1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 北 京 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合 题 目要 求 的 一 项 .1.(5分 )已 知 集 合 A=-1， 0， 1， B=x|-1 x 1， 则 A B=( )A.0B.-1， 0C.0， 1D.-1， 0， 1解 析 ： A=-1， 0， 1， B=x|-1 x 1， A B=-1， 0.答 案 ： B 2.(5分 )设 a， b， c R， 且 a b， 则 ( )A.ac bcB.C
2、.a2 b2D.a3 b3解 析 ： A.3 2， 但 是 3 (-1) 2 (-1)， 故 A 不 正 确 ；B.1 -2， 但 是 ， 故 B 不 正 确 ；C.-1 -2， 但 是 (-1) 2 (-2)2， 故 C 不 正 确 ；D. a b， a3 b3， 成 立 .答 案 ： D.3.(5分 )下 列 函 数 中 ， 既 是 偶 函 数 又 在 区 间 (0， + )上 是 单 调 递 减 的 是 ( )A.B.y=e -xC.y=-x2+1D.y=lg|x|解 析 ： 对 于 A， 函 数 满 足 f(-x)=- =-f(x)，可 得 函 数 是 奇 函 数 ， 且 不 是 偶
3、函 数 ， 可 得 A项 不 符 合 题 意 ；对 于 B， 函 数 y=e-x不 满 足 f(-x)=f(x)， 得 函 数 不 是 偶 函 数 ， 可 得 B项 不 符 合 题 意 ；对 于 C， 函 数 y=-x 2+1满 足 f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1=f(x)， 函 数 y=-x2+1是 R上 的 偶 函 数又 函 数 y=-x2+1的 图 象 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 ， 关 于 y 轴 对 称 当 x (0， + )时 ， 函 数 为 减 函 数 .故 C 项 符 合 题 意对 于 D， 因 为 当 x (0， + )时 ， 函 数 y=lg|x|=lgx
4、， 底 数 10 1所 以 函 数 y=lg|x|在 区 间 (0， + )上 是 单 调 递 增 的 函 数 ， 可 得 D 项 不 符 合 题 意 .答 案 ： C 4.(5分 )在 复 平 面 内 ， 复 数 i(2-i)对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 复 数 z=i(2-i)=-i2+2i=1+2i 复 数 对 应 的 点 的 坐 标 是 (1， 2)， 这 个 点 在 第 一 象 限 ，答 案 ： A.5.(5分 )在 ABC中 ， a=3， b=5， sinA= ， 则 sinB=( )A. B.C.
5、D.1解 析 ： a=3， b=5， sinA= ， 由 正 弦 定 理 得 ： sinB= = = .答 案 ： B6.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S 值 为 ( ) A.1B.C. D.解 析 ： 框 图 首 先 给 变 量 i和 S赋 值 0 和 1.执 行 ， i=0+1=1；判 断 1 2 不 成 立 ， 执 行 ， i=1+1=2；判 断 2 2 成 立 ， 算 法 结 束 ， 跳 出 循 环 ， 输 出 S 的 值 为 .答 案 ： C. 7.(5分 )双 曲 线 的 离 心 率 大 于 的 充 分 必 要 条 件 是 ( )A.B.m
6、1C.m 1D.m 2解 析 ： 双 曲 线 ， 说 明 m 0， a=1， b= ， 可 得 c= ， 离 心 率 e 等 价 于 m 1， 双 曲 线 的 离 心 率 大 于 的 充 分 必 要 条 件 是 m 1.答 案 ： C.8.(5分 )如 图 ， 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， P 为 对 角 线 BD1的 三 等 分 点 ， P 到 各 顶 点 的 距 离 的不 同 取 值 有 ( ) A.3 个B.4 个C.5 个D.6 个 解 析 ： 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 不 妨 设 正 方 体 的 棱 长 |AB|=3， 则 A(3
7、， 0， 0)， B(3， 3， 0)， C(0， 3， 0)， D(0， 0， 0)， A1(3， 0， 3)， B1(3， 3， 3)， C1(0，3， 3)， D1(0， 0， 3)， =(-3， -3， 3)， 设 P(x， y， z)， =(-1， -1， 1)， =(2， 2， 1). |PA|=|PC|=|PB 1|= = ，|PD|=|PA1|=|PC1|= ，|PB|= ，|PD1|= = .故 P 到 各 顶 点 的 距 离 的 不 同 取 值 有 ， 3， ， 共 4 个 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分 .9.
8、(5分 )若 抛 物 线 y 2=2px的 焦 点 坐 标 为 (1， 0)， 则 p= ； 准 线 方 程 为 .解 析 ： 抛 物 线 y2=2px的 焦 点 坐 标 为 (1， 0)， =1， p=2，抛 物 线 的 方 程 为 y2=4x， 其 标 准 方 程 为 ： x=-1，答 案 ： 2， x=-1.10.(5分 )某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 该 四 棱 锥 的 体 积 为 . 解 析 ： 几 何 体 为 底 面 边 长 为 3的 正 方 形 ， 高 为 1的 四 棱 锥 ， 所 以 体 积 .答 案 ： 3.11.(5分 )若 等 比 数 列 an满 足
9、 a2+a4=20， a3+a5=40， 则 公 比 q= ； 前 n 项 和 Sn= .解 析 ： 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， a 2+a4=20， a3+a5=40， ， 解 得 . = =2n+1-2.答 案 ： 2， 2n+1-2.12.(5分 )设 D 为 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 ， 区 域 D上 的 点 与 点 (1， 0)之 间 的距 离 的 最 小 值 为 .解 析 ： 如 图 可 行 域 为 阴 影 部 分 ， 由 其 几 何 意 义 为 点 A(1， 0)到 直 线 2x-y=0 距 离 ， 即 为 所 求 ， 由 点 到 直 线 的
10、距 离 公 式 得 ： d= = ， 则 区 域 D 上 的 点 与 点 (1， 0)之 间 的 距 离 的 最小 值 等 于 .答 案 ： .13.(5分 )函 数 的 值 域 为 .解 析 ： 当 x 1 时 ， f(x)= ； 当 x 1 时 ， 0 f(x)=2x 21=2.所 以 函 数 的 值 域 为 (- ， 2).答 案 ： (- ， 2).14.(5分 )已 知 点 A(1， -1)， B(3， 0)， C(2， 1).若 平 面 区 域 D由 所 有 满 足(1 2， 0 1)的 点 P组 成 ， 则 D 的 面 积 为 .解 析 ： 设 P的 坐 标 为 (x， y)，
11、则 =(2， 1)， =(1， 2)， =(x-1， y+1)， ， ， 解 之 得 1 2， 0 1， 点 P 坐 标 满 足 不 等 式 组作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 ， 得 到 如 图 的 平 行 四 边 形 CDEF 及 其 内 部 ，其 中 C(4， 2)， D(6， 3)， E(5， 1)， F(3， 0) |CF|= = ， 点 E(5， 1)到 直 线 CF： 2x-y-6=0的 距 离 为 d= = 平 行 四 边 形 CDEF 的 面 积 为 S=|CF| d= =3， 即 动 点 P 构 成 的 平 面 区 域 D 的 面 积为 3答 案 ： 3三
12、 、 解 答 题 共 6 小 题 ， 共 80分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 演 算 步 骤 或 证 明 过 程 .15.(13分 )已 知 函 数 f(x)= .( )求 f(x)的 最 小 正 周 期 及 最 大 值 ；( )若 ( ， )， 且 f( )= ， 求 的 值 . 解 析 ： ( )利 用 二 倍 角 的 正 弦 函 数 以 及 两 角 和 的 正 弦 函 数 化 简 函 数 为 一 个 角 的 一 个 三 角 函 数的 形 式 ， 通 过 周 期 公 式 求 f(x)的 最 小 正 周 期 ， 利 用 三 角 函 数 的 最 值 求 出 函 数 的 最 大 值
13、 ；( )通 过 ， 且 ， 求 出 的 正 弦 值 ， 然 后 求 出 角 即 可 .答 案 ： ( )因 为 = = ， T= = ，函 数 的 最 大 值 为 ： .( ) f(x)= ， ， 所 以 ， ， k Z， ， 又 ， .16.(13分 )如 图 是 某 市 3月 1日 至 14日 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图 .空 气 质 量 指 数 小 于 100表 示空 气 质 量 优 良 ， 空 气 质 量 指 数 大 于 200表 示 空 气 重 度 污 染 .某 人 随 机 选 择 3月 1日 至 3 月 13日 中 的 某 一 天 到 达 该 市 ， 并 停 留 2天
14、 . ( )求 此 人 到 达 当 日 空 气 质 量 优 良 的 概 率 ；( )求 此 人 在 该 市 停 留 期 间 只 有 1天 空 气 重 度 污 染 的 概 率 ；( )由 图 判 断 从 哪 天 开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大 ？ (结 论 不 要 求 证 明 )解 析 ： ( )由 图 查 出 13 天 内 空 气 质 量 指 数 小 于 100 的 天 数 ， 直 接 利 用 古 典 概 型 概 率 计 算 公式 得 到 答 案 ；( )用 列 举 法 写 出 此 人 在 该 市 停 留 两 天 的 空 气 质 量 指 数 的 所 有 情
15、况 ， 查 出 仅 有 一 天 是 重 度 污染 的 情 况 ， 然 后 直 接 利 用 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 得 到 答 案 ；( )因 为 方 差 越 大 ， 说 明 三 天 的 空 气 质 量 指 数 越 不 稳 定 ， 由 图 直 接 看 出 答 案 .答 案 ： ( )由 图 看 出 ， 1 日 至 13日 13 天 的 时 间 内 ， 空 气 质 量 优 良 的 是 1日 、 2 日 、 3 日 、 7日 、 12日 、 13 日 共 6 天 .由 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 得 ， 此 人 到 达 当 日 空 气 质 量 优 良 的 概 率 p= ；
16、( )此 人 在 该 市 停 留 期 间 两 天 的 空 气 质 量 指 数 (86， 25)、 (25， 57)、 (57， 143)、 (143， 220)、 (220， 160)、 (160， 40)、 (40， 217)、 (217， 160)、 (160， 121)、 (121， 158)、 (158， 86)、(86， 79)、 (79， 34)， 共 13 种 情 况 .其 中 只 有 1天 空 气 重 度 污 染 的 是 (143， 220)、 (220， 160)、 (40， 217)、 (217， 160)共 4 种情 况 ， 所 以 此 人 在 该 市 停 留 期 间 只
17、 有 1天 空 气 重 度 污 染 的 概 率 p= ；( )因 为 方 差 越 大 ， 说 明 三 天 的 空 气 质 量 指 数 越 不 稳 定 ， 由 图 看 出 从 5日 开 始 连 续 5、 6、 7三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大 .17.(13分 )如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， AB CD， AB AD， CD=2AB， 平 面 PAD 底 面 ABCD，PA AD.E和 F 分 别 是 CD和 PC的 中 点 ， 求 证 ： ( )PA 底 面 ABCD；( )BE 平 面 PAD；( )平 面 BEF 平 面 PCD.解 析 ： ( )根
18、据 条 件 ， 利 用 平 面 和 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得 PA 平 面 ABCD.( )根 据 已 知 条 件 判 断 ABED 为 平 行 四 边 形 ， 故 有 BE AD， 再 利 用 直 线 和 平 面 平 行 的 判 定 定理 证 得 BE 平 面 PAD.( )先 证 明 ABED为 矩 形 ， 可 得 BE CD .现 证 CD 平 面 PAD， 可 得 CD PD， 再 由 三 角 形 中位 线 的 性 质 可 得 EF PD， 从 而 证 得 CD EF .结 合 利 用 直 线 和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 得 CD 平 面 BEF， 再
19、 由 平面 和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理证 得 平 面 BEF 平 面 PCD.答 案 ： ( ) PA AD， 平 面 PAD 平 面 ABCD， 平 面 PAD 平 面 ABCD=AD， 由 平 面 和 平 面 垂 直的 性 质 定 理 可 得 PA 平 面 ABCD.( ) AB CD， AB AD， CD=2AB， E 和 F 分 别 是 CD 和 PC的 中 点 ， 故 四 边 形 ABED为 平 行 四边 形 ， 故 有 BE AD.又 AD平 面 PAD， BE 不 在 平 面 PAD内 ， 故 有 BE 平 面 PAD.( )平 行 四 边 形 ABED中 ， 由 A
20、B AD 可 得 ， ABED为 矩 形 ， 故 有 BE CD .由 PA 平 面 ABCD， 可 得 PA AB， 再 由 AB AD 可 得 AB 平 面 PAD， CD 平 面 PAD， 故 有CD PD.再 由 E、 F 分 别 为 CD和 PC的 中 点 ， 可 得 EF PD， CD EF .而 EF 和 BE是 平 面 BEF内 的 两 条 相 交 直 线 ， 故 有 CD 平 面 BEF. 由 于 CD平 面 PCD， 平 面 BEF 平 面 PCD.18.(13分 )已 知 函 数 f(x)=x2+xsinx+cosx.( )若 曲 线 y=f(x)在 点 (a， f(a)
21、处 与 直 线 y=b相 切 ， 求 a 与 b 的 值 ；( )若 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=b有 两 个 不 同 交 点 ， 求 b的 取 值 范 围 .解 析 ： (I)由 题 意 可 得 f (a)=0， f(a)=b， 联 立 解 出 即 可 ；(II)利 用 导 数 得 出 其 单 调 性 与 极 值 即 最 值 ， 得 到 值 域 即 可 .答 案 ： (I)f (x)=2x+xcosx， 曲 线 y=f(x)在 点 (a， f(a)处 与 直 线 y=b相 切 ， f (a)=0， f(a)=b， 联 立 ， 解 得 ， 故 a=0， b=1.(II) f (x)=x
22、(2+cosx).于 是 当 x 0时 ， f (x) 0， 故 f(x)单 调 递 增 . 当 x 0 时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 . 当 x=0时 ， f(x)取 得 最 小 值 f(0)=1，故 当 b 1 时 ， 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=b有 两 个 不 同 交 点 .故 b的 取 值 范 围 是 (1， + ).19.(14分 )直 线 y=kx+m(m 0)与 椭 圆 相 交 于 A， C 两 点 ， O 是 坐 标 原 点 .( )当 点 B的 坐 标 为 (0， 1)， 且 四 边 形 OABC为 菱 形 时 ， 求 AC的 长 ；( )当 点
23、 B在 W上 且 不 是 W 的 顶 点 时 ， 证 明 ： 四 边 形 OABC不 可 能 为 菱 形 .解 析 ： (I)先 根 据 条 件 得 出 线 段 OB的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y= ， 从 而 A、 C的 坐 标 为 ( ，)， 根 据 两 点 间 的 距 离 公 式 即 可 得 出 AC的 长 ；(II)欲 证 明 四 边 形 OABC不 可 能 为 菱 形 ， 只 须 证 明 若 OA=OC， 则 A、 C 两 点 的 横 坐 标 相 等 或 互 为 相 反 数 .设 OA=OC=r， 则 A、 C为 圆 x2+y2=r2与 椭 圆 的 交 点 ， 从 而 解 得
24、， 则 A、 C 两 点 的 横 坐 标 相 等 或 互 为 相 反 数 .于 是 结 论 得 证 .答 案 ： (I) 点 B 的 坐 标 为 (0， 1)， 当 四 边 形 OABC为 菱 形 时 ， AC OB， 而 B(0， 1)， O(0，0)， 线 段 OB 的 垂 直 平 分 线 为 y= ，将 y= 代 入 椭 圆 方 程 得 x= ， 因 此 A、 C 的 坐 标 为 ( ， )， 如 图 ， 于 是 AC=2 . (II)欲 证 明 四 边 形 OABC 不 可 能 为 菱 形 ， 利 用 反 证 法 ， 假 设 四 边 形 OABC 为 菱 形 ， 则 有 OA=OC，设
25、 OA=OC=r， 则 A、 C为 圆 x2+y2=r2与 椭 圆 的 交 点 ，故 ， x2= (r2-1)， 则 A、 C 两 点 的 横 坐 标 相 等 或 互 为 相 反 数 .从 而 得 到 点 B 是 W 的 顶 点 .这 与 题 设 矛 盾 .于 是 结 论 得 证 .20.(14分 )给 定 数 列 a 1， a2， ， an.对 i=1， 2， ， n-1， 该 数 列 前 i 项 的 最 大 值 记 为 Ai，后 n-i项 ai+1， ai+2， ， an的 最 小 值 记 为 Bi， di=Ai-Bi.( )设 数 列 an为 3， 4， 7， 1， 写 出 d1， d2
26、， d3的 值 ；( )设 a1， a2， ， an-1(n 4)是 公 比 大 于 1的 等 比 数 列 ， 且 a1 0.证 明 ： d1， d2， ， dn-1是 等 比 数 列 ；( )设 d1， d2， ， dn-1是 公 差 大 于 0 的 等 差 数 列 ， 且 d1 0.证 明 ： a1， a2， ， an-1是 等 差 数列 .解 析 ： ( )当 i=1时 ， A 1=3， B1=1， 从 而 可 求 得 d1， 同 理 可 求 得 d2， d3的 值 ；( )依 题 意 ， 可 知 an=a1qn-1(a1 0， q 1)， 由 dk=ak-ak+1dk-1=ak-1-a
27、k(k 2)， 从 而 可 证(k 2)为 定 值 .( )依 题 意 ， 0 d1 d2 dn-1， 可 用 反 证 法 证 明 a1， a2， ， an-1是 单 调 递 增 数 列 ； 再 证明 am为 数 列 an中 的 最 小 项 ， 从 而 可 求 得 是 ak=dk+am， 问 题 得 证 .答 案 ： ( )当 i=1时 ， A 1=3， B1=1， 故 d1=A1-B1=2， 同 理 可 求 d2=3， d3=6；( )由 a1， a2， ， an-1(n 4)是 公 比 q大 于 1 的 等 比 数 列 ， 且 a1 0， 则 an的 通 项 为 ： an=a1qn-1，且
28、 为 单 调 递 增 的 数 列 .于 是 当 k=1， 2， n-1时 ， dk=Ak-Bk=ak-ak+1，进 而 当 k=2， 3， n-1时 ， = = =q 为 定 值 . d1， d2， ， dn-1是 等 比 数 列 ；( )若 d1， d2， ， dn-1是 公 差 大 于 0 的 等 差 数 列 ， 则 0 d1 d2 dn-1.先 证 明 a1， a2， ， an-1是 单 调 递 增 数 列 .否 则 设 ak是 第 一 个 使 得 ak ak-1成 立 的 项 ， 则 Ak-1=Ak， Bk-1 Bk， 因 此 dk-1=Ak-1-Bk-1 Ak-Bk=dk，矛 盾 .因 此 a1， a2， ， an-1是 单 调 递 增 数 列 再 证 明 am为 数 列 an中 的 最 小 项 ， 否 则 设 ak am(k=1， 2， n-1)， 显 然 k 1， 否 则d 1=A1-B1=a1-B1 a1-a1=0， 与 d1 0 矛 盾 ；因 而 k 2， 此 时 考 虑 dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak 0， 矛 盾 .因 此 am为 数 列 an中 的 最 小 项 ， 综 合 dk=Ak-Bk=ak-am(k=1， 2， n-1)， 于 是 ak=dk+am， 也 即 a1， a2， ， an-1是 等 差 数 列 .
