1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 大 纲 版 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )设 集 合 U=1， 2， 3， 4， 5， 集 合 A=1， 2， 则 CUA=( )A.1， 2B.3， 4， 5C.1， 2， 3， 4， 5D.解 析 ： 因 为 U=1， 2， 3， 4， 5， ， 集 合 A=1， 2， 所 以 C UA=3， 4， 5.答 案 ： B2.(5分 )已 知 是 第
2、 二 象 限 角 ， =( )A.B.C.D. 解 析 ： 为 第 二 象 限 角 ， 且 sin = ， cos =- =- .答 案 ： A3.(5分 )已 知 向 量 =( +1， 1)， =( +2， 2)， 若 ( + ) ( - )， 则 =( )A.-4B.-3C.-2D.-1解 析 ： ， . =(2 +3， 3)，. ， =0， -(2 +3)-3=0， 解 得 =-3.答 案 ： B.4.(5分 )不 等 式 |x2-2| 2的 解 集 是 ( )A.(-1， 1) B.(-2， 2)C.(-1， 0) (0， 1)D. (-2， 0) (0， 2)解 析 ： 不 等 式
3、|x2-2| 2 的 解 集 等 价 于 ， 不 等 式 -2 x2-2 2 的 解 集 ， 即 0 x2 4，解 得 x (-2， 0) (0， 2).答 案 ： D.5.(5分 )(x+2) 8的 展 开 式 中 x6的 系 数 是 ( )A.28B.56C.112D.224解 析 ： (x+2)8展 开 式 的 通 项 为 T r+1=C x 8-r2 r令 8-r=6 得 r=2， 展 开 式 中 x 6的 系 数 是 2 2C82=112.答 案 ： C.6.(5分 )函 数 =( )A.B.C.2 x-1(x R)D.2x-1(x 0)解 析 ： 设 y=log2(1+ )， 把
4、y 看 作 常 数 ， 求 出 x： 1+ =2y， x= ， 其 中 y 0，x， y 互 换 ， 得 到 y=log 2(1+ )的 反 函 数 ： y= ，答 案 ： A.7.(5分 )已 知 数 列 an满 足 3an+1+an=0， a2=- ， 则 an的 前 10项 和 等 于 ( )A.-6(1-3-10)B.C.3(1-3 -10)D.3(1+3-10)解 析 ： 3an+1+an=0， ， 数 列 an是 以 - 为 公 比 的 等 比 数 列 ， ， a1=4，由 等 比 数 列 的 求 和 公 式 可 得 ， s10= =3(1-3-10).答 案 ： C8.(5分 )
5、已 知 F 1(-1， 0)， F2(1， 0)是 椭 圆 C的 两 个 焦 点 ， 过 F2且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 交 于 A、B两 点 ， 且 |AB|=3， 则 C的 方 程 为 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 设 椭 圆 的 方 程 为 ， 可 得 c= =1， 所 以 a2-b2=1 AB 经 过 右 焦 点 F2且 垂 直 于 x轴 ， 且 |AB|=3， 可 得 A(1， )， B(1， - )， 代 入 椭 圆 方 程 得 ， 联 解 ， 可 得 a 2=4， b2=3， 椭 圆 C的 方 程 为答 案 ： C9.(5分 )若 函 数 y=sin( x+ )(
6、0)的 部 分 图 象 如 图 ， 则 =( )A.5 B.4C.3D.2 解 析 ： 由 函 数 的 图 象 可 知 ， (x0， y0)与 ， 纵 坐 标 相 反 ， 而 且 不 是 相 邻的 对 称 点 ， 所 以 函 数 的 周 期 T=2( )= ， 所 以 T= = ， 所 以 = =4.答 案 ： B.10.(5分 )已 知 曲 线 y=x 4+ax2+1在 点 (-1， a+2)处 切 线 的 斜 率 为 8， a=( )A.9B.6C.-9D.-6解 析 ： y=x4+ax2+1， y =4x3+2ax， 曲 线 y=x4+ax2+1 在 点 (-1， a+2)处 切 线 的
7、 斜 率 为 8， -4-2a=8 a=-6答 案 ： D.11.(5分 )已 知 正 四 棱 柱 ABCD-A 1B1C1D1中 ， AA1=2AB， 则 CD与 平 面 BDC1所 成 角 的 正 弦 值 等 于( )A.B.C.D.解 析 ： 设 AB=1， 则 AA 1=2， 分 别 以 的 方 向 为 x 轴 、 y 轴 、 z轴 的 正 方向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 下 图 所 示 ： 则 D(0， 0， 2)， C1(0， 1， 0)， B(1， 1， 2)， C(0， 1， 2)，=(1， 1， 0)， =(0， 1， -2)， =(0， 1， 0)， 设
8、=(x， y， z)为 平 面 BDC1的 一 个 法 向 量 ， 则 ， 即 ， 取 =(-2， 2，1)，设 CD 与 平 面 BDC1所 成 角 为 ， 则 sin =| |= ，答 案 ： A.12.(5分 )已 知 抛 物 线 C： y 2=8x与 点 M(-2， 2)， 过 C 的 焦 点 ， 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 C交 于 A，B两 点 ， 若 =0， 则 k=( )A.B.C.D.2解 析 ： 由 抛 物 线 C： y 2=8x得 焦 点 (2， 0)，由 题 意 可 知 ： 斜 率 k 0， 设 直 线 AB为 my=x-2， 其 中 .联 立 ， 得 到 y2
9、-8my-16=0， 0，设 A(x 1， y1)， B(x2， y2). y1+y2=8m， y1y2=-16.又 ， ， =(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=(my1+4)(my2+4)+(y1-2)(y2-2)=(m2+1)y1y2+(4m-2)(y1+y2)+20=-16(m2+1)+(4m-2) 8m+20=4(2m-1)2.由 4(2m-1)2=0， 解 得 . .答 案 ： D二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 .13.(5分 )设 f(x)是 以 2 为 周 期 的 函 数 ， 且 当 x 1， 3)时 ， f(x)=x
10、-2， 则 f(-1)= . 解 析 ： 因 设 f(x)是 以 2 为 周 期 的 函 数 ， 且 当 x 1， 3)时 ， f(x)=x-2， 则 f(-1)=f(1)=1-2=-1.答 案 ： -1.14.(5分 )从 进 入 决 赛 的 6名 选 手 中 决 出 1 名 一 等 奖 ， 2 名 二 等 奖 ， 3名 三 等 奖 ， 则 可 能 的 决赛 结 果 共 有 种 .(用 数 字 作 答 )解 析 ： 依 题 意 ， 可 分 三 步 ， 第 一 步 从 6名 选 手 中 决 出 1 名 一 等 奖 有 种 方 法 ， 第 二 步 ， 再 决 出 2 名 二 等 奖 ， 有 种
11、方 法 ，第 三 步 ， 剩 余 三 人 为 三 等 奖 ，根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 得 ： 共 有 =60种 方 法 .答 案 ： 60.15.(5分 )若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=-x+y 的 最 小 值 为 .解 析 ： 作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 ， 得 到 如 图 的 ABC及 其 内 部 ， 其 中 A(1， 1)， B(0， )， C(0， 4)设 z=F(x， y) -x+y， 将 直 线 l： z=-x+y进 行 平 移 ，当 l 经 过 点 A 时 ， 目 标 函 数 z达 到 最 小 值 ， z 最 小 值 =F
12、(1， 1)=-1+1=0，答 案 ： 016.(5分 )已 知 圆 O 和 圆 K是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 ， 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半 径 ， 则 球 O 的 表 面 积 等 于 .解 析 ： 如 图 所 示 ， 设 球 O的 半 径 为 r， AB 是 公 共 弦 ， OCK是 面 面 角 ， 根 据 题 意 得 OC= ， CK= ， 在 OCK中 ， OC2=OK2+CK2， 即 ， r2=4， 球 O的 表 面 积 等 于 4 r2=16 .答 案 ： 16三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤
13、 .17.(10分 )等 差 数 列 an中 ， a7=4， a19=2a9，( )求 a n的 通 项 公 式 ；( )设 bn= ， 求 数 列 bn的 前 n项 和 Sn.解 析 ： (I)由 a7=4， a19=2a9， 结 合 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 求 a1， d， 进 而 可 求 an(II)由 = = ， 利 用 裂 项 求 和 即 可 求 解答 案 ： (I)设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， a 7=4， a19=2a9， ， 解 得 a1=1， d= ， = .(II) = = ， sn= ，= = .18.(12分 )设 ABC 的 内 角 A
14、， B， C 的 内 角 对 边 分 别 为 a， b， c， 满 足 (a+b+c)(a-b+c)=ac.( )求 B.( )若 sinAsinC= ， 求 C.解 析 ： (I)已 知 等 式 左 边 利 用 多 项 式 乘 多 项 式 法 则 计 算 ， 整 理 后 得 到 关 系 式 ， 利 用 余 弦 定 理表 示 出 cosB， 将 关 系 式 代 入 求 出 cosB的 值 ， 由 B为 三 角 形 的 内 角 ， 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 即 可 求 出 B 的 度 数 ；(II)由 (I)得 到 A+C的 度 数 ， 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦
15、函 数 公 式 化 简 cos(A-C)， 变 形 后 将cos(A+C)及 2sinAsinC 的 值 代 入 求 出 cos(A-C)的 值 ， 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 求 出 A-C的值 ， 与 A+C的 值 联 立 即 可 求 出 C 的 度 数 .答 案 ： (I) (a+b+c)(a-b+c)=(a+c)2-b2=ac， a2+c2-b2=-ac， cosB= =- ，又 B 为 三 角 形 的 内 角 ， 则 B=120 ；(II)由 (I)得 ： A+C=60 ， sinAsinC= ， cos(A+C)= ， cos(A-C)=cosAcosC+sinAs
16、inC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC= + 2 = ， A-C=30 或 A-C=-30 ， 则 C=15 或 C=45 . 19.(12分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD中 ， ABC= BAD=90 ， BC=2AD， PAB与 PAD 都 是 边 长为 2 的 等 边 三 角 形 .( )证 明 ： PB CD；( )求 点 A到 平 面 PCD的 距 离 .解 析 ： (I)取 BC的 中 点 E， 连 接 DE， 则 ABED为 正 方 形 ， 过 P 作 PO 平 面 ABCD， 垂 足 为 O，连 接 OA，
17、 OB， OD， OE， 证 明 PB OE， OE CD， 即 可 证 明 PB CD；(II)取 PD的 中 点 F， 连 接 OF， 证 明 O到 平 面 PCD的 距 离 OF 就 是 A 到 平 面 PCD 的 距 离 ， 即 可求 得 点 A 到 平 面 PCD的 距 离 .答 案 ： (I)取 BC的 中 点 E， 连 接 DE， 则 ABED为 正 方 形 ， 过 P 作 PO 平 面 ABCD， 垂 足 为 O， 连 接 OA， OB， OD， OE，由 PAB和 PAD都 是 等 边 三 角 形 知 PA=PB=PD， OA=OB=OD， 即 O 为 正 方 形 ABED
18、对 角 线 的 交 点 ， OE BD， PB OE， O 是 BD 的 中 点 ， E是 BC的 中 点 ， OE CD， PB CD.(II)取 PD 的 中 点 F， 连 接 OF， 则 OF PB，由 (I)知 PB CD， OF CD， ， = ， POD为 等 腰 三 角 形 ， OF PD， PD CD=D， OF 平 面 PCD， AE CD， CD平 面 PCD， AE平 面 PCD， AE 平 面 PCD， O 到 平 面 PCD的 距 离 OF就 是 A 到 平 面 PCD的 距 离 ， OF= ， 点 A 到 平 面 PCD 的 距 离 为 1.20.(12分 )甲 、
19、 乙 、 丙 三 人 进 行 羽 毛 球 练 习 赛 ， 其 中 两 人 比 赛 ， 另 一 人 当 裁 判 ， 每 局 比 赛 结束 时 ， 负 的 一 方 在 下 一 局 当 裁 判 ， 设 各 局 中 双 方 获 胜 的 概 率 均 为 ， 各 局 比 赛 的 结 果 都 相 互独 立 ， 第 1局 甲 当 裁 判 .( )求 第 4局 甲 当 裁 判 的 概 率 ；( )求 前 4局 中 乙 恰 好 当 1 次 裁 判 概 率 .解 析 ： (I)设 A 1表 示 事 件 “ 第 二 局 结 果 为 甲 胜 ” ， A2表 示 事 件 “ 第 三 局 甲 参 加 比 赛 结 果 为 甲
20、负 ” ， A表 示 事 件 “ 第 四 局 甲 当 裁 判 ” ， 可 得 A=A1 A2.利 用 相 互 独 立 事 件 的 概 率 计 算 公 式 即可 得 出 ；(II)设 B1表 示 事 件 “ 第 一 局 比 赛 结 果 为 乙 胜 ” ， B2表 示 事 件 “ 第 二 局 乙 参 加 比 赛 结 果 为 乙胜 ” ， B3表 示 事 件 “ 第 三 局 乙 参 加 比 赛 结 果 为 乙 胜 ” ， B 表 示 事 件 “ 前 4 局 中 乙 恰 好 当 1 次 裁 判 ” .可 得 B= ， 利 用 互 斥 事 件 和 相 互 独 立 事 件 的 概 率 计 算公 式 即 可
21、 得 出 .答 案 ： (I)设 A1表 示 事 件 “ 第 二 局 结 果 为 甲 胜 ” ， A2表 示 事 件 “ 第 三 局 甲 参 加 比 赛 结 果 为 甲负 ” ， A 表 示 事 件 “ 第 四 局 甲 当 裁 判 ” .则 A=A1 A2.P(A)=P(A1 A2)= .(II)设 B 1表 示 事 件 “ 第 一 局 比 赛 结 果 为 乙 胜 ” ， B2表 示 事 件 “ 第 二 局 乙 参 加 比 赛 结 果 为 乙胜 ” ，B3表 示 事 件 “ 第 三 局 乙 参 加 比 赛 结 果 为 乙 胜 ” ， B表 示 事 件 “ 前 4局 中 乙 恰 好 当 1次 裁
22、 判 ” .则 B= ，则 P(B)=P( )= += += . 21.(12分 )已 知 函 数 f(x)=x3+3ax2+3x+1.( )求 a= 时 ， 讨 论 f(x)的 单 调 性 ；( )若 x 2， + )时 ， f(x) 0， 求 a的 取 值 范 围 .解 析 ： (I)把 a= 代 入 可 得 函 数 f(x)的 解 析 式 ， 求 导 数 令 其 为 0 可 得 x=- ， 或x=- ， 判 断 函 数 在 区 间 (- ， - )， (- ， - )， (- ， + )的 正负 可 得 单 调 性 ； (II)由 f(2) 0， 可 得 a ， 当 a ， x (2，
23、+ )时 ， 由 不 等 式 的证 明 方 法 可 得 f (x) 0， 可 得 单 调 性 ， 进 而 可 得 当 x 2， + )时 ， 有 f(x) f(2) 0 成立 ， 进 而 可 得 a 的 范 围 .答 案 ： (I)当 a= 时 ， f(x)=x 3+3 x2+3x+1，f (x)=3x2+6 x+3， 令 f (x)=0， 可 得 x=- ， 或 x=- ，当 x (- ， - )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 增 ，当 x (- ， - )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ，当 x (- ， + )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递
24、增 ；(II)由 f(2) 0， 可 解 得 a ， 当 a ， x (2， + )时 ，f (x)=3(x 2+2ax+1) 3( )=3(x- )(x-2) 0，所 以 函 数 f(x)在 (2， + )单 调 递 增 ， 于 是 当 x 2， + )时 ， f(x) f(2) 0，综 上 可 得 ， a的 取 值 范 围 是 ， + ) 22.(12分 )已 知 双 曲 线 C： =1(a 0， b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， 离 心 率 为3， 直 线 y=2与 C 的 两 个 交 点 间 的 距 离 为 .(I)求 a， b；(II)设 过 F2的 直 线
25、 l 与 C 的 左 、 右 两 支 分 别 相 交 于 A、 B 两 点 ， 且 |AF1|=|BF1|， 证 明 ： |AF2|、|AB|、 |BF2|成 等 比 数 列 .解 析 ： (I)由 题 设 ， 可 由 离 心 率 为 3 得 到 参 数 a， b的 关 系 ， 将 双 曲 线 的 方 程 用 参 数 a 表 示 出来 ， 再 由 直 线 建 立 方 程 求 出 参 数 a 即 可 得 到 双 曲 线 的方 程 ；(II)由 (I)的 方 程 求 出 两 焦 点 坐 标 ， 设 出 直 线 l 的 方 程 设 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 将 其 与 双 曲线
26、C 的 方 程 联 立 ， 得 出 x1+x2= ， ， 再 利 用 |AF1|=|BF1|建 立 关 于 A， B坐 标 的 方 程 ， 得 出 两 点 横 坐 标 的 关 系 ， 由 此 方 程 求 出 k 的 值 ， 得 出 直 线 的 方程 ， 从 而 可 求 得 ： |AF2|、 |AB|、 |BF2|， 再 利 用 等 差 数 列 的 性 质 进 行 判 断 即 可 证 明 出 结 论 .答 案 ： (I)由 题 设 知 =3， 即 =9， 故 b 2=8a2， 所 以 C 的 方 程 为 8x2-y2=8a2，将 y=2代 入 上 式 ， 并 求 得 x= ， 由 题 设 知 ，
27、 2 = ， 解 得 a2=1，所 以 a=1， b=2 .(II)由 (I)知 ， F1(-3， 0)， F2(3， 0)， C的 方 程 为 8x2-y2=8 .由 题 意 ， 可 设 l的 方 程 为 y=k(x-3)， |k| 2 代 入 并 化 简 得 (k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0，设 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 -1， x2 1， x1+x2= ， ，于 是 |AF1|= =-(3x1+1)，|BF1|= =3x2+1，|AF 1|=|BF1|得 -(3x1+1)=3x2+1， 即 ，故 = ， 解 得 ， 从 而 =- ，由 于 |AF2|= =1-3x1，|BF 2|= =3x2-1，故 |AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4， |AF2|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16，因 而 |AF2|BF2|=|AB|2， 所 以 |AF2|、 |AB|、 |BF2|成 等 比 数 列 .
