ) A.64B.73C.512D.585解 析 ： 经 过 第
3、一 次 循 环 得 到 S=0+13， 不 满 足 S 50， x=2，执 行 第 二 次 循 环 得 到 S=13+23， 不 满 足 S 50， x=4，执 行 第 三 次 循 环 得 到 S=13+23+43=73，满 足 判 断 框 的 条 件 ， 退 出 循 环 ， 执 行 “ 是 ” ， 输 出 S=73.答 案 ： B.4.(5分 )已 知 下 列 三 个 命 题 ： 若 一 个 球 的 半 径 缩 小 到 原 来 的 ， 则 其 体 积 缩 小 到 原 来 的 ； 若 两 组 数 据 的 平 均 数 相 等 ， 则 它 们 的 标 准 差 也 相 等 ； 直 线 x+y+1=0
4、与 圆 相 切 .其 中 真 命 题 的 序 号 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 由 球 的 体 积 公 式 V= 可 知 ， 若 一 个 球 的 半 径 缩 小 到 原 来 的 ， 则 其 体 积 缩 小到 原 来 的 ； 故 正 确 ； 若 两 组 数 据 的 平 均 数 相 等 ， 则 它 们 的 标 准 差 不 一 定 相 等 ， 如 2， 2， 2和 1， 2， 3； 这 两 组 数 据 的 平 均 数 相 等 ， 它 们 的 标 准 差 不 相 等 ， 故 错 ； 圆 的 圆 心 到 直 线 x+y+1=0的 距 离 d= =半 径 r， 故 直 线 x+y+1=0
5、与 圆相 切 ， 正 确 .答 案 ： C. 5.(5分 )已 知 双 曲 线 - =1(a 0， b 0)的 两 条 渐 近 线 与 抛 物 线 y2=2px(p 0)的 准 线 分别 交 于 O、 A、 B三 点 ， O为 坐 标 原 点 .若 双 曲 线 的 离 心 率 为 2， AOB的 面 积 为 ， 则p=( )A.1B.C.2D.3解 析 ： 双 曲 线 ， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是 y= x 又 抛 物 线 y2=2px(p 0)的 准 线 方 程 是 x=- ，故 A， B 两 点 的 纵 坐 标 分 别 是 y= ， 双 曲 线 的 离 心 率 为 2， 所
6、以 ， 则 ，A， B 两 点 的 纵 坐 标 分 别 是 y= = ，又 ， AOB的 面 积 为 ， x 轴 是 角 AOB 的 角 平 分 线 ， ， 得 p=2.答 案 ： C.6.(5分 )在 ABC中 ， ， 则 sin BAC=( )A. B.C.D.解 析 ： ABC= ， AB= ， BC=3， 由 余 弦 定 理 得 ： AC 2=AB2+BC2-2AB BC cos ABC=2+9-6=5， AC= ，则 由 正 弦 定 理 = 得 ： sin BAC= = .答 案 ： C7.(5分 )函 数 f(x)=2x|log 0.5x|-1的 零 点 个 数 为 ( )A.1
7、B.2C.3D.4解 析 ： 函 数 f(x)=2x|log0.5x|-1， 令 f(x)=0， 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 y=( )x.与 y=|log0.5x|，如 图 ，由 图 可 得 零 点 的 个 数 为 2. 答 案 ： B.8.(5分 )已 知 函 数 f(x)=x(1+a|x|).设 关 于 x 的 不 等 式 f(x+a) f(x)的 解 集 为 A， 若， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 取 a=- 时 ， f(x)=- x|x|+x， f(x+a) f(x)， (x- )|x- |+1 x|x|，(1)x 0 时 ， 解
8、 得 - x 0；(2)0 x 时 ， 解 得 0 ；(3)x 时 ， 解 得 ，综 上 知 ， a=- 时 ， A=(- ， )， 符 合 题 意 ， 排 除 B、 D；取 a=1时 ， f(x)=x|x|+x， f(x+a) f(x)， (x+1)|x+1|+1 x|x|，(1)x -1 时 ， 解 得 x 0， 矛 盾 ；(2)-1 x 0， 解 得 x 0， 矛 盾 ；(3)x 0 时 ， 解 得 x -1， 矛 盾 ；综 上 ， a=1， A=， 不 合 题 意 ， 排 除 C， 答 案 ： A.二 .填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分
9、 .9.(5分 )已 知 a， b R， i是 虚 数 单 位 .若 (a+i)(1+i)=bi， 则 a+bi= .解 析 ： 因 为 (a+i)(1+i)=bi， 所 以 a-1+(a+1)i=bi， 所 以 ， 解 得 a=1， b=2， 所 以a+bi=1+2i.答 案 ： 1+2i.10.(5分 ) 的 二 项 展 开 式 中 的 常 数 项 为 . 解 析 ： 设 的 二 项 展 开 式 中 的 通 项 为 Tr+1， 则 Tr+1= (-1)r ，由 6- r=0得 ： r=4. 的 二 项 展 开 式 中 的 常 数 项 为 (-1)4= =15.答 案 ： 15.11.(5分
10、 )已 知 圆 的 极 坐 标 方 程 为 =4cos ， 圆 心 为 C， 点 P 的 极 坐 标 为 ， 则|CP|= .解 析 ： 圆 的 极 坐 标 方 程 为 =4cos ， 圆 的 方 程 为 ： x 2+y2=4x， 圆 心 为 C(2， 0)，点 P 的 极 坐 标 为 ， 所 以 P的 直 角 坐 标 (2， 2 )，所 以 |CP|= =2 .答 案 ： 2 .12.(5分 )在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AD=1， BAD=60 ， E 为 CD的 中 点 .若 ， 则 AB的 长 为 .解 析 ： ， . = = = +- = =1， 化 为 ， ， .答 案
11、 ： . 13.(5分 )如 图 ， ABC为 圆 的 内 接 三 角 形 ， BD 为 圆 的 弦 ， 且 BD AC.过 点 A做 圆 的 切 线 与DB的 延 长 线 交 于 点 E， AD 与 BC 交 于 点 F.若 AB=AC， AE=6， BD=5， 则 线 段 CF 的 长 为 .解 析 ： 如 图 由 切 角 弦 定 理 得 EAB= ACB， 又 因 为 ， AB=AC， 所 以 EAB= ABC，所 以 直 线 AE 直 线 BC， 又 因 为 AC BE， 所 以 是 平 行 四 边 形 .因 为 AB=AC， AE=6， BD=5， AC=AB=4， BC=6. AF
12、C DFB， ， 即 ： ， CF= ， 答 案 ： .14.(5分 )设 a+b=2， b 0， 则 当 a= 时 ， 取 得 最 小 值 .解 析 ： a+b=2， b 0， = ， (a 2)设 f(a)= ， (a 2)， 画 出 此 函 数 的 图 象 ， 如 图 所 示 . 利 用 导 数 研 究 其 单 调 性 得 ， 当 a 0 时 ， f(a)=- + ，f (a)= = ， 当 a -2时 ， f (a) 0， 当 -2 a 0 时 ， f (a) 0，故 函 数 在 (- ， -2)上 是 减 函 数 ， 在 (-2， 0)上 是 增 函 数 ， 当 a=-2 时 ， 取
13、 得 最 小 值 .同 样 地 ， 当 0 a 2时 ， 得 到 当 a= 时 ， 取 得 最 小 值 .综 合 ， 则 当 a=-2时 ， 取 得 最 小 值 .答 案 ： -2.三 .解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.(13分 )已 知 函 数 .( )求 f(x)的 最 小 正 周 期 ； ( )求 f(x)在 区 间 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .解 析 ： (I)利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 将 sin(2x+ )展 开 ， 结 合 二 倍 角 的 正 余
14、 弦 公 式 化 简 合 并 ，得 f(x)=2sin2x-2cos2x， 再 利 用 辅 助 角 公 式 化 简 得 f(x)=2 sin(2x- )， 最 后 利 用 正 弦函 数 的 周 期 公 式 即 可 算 出 f(x)的 最 小 正 周 期 ；(II)根 据 x ， 得 - 2x- .再 由 正 弦 函 数 在 区 间 - ， 上 的 图象 与 性 质 ， 可 得 f(x)在 区 间 上 的 最 大 值 为 与 最 小 值 .答 案 ： (I) sinxcosx= sin2x， cos 2x= (1+cos2x) f(x)=- sin(2x+ )+6sinxcosx-2cos2x+
15、1=-sin2x-cos2x+3sin2x-(1+cos2x)+1=2sin2x-2cos2x=2 sin(2x- )因 此 ， f(x)的 最 小 正 周 期 T= = ；(II) 0 x ， - 2x- 当 x=0时 ， sin(2x- )取 得 最 小 值 - ； 当 x= 时 ， sin(2x- )取 得 最 大 值 1 由 此 可 得 ， f(x)在 区 间 上 的 最 大 值 为 f( )=2 ； 最 小 值 为 f(0)=-2.16.(13分 )一 个 盒 子 里 装 有 7张 卡 片 ， 其 中 有 红 色 卡 片 4张 ， 编 号 分 别 为 1， 2， 3， 4； 白色 卡
16、 片 3 张 ， 编 号 分 别 为 2， 3， 4.从 盒 子 中 任 取 4 张 卡 片 (假 设 取 到 任 何 一 张 卡 片 的 可 能性 相 同 ).( )求 取 出 的 4张 卡 片 中 ， 含 有 编 号 为 3 的 卡 片 的 概 率 . ( )再 取 出 的 4张 卡 片 中 ， 红 色 卡 片 编 号 的 最 大 值 设 为 X， 求 随 机 变 量 X 的 分 布 列 和 数 学 期望 .解 析 ： (I)从 7 张 卡 片 中 取 出 4 张 的 所 有 可 能 结 果 数 有 ， 然 后 求 出 取 出 的 4 张 卡 片 中 ，含 有 编 号 为 3 的 卡 片
17、的 结 果 数 ， 代 入 古 典 概 率 的 求 解 公 式 即 可 求 解(II)先 判 断 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 1， 2， 3， 4， 根 据 题 意 求 出 随 机 变 量 的 各 个 取 值的 概 率 ， 即 可 求 解 分 布 列 及 期 望 值答 案 ： (I)设 取 出 的 4 张 卡 片 中 ， 含 有 编 号 为 3 的 卡 片 为 事 件 A， 则 P(A)= =所 以 取 出 的 4 张 卡 片 中 ， 含 有 编 号 为 3的 卡 片 的 概 率 为(II)随 机 变 量 X的 所 有 可 能 取 值 为 1， 2， 3， 4， P(X
18、=1)= ， P(X=2)= ， P(X=3)= = ， P(X=4)= = ，X的 分 布 列 为 EX= =17.(13分 )如 图 ， 四 棱 柱 ABCD-A 1B1C1D1中 ， 侧 棱 A1A 底 面 ABCD， AB DC， AB AD， AD=CD=1，AA1=AB=2， E 为 棱 AA1的 中 点 .( )证 明 B 1C1 CE；( )求 二 面 角 B1-CE-C1的 正 弦 值 .( )设 点 M在 线 段 C1E 上 ， 且 直 线 AM与 平 面 ADD1A1所 成 角 的 正 弦 值 为 ， 求 线 段 AM 的 长 .解 析 ： ( )由 题 意 可 知 ，
19、AD， AB， AA1两 两 互 相 垂 直 ， 以 a 为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，标 出 点 的 坐 标 后 ， 求 出 和 ， 由 得 到 B1C1 CE；( )求 出 平 面 B 1CE 和 平 面 CEC1的 一 个 法 向 量 ， 先 求 出 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 ， 利 用 同 角三 角 函 数 基 本 关 系 求 出 其 正 弦 值 ， 则 二 面 角 B1-CE-C1的 正 弦 值 可 求 ； ( )利 用 共 线 向 量 基 本 定 理 把 M 的 坐 标 用 E 和 C1的 坐 标 及 待 求 系 数 表 示 ， 求 出
20、 平 面 ADD1A1的 一 个 法 向 量 ， 利 用 向 量 求 线 面 角 的 公 式 求 出 直 线 AM与 平 面 ADD1A1所 成 角 的 正 弦 值 ， 代 入求 出 的 值 ， 则 线 段 AM的 长 可 求 .答 案 ： ( )以 点 A 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 图 ， 依 题 意 得 A(0， 0， 0)， B(0， 0， 2)， C(1， 0， 1)， B1(0， 2， 2)， C1(1， 2， 1)， E(0， 1， 0).则 ，而 =0.所 以 B1C1 CE；( ) ，设 平 面 B 1CE的 法 向 量 为 ， 则 ， 即 ， 取
21、 z=1，得 x=-3， y=-2.所 以 .由 ( )知 B1C1 CE， 又 CC1 B1C1， 所 以 B1C1 平 面 CEC1，故 为 平 面 CEC1的 一 个 法 向 量 ，于 是 = .从 而 = = . 所 以 二 面 角 B1-CE-C1的 正 弦 值 为 .( ) ，设 0 1， 有 .取 为 平 面 ADD1A1的 一 个 法 向 量 ， 设 为 直 线 AM 与 平 面 ADD1A1所 成 的 角 ， 则= = .于 是 .解 得 .所 以 .所 以 线 段 AM的 长 为 . 18.(13分 )设 椭 圆 =1(a b 0)的 左 焦 点 为 F， 离 心 率 为
22、， 过 点 F 且 与 x轴 垂 直的 直 线 被 椭 圆 截 得 的 线 段 长 为 .( )求 椭 圆 的 方 程 ；( )设 A， B 分 别 为 椭 圆 的 左 ， 右 顶 点 ， 过 点 F 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 椭 圆 交 于 C， D 两 点 .若=8， 求 k 的 值 .解 析 ： (I)先 根 据 椭 圆 方 程 的 一 般 形 式 ， 令 x=c代 入 求 出 弦 长 使 其 等 于 ， 再 由 离 心 率 为， 可 求 出 a， b， c的 关 系 ， 进 而 得 到 椭 圆 的 方 程 . (II)直 线 CD： y=k(x+1)， 设 C(x1， y1)
23、， D(x2， y2)， 由 由 消 去 y 得 ，(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0， 再 由 韦 达 定 理 进 行 求 解 .求 得 ， 利 用=8， 即 可 求 得 k 的 值 .答 案 ： (I)根 据 椭 圆 方 程 为 . 过 焦 点 且 垂 直 于 长 轴 的 直 线 被 椭 圆 截 得 的 线 段 长 为 ， = ， 离 心 率 为 ， = ， 解 得 b= ， c=1， a= . 椭 圆 的 方 程 为 ；(II)直 线 CD： y=k(x+1)， 设 C(x1， y1)， D(x2， y2)， 由 消 去 y 得 ， (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0
24、， x1+x2=- ， x1x2= ， 又 A(- ， 0)， B( ， 0)，=(x 1+ ， y1) ( -x2.-y2)+(x2+ ， y2) ( -x1.-y1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2，=6+ =8， 解 得 k= .19.(14分 )已 知 首 项 为 的 等 比 数 列 a n不 是 递 减 数 列 ， 其 前 n 项 和 为 Sn(n N*)， 且 S3+a3，S5+a5， S4+a4成 等 差 数 列 .( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )设 ， 求 数 列 Tn的 最 大 项 的 值 与 最 小 项 的 值 .解 析 ： (
25、)设 等 比 数 列 的 公 比 为 q， 由 S3+a3， S5+a5， S4+a4成 等 差 数 列 ， 可 构 造 关 于 q 的 方程 ， 结 合 首 项 为 的 等 比 数 列 a n不 是 递 减 数 列 ， 求 出 q 值 ， 可 得 答 案 .( )由 ( )可 得 Sn的 表 达 式 ， 由 于 数 列 为 摆 动 数 列 ， 故 可 分 类 讨 论 求 出 在 n为 奇数 和 偶 数 时 的 范 围 ， 综 合 讨 论 结 果 ， 可 得 答 案 .答 案 ： ( )设 等 比 数 列 的 公 比 为 q， S3+a3， S5+a5， S4+a4成 等 差 数 列 . S5
26、+a5-(S3+a3)=S4+a4-(S5+a5)，即 4a 5=a3， 故 q2= = ，又 数 列 an不 是 递 减 数 列 ， 且 等 比 数 列 的 首 项 为 ， q=- ， 数 列 an的 通 项 公 式 an= (- )n-1=(-1)n-1 .( )由 ( )得 S n=1-(- )n= ，当 n为 奇 数 时 ， Sn随 n的 增 大 而 减 小 ， 所 以 1 Sn S1= ， 故 0 = - = ， 当 n 为 偶 数 时 ， Sn随 n 的 增 大 而 增 大 ， 所 以 1 Sn S2= ， 故 0 = - = ，综 上 ， 对 于 n N*， 总 有 ，故 数 列
27、 Tn的 最 大 项 的 值 为 ， 最 小 项 的 值 为 .20.(14分 )已 知 函 数 f(x)=x 2lnx.( )求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；( )证 明 ： 对 任 意 的 t 0， 存 在 唯 一 的 s， 使 t=f(s).( )设 ( )中 所 确 定 的 s关 于 t的 函 数 为 s=g(t)， 证 明 ： 当 t e2时 ， 有 .解 析 ： ( )函 数 的 定 义 域 为 (0， + )， 求 导 数 令 f (x)=0， 可 解 得 x= ， 由 导 数 在 (0， )，和 ( ， + )的 正 负 可 得 单 调 性 ； ( )当 0 x 1
28、时 ， f(x) 0， 设 t 0， 令 h(x)=f(x)-t，x 1， + )， 由 ( )可 得 函 数 h(x)的 单 调 性 ， 可 得 结 论 ； ( )令 u=lns， 原 命 题 转 化 为 0 lnu ， 一 方 面 由 f(s)的 单 调 性 ， 可 得 u 1， 从 而 lnu 0成 立 ， 另 一 方 面 ， 令 F(u)=lnu- ， u 1， 通 过 函 数 的 单 调 性 可 得 极 值 最 值 ， 进 而 得 证 .答 案 ： ( )由 题 意 可 知 函 数 的 定 义 域 为 (0， + )，求 导 数 可 得 f (x)=2xlnx+x2 =2xlnx+x
29、=x(2lnx+1)，令 f (x)=0， 可 解 得 x= ，当 x 变 化 时 ， f (x)， f(x)的 变 化 情 况 如 下 表 ： 所 以 函 数 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 (0， )， 单 调 递 增 区 间 为 ( ， + )( )证 明 ： 当 0 x 1 时 ， f(x) 0， 设 t 0， 令 h(x)=f(x)-t， x 1， + )，由 ( )可 知 ， h(x)在 区 间 (1， + )单 调 递 增 ， h(1)=-t 0， h(et)=e2tlnet-t=t(e2t-1) 0，故 存 在 唯 一 的 s (1， + )， 使 得 t=f(s)成
30、立 ；( )证 明 ： 因 为 s=g(t)， 由 ( )知 ， t=f(s)， 且 s 1，从 而 = = = = ， 其 中 u=lns，要 使 成 立 ， 只 需 ， 即 2 ， 即 2 2+ ，只 需 ， 变 形 可 得 只 需 0 lnu ，当 t e2时 ， 若 s=g(t) e， 则 由 f(s)的 单 调 性 ， 有 t=f(s) f(e)=e2， 矛 盾 ，所 以 s e， 即 u 1， 从 而 lnu 0 成 立 ， 另 一 方 面 ， 令 F(u)=lnu- ， u 1， F (u)= ，令 F (u)=0， 可 解 得 u=2， 当 1 u 2时 ， F (u) 0， 当 u 2 时 ， F (u) 0，故 函 数 F(u)在 u=2处 取 到 极 大 值 ， 也 是 最 大 值 F(2)=ln2-1 0，故 有 F(u)=lnu- 0， 即 lnu ，综 上 可 证 ： 当 t e 2时 ， 有 成 立 .
