1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 四 川 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 答 题 共 有 10小 题 ， 每 小 题 5 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 是符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )设 集 合 A=x|x+2=0， 集 合 B=x|x2-4=0， 则 A B=( )A.-2B.2C.-2， 2D.解 析 ： 由 A中 的 方 程 x+2=0， 解 得 x=-2， 即 A=-2；由 B 中 的 方 程 x 2-4=0， 解 得 x=2或 -2， 即 B=-2， 2， 则 A B=-2.
2、答 案 ： A2.(5分 )如 图 ， 在 复 平 面 内 ， 点 A表 示 复 数 z 的 共 轭 复 数 ， 则 复 数 z 对 应 的 点 是 ( )A.AB.B C.CD.D解 析 ： 两 个 复 数 是 共 轭 复 数 ， 两 个 复 数 的 实 部 相 同 ， 虚 部 相 反 ， 对 应 的 点 关 于 x轴 对 称 .所 以 点 A 表 示 复 数 z的 共 轭 复 数 的 点 是 B.答 案 ： B.3.(5分 )一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 由 俯 视 图 可 知
3、， 原 几 何 体 的 上 底 面 应 该 是 圆 面 ， 由 此 排 除 选 项 A和 选 项 C.而 俯 视 图 内 部 只 有 一 个 虚 圆 ， 所 以 排 除 B.答 案 ： D.4.(5分 )设 x Z， 集 合 A是 奇 数 集 ， 集 合 B是 偶 数 集 .若 命 题 p： x A， 2x B， 则 ( )A. p： x A， 2xBB. p： xA， 2xBC. p： xA， 2x BD. p： x A， 2xB解 析 ： 因 为 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 ，所 以 设 x Z， 集 合 A是 奇 数 集 ， 集 合 B是 偶 数 集 .若 命 题 p
4、： x A， 2x B，则 p： x A， 2xB.答 案 ： D. 5.(5分 )函 数 f(x)=2sin( x+ )( 0， - )的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 ， 的 值 分 别 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 在 同 一 周 期 内 ， 函 数 在 x= 时 取 得 最 大 值 ， x= 时 取 得 最 小 值 ， 函 数 的 周 期 T满 足 = - = ，由 此 可 得 T= = ， 解 得 =2， 得 函 数 表 达 式 为 f(x)=2sin(2x+ )又 当 x= 时 取 得 最 大 值 2， 2sin(2 + )=2， 可 得 + = +2k (k
5、Z) ， 取 k=0， 得 =- 答 案 ： A6.(5分 )抛 物 线 y2=4x的 焦 点 到 双 曲 线 的 渐 近 线 的 距 离 是 ( )A.B.C.1D.解 析 ： 抛 物 线 方 程 为 y 2=4x 2p=4， 可 得 =1， 抛 物 线 的 焦 点 F(1， 0)又 双 曲 线 的 方 程 为 a2=1 且 b2=3， 可 得 a=1且 b= ，双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= ， 即 y= x， 化 成 一 般 式 得 ： .因 此 ， 抛 物 线 y 2=4x的 焦 点 到 双 曲 线 渐 近 线 的 距 离 为 d= =答 案 ： B7.(5分 )函 数
6、的 图 象 大 致 是 ( )A. B.C.D. 解 析 ： 要 使 函 数 有 意 义 ， 则 3x-1 0， 解 得 x 0， 函 数 的 定 义 域 为 x|x 0， 排 除 A.当 x 0 时 ， y 0， 排 除 B.当 x + 时 ， y 0， 排 除 D.答 案 ： C.8.(5分 )从 1， 3， 5， 7， 9 这 五 个 数 中 ， 每 次 取 出 两 个 不 同 的 数 分 别 记 为 a， b， 共 可 得 到lga-lgb的 不 同 值 的 个 数 是 ( )A.9B.10C.18D.20解 析 ： 首 先 从 1， 3， 5， 7， 9这 五 个 数 中 任 取 两
7、 个 不 同 的 数 排 列 ， 共 有 种 排 法 ， 因 为 ， ， 所 以 从 1， 3， 5， 7， 9 这 五 个 数 中 ， 每 次 取 出 两 个 不 同 的 数 分 别 记 为 a，b，共 可 得 到 lga-lgb的 不 同 值 的 个 数 是 ： 20-2=18.答 案 ： C.9.(5分 )节 日 前 夕 ， 小 李 在 家 门 前 的 树 上 挂 了 两 串 彩 灯 ， 这 两 串 彩 灯 的 第 一 次 闪 亮 相 互 独 立 ，且 都 在 通 电 后 的 4 秒 内 任 一 时 刻 等 可 能 发 生 ， 然 后 每 串 彩 灯 以 4秒 为 间 隔 闪 亮 ， 那
8、 么 这 两 串彩 灯 同 时 通 电 后 ， 它 们 第 一 次 闪 亮 的 时 候 相 差 不 超 过 2 秒 的 概 率 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 设 两 串 彩 灯 第 一 次 闪 亮 的 时 刻 分 别 为 x， y， 由 题 意 可 得 0 x 4， 0 y 4，它 们 第 一 次 闪 亮 的 时 候 相 差 不 超 过 2 秒 ， 则 |x-y| 2，由 几 何 概 型 可 得 所 求 概 率 为 上 述 两 平 面 区 域 的 面 积 之 比 ， 由 图 可 知 所 求 的 概 率 为 ： =答 案 ： C10.(5分 )设 函 数 (a R， e 为 自 然 对
9、 数 的 底 数 )， 若 曲 线 y=sinx上 存 在点 (x0， y0)使 得 f(f(y0)=y0， 则 a的 取 值 范 围 是 ( )A.1， eB.e -1-1， 1C.1， e+1D.e-1-1， e+1解 析 ： 曲 线 y=sinx 上 存 在 点 (x0， y0)使 得 f(f(y0)=y0， 则 y0 -1， 1，考 查 四 个 选 项 ， B， D两 个 选 项 中 参 数 值 都 可 取 0， C， D 两 个 选 项 中 参 数 都 可 取 e+1， A， B，C， D 四 个 选 项 参 数 都 可 取 1， 由 此 可 先 验 证 参 数 为 0 与 e+1
10、时 是 否 符 合 题 意 ， 即 可 得 出 正 确选 项 ，当 a=0时 ， ， 此 是 一 个 增 函 数 ， 且 函 数 值 恒 非 负 ， 故 只 研 究 y 0 0， 1时f(f(y0)=y0是 否 成 立 ，由 于 是 一 个 增 函 数 ， 可 得 出 f(y0) f(0)=1， 而 f(1)= 1， 故 a=0，不 合 题 意 ， 由 此 知 B， D 两 个 选 项 不 正 确 ，当 a=e+1 时 ， 此 函 数 是 一 个 增 函 数 ， =0，而 f(0)没 有 意 义 ， 故 a=e+1 不 合 题 意 ， 故 C， D两 个 选 项 不 正 确 ，综 上 讨 论
11、知 ， 可 确 定 B， C， D三 个 选 项 不 正 确 ， 故 A选 项 正 确 . 答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .11.(5分 )二 项 式 (x+y)5的 展 开 式 中 ， 含 x2y3的 项 的 系 数 是 (用 数 字 作 答 ).解 析 ： 设 二 项 式 (x+y)5的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr+1， 则 Tr+1= x5-r yr，令 r=3， 则 含 x 2y3的 项 的 系 数 是 =10.答 案 ： 10.12.(5分 )在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 对 角 线
12、AC与 BD 交 于 点 O， ， 则 = .解 析 ： 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ， 对 角 线 AC与 BD交 于 点 O， + = ，又 O 为 AC 的 中 点 ， =2 ， + =2 ， + = ， =2.答 案 ： 2. 13.(5分 )设 sin2 =-sin ， ， 则 tan2 的 值 是 .解 析 ： sin2 =2sin cos =-sin ， ( ， )， cos =- ， sin = = ， tan =- ，则 tan2 = = = .答 案 ：14.(5分 )已 知 f(x)是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 ， 当 x 0时 ， f(x)=x
13、 2-4x， 那 么 ， 不 等 式 f(x+2) 5 的 解 集 是 .解 析 ： 因 为 f(x)为 偶 函 数 ， 所 以 f(|x+2|)=f(x+2)，则 f(x+2) 5 可 化 为 f(|x+2|) 5， 即 |x+2|2-4|x+2| 5， (|x+2|+1)(|x+2|-5) 0，所 以 |x+2| 5， 解 得 -7 x 3， 所 以 不 等 式 f(x+2) 5 的 解 集 是 (-7， 3).答 案 ： (-7， 3).15.(5分 )设 P 1， P2， Pn为 平 面 内 的 n个 点 ， 在 平 面 内 的 所 有 点 中 ， 若 点 P 到 点 P1， P2，
14、Pn的 距 离 之 和 最 小 ， 则 称 点 P 为 P1， P2， Pn的 一 个 “ 中 位 点 ” ， 例 如 ， 线 段 AB 上 的 任 意 点都 是 端 点 A， B 的 中 位 点 ， 现 有 下 列 命 题 ： 若 三 个 点 A、 B、 C共 线 ， C在 线 段 AB上 ， 则 C是 A， B， C 的 中 位 点 ； 直 角 三 角 形 斜 边 的 中 点 是 该 直 角 三 角 形 三 个 顶 点 的 中 位 点 ； 若 四 个 点 A、 B、 C、 D 共 线 ， 则 它 们 的 中 位 点 存 在 且 唯 一 ； 梯 形 对 角 线 的 交 点 是 该 梯 形 四
15、 个 顶 点 的 唯 一 中 位 点 .其 中 的 真 命 题 是 (写 出 所 有 真 命 题 的 序 号 ).解 析 ： 若 三 个 点 A、 B、 C共 线 ， C在 线 段 AB上 ， 根 据 两 点 之 间 线 段 最 短 ， 则 C 是 A， B， C的 中 位 点 ， 正 确 ； 举 一 个 反 例 ， 如 边 长 为 3， 4， 5的 直 角 三 角 形 ABC， 此 直 角 三 角 形 的 斜 边 的 中 点 到 三 个 顶点 的 距 离 之 和 为 5+2.5=7.5， 而 直 角 顶 点 到 三 个 顶 点 的 距 离 之 和 为 7， 直 角 三 角 形 斜 边 的 中
16、 点 不 是 该 直 角 三 角 形 三 个 顶 点 的 中 位 点 ； 故 错 误 ； 若 四 个 点 A、 B、 C、 D 共 线 ， 则 它 们 的 中 位 点 是 中 间 两 点 连 线 段 上 的 任 意 一 个 点 ， 故 它 们的 中 位 点 存 在 但 不 唯 一 ； 故 错 误 ； 如 图 ， 在 梯 形 ABCD中 ， 对 角 线 的 交 点 O， P是 任 意 一 点 ， 则 根 据 三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三边 得 PA+PB+PC+PD AC+BD=OA+OB+OC+OD， 梯 形 对 角 线 的 交 点 是 该 梯 形 四 个 顶 点 的 唯 一 中
17、 位 点 .正 确 .答 案 ： .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)16.(12分 )在 等 差 数 列 an中 ， a1+a3=8， 且 a4为 a2和 a9的 等 比 中 项 ， 求 数 列 an的 首 项 ， 公差 及 前 n 项 和 .解 析 ： 设 该 数 列 的 公 差 为 d， 前 n项 和 为 S n， 则 利 用 a1+a3=8， 且 a4为 a2和 a9的 等 比 中 项 ，建 立 方 程 ， 即 可 求 得 数 列 an的 首 项 ， 公 差 ； 利 用
18、等 差 数 列 的 前 n项 和 公 式 可 求 和 .答 案 ： 设 该 数 列 的 公 差 为 d， 前 n项 和 为 Sn， a1+a3=8， 且 a4为 a2和 a9的 等 比 中 项 ， 2a1+2d=8， (a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d)解 得 a1=4， d=0或 a1=1， d=3 前 n项 和 为 Sn=4n或 Sn= .17.(12分 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 且2cos 2 cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=- .( )求 cosA的 值 ；( )若 a=4 ， b=5， 求 向 量
19、 在 方 向 上 的 投 影 .解 析 ： ( )由 已 知 条 件 利 用 三 角 形 的 内 角 和 以 及 两 角 差 的 余 弦 函 数 ， 求 出 A 的 余 弦 值 ， 然 后求 sinA的 值 ；( )利 用 ， b=5， 结 合 正 弦 定 理 ， 求 出 B 的 正 弦 函 数 ， 求 出 B的 值 ， 利 用 余 弦 定 理 求出 c 的 大 小 . 答 案 ： ( )由可 得 ，可 得 ，即 ， 即 ，( )由 正 弦 定 理 ， ， 所 以 = ，由 题 意 可 知 a b， 即 A B， 所 以 B= ，由 余 弦 定 理 可 知 .解 得 c=1， c=-7(舍 去
20、 ). 向 量 在 方 向 上 的 投 影 ： =ccosB= .18.(12分 )某 算 法 的 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 其 中 输 入 的 变 量 x 在 1， 2， 3， ， 24这 24个 整数 中 等 可 能 随 机 产 生(I)分 别 求 出 按 程 序 框 图 正 确 编 程 运 行 时 输 出 y 的 值 为 i 的 概 率 pi(i=1， 2， 3)；(II)甲 乙 两 同 学 依 据 自 己 对 程 序 框 图 的 理 解 ， 各 自 编 程 写 出 程 序 重 复 运 行 n 次 后 ， 统 计 记 录输 出 y的 值 为 i(i=1， 2， 3)的 频 数
21、， 以 下 是 甲 乙 所 作 频 数 统 计 表 的 部 分 数 据 .甲 的 频 数 统 计 图 (部 分 ) 乙 的 频 数 统 计 图 (部 分 )当 n=2100 时 ， 根 据 表 中 的 数 据 ， 分 别 写 出 甲 、 乙 所 编 程 序 各 自 输 出 y 的 值 为 i(i=1， 2， 3)的 频 率 (用 分 数 表 示 )， 并 判 断 两 位 同 学 中 哪 一 位 所 编 程 序 符 合 要 求 的 可 能 系 较 大 ；(III)将 按 程 序 摆 图 正 确 编 写 的 程 序 运 行 3 次 ， 求 输 出 y 的 值 为 2 的 次 数 的 分 布 列 及
22、 数 学期 望 . 解 析 ： (I)变 量 x是 在 1， 2， 3， ， 24这 24个 整 数 中 随 机 产 生 的 一 个 数 ， 共 有 24 种 可 能 ，由 程 序 框 图 可 得 y 值 为 1， 2， 3 对 应 的 情 况 ， 由 古 典 概 型 可 得 ； (II)由 题 意 可 得 当 n=2100时 ， 甲 、 乙 所 编 程 序 各 自 输 出 的 y 值 为 1， 2， 3 时 的 频 率 ， 可 得 答 案 ； (III)随 机 变 量 的可 能 取 值 为 ： 0， 1， 2， 3， 分 别 求 其 概 率 可 得 分 布 列 和 期 望 .答 案 ： (I
23、)变 量 x 是 在 1， 2， 3， ， 24这 24个 整 数 中 随 机 产 生 的 一 个 数 ， 共 有 24 种 可 能 ，当 x 从 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21， 23 这 12 个 数 中 产 生 时 ， 输 出 的 y 值 为1， 故 P 1= = ；当 x 从 2， 4， 8， 10， 14， 16， 20， 22这 8个 数 中 产 生 时 ， 输 出 的 y 值 为 2， 故 P2= = ；当 x 从 6， 12， 18， 24 这 4 个 数 中 产 生 时 ， 输 出 的 y值 为 3， 故 P3= = ；故 输 出
24、的 y值 为 1 的 概 率 为 ， 输 出 的 y值 为 2 的 概 率 为 ， 输 出 的 y值 为 3 的 概 率 为 ；(II)当 n=2100 时 ， 甲 、 乙 所 编 程 序 各 自 输 出 的 y 值 为 i(i=1， 2， 3)的 频 率 如 下 ： 比 较 频 率 趋 势 与 概 率 ， 可 得 乙 同 学 所 编 程 序 符 合 算 法 要 求 的 可 能 性 较 大 ；(III)随 机 变 量 的 可 能 取 值 为 ： 0， 1， 2， 3， P( =0)= = ，P( =1)= = P( =2)= = ， P( =3)= = ， 故 的分 布 列 为 ：所 以 所
25、求 的 数 学 期 望 E = =119.(12分 )如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1中 ， 侧 棱 AA1 底 面 ABC， AB=AC=2AA1， BAC=120 ，D， D1分 别 是 线 段 BC， B1C1的 中 点 ， P 是 线 段 AD 的 中 点 .(I)在 平 面 ABC 内 ， 试 做 出 过 点 P 与 平 面 A 1BC平 行 的 直 线 l， 说 明 理 由 ， 并 证 明 直 线 l 平面 ADD1A1；(II)设 (I)中 的 直 线 l 交 AB 于 点 M， 交 AC 于 点 N， 求 二 面 角 A-A1M-N的 余 弦 值 .解 析 ：
26、 (I)在 平 面 ABC内 过 点 P 作 直 线 l BC， 根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理 得 直 线 l 平 面 A1BC.由 等 腰 三 角 形 “ 三 线 合 一 ” 得 到 AD BC， 从 而 得 到 AD l， 结 合 AA1 l且 AD、 AA1是 平 面ADD1A1内 的 相 交 直 线 ， 证 出 直 线 l 平 面 ADD1A1；(II)连 接 A1P， 过 点 A 作 AE A1P 于 E， 过 E点 作 EF A1M于 F， 连 接 AF.根 据 面 面 垂 直 判 定定 理 ， 证 出 平 面 A 1MN 平 面 A1AE，从 而 得 到 AE 平
27、面 A1MN， 结 合 EF A1M， 由 三 垂 线 定 理 得 AF A1M， 可 得 AFE 就 是 二 面 角A-A1M-N 的 平 面 角 .设 AA1=1， 分 别 在 Rt A1AP中 和 AEF中 算 出 AE、 AF 的 长 ， 在 Rt AEF中 ， 根 据 三 角 函 数 的 定 义 算 出 sin AFE的 值 ， 结 合 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系 算 出 cos AFE的 值 ， 从 而 得 出 二 面 角 A-A1M-N的 余 弦 值 .答 案 ： (I)在 平 面 ABC内 ， 过 点 P 作 直 线 l BC， 直 线 l平 面 A1BC， B
28、C平 面 A1BC， 直 线 l 平 面 A1BC， ABC中 ， AB=AC， D 是 BC 的 中 点 ， AD BC， 结 合 l BC 得 AD l， AA 1 平 面 ABC， l平 面 ABC， AA1 l， AD、 AA1是 平 面 ADD1A1内 的 相 交 直 线 ， 直 线 l 平 面 ADD1A1；(II)连 接 A1P， 过 点 A 作 AE A1P 于 E， 过 E点 作 EF A1M于 F， 连 接 AF，由 (I)知 MN 平 面 A 1AE， 结 合 MN平 面 A1MN 得 平 面 A1MN 平 面 A1AE， 平 面 A1MN 平 面 A1AE=A1P， A
29、E A1P， AE 平 面 A1MN， EF A1M， EF 是 AF在 平 面 A1MN 内 的 射 影 ， AF A1M， 可 得 AFE就 是 二 面 角 A-A1M-N的 平 面 角 ，设 AA1=1， 则 由 AB=AC=2AA1， BAC=120 ， 可 得 BAD=60 ， AB=2且 AD=1，又 P为 AD的 中 点 ， M是 AB的 中 点 ， 得 AP= ， AM=1，Rt A 1AP 中 ， A1P= = ； Rt A1AM中 ， A1M= ， AE= = ， AF= = ， Rt AEF中 ， sin AFE= = ， 可 得 cos AFE= = ，即 二 面 角
30、A-A 1M-N的 余 弦 值 等 于 .20.(13分 )已 知 椭 圆 C： (a b 0)的 两 个 焦 点 分 别 为 F1(-1， 0)， F2(1， 0)， 且椭 圆 C经 过 点 .( )求 椭 圆 C 的 离 心 率 ：( )设 过 点 A(0， 2)的 直 线 l与 椭 圆 C交 于 M， N两 点 ， 点 Q 是 线 段 MN上 的 点 ， 且， 求 点 Q的 轨 迹 方 程 .解 析 ： (I)由 题 设 条 件 结 合 椭 圆 的 性 质 直 接 求 出 a， c的 值 ， 即 可 得 到 椭 圆 的 离 心 率 ； (II)由 题 设 过 点 A(0， 2)的 直 线
31、 l与 椭 圆 C交 于 M， N 两 点 ， 可 设 出 直 线 的 方 程 与 椭 圆 的 方程 联 立 ， 由 于 两 曲 线 交 于 两 点 ， 故 判 断 式 大 于 0 且 可 利 用 根 与 系 数 的 关 系 建 立 M， N 两 点 的坐 标 与 直 线 的 斜 率 k 的 等 量 关 系 ， 然 后 再 设 出 点 Q 的 坐 标 ， 用 两 点 M， N 的 坐 标 表 示 出， 再 综 合 计 算 即 可 求 得 点 Q 的 轨 迹 方 程 .答 案 ： (I) 椭 圆 C： (a b 0)的 两 个 焦 点 分 别 为 F1(-1， 0)， F2(1， 0)， 且 椭
32、 圆C经 过 点 . c=1， 2a=PF 1+PF2= =2 ， 即 a= 椭 圆 的 离 心 率 e= = = 4分(II)由 (I)知 ， 椭 圆 C 的 方 程 为 ， 设 点 Q 的 坐 标 为 (x， y) (1)当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 ， 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 (0， 1)、 (0， -1)两 点 ， 此 时 点 Q 的 坐 标 为(0， 2- )(2)当 直 线 l 与 x 轴 不 垂 直 时 ， 可 设 其 方 程 为 y=kx+2，因 为 M， N 在 直 线 l 上 ， 可 设 点 M， N 的 坐 标 分 别 为 (x1， kx1+2)，
33、(x2， kx2+2)， 则， ， 又 |AQ|2=(1+k2)x2， ， 即 = 将 y=kx+2 代 入 中 ， 得 (2k2+1)x2+8kx+6=0 由 =(8k)2-24(2k2+1) 0， 得 k2 ，由 知 x 1+x2=- ， x1x2= ， 代 入 中 化 简 得 x2= 因 为 点 Q 在 直 线 y=kx+2 上 ， 所 以 k= ， 代 入 中 并 化 简 得 10(y-2)2-3x2=18，由 及 k2 可 知 0 x2 ， 即 x (- ， 0) (0， )，由 题 意 ， Q(x， y)在 椭 圆 C 内 ， 所 以 -1 y 1，又 由 10(y-2) 2-3x
34、2=18得 (y-2)2 ， )且 -1 y 1， 则 y ( ， 2- )，所 以 ， 点 Q 的 轨 迹 方 程 为 10(y-2)2-3x2=18， 其 中 x (- ， )， y ( ， 2- ).21.(14分 )已 知 函 数 ， 其 中 a是 实 数 ， 设 A(x1， f(x1)， B(x2，f(x 2)为 该 函 数 图 象 上 的 点 ， 且 x1 x2.( )指 出 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；( )若 函 数 f(x)的 图 象 在 点 A， B处 的 切 线 互 相 垂 直 ， 且 x2 0， 求 x2-x1的 最 小 值 ；( )若 函 数 f(x)的 图
35、 象 在 点 A， B处 的 切 线 重 合 ， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (I)利 用 二 次 函 数 的 单 调 性 和 对 数 函 数 的 单 调 性 即 可 得 出 ； (II)利 用 导 数 的 几 何 意 义 即 可 得 到 切 线 的 斜 率 ， 因 为 切 线 互 相 垂 直 ， 可 得， 即 (2x1+2)(2x2+2)=-1.可 得， 再 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 即 可 得 出 ；(III)当 x1 x2 0 或 0 x1 x2时 ， ， 故 不 成 立 ， x1 0 x 2.分 别 写 出 切 线 的 方 程 ， 根 据 两 条 直 线 重
36、 合 的 充 要 条 件 即 可 得 出 ， 再 利 用 导 数 即 可 得 出 .答 案 ： (I)当 x 0 时 ， f(x)=(x+1)2+a， f(x)在 (- ， -1)上 单 调 递 减 ， 在 (-1， 0)上 单 调递 增 ；当 x 0 时 ， f(x)=lnx， 在 (0， + )单 调 递 增 .(II) x1 x2 0， f(x)=x2+2x+a， f (x)=2x+2， 函 数 f(x)在 点 A， B 处 的 切 线 的 斜 率 分 别 为 f (x1)， f (x2)， 函 数 f(x)的 图 象 在 点 A， B处 的 切 线 互 相 垂 直 ， ， (2x 1+
37、2)(2x2+2)=-1. 2x1+2 0， 2x2+2 0， =1， 当 且仅 当 -(2x1+2)=2x2+2=1， 即 ， 时 等 号 成 立 . 函 数 f(x)的 图 象 在 点 A， B处 的 切 线 互 相 垂 直 ， 且 x2 0， 求 x2-x1的 最 小 值 为 1.(III)当 x 1 x2 0 或 0 x1 x2时 ， ， 故 不 成 立 ， x1 0 x2.当 x1 0 时 ， 函 数 f(x)在 点 A(x1， f(x1)， 处 的 切 线 方 程 为， 即 .当 x2 0 时 ， 函 数 f(x)在 点 B(x2， f(x2)处 的 切 线 方 程 为 ， 即.函 数 f(x)的 图 象 在 点 A， B 处 的 切 线 重 合 的 充 要 条 件 是 ， 由 及 x1 0 x2可 得 -1 x1 0，由 得 = . 函 数 ， y=-ln(2x1+2)在 区 间 (-1， 0)上 单 调 递 减 ， a(x1)= 在 (-1， 0)上 单 调 递 减 ， 且 x1 -1 时 ， ln(2x1+2) - ，即 -ln(2x 1+2) + ， 也 即 a(x1) + .x1 0， a(x1) -1-ln2. a的 取 值 范 围 是 (-1-ln2， + ).
