1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 北 京 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合 题 目要 求 的 一 项 .1.(5分 )已 知 集 合 A=-1， 0， 1， B=x|-1 x 1， 则 A B=( )A.0B.-1， 0C.0， 1D.-1， 0， 1解 析 ： A=-1， 0， 1， B=x|-1 x 1， A B=-1， 0.答 案 ： B 2.(5分 )在 复 平 面 内 ， 复 数 (2-i)2对 应 的 点 位 于 (
2、 )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 复 数 (2-i)2=4-4i+i2=3-4i， 复 数 对 应 的 点 (3， -4)，所 以 在 复 平 面 内 ， 复 数 (2-i)2对 应 的 点 位 于 第 四 象 限 .答 案 ： D.3.(5分 )“ = ” 是 “ 曲 线 y=sin(2x+ )过 坐 标 原 点 ” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： = 时 ， 曲 线 y=sin(2x+ )=-sin2x， 过
3、坐 标 原 点 .但 是 ， 曲 线 y=sin(2x+ )过 坐 标 原 点 ， 即 O(0， 0)在 图 象 上 ，将 (0， 0)代 入 解 析 式 整 理 即 得 sin =0， =k ， k Z， 不 一 定 有 = .故 “ = ” 是 “ 曲 线 y=sin(2x+ )过 坐 标 原 点 ” 的 充 分 而 不 必 要 条 件 .答 案 ： A.4.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S 值 为 ( ) A.1B.C.D.解 析 ： 框 图 首 先 给 变 量 i和 S赋 值 0 和 1.执 行 ， i=0+1=1；判 断 1 2 不 成 立 ，
4、 执 行 ， i=1+1=2； 判 断 2 2 成 立 ， 算 法 结 束 ， 跳 出 循 环 ， 输 出 S 的 值 为 .答 案 ： C.5.(5分 )函 数 f(x)的 图 象 向 右 平 移 1 个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 与 曲 线 y=ex关 于 y 轴 对 称 ， 则f(x)=( )A.ex+1B.e x-1C.e-x+1D.e-x-1解 析 ： 函 数 y=ex的 图 象 关 于 y 轴 对 称 的 图 象 的 函 数 解 析 式 为 y=e-x，而 函 数 f(x)的 图 象 向 右 平 移 1个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 与 曲 线 y=ex的 图 象
5、 关 于 y轴 对 称 ，所 以 函 数 f(x)的 解 析 式 为 y=e-(x+1)=e-x-1.即 f(x)=e-x-1.答 案 ： D.6.(5分 )若 双 曲 线 的 离 心 率 为 ， 则 其 渐 近 线 方 程 为 ( ) A.y= 2xB.C.D.解 析 ： 由 双 曲 线 的 离 心 率 ， 可 知 c= a，又 a 2+b2=c2， 所 以 b= a， 所 以 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ： y= = x.答 案 ： B.7.(5分 )直 线 l过 抛 物 线 C： x2=4y的 焦 点 且 与 y 轴 垂 直 ， 则 l 与 C 所 围 成 的 图 形 的 面
6、 积 等 于( )A.B.2C.D. 解 析 ： 抛 物 线 x2=4y的 焦 点 坐 标 为 (0， 1)， 直 线 l 过 抛 物 线 C： x 2=4y的 焦 点 且 与 y 轴 垂 直 ， 直 线 l 的 方 程 为 y=1，由 ， 可 得 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 -2， 2. 直 线 l 与 抛 物 线 围 成 的 封 闭 图 形 面 积 为 =( x- )| = .答 案 ： C.8.(5分 )设 关 于 x， y的 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 内 存 在 点 P(x 0， y0)，满 足 x0-2y0=2， 求 得 m 的 取 值 范 围 是 ( )
7、A.B.C.D.解 析 ： 先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域 ， 要 使 可 行 域 存 在 ， 必 有 m -2m+1， 要 求 可 行 域 包 含 直 线 y= x-1上 的 点 ， 只 要 边 界 点 (-m，1-2m)，在 直 线 y= x-1的 上 方 ， 且 (-m， m)在 直 线 y= x-1 的 下 方 ，故 得 不 等 式 组 ， 解 之 得 ： m - .答 案 ： C.二 、 填 空 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分 . 9.(5分 )在 极 坐 标 系 中 ， 点 (2， )到 直 线 sin =2 的 距 离 等 于 . 解
8、析 ： 在 极 坐 标 系 中 ， 点 化 为 直 角 坐 标 为 ( ， 1)， 直 线 sin =2 化 为直 角 坐 标 方 程 为 y=2， ( ， 1)， 到 y=2的 距 离 1， 即 为 点 到 直 线 sin =2的 距 离 1，答 案 ： 1.10.(5分 )若 等 比 数 列 a n满 足 a2+a4=20， a3+a5=40， 则 公 比 q= ； 前 n 项 和 Sn= .解 析 ： 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， a2+a4=20， a3+a5=40， ， 解 得 . = =2n+1-2.答 案 ： 2， 2 n+1-2.11.(5分 )如 图 ， AB
9、为 圆 O的 直 径 ， PA 为 圆 O 的 切 线 ， PB与 圆 O 相 交 于 D， 若 PA=3， PD： DB=9：16， 则 PD= ， AB= .解 析 ： 由 PD： DB=9： 16， 可 设 PD=9x， DB=16x. PA 为 圆 O的 切 线 ， PA 2=PD PB， 32=9x (9x+16x)， 化 为 ， . PD=9x= ，PB=25x=5. AB 为 圆 O的 直 径 ， PA 为 圆 O 的 切 线 ， AB PA. = =4.答 案 ： ， 4.12.(5分 )将 序 号 分 别 为 1， 2， 3， 4， 5的 5张 参 观 券 全 部 分 给 4
10、 人 ， 每 人 至 少 1张 ， 如 果分 给 同 一 人 的 2张 参 观 券 连 号 ， 那 么 不 同 的 分 法 种 数 是 .解 析 ： 5 张 参 观 券 全 部 分 给 4 人 ， 分 给 同 一 人 的 2张 参 观 券 连 号 ， 方 法 数 为 ： 1 和 2， 2 和 3，3和 4， 4 和 5， 四 种 连 号 ， 其 它 号 码 各 为 一 组 ， 分 给 4 人 ， 共 有 4 =96 种 . 答 案 ： 96. 13.(5分 )向 量 ， ， 在 正 方 形 网 格 中 的 位 置 如 图 所 示 ， 若， 则 = .解 析 ： 以 向 量 、 的 公 共 点
11、为 坐 标 原 点 ， 建 立 如 图 直 角 坐 标 系 ， 可 得 =(-1， 1)， =(6， 2)， =(-1， -3)， ， ， 解 之 得 =-2且 =- 因 此 ， = =4答 案 ： 414.(5分 )如 图 ， 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD-A 1B1C1D1中 ， E为 BC的 中 点 ， 点 P 在 线 段 D1E 上 ，点 P 到 直 线 CC1的 距 离 的 最 小 值 为 .解 析 ： 如 图 所 示 ， 取 B 1C1的 中 点 F， 连 接 EF， ED1， CC1 EF， 又 EF平 面 D1EF， CC1平 面 D1EF， CC1 平 面 D
12、1EF. 直 线 C1C上 任 一 点 到 平 面 D1EF的 距 离 是 两 条 异 面 直 线 D1E与 CC1的 距 离 .过 点 C1作 C1M D1F， 平 面 D1EF 平 面 A1B1C1D1. C1M 平 面 D1EF.过 点 M 作 MP EF交 D1E 于 点 P， 则 MP C1C.取 C1N=MP， 连 接 PN， 则 四 边 形 MPNC1是 矩 形 .可 得 NP 平 面 D1EF，在 Rt D1C1F 中 ， C1M D1F=D1C1 C1F， 得 = . 点 P到 直 线 CC1的 距 离 的 最小 值 为 .答 案 ：三 、 解 答 题 共 6 小 题 ， 共
13、 50分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 演 算 步 骤 15.(13分 )在 ABC 中 ， a=3， b=2 ， B=2 A.( )求 cosA的 值 ；( )求 c 的 值 .解 析 ： ( )由 条 件 利 用 正 弦 定 理 和 二 倍 角 公 式 求 得 cosA 的 值 .( )由 条 件 利 用 余 弦 定 理 ， 解 方 程 求 得 c 的 值 .答 案 ： ( )由 条 件 在 ABC中 ， a=3， ， B=2 A，利 用 正 弦 定 理 可 得 ， 即 = .解 得 cosA= .( )由 余 弦 定 理 可 得 a 2=b2+c2-2bc cosA， 即 9
14、= +c2-2 2 c ，即 c2-8c+15=0.解 方 程 求 得 c=5， 或 c=3.当 c=3时 ， 此 时 a=c=3， 根 据 B=2 A， 可 得 B=90 ， A=C=45 ， ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 但 此 时 不 满 足 a2+c2=b2， 故 舍 去 .综 上 ， c=5.16.(13分 )如 图 是 某 市 3月 1日 至 14 日 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图 ， 空 气 质 量 指 数 小 于 100表示 空 气 质 量 优 良 ， 空 气 质 量 指 数 大 于 200表 示 空 气 重 度 污 染 .某 人 随 机 选 择 3 月
15、1 日 至 3 月13日 中 的 某 一 天 到 达 该 市 ， 并 停 留 2 天 . ( )求 此 人 到 达 当 日 空 气 重 度 污 染 的 概 率 ；( )设 X 是 此 人 停 留 期 间 空 气 质 量 优 良 的 天 数 ， 求 X的 分 布 列 与 数 学 期 望 ；( )由 图 判 断 从 哪 天 开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大 ？ (结 论 不 要 求 证 明 ) 解 析 ： ( )由 题 意 此 人 随 机 选 择 某 一 天 到 达 该 城 市 且 停 留 2 天 ， 因 此 他 必 须 在 3月 1日 至13日 的 某 一 天
16、到 达 该 城 市 ， 由 图 可 以 看 出 期 间 有 2 天 属 于 重 度 污 染 ， 据 此 即 可 得 到 所 求 概率 ；( )由 题 意 可 知 X 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 2.由 图 可 以 看 出 在 3 月 1 日 至 14日 属 于 优 良 天 气的 共 有 7 天 . 当 此 人 在 3 月 4 号 ， 5 号 ， 8号 ， 9 号 ， 10号 这 5 天 的 某 一 天 到 达 该 城 市 时 ，停 留 的 2 天 都 不 是 优 良 天 气 ； 当 此 人 在 3 月 3 号 ， 6 号 ， 7 号 ， 11号 ， 这 4 天 的 某 一 天 到达
17、 该 城 市 时 ， 停 留 的 2天 1不 是 优 良 天 气 1 天 是 优 良 天 气 ； 当 此 人 在 3 月 1 号 ， 2号 ， 12号 ， 13号 ， 这 4天 的 某 一 天 到 达 该 城 市 时 ， 停 留 的 2天 都 是 优 良 天 气 根 据 以 上 分 析 即 可 得出 P(X=0)， P(X=1)， p(x=2)及 分 布 列 与 数 学 期 望 .( )由 图 判 断 从 3 月 5 天 开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 波 动 最 大 ， 因 此 方 差 最 大 .答 案 ： ( )设 “ 此 人 到 达 当 日 空 气 重 度 污 染 ”
18、 为 事 件 A.因 为 此 人 随 机 选 择 某 一 天 到 达 该 城 市 且 停 留 2 天 ， 因 此 他 必 须 在 3月 1日 至 13 日 的 某 一 天 到 达 该 城 市 ， 由 图 可 以 看 出 期 间 有 2 天 属 于 重 度 污 染 ， 故 P(A)= .( )由 题 意 可 知 X 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 2.由 图 可 以 看 出 在 3 月 1 日 至 14日 属 于 优 良 天 气 的 共 有 7 天 . 当 此 人 在 3 月 4 号 ， 5号 ， 8 号 ， 9 号 ， 10号 这 5 天 的 某 一 天 到 达 该 城 市 时 ， 停
19、 留 的 2 天都 不 是 优 良 天 气 ， 故 P(X=0)= ； 当 此 人 在 3 月 3 号 ， 6 号 ， 7 号 ， 11号 ， 这 4 天 的 某 一 天 到 达 该 城 市 时 ， 停 留 的 2 天 中 的1天 不 是 优 良 天 气 1天 是 优 良 天 气 ， 故 P(X=1)= ； 当 此 人 在 3 月 1 号 ， 2号 ， 12 号 ， 13号 ， 这 4天 的 某 一 天 到 达 该 城 市 时 ， 停 留 的 2天 都是 优 良 天 气 ， 故 P(X=2)= .故 X的 分 布 列 如 下 . E(X)= = .( )由 图 判 断 从 3 月 5 日 开
20、始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 波 动 最 大 ， 因 此 方 差 最 大 .17.(14分 )如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AA1C1C是 边 长 为 4的 正 方 形 .平 面 ABC 平 面 AA1C1C，AB=3， BC=5. ( )求 证 ： AA1 平 面 ABC；( )求 证 二 面 角 A1-BC1-B1的 余 弦 值 ； ( )证 明 ： 在 线 段 BC1上 存 在 点 D， 使 得 AD A1B， 并 求 的 值 .解 析 ： (I)利 用 AA1C1C 是 正 方 形 ， 可 得 AA1 AC， 再 利 用 面 面 垂 直 的
21、性 质 即 可 证 明 ；(II)利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 可 得 AB AC.通 过 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 利 用 两 个 平 面 的 法 向 量的 夹 角 即 可 得 到 二 面 角 ；(III)设 点 D 的 竖 坐 标 为 t， (0 t 4)， 在 平 面 BCC1B1中 作 DE BC 于 E， 可 得D ， 利 用 向 量 垂 直 于 数 量 积 得 关 系 即 可 得 出 .答 案 ： (I) AA 1C1C 是 正 方 形 ， AA1 AC.又 平 面 ABC 平 面 AA1C1C， 平 面 ABC 平 面 AA1C1C=AC， AA1 平 面
22、 ABC.(II)由 AC=4， BC=5， AB=3. AC2+AB2=BC2， AB AC.建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 A1(0， 0， 4)， B(0， 3， 0)， B1(0， 3， 4)， C1(4， 0， 4)， ， ， .设 平 面 A 1BC1的 法 向 量 为 ， 平 面 B1BC1的 法 向 量 为 =(x2， y2， z2).则 ， 令 y1=4， 解 得 x1=0， z1=3， .， 令 x2=3， 解 得 y2=4， z2=0， .= = = . 二 面 角 A 1-BC1-B1的 余 弦 值 为 .(III)设 点 D 的 竖 坐
23、 标 为 t， (0 t 4)， 在 平 面 BCC1B1中 作 DE BC于 E， 可 得 D ， = ， =(0， 3， -4)， ， ， ， 解 得 t= . .18.(13分 )设 l为 曲 线 C： y= 在 点 (1， 0)处 的 切 线 .( )求 l 的 方 程 ；( )证 明 ： 除 切 点 (1， 0)之 外 ， 曲 线 C在 直 线 l的 下 方 .解 析 ： ( )求 出 切 点 处 切 线 斜 率 ， 代 入 代 入 点 斜 式 方 程 ， 可 以 求 解 ；( )利 用 导 数 分 析 函 数 的 单 调 性 ， 进 而 分 析 出 函 数 图 象 的 形 状 ，
24、可 得 结 论 .答 案 ： ( ) l的 斜 率 k=y | x=1=1 l 的 方 程 为 y=x-1，( )令 f(x)=x(x-1)-lnx， (x 0)，曲 线 C在 直 线 l的 下 方 ， 即 f(x)=x(x-1)-lnx 0，则 f (x)=2x-1- = ， f(x)在 (0， 1)上 单 调 递 减 ， 在 (1， + )上 单 调 递 增 ， 又 f(1)=0， x (0， 1)时 ， f(x) 0， 即 x-1， x (1， + )时 ， f(x) 0， 即 x-1，即 除 切 点 (1， 0)之 外 ， 曲 线 C 在 直 线 l 的 下 方 .19.(14分 )已
25、 知 A， B， C是 椭 圆 W： 上 的 三 个 点 ， O 是 坐 标 原 点 . ( )当 点 B是 W的 右 顶 点 ， 且 四 边 形 OABC 为 菱 形 时 ， 求 此 菱 形 的 面 积 ；( )当 点 B不 是 W 的 顶 点 时 ， 判 断 四 边 形 OABC 是 否 可 能 为 菱 形 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (I)根 据 B的 坐 标 为 (2， 0)且 AC 是 OB 的 垂 直 平 分 线 ， 结 合 椭 圆 方 程 算 出 A、 C 两 点 的坐 标 ， 从 而 得 到 线 段 AC 的 长 等 于 .再 结 合 OB 的 长 为 2 并 利 用
26、 菱 形 的 面 积 公 式 ， 即 可 算出 此 时 菱 形 OABC的 面 积 ；(II)若 四 边 形 OABC为 菱 形 ， 根 据 |OA|=|OC|与 椭 圆 的 方 程 联 解 ， 算 出 A、 C 的 横 坐 标 满 足=r 2-1， 从 而 得 到 A、 C的 横 坐 标 相 等 或 互 为 相 反 数 .再 分 两 种 情 况 加 以 讨 论 ， 即 可 得 到当 点 B 不 是 W 的 顶 点 时 ， 四 边 形 OABC不 可 能 为 菱 形 .答 案 ： (I) 四 边 形 OABC为 菱 形 ， B 是 椭 圆 的 右 顶 点 (2， 0)， 直 线 AC 是 BO
27、的 垂 直 平 分 线 ， 可 得 AC方 程 为 x=1，设 A(1， t)， 得 ， 解 之 得 t= (舍 负 )， A 的 坐 标 为 (1， )， 同 理 可 得 C的 坐 标 为 (1， - )，因 此 ， |AC|= ， 可 得 菱 形 OABC的 面 积 为 S= |AC| |B0|= ；(II) 四 边 形 OABC 为 菱 形 ， |OA|=|OC|， 设 |OA|=|OC|=r(r 1)， 得 A、 C 两 点 是 圆 x2+y2=r2，与 椭 圆 的 公 共 点 ， 解 之 得 =r2-1，设 A、 C 两 点 横 坐 标 分 别 为 x1、 x2， 可 得 A、 C
28、两 点 的 横 坐 标 满 足x1=x2= ， 或 x1= 且 x2=- ， 当 x 1=x2= 时 ， 可 得 若 四 边 形 OABC为 菱 形 ， 则 B点 必 定 是 右 顶 点 (2， 0)； 若 x1= 且 x2=- ， 则 x1+x2=0，可 得 AC的 中 点 必 定 是 原 点 O， 因 此 A、 O、 C共 线 ， 可 得 不 存 在 满 足 条 件 的 菱 形 OABC综 上 所 述 ， 可 得 当 点 B 不 是 W的 顶 点 时 ， 四 边 形 OABC不 可 能 为 菱 形 .20.(13分 )已 知 a n是 由 非 负 整 数 组 成 的 无 穷 数 列 ， 该
29、 数 列 前 n 项 的 最 大 值 记 为 An， 第 n 项之 后 各 项 an+1， an+2 的 最 小 值 记 为 Bn， dn=An-Bn.( )若 an为 2， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3 ， 是 一 个 周 期 为 4 的 数 列 (即 对 任 意 n N*， an+4=an)，写 出 d1， d2， d3， d4的 值 ；( )设 d 是 非 负 整 数 ， 证 明 ： dn=-d(n=1， 2， 3 )的 充 分 必 要 条 件 为 an是 公 差 为 d 的 等 差数 列 ；( )证 明 ： 若 a1=2， dn=1(n=1， 2， 3， )， 则 an的 项
30、 只 能 是 1 或 者 2， 且 有 无 穷 多 项 为 1.解 析 ： ( )根 据 条 件 以 及 d n=An-Bn 的 定 义 ， 直 接 求 得 d1， d2， d3， d4的 值 .( )设 d 是 非 负 整 数 ， 若 an是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 则 an=a1+(n-1)d， 从 而 证 得 dn=An-Bn=-d，(n=1， 2， 3， 4 ).若 dn=An-Bn=-d， (n=1， 2， 3， 4 ).可 得 an是 一 个 不 减 的 数 列 ，求 得 dn=An-Bn=-d， 即 an+1-an=d， 即 an是 公 差 为 d 的 等 差 数
31、 列 ， 命 题 得 证 .( )若 a1=2， dn=1(n=1， 2， 3， )， 则 an的 项 不 能 等 于 零 ， 再 用 反 证 法 得 到 an的 项 不 能超 过 2，从 而 证 得 命 题 .答 案 ： ( )若 a n为 2， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3 ， 是 一 个 周 期 为 4 的 数 列 ， d1=A1-B1=2-1=1，d2=A2-B2=2-1=1， d3=A3-B3=4-1=3， d4=A4-B4=4-1=3.( )充 分 性 ： 设 d 是 非 负 整 数 ， 若 an是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 则 an=a1+(n-1)d，
32、An=an=a1+(n-1)d， Bn=an+1=a1+nd， dn=An-Bn=-d， (n=1， 2， 3， 4 ).必 要 性 ： 若 dn=An-Bn=-d， (n=1， 2， 3， 4 ).假 设 ak是 第 一 个 使 ak-ak-1 0的 项 ，则 dk=Ak-Bk=ak-1-Bk ak-1-ak 0， 这 与 dn=-d 0 相 矛 盾 ， 故 an是 一 个 不 减 的 数 列 . dn=An-Bn=an-an+1=-d， 即 an+1-an=d， 故 an是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 . ( )证 明 ： 若 a1=2， dn=1(n=1， 2， 3， )， 首
33、先 ， an的 项 不 能 等 于 零 ， 否 则 d1=2-0=2， 矛盾 .而 且 还 能 得 到 an的 项 不 能 超 过 2， 用 反 证 法 证 明 如 下 ：假 设 an的 项 中 ， 有 超 过 2 的 ， 设 am是 第 一 个 大 于 2的 项 ， 由 于 an的 项 中 一 定 有 1， 否 则与 d1=1矛 盾 .当 n m 时 ， an 2， 否 则 与 dm=1 矛 盾 .因 此 ， 存 在 最 大 的 i在 2到 m-1之 间 ， 使 ai=1， 此 时 ， di=Ai-Bi=2-Bi 2-2=0， 矛 盾 .综 上 ， a n的 项 不 能 超 过 2， 故 an的 项 只 能 是 1或 者 2.下 面 用 反 证 法 证 明 an的 项 中 ， 有 无 穷 多 项 为 1.若 ak是 最 后 一 个 1， 则 ak是 后 边 的 各 项 的 最 小 值 都 等 于 2， 故 dk=Ak-Bk=2-2=0， 矛 盾 ，故 an的 项 中 ， 有 无 穷 多 项 为 1.综 上 可 得 ， an的 项 只 能 是 1或 者 2， 且 有 无 穷 多 项 为 1.
