1、绝密启用前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 大 纲 版 ）数 学 （ 文 科 ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 1,2,3,4,5 , 1,2 , uU A A 集 合 则 （A） 1,2（B） 3,4,5（C） 1,2,3,4,5（D） （2）已知a是第二象限角，5sin , cos13a a 则（A）1213（B）513（C）513（D）1213（3）已知向量 1,1 , 2,2 , , =m n m n m n 若 则（A）4（B）3（C）-2（D）-1（4）不等式2 2
2、2x 的 解 集 是（A） -1,1（B） -2,2（C） -1,0 0,1（D） -2,0 0,2（5） 8 62x x 的 展 开 式 中 的 系 数 是 （A）28（B）56（C）112（D）224（6）函 数 -12 1log 1 0 =f x x f xx 的 反 函 数（A） 1 02 1x x （B） 1 02 1x x （C） 2 1x x R （D） 2 1 0 x x （7）已知数列 na满足 1 2 43 0, , 103n n na a a a 则 的 前 项 和 等 于（A） -10-6 1-3（B） -101 1-39（C） -103 1-3（D） -103 1+3
3、 （8）已知 1 2 21,0 , 1,0 ,F F C F x 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 过 且 垂 直 于 轴 的 直 线 交 于A B、 两 点 ，且3AB ，则C的方程为（A）2 2 12x y （B）2 2 13 2x y （C）2 2 14 3x y （D）2 2 15 4x y （9）若函数 sin 0 =y x 的 部 分 图 像 如 图 ， 则（A）5（B）4（C）3（D）2（10）已知曲线 4 2 1 -1 2 8 =y x ax a a 在 点 ， 处 切 线 的 斜 率 为 ， （A）9（B）6（C）-9（D）-6（11）已知正四棱锥1 1 1 1 1 12 ,A
4、BCD ABC D AA AB CD BDC 中 ， 则 与 平 面 所 成 角的正弦值等于（A）23（B）33（C）23（D）13（12）已知抛物线 2: 8 2,2 , CC y x M k C 与 点 过 的 焦 点 ， 且 斜 率 为 的 直 线 与 交 于, 0,A B MA MB k 两 点 ,若 则（A）12（B）22（C）2（D）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设 2 1,3 =f x x f x是 以 为 周 期 的 函 数 ， 且 当 时 ， . （14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种 .（ 用 数 字
5、 作 答 ）（15）若x y、满足约束条件0,3 4,3 4,xx yx y 则z x y 的 最 小 值 为 . （16）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，3 602OK O K ， 且 圆 与 圆 所 在 的 平 面 所 成 角 为 ，则球O的表面积等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （ 本 小 题 满 分 10分 ）等 差 数 列 na中，7 19 94, 2 ,a a a （I）求 na的通项公式；（II）设 1 , .n n nnb b n Sna 求 数 列 的 前 项 和18 （ 本 小 题 满 分 12分 ）设 , , ,
6、, , .ABC A B C a b c a b c a b c ac 的 内 角 的 对 边 分 别 为（I）求;B（II）若3 1sin sin , C.4A C 求19 （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 四 棱 锥 90 2 ,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD 中 ， ， 与都是边长 为2的等边三角形.（I）证 明 ： ;PB CD（II）求 点 .A PCD到 平 面 的 距 离20 （ 本 小 题 满 分 12分 ）甲 、 乙 、 丙 三 人 进 行 羽 毛 球 练 习 赛 ， 其 中 两 人 比 赛 ， 另 一 人 当 裁 判 ， 每 局 比 赛
7、 结 束 时 ，负 的 一 方 在 下 一 局 当 裁 判 ， 设 各 局 中 双 方 获 胜 的 概 率 均 为 1,2 各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求 第 4局 甲 当 裁 判 的 概 率 ；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21 （ 本 小 题 满 分 12分 ）已 知 函 数 3 2= 3 3 1.f x x ax x （I）求 2 f ;a x 时 ， 讨 论 的 单 调 性 ；（II）若 2, 0, .x f x a 时 ， 求 的 取 值 范 围 22 （ 本 小 题 满 分 12分 ）已 知 双 曲 线 2 2 1 22 2: 1 0, 0 x yC
8、a b F Fa b 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ，离心率为3，直线2 6.y C 与 的 两 个 交 点 间 的 距 离 为 （I）求 , ;a b ；（II）2F l C A B设 过 的 直 线 与 的 左 、 右 两 支 分 别 相 交 于 、 两 点 ， 且1 1 ,AF BF 证 明 ： 2 2 .AF AB BF、 、 成 等 比 数 列参 考 答 案1B 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. C 8. C 9. B 10. D 11. A 12. D13. -1 14. 60 15. 0 16. 1617 （ ） 设 等 差 数 列 na 的 公
9、差 为 d， 则 1 ( 1)na a n d 因 为 719 942aa a ， 所 以 11 16 418 2( 8 )a da d a d .解 得 ， 1 11, 2a d .所 以 na 的 通 项 公 式 为 12n na .（ ） 1 2 2 2( 1) 1n nb na n n n n ， 所 以 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 1n nS n n n .18.（ ） 因 为 ( )( )a b c a b c ac ，所 以 2 2 2a c b ac .由 余 弦 定 理 得 ， 2 2 2 1cos 2 2a c bB ac ，因 此
10、， 0120B .（ ） 由 （ ） 知 060A C ， 所 以cos( ) cos cos sin sinA C A C A C cos cos sin sin 2sin sinA C A C A C cos( ) 2sin sinA C A C 1 3 122 4 32 ，故 030A C 或 030A C ，因 此 ， 015C 或 045C .19.（ ） 证 明 ： 取 BC 的 中 点 E， 连 结 DE， 则 ABED为 正 方 形 .过 P作 PO 平 面 ABCD， 垂 足 为 O.连 结 OA， OB,OD,OE.由 PAB 和 PAD 都 是 等 边 三 角 形 知 P
11、A=PB=PD，所 以 OA=OB=OD， 即 点 O为 正 方 形 ABED对 角 线 的 交 点 ， 故 OE BD ， 从 而 PB OE .因 为 O 是 BD 的 中 点 ， E是 BC的 中 点 ，所 以 OE/CD.因 此 ， PB CD .（ ） 解 ： 取 PD的 中 点 F， 连 结 OF， 则 OF/PB.由 （ ） 知 ， PB CD ， 故 OF CD .又 1 22OD BD ， 2 2 2OP PD OD ，故 POD 为 等 腰 三 角 形 ， 因 此 ， OF PD .又 PD CD D ， 所 以 OF 平 面 PCD.因 为 AE/CD， CD 平 面 P
12、CD， AE平 面 PCD， 所 以 AE/平 面 PCD. 因 此 ， O到 平 面 PCD的 距 离 OF 就 是 A到 平 面 PCD的 距 离 ， 而 1 12OF PB ，所 以 A 至 平 面 PCD的 距 离 为 1.20.（ ） 记 1A 表 示 事 件 “ 第 2 局 结 果 为 甲 胜 ” ，2A 表 示 事 件 “ 第 3 局 甲 参 加 比 赛 时 ， 结 果 为 甲 负 ” ，A表 示 事 件 “ 第 4 局 甲 当 裁 判 ” .则 1 2=A A A .1 2 1 2 1( )=P( ) ( ) ( ) 4P A A A P A P A . （ ） 记 1B 表
13、示 事 件 “ 第 1 局 结 果 为 乙 胜 ” ，2B 表 示 事 件 “ 第 2 局 乙 参 加 比 赛 时 ， 结 果 为 乙 胜 ” ，3B 表 示 事 件 “ 第 3局 乙 参 加 比 赛 时 ， 结 果 为 乙 胜 ” ， B表 示 事 件 “ 前 4 局 中 恰 好 当 1 次 裁 判 ” .则 1 3 1 2 3 1 2B B B B B B B B .1 3 1 2 3 1 2( ) ( )P B P B B B B B B B 1 3 1 2 3 1 2( ) ( ) ( )P B B P B B B P B B 1 3 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( )
14、( ) ( ) ( )P B P B P B P B P B P B P B 1 1 14 8 4 58 . 21.（ ） 当 - 2a 时 ， 3 2= -3 2 3 1.f x x x x 2( ) 3 6 2 3f x x x .令 ( ) 0f x ， 得 ， 1 2 1x ， 2 2 1x .当 ( , 2 1)x 时 ， ( ) 0f x ， ( )f x 在 ( , 2 1) 是 增 函 数 ；当 ( 2 1, 2 1)x 时 ， ( ) 0f x ， ( )f x 在 ( 2 1, 2 1) 是 减 函 数 ；当 ( 2 1, )x 时 ， ( ) 0f x ， ( )f x
15、在 ( 2 1, ) 是 增 函 数 ；（ ） 由 (2) 0f 得 ， 54a . 当 54a ， (2, )x 时 ， 2 2 5 1( ) 3( 2 1) 3( 1) 3( )( 2) 02 2f x x ax x x x x ，所 以 ( )f x 在 (2, ) 是 增 函 数 ， 于 是 当 2, )x 时 ， ( ) (2) 0f x f .综 上 ， a 的 取 值 范 围 是 5 , )4 .22.（ ） 由 题 设 知 3ca ， 即 2 22 9a ba ， 故 2 28b a . 所 以 C 的 方 程 为 2 2 28 8x y a .将 y=2代 入 上 式 ， 求
16、 得 ， 2 12x a . 由 题 设 知 ， 2 12 62a ， 解 得 ， 2 1a .所 以 1, 2 2a b .（ ） 由 （ ） 知 ， 1( 3,0)F ， 2(3,0)F ， C 的 方 程 为 2 28 8x y . 由 题 意 可 设 l的 方 程 为 ( 3)y k x ， | | 2 2k ， 代 入 并 化 简 得 ，2 2 2 2( 8) 6 9 8 0k x k x k .设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则1 1x ， 2 1x ， 21 2 26 8kx x k ， 21 2 29 88kx x k . 于 是 2 2 2
17、 21 1 1 1 1 1| | ( 3) ( 3) 8 8 (3 1)AF x y x x x ，2 2 2 21 2 2 2 2 2| | ( 3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x 由 1 1| | | |AF BF 得 ， 1 2(3 1) 3 1x x ， 即 1 2 23x x .故 226 28 3kk ， 解 得 2 45k ， 从 而 1 2 199x x .由 于 2 2 2 22 1 1 1 1 1| | ( 3) ( 3) 8 8 1 3AF x y x x x ，2 2 2 22 2 2 2 2 2| | ( 3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x ，故 2 2 1 2| | | | | | 2 3( ) 4AB AF BF x x ，2 2 1 2 1 2| | | | 3( ) 9 -1 16AF BF x x x x .因 而 22 2| | | | |AB|AF BF ， 所 以 2| |AF 、 | |AB 、 2| |BF 成 等 比 数 列 .
