1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (北 京 卷 )数 学 （ 文 ）本 试 卷 共 5页 ， 150分 .考 试 时 长 120分 钟 。 考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上 ，在 试 卷 上 作 答 无 效 。 考 试 结 束 后 ， 将 本 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。第 一 部 分 （ 选 择 题 共 40分 ）一 、 选 择 题 共 8 小 题 。 每 小 题 5 分 ， 共 4 0 分 。 在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项 。（ 1 ） 已 知
2、集 合 A= -1 ， 0 ， 1 ， B= x|-1 xb,则 （ A） acbc （ B） b2 （ D） a3b3（ 3） 下 列 函 数 中 ， 既 是 偶 函 数 又 在 区 间 (0,+ )上 单 调 递 减 的 是（ A） y= (B)y=e-x（ C） y=-x2+1 (D)y=lg x（ 4） 在 复 平 面 内 ， 复 数 i（ 2-i） 对 应 的 点 位 于（ A） 第 一 象 限 （ B） 第 二 象 限（ C） 第 三 象 限 （ D） 第 四 象 限（ 5） 在 ABC中 ， a=3,b=5,sinA= ,则 sinB=（ A） 5 （ B） 5 （ C） 5 （
3、 D） 1（ 6） 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S值 为（ A） 1（ B） 23（ C） 1321（ D） 610987（ 7） 双 曲 线 x 2- 2ym =1的 离 心 率 大 于 2 的 充 分 必 要 条 件 是（ A） m 12 （ B） m 1（ C） m 1 （ D） m 2(8)如 图 ， 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， P为 对 角 线 BD1的 三 等 分 点 ，P到 各 顶 点 的 距 离 的 不 同 取 值 有（ A） 3个 （ B） 4个 （ C） 5个 （ D） 6个 第 二 部 分 （ 非 选 择 题 共 11
4、0 分 ）二 、 填 空 题 共 6 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 。（ 9） 若 抛 物 线 y2=2p x的 焦 点 坐 标 为 （ 1,0） 则 p=_;准 线 方 程 为 _ _.(10)某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 该 四 棱 锥 的 体 积为 _.(11)若 等 比 数 列 a n 满 足 a2+a4=20， a3+a5=40， 则 公 比 q=_;前 n项sn=_.(12)设 D为 不 等 式 组 0,2 0,3 0 xx yx y 表 示 的 平 面 区 域 ， 区 域 D上 的 点 与 点 （ l， 0）之 间 的 距 离 的 最 小 值
5、 为 _.(13)函 数 f（ x） = 12log , 12 , 1x x xx 的 值 域 为 _.(14)已 知 点 A（ 1， -1） ， B（ 3， 0） ， C（ 2， 1） .若 平 面 区 域 D由 所 有 满 足 AP = AB+ AC（ 1 2， 0 1） 的 点 P组 成 ， 则 D的 面 积 为 _.三 、 解 答 题 共 6小 题 ， 共 80分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 演 算 步 骤 或 证 明 过 程 。(15)（ 本 小 题 共 13分 ） 已 知 函 数 f（ x） =（ 2cos2 x-1） sin2 x+12cos4 x.（ 1） 求
6、f（ x） 的 最 小 正 周 期 及 最 大 值（ 2） 若 a （ 2 ， ） 且 f（ a） = 22 ， 求 a的 值(16)(本 小 题 共 13分 )下 图 是 某 市 3月 1日 至 14日 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图 ， 空 气 质 量 指 数 小 于 100表 示 空 气 质 量 优 良 ， 空 气 质 量 指 数 大 于 200表 示 空 气 质 量 重 度 污 染 ， 某 人 随 机 选择 3月 1日 至 3月 13日 中 的 某 一 天 到 达 该 市 ， 并 停 留 2天 。 （ ） 求 此 人 到 达 当 日 空 气 质 量 优 良 的 概 率（ ） 求
7、 此 人 在 该 市 停 留 期 间 只 有 1天 空 气 重 度 污 染 的 概 率 。（ ） 由 图 判 断 从 哪 天 开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大 ？ （ 结 论 不 要 求 证明 ）17.（ 本 小 题 共 14分 ）如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ，AB CD,AB AD,CD=2AB,平 面 PAD 底 面 ABCD，PA AD.E和 F分 别 是 CD和 PC的 中 点 ， 求 证 ：（ ） PA 底 面 ABCD;（ ） BE 平 面 PAD（ ） 平 面 BEF 平 面 PCD. （ 18） （ 本 小 题 共 13分 ）
8、已 知 函 数 f(x)=x2+xsinx+cosx.（ ） 若 曲 线 y=f(x)在 点 (a,f(a)处 与 直 线 y=b 相 切 ， 求 a与 b的 值 。（ ） 若 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=b 有 两 个 不 同 的 交 点 ， 求 b的 取 值 范 围 。（ 19） （ 本 小 题 共 14分 ）直 线 y=kx+m(m 0)与 椭 圆 2 2W: y 14x 相 交 与 A， C两 点 ， O是 坐 标 原 点 。（ ） 当 点 B的 坐 标 为 （ 0， 1） ， 且 四 边 形 OABC为 菱 形 时 ， 求 AC的 长 ；（ ） 当 点 B在 W上 且 不 是
9、 W的 顶 点 时 ， 证 明 ： 四 边 形 OABC不 可 能 为 菱 形 。 （ 20） （ 本 小 题 共 13分 ）给 定 数 列 a1， a2， ， an。 对 i=1， 2， n-l， 该 数 列 前 i 项 的 最 大 值 记为 Ai， 后 n-i 项 ai+1， ai+2， ， an的 最 小 值 记 为 Bi， di=Ai Bi（ ） 设 数 列 an为 3， 4， 7， 1， 写 出 d1， d2， d3的 值 . （ ） 设 a1， a2， ， an（ n 4） 是 公 比 大 于 1的 等 比 数 列 ， 且 a1 0.证明 ： d1， d2， dn-1是 等 比 数
10、 列 。（ ） 设 d1， d2， dn-1是 公 差 大 于 0的 等 差 数 列 ， 且 d1 0， 证 明 ： a1，a2， ， an-1是 等 差 数 列 。 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试数 学 （ 文 ） （ 北 京 卷 ） 参 考 答 案一 、 选 择 题 （ 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 4 0 分 ）（ 1） B （ 2） D （ 3） C （ 4） A（ 5） B （ 6） C （ 7） C （ 8） B二 、 填 空 题 （ 共 6小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 30分 ）（ 9） 2 x=-1 (10)3（
11、10） 2 -2 (12) 55（ 13） （ ， 2） （ 14） 3三 、 解 答 题 （ 共 6小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 30分 ）（ 15） （ 共 12分 ）解 ： （ ） ， 因 为 2 12cos 1 sin2 cos42f x x x x 1cos2 sin2 cos42x x x 1 sin4 cos42 x x 2sin(4 )2 4x 所 以 f x 的 最 小 正 周 期 为 2 ， 最 大 值 为 22 . （ II） 因 为 2( ) 2f ， 所 以 2 2( ) sin(4 )2 4 2f ， 即 sin(4 ) 14 .因 为 ( , )2 ，所
12、以 9 174 ( , )4 4 4 .所 以 54 4 2 ， ， 故 916 .(16)(共 13分 )解 ： （ ） 在 3 月 1 日 至 3月 13日 这 13天 中 ， 1 日 ， 2日 ， 3日 ， 7日 ， 12日 ， 13日 共 6天 的 空 气 质 量 优 良 ， 所 以 此 人 到 达 当 日 空 气 质 量 优 良 的 概 率 为 613。（ ） 根 据 题 意 ， 事 件 “ 此 人 在 该 市 停 留 期 间 只 有 1， 天 空 气 重 度 污 染 ” 等 价 于 “ 此 人 到 达 该 市 的 日 期 是 4日 ， 或 5日 ， 或 7日 ， 或 8日 ” ，所
13、 以 此 人 在 该 市 停 留 期 间 只 有 1天 ， 空 气 重 度 污 染 的 概 率 是 413。（ ） 从 3月 5日 开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大 .（ 17） （ 共 14分 ）证 明 ： （ ） 因 为 平 面 PAD 底 面 ABCD， 且 PA垂 直 于 这 两 个 平 面 的 交 线 AD，所 以 PA底 面 ABCD.（ ） 因 为 /AB CD ， 2CD AB ， E是 CD的 中 点 ，所 以 /AB DE ， 且 AB DE .所 以 ABED为 平 行 四 边 形 . 所 以 /AD BE ， .又 因 为 BE 平 面
14、 PAD， AD 平 面 PAD，所 以 /BE 平 面 PAD.（ ） 因 为 AB AD ， 并 且 ABED为 平 行 四 边 形 ，所 以 BE CD , AD CD .由 （ ） ， 知 PA底 面 ABCD，所 以 PA CD ，所 以 CD， 平 面 PAD.所 以 CD PD . 因 为 E和 F 分 别 是 CD和 PC 的 中 点 ，所 以 /PD EF .所 以 CD EF .所 以 CD平 面 BEF .所 以 平 面 BEF 平 面 PCD.（ 18） （ 共 13分 ）解 ： 由 2( ) sin cosf x x x x x ， ， 所 以 ( ) 2 cosf
15、x x x .（ ） 因 为 曲 线 ( )y f x 在 点 ( , ( )a f a 处 与 直 线 y b 相 切 ， 所 以 2 cos 0f a a a ， ， 2( ) sin cosf a a a a a b ，解 得 0, 1a b .（ ） 由 0f x ， 得 0 x . f x 和 f x 的 情 况 如 下 ： x ,0 0 0, f x - 0 + f x 1 所 以 函 数 f x 在 区 间 ,0 上 单 调 递 减 ， ， 在 区 间 0, 单 调 递 增 ， 0 1f 是 函 数 的最 小 值 .当 1b 时 ， 曲 线 ( )y f x 与 直 线 y b
16、， 最 多 只 有 一 个 交 点 .当 1b 时 ， 22 2 4 2 1 4 2 1f b f b b b b b b ， 0 1f b ，所 以 ， 存 在 1 22 ,0 , 0,2x b x b ， ， 使 得 1 2f x f x b . 由 于 函 数 f x 在 区 间 ,0 和 0, 均 单 调 ， 所 以 1b 时 ， 曲 线 ( )y f x 与 直 线y b 有 且 仅 有 两 个 交 点 .综 上 可 知 ， 如 果 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=b有 两 个 不 同 交 点 ， 那 么 b的 取 值 范 围 是 （ 1， + ） 。（ 19） （ 共 14分
17、）解 ： 因 为 四 边 形 OABC 为 菱 形 ， 所 以 AC 与 OB 互 相 垂 直 平 分 .所 以 可 设 A(t,),代 入 椭 圆 方 程 得 +=1,即 t= 所 以 |AC|=2 (II)假 设 四 边 形 OABC 为 菱 形 .因 为 点 B 不 是 W 的 顶 点 ， ， 且 直 线 AC 不 过 原 点 ， 所 以 可 设 AC 的 方 程 为 y=kx+m,k 0,m0.由 2 2 ,14y kx mx y 消 去 y 并 整 理 得 2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m .设 1 1 2 2, , ,A x y C x y ,则 1 2 242
18、1 4x x kmk ， 1 2 1 2 22 2 1 4y y x x mk m k ， 所 以 AC的 中 点 2 24( , )1 4 1 4km mM k k .因 为 M为 AC和 OB 的 交 点 ， m 0,k 0,所 以 直 线 OB 的 斜 率 为 14k .因 为 1( ) 14k k ， 所 以 AC和 OB 不 垂 直 .所 以 四 边 形 OABC 不 是 菱 形 ， ， 与 假 设 矛 盾 .所 以 当 B 不 是 W 的 顶 点 ， ， 四 边 形 OABC 不 可 能 是 菱 形 . （ 20） （ 共 13分 ）解 ： （ ） 1 2 32, 3, 6d d
19、d .（ ） 因 为 1 0a ， 公 比 1q ， 所 以 ， 1 2, , , na a a 是 递 增 数 列 .因 此 ， 对 1,2, , 1i n ， 1,i i i iA a B a ，于 是 对 1,2, , 1i n ， ， 11 1(1 ) ii i i i id A B a a a q q .因 此 ， 0id ， 且 1iid qd 1,2, , 2i n ， 即 1 2 1, , id d d 成 等 比 数 列 .（ ） 设 d 为 1 2 1, , nd d d 的 ， 公 差 .对 1 2i n ， 因 为 1, 0i iB B d ， 所 以 1 1 1i i
20、 i i i i i iA B d B d d B d A ，又 因 为 1 1max ,i i iA A a ， ， 所 以 1 1i i i ia A A a .从 而 1 2 1, , , na a a 是 递 增 数 列 .因 此 1,2, , 1i iA a i n .又 因 为 1 1 1 1 1 1B A d a d a ， ， 所 以 1 1 2 1nB a a a .因 此 1na B .所 以 1 2 1n nB B B a ，所 以 1 .i i i n ia A B d a d 因 此 ， 对 于 1,2, , 2i n 都 有 ， 1 1i i i ia a d d d ， ， 即 1 2 1, , , na a a 是 等 差 数 列 .
