1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 四 川 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 个 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )设 集 合 A=1， 2， 3， 集 合 B=-2， 2， 则 A B=( )A.B.2C.-2， 2D.-2， 1， 2， 3解 析 ： 集 合 A=1， 2， 3， 集 合 B=-2， 2， A B=2.答 案 ： B 2.(5分 )一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ，
2、则 该 几 何 体 可 以 是 ( )A.棱 柱B.棱 台C.圆 柱 D.圆 台解 析 ： 由 三 视 图 知 ， 从 正 面 和 侧 面 看 都 是 梯 形 ，从 上 面 看 为 圆 形 ， 下 面 看 是 圆 形 ， 并 且 可 以 想 象 到 该 几 何 体 是 圆 台 ， 则 该 几 何 体 可 以 是 圆 台 .答 案 ： D.3.(5分 )如 图 ， 在 复 平 面 内 ， 点 A表 示 复 数 z 的 共 轭 复 数 ， 则 复 数 z 对 应 的 点 是 ( )A.A B.BC.CD.D解 析 ： 两 个 复 数 是 共 轭 复 数 ， 两 个 复 数 的 实 部 相 同 ，
3、虚 部 相 反 ， 对 应 的 点 关 于 x轴 对 称 .所 以 点 A 表 示 复 数 z的 共 轭 复 数 的 点 是 B. 答 案 ： B.4.(5分 )设 x Z， 集 合 A是 奇 数 集 ， 集 合 B是 偶 数 集 .若 命 题 p： x A， 2x B， 则 ( )A. p： x A， 2x BB. p： xA， 2x BC. p： x A， 2xBD. p： xA， 2xB解 析 ： “ 全 称 命 题 ” 的 否 定 一 定 是 “ 存 在 性 命 题 ” ， 命 题 p： x A， 2x B 的 否 定 是 ： p： x A， 2xB.答 案 ： C.5.(5分 )抛
4、物 线 y 2=8x的 焦 点 到 直 线 的 距 离 是 ( )A.B.2C.D.1解 析 ： 由 抛 物 线 y2=8x得 焦 点 F(2， 0)， 点 F(2， 0)到 直 线 的 距 离d= =1.答 案 ： D.6.(5分 )函 数 f(x)=2sin( x+ )( 0， - )的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 ， 的 值 分 别 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 在 同 一 周 期 内 ， 函 数 在 x= 时 取 得 最 大 值 ， x= 时 取 得 最 小 值 ， 函 数 的 周 期 T满 足 = - = ， 由 此 可 得 T= = ， 解 得 =2， 得 函
5、 数 表 达 式 为 f(x)=2sin(2x+ )又 当 x= 时 取 得 最 大 值 2， 2sin(2 + )=2， 可 得 + = +2k (k Z) ， 取 k=0， 得 =-答 案 ： A7.(5分 )某 学 校 随 机 抽 取 20 个 班 ， 调 查 各 班 中 有 网 上 购 物 经 历 的 人 数 ， 所 得 数 据 的 茎 叶 图如 图 所 示 .以 组 距 为 5 将 数 据 分 组 成 0， 5)， 5， 10)， ， 30， 35)， 35， 40时 ， 所 作 的频 率 分 布 直 方 图 是 ( ) A.B. C.D. 解 析 ： 根 据 题 意 ， 频 率 分
6、 布 表 可 得 ：进 而 可 以 作 频 率 直 方 图 可 得 ： 答 案 ： A.8.(5分 )若 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 且 z=5y-x的 最 大 值 为 a， 最 小 值 为 b， 则a-b的 值 是 ( )A.48B.30C.24D.16 解 析 ： 满 足 约 束 条 件 的 可 行 域 如 图 所 示 ， 在 坐 标 系 中 画 出 可 行 域 ，平 移 直 线 5y-x=0， 经 过 点 B(8， 0)时 ， 5y-x最 小 ， 最 小 值 为 ： -8， 则 目 标 函 数 z=5y-x 的 最小 值 为 -8. 经 过 点 A(4， 4)时 ， 5y-x
7、最 大 ， 最 大 值 为 ： 16， 则 目 标 函 数 z=5y-x的 最 大 值 为 16.z=5y-x的 最 大 值 为 a， 最 小 值 为 b， 则 a-b的 值 是 ： 24.答 案 ： C.9.(5分 )从 椭 圆 上 一 点 P向 x轴 作 垂 线 ， 垂 足 恰 为 左 焦 点 F1， A 是椭 圆 与 x 轴 正 半 轴 的 交 点 ， B 是 椭 圆 与 y轴 正 半 轴 的 交 点 ， 且 AB OP(O是 坐 标 原 点 )， 则 该椭 圆 的 离 心 率 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 依 题 意 ， 设 P(-c， y0)(y0 0)， 则 + =1，
8、y0= ， P(-c， )，又 A(a， 0)， B(0， b)， AB OP， k AB=kOP， 即 = = ， b=c.设 该 椭 圆 的 离 心 率 为 e， 则 e2= = = = ， 椭 圆 的 离 心 率 e= .答 案 ： C.10.(5分 )设 函 数 (a R， e 为 自 然 对 数 的 底 数 ).若 存 在 b 0， 1使f(f(b)=b成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.1， eB.1， 1+eC.e， 1+e D.0， 1解 析 ： 由 f(f(b)=b， 可 得 f(b)=f-1(b)， 其 中 f-1(x)是 函 数 f(x)的 反 函 数
9、，因 此 命 题 “ 存 在 b 0， 1使 f(f(b)=b 成 立 ” ， 转 化 为 “ 存 在 b 0， 1， 使 f(b)=f-1(b)” ，即 y=f(x)的 图 象 与 函 数 y=f-1(x)的 图 象 有 交 点 ， 且 交 点 的 横 坐 标 b 0， 1， y=f(x)的 图 象 与 y=f-1(x)的 图 象 关 于 直 线 y=x对 称 ， y=f(x)的 图 象 与 函 数 y=f-1(x)的 图 象 的 交 点 必 定 在 直 线 y=x上 ，由 此 可 得 ， y=f(x)的 图 象 与 直 线 y=x有 交 点 ， 且 交 点 横 坐 标 b 0， 1，根 据
10、 ， 化 简 整 理 得 e x=x2-x+a记 F(x)=ex， G(x)=x2-x+a， 在 同 一 坐 标 系 内 作 出 它 们 的 图 象 ， 可 得 ， 即 ， 解 之 得 1 a e， 即 实 数 a 的 取 值 范 围 为1， e答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .11.(5分 )lg +lg 的 值 是 .解 析 ： = =1.答 案 ： 1.12.(5分 )在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC 与 BD交 于 点 O， ， 则 = . 解 析 ： 四 边 形 ABCD为 平 行 四
11、边 形 ， 对 角 线 AC与 BD交 于 点 O， + = ，又 O 为 AC 的 中 点 ， =2 ， + =2 ， + = ， =2.答 案 ： 2.13.(5分 )已 知 函 数 在 x=3时 取 得 最 小 值 ， 则 a= .解 析 ： 由 题 设 函 数 在 x=3时 取 得 最 小 值 ， x (0， + )， 得 x=3必 定 是 函 数 的 极 值 点 ， f (3)=0， 即 4- =0， 解 得 a=36.答 案 ： 36.14.(5分 )设 sin2 =-sin ， ， 则 tan2 的 值 是 .解 析 ： sin2 =2sin cos =-sin ， ( ， )，
12、 cos =- ， sin = = ， tan =- ，则 tan2 = = = .答 案 ：15.(5分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ， 到 点 A(1， 2)， B(1， 5)， C(3， 6)， D(7， -1)的 距 离 之 和 最小 的 点 的 坐 标 是 .解 析 ： 如 图 ， 设 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 一 点 P， P到 点 A(1， 2)， B(1， 5)， C(3， 6)， D(7， -1)的 距 离 之 和 为 ：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC BD+AC=QA+QB+QC+QD，故 四 边 形 ABCD 对 角 线 的 交 点 Q
13、 即 为 所 求 距 离 之 和 最 小 的 点 . A(1， 2)， B(1， 5)， C(3， 6)， D(7， -1)， AC， BD 的 方 程 分 别 为 ： ， ，即 2x-y=0， x+y-6=0.解 方 程 组 得 Q(2， 4).答 案 ： (2， 4).三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 16.(12分 )在 等 比 数 列 an中 ， a2-a1=2， 且 2a2为 3a1和 a3的 等 差 中 项 ， 求 数 列 an的 首 项 、公 比 及 前 n项 和
14、.解 析 ： 等 比 数 列 的 公 比 为 q， 由 已 知 可 得 ， a1q-a1=2， 4 ， 解 方 程 可 求 q，a1， 然 后 代 入 等 比 数 列 的 求 和 公 式 可 求 .答 案 ： 设 等 比 数 列 的 公 比 为 q，由 已 知 可 得 ， a 1q-a1=2， 4 ， 联 立 可 得 ， a1(q-1)=2， q2-4q+3=0， 或 q=1(舍 去 )， = .17.(12分 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=- .( )求 sinA的 值 ；(
15、)若 a=4 ， b=5， 求 向 量 在 方 向 上 的 投 影 .解 析 ： ( )由 已 知 条 件 利 用 三 角 形 的 内 角 和 以 及 两 角 差 的 余 弦 函 数 ， 求 出 A 的 余 弦 值 ， 然 后求 sinA的 值 ；( )利 用 ， b=5， 结 合 正 弦 定 理 ， 求 出 B 的 正 弦 函 数 ， 求 出 B的 值 ， 利 用 余 弦 定 理 求 出 c 的 大 小 ， 然 后 求 解 向 量 在 方 向 上 的 投 影 .答 案 ： ( )由 ，可 得 ，即 ， 即 ，因 为 0 A ， 所 以 .( )由 正 弦 定 理 ， ， 所 以 = ，由 题
16、 意 可 知 a b， 即 A B， 所 以 B= ， 由 余 弦 定 理 可 知 .解 得 c=1， c=-7(舍 去 ).向 量 在 方 向 上 的 投 影 ： =ccosB= .18.(12分 )某 算 法 的 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 其 中 输 入 的 变 量 x 在 1， 2， 3， ， 24这 24个 整数 中 等 可 能 随 机 产 生 . ( )分 别 求 出 按 程 序 框 图 正 确 编 程 运 行 时 输 出 y的 值 为 i的 概 率 Pi(i=1， 2， 3)；( )甲 、 乙 两 同 学 依 据 自 己 对 程 序 框 图 的 理 解 ， 各 自 编 写
17、 程 序 重 复 运 行 n 次 后 ， 统 计 记 录 了输 出 y的 值 为 i(i=1， 2， 3)的 频 数 .以 下 是 甲 、 乙 所 作 频 数 统 计 表 的 部 分 数 据 .甲 的 频 数 统 计 表 (部 分 )乙 的 频 数 统 计 表 (部 分 ) 当 n=2100 时 ， 根 据 表 中 的 数 据 ， 分 别 写 出 甲 、 乙 所 编 程 序 各 自 输 出 y 的 值 为 i(i=1， 2， 3)的 频 率 (用 分 数 表 示 )， 并 判 断 两 位 同 学 中 哪 一 位 所 编 写 程 序 符 合 算 法 要 求 的 可 能 性 较 大 .解 析 ：
18、(I)由 题 意 可 知 ， 当 x从 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21， 23这 12个 数 中产 生 时 ， 输 出 y的 值 为 1， 当 x 从 2， 4， 8， 10， 14， 16， 20， 22 这 8 个 数 中 产 生 时 ， 输 出y的 值 为 2， 当 x 从 6， 12， 18， 24这 4 个 数 中 产 生 时 ， 输 出 y 的 值 为 3， 从 而 得 出 输 出 y的 值 为 1 的 概 率 为 ； 输 出 y 的 值 为 2 的 概 率 为 ； 输 出 y 的 值 为 3 的 概 率 为 ；(II)当 n=2100时
19、 ， 列 出 甲 、 乙 所 编 程 序 各 自 输 出 y的 值 为 i(i=1， 2， 3)的 频 率 的 表 格 ， 再比 较 频 率 趋 势 与 概 率 ， 可 得 乙 同 学 所 编 程 序 符 合 算 法 要 求 的 可 能 性 大 . 答 案 ： (I)当 x从 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21， 23这 12个 数 中 产 生 时 ， 输 出y的 值 为 1， 故 P1= ；当 x 从 2， 4， 8， 10， 14， 16， 20， 22这 8个 数 中 产 生 时 ， 输 出 y的 值 为 2， 故 P2= ；当 x 从 6， 12
20、， 18， 24 这 4 个 数 中 产 生 时 ， 输 出 y 的 值 为 3， 故 P3= ； 输 出 y 的 值 为 1 的 概 率 为 ； 输 出 y 的 值 为 2 的 概 率 为 ； 输 出 y 的 值 为 3 的 概 率 为 ；(II)当 n=2100 时 ， 甲 、 乙 所 编 程 序 各 自 输 出 y 的 值 为 i(i=1， 2， 3)的 频 率 如 下 ： 比 较 频 率 趋 势 与 概 率 ， 可 得 乙 同 学 所 编 程 序 符 合 算 法 要 求 的 可 能 性 大 .19.(12分 )如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC-A1B1C中 ， 侧 棱 AA1 底 面
21、 ABC， AB=AC=2AA1=2， BAC=120 ，D， D1分 别 是 线 段 BC， B1C1的 中 点 ， P 是 线 段 AD 上 异 于 端 点 的 点 .( )在 平 面 ABC内 ， 试 作 出 过 点 P 与 平 面 A 1BC平 行 的 直 线 l， 说 明 理 由 ， 并 证 明 直 线 l 平面 ADD1A1；( )设 ( )中 的 直 线 l 交 AC 于 点 Q， 求 三 棱 锥 A1-QC1D 的 体 积 .(锥 体 体 积 公 式 ： ，其 中 S为 底 面 面 积 ， h 为 高 )解 析 ： ( )在 平 面 ABC内 ， 过 点 P作 直 线 l和 B
22、C平 行 ， 根 据 直 线 和 平 面 平 行 的 判 定 定 理 可得 直 线 l 与 平 面 A1BC平 行 .等 腰 三 角 形 ABC中 ， 根 据 等 腰 三 角 形 中 线 的 性 质 可 得 AD BC， 故 l AD.再 由 AA 1 底 面 ABC，可 得 AA1 l.再 利 用 直 线 和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 直 线 l 平 面 ADD1A1 .( )过 点 D 作 DE AC， 证 明 DE 平 面 AA1C1C.直 角 三 角 形 ACD中 ， 求 出 AD的 值 ， 可 得 DE 的值 ， 从 而 求 得 = 的 值 ， 再 根 据 三 棱
23、锥 A1-QC1D 的 体 积= = DE， 运 算 求 得 结 果 .答 案 ： ( )在 平 面 ABC内 ， 过 点 P 作 直 线 l 和 BC 平 行 ， 由 于 直 线 l 不 在 平 面 A 1BC 内 ， 而 BC在 平 面 A1BC内 ， 故 直 线 l与 平 面 A1BC 平 行 .三 角 形 ABC中 ， AB=AC=2AA1=2， BAC=120 ， D， D1分 别 是 线 段 BC， B1C1的 中 点 ， AD BC， l AD.再 由 AA1 底 面 ABC， 可 得 AA1 l.而 AA1 AD=A， 直 线 l 平 面 ADD1A1 . ( )设 ( )中
24、的 直 线 l 交 AC 于 点 Q， 过 点 D作 DE AC， 侧 棱 AA1 底 面 ABC， 故 三 棱 柱 ABC-A1B1C为 直 三 棱 柱 ， 故 DE 平 面 AA1C1C.直 角 三 角 形 ACD中 ， AC=2， CAD=60 ， AD=AC cos60 =1， DE=AD sin60 = . = = =1， 三 棱 锥 A 1-QC1D 的 体 积 = = DE= 1 = .20.(13分 )已 知 圆 C的 方 程 为 x2+(y-4)2=4， 点 O 是 坐 标 原 点 .直 线 l： y=kx与 圆 C 交 于 M， N两 点 .( )求 k 的 取 值 范 围
25、 ；( )设 Q(m， n)是 线 段 MN上 的 点 ， 且 .请 将 n 表 示 为 m 的 函 数 .解 析 ： ( )将 直 线 l 方 程 与 圆 C方 程 联 立 消 去 y 得 到 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 ， 根 据 两 函 数 图象 有 两 个 交 点 ， 得 到 根 的 判 别 式 的 值 大 于 0， 列 出 关 于 k 的 不 等 式 ， 求 出 不 等 式 的 解 集 即 可得 到 k的 取 值 范 围 ；( )由 M、 N在 直 线 l上 ， 设 点 M、 N 坐 标 分 别 为 (x 1， kx1)， (x2， kx2)， 利 用 两 点 间 的 距
26、离 公式 表 示 出 |OM|2与 |ON|2， 以 及 |OQ|2， 代 入 已 知 等 式 中 变 形 ， 再 利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 出 x1+x2与 x1x2， 用 k表 示 出 m， 由 Q 在 直 线 y=kx 上 ， 将 Q 坐 标 代 入 直 线 y=kx中 表 示 出 k， 代 入 得出 的 关 系 式 中 ， 用 m 表 示 出 n 即 可 得 出 n 关 于 m 的 函 数 解 析 式 ， 并 求 出 m 的 范 围 即 可 .答 案 ： ( )将 y=kx 代 入 x2+(y-4)2=4 中 ， 得 ： (1+k2)x2-8kx+12=0(*)，根 据
27、题 意 得 ： =(-8k)2-4(1+k2) 12 0， 即 k2 3，则 k 的 取 值 范 围 为 (- ， - ) ( ， + )；( )由 M、 N、 Q在 直 线 l上 ， 可 设 M、 N 坐 标 分 别 为 (x 1， kx1)， (x2， kx2)， |OM|2=(1+k2)x12， |ON|2=(1+k2)x22， |OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2，代 入 = + 得 ： = + ，即 = + = ，由 (*)得 到 x 1+x2= ， x1x2= ， 代 入 得 ： = ， 即 m2= ， 点 Q在 直 线 y=kx 上 ， n=km， 即 k= ， 代 入 m2
28、= ， 化 简 得 5n2-3m2=36，由 m 2= 及 k2 3， 得 到 0 m2 3， 即 m (- ， 0) (0， )， 根 据 题 意 得 点 Q在 圆 内 ， 即 n 0， n= = ，则 n 与 m 的 函 数 关 系 式 为 n= (m (- ， 0) (0， ).21.(14分 )已 知 函 数 ， 其 中 a是 实 数 .设 A(x 1， f(x1)， B(x2，f(x2)为 该 函 数 图 象 上 的 两 点 ， 且 x1 x2.( )指 出 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；( )若 函 数 f(x)的 图 象 在 点 A， B处 的 切 线 互 相 垂 直 ，
29、 且 x2 0， 证 明 ： x2-x1 1；( )若 函 数 f(x)的 图 象 在 点 A， B处 的 切 线 重 合 ， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (I)根 据 分 段 函 数 中 两 段 解 析 式 ， 结 合 二 次 函 数 及 对 数 函 数 的 性 质 ， 即 可 得 出 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；(II)由 导 数 的 几 何 意 义 知 ， 点 A处 的 切 线 的 斜 率 为 f (x 1)， 点 B 处 的 切 线 的 斜 率 为 f (x2)，再 利 用 f(x)的 图 象 在 点 A， B处 的 切 线 互 相 垂 直 时 ， 斜 率 之
30、积 等 于 -1， 得 出 (2x1+2)(2x2+2)=-1，最 后 利 用 基 本 不 等 式 即 可 证 得 x2-x1 1；(III)先 根 据 导 数 的 几 何 意 义 写 出 函 数 f(x)在 点 A、 B 处 的 切 线 方 程 ， 再 利 用 两 直 线 重 合 的充 要 条 件 列 出 关 系 式 ， 从 而 得 出 a=lnx2+( )2-1， 最 后 利 用 导 数 研 究 它 的 单 调 性 和 最值 ， 即 可 得 出 a 的 取 值 范 围 .答 案 ： (I)函 数 f(x)的 单 调 减 区 间 (- ， -1)， 函 数 f(x)的 单 调 增 区 间 -
31、1， 0)， (0， + )；(II)由 导 数 的 几 何 意 义 知 ， 点 A处 的 切 线 的 斜 率 为 f (x 1)， 点 B 处 的 切 线 的 斜 率 为 f (x2)，函 数 f(x)的 图 象 在 点 A， B 处 的 切 线 互 相 垂 直 时 ， 有 f (x1)f (x2)=-1，当 x 0 时 ， (2x1+2)(2x2+2)=-1， x1 x2 0， 2x1+2 0， 2x2+2 0， x2-x1= -(2x1+2)+(2x2+2) =1， 若 函 数 f(x)的 图 象 在 点 A， B 处 的 切 线 互 相 垂 直 ， 有 x2-x1 1；(III)当 x
32、1 x2 0， 或 0 x1 x2时 ， f (x1) f (x2)， 故 x1 0 x2，当 x 1 0 时 ， 函 数 f(x)在 点 A(x1， f(x1)处 的 切 线 方 程 为 y-(x +2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)；当 x2 0 时 ， 函 数 f(x)在 点 B(x2， f(x2)处 的 切 线 方 程 为 y-lnx2= (x-x2)；两 直 线 重 合 的 充 要 条 件 是 ，由 及 x 1 0 x2得 0 2， 由 得 a=lnx2+( )2-1=-ln + ( )2-1，令 t= ， 则 0 t 2， 且 a= t2-t-lnt， 设 h(t)= t2-t-lnt， (0 t 2) 则 h (t)= t-1- = ， h(t)在 (0， 2)为 减 函 数 ，则 h(t) h(2)=-ln2-1， a -ln2-1， 若 函 数 f(x)的 图 象 在 点 A， B处 的 切 线 重 合 ， a 的 取 值 范 围 (-ln2-1， + ).
