1、2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 全 国 卷 大 纲 版 ）理 科 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题目 要 求 的 .1.（ 2013 大 纲 全 国 ， 理 1） 设 集 合 =1,2,3A ， B=4 5， ， =x|x=a+b,a A,b BM ， 则 M 中 元 素 的个 数 为 （ ）A 3 B 4 C 5 D 6 2. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 2） 3(1 3)i =（ ）A -8 B 8 C 8
2、i D 8i3. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 3） 已 知 向 量 ( 1,1)m ， ( 2,2)n ， 若 ( ) ( )m n m n ， 则 =（ ）A -4 B -3 C -2 D -14. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 4） 已 知 函 数 f(x)的 定 义 域 为 ( 1,0) ， 则 函 数 (2 1)f x 的 定 义 域 （ ）A ( 1,1) B 1( 1, )2 C ( 1,0) D 1( ,1)25. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 5） 函 数 2 1( ) log (1 )f x x （ x0） 的 反 函 数 1( )f x =（ ） A 1
3、 ( 0)2 1x x B 1 ( 0)2 1x x C 2 1( )x x R D 2 1( 0)x x 6. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 6） 已 知 数 列 na 满 足 13 0n na a ， 2 43a ， 则 na 的 前 10项 和 等 于 （ ）A 106(1 3 ) B 101(1 3 )9 C 103(1 3 ) D 103(1 3 )7. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 7） 8 4(1 ) (1 )x y 的 展 开 式 中 2 2x y 的 系 数 是 （ ）A 56 B 84 C 112 D 1688. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 8） 椭 圆
4、 C： 2 2 14 3x y 的 左 右 顶 点 分 别 为 1 2,A A ， 点 P 在 C 上 且 直 线 2PA 斜 率 的 取 值 范 围 是 2, 1 ， 那 么 直 线 1PA 斜 率 的 取 值 范 围 是 （ ）A 1 3 , 2 4 B 3 3 , 8 4 C 1 ,12 D 3 ,14 9. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 9） 若 函 数 2 1( )f x x ax x 在 1( , )2 是 增 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 （ ）A 1,0 B 1, ) C 0,3 D 3, )10. （ 2013 大 纲 全 国 ， 理 10） 已 知 正
5、四 棱 柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中 ， 1 2AA AB ， 则 CD 与 平 面 1BDC 所 成角 的 正 弦 值 等 于 （ ）A 23 B 33 C 23 D 1311.已 知 抛 物 线 C： 2 8y x 与 点 M（ -2,2） ， 过 C的 焦 点 且 斜 率 为 k的 直 线 与 C交 于 A， B两 点 ， 若 0MA MB ， 则 k=（ ）A 12 B 22 C 2 D 212. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 12） 已 知 函 数 ( ) cos sin2f x x x ， 下 列 结 论 中 错 误 的 是 （ ）A ( )y f x 的 图
6、像 关 于 点 ( ,0) 中 心 对 称 B ( )y f x 的 图 像 关 于 直 线 2x 对 称C ( )f x 的 最 大 值 为 32 D ( )f x 既 是 奇 函 数 ， 又 是 周 期 函 数二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 . 13.已 知 是 第 三 象 限 角 ， 1sin 3 ， 则 cot 14. 6个 人 排 成 一 行 ， 其 中 甲 、 乙 两 人 不 相 邻 的 不 同 排 法 共 有 种 .（ 用 数 字 作 答 ）15.记 不 等 式 组 03 43 4xx yx y ， 所 表 示 的 平 面 区 域 为
7、D.若 直 线 ( 1)y a x 与 D有 公 共点 ， 则 a 的 取 值 范 围 是16.已 知 圆 O和 圆 K 是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 ， 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半 径 ， 32OK ， 且 圆 O与 圆 K 所 在 的 平 面 所 成 的 一 个 二 面 角 为 060 ， 则 球 O 的 表 面 积 等 于三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17 （ 2013大 纲 全 国 ， 理 17） （ 本 小 题 满 分 10 分 ）等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS .已 知
8、 23 2S a ， 且 1 2 4, ,S S S 成 等 比 数 列 ， 求 na 的 通 项 公 式 .18. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 18） （ 本 小 题 满 分 12分 ）设 ABC 的 内 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a、 b、 c， ( )( )a b c a b c ac .（ ） 求 B；（ ） 若 3 1sin sin 4A C ， 求 C.19. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 19） （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 090ABC BAD ， 2BC AD ， PAB 和PAD 都 是 等
9、边 三 角 形 .（ ） 证 明 ： PB CD ；（ ） 求 二 面 角 A-PD-C的 大 小 .20. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 20） （ 本 小 题 满 分 12分 ）甲 、 乙 、 丙 三 人 进 行 羽 毛 球 练 习 赛 ， 其 中 两 人 比 赛 ， 另 一 人 当 裁 判 ， 每 局 比 赛 结 束 时 ， 负 的 一 方 在 下一 局 当 裁 判 .设 各 局 中 双 方 获 胜 的 概 率 均 为 12 ， 各 局 比 赛 的 结 束 相 互 独 立 ， 第 1 局 甲 当 裁 判 .（ ） 求 第 4局 甲 当 裁 判 的 概 率 ；（ ） X表 示 前 4
10、局 中 乙 当 裁 判 的 次 数 ， 求 X的 数 学 期 望 . 21. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 21） （ 本 小 题 满 分 12分 ）已 知 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b （ a0,b0） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1F 、 2F ， 离 心 率 为 3， 直 线 y=2 与 C 的 两 个交 点 间 的 距 离 为 6 .（ ） 求 a,b；（ ） 设 过 2F 的 直 线 l 与 C 的 左 、 右 两 支 分 别 交 于 A、 B 两 点 ， 且 1 1| | | |AF BF ， 证 明 ： 2| |AF 、 | |AB 、2| |BF
11、 成 等 比 数 列 .22. （ 2013大 纲 全 国 ， 理 22） （ 本 小 题 满 分 12分 ） 已 知 函 数 (1 )( ) ln(1 ) 1x xf x x x .（ ） 若 0 x 时 ， ( ) 0f x ， 求 的 最 小 值 ； （ ） 设 数 列 na 的 通 项 1 1 11 2 3na n ， 证 明 ： 2 1 ln24n na a n .参 考 答 案一 题 目 1 2 3 4 5 6 答 案 B A B B A C题 目 7 8 9 10 11 12答 案 D B D A D C二 、 填 空 题13. 2 2 14.480 15. 1 ,42 16.
12、16三 、 解 答 题17. 设 na 的 公 差 为 d. 由 23 2S a 得 22 23a a ， 故 2 0a 或 2 3a .由 1 2 4, ,S S S ， ， 成 等 比 数 列 得 22 1 4=S S S .又 1 2S a d ， 2 22S a d ， 4 24 2S a d ，故 22 2 2(2 ) ( )(4 2 )a d a d a d .若 2 0a ， 则 2 22d d ， ， ， 所 以 0d ， 此 时 0nS ， 不 合 题 意 ；若 2 3a ， 则 2(6 ) (3 )(12 2 )d d d ， 解 得 0d 或 2d .因 此 na 的 通
13、 项 公 式 为 3na ， ， 或 2 1na n . 18. （ ） ， ， 因 为 ( )( )a b c a b c ac ， 所 以 2 2 2a c b ac .由 余 弦 定 理 得 2 2 2 1cos 2 2a c bB ac ， 因 此 0120B .（ ） 由 （ ） 知 060A C ， ， ， 所 以cos( ) cos cos sin sinA C A C A C cos cos sin sin 2sin sinA C A C A C cos( ) 2sin sinA C A C 1 3 122 4 32 ，故 030A C 或 030A C ，因 此 015C 或
14、 045C .19. （ ） 证 明 ： 取 BC的 中 点 E， ， ， 连 结 DE， 则 ABED 为 正 方 形 .过 P 作 PO 平 面 ABCD， 垂 足 为 O.连 结 OA， OB,OD,OE.由 PAB 和 PAD 都 是 等 边 三 角 形 知 PA=PB=PD， 所 以 OA=OB=OD， ， ， 即 点 O为 正 方 形 ABED对 角 线 的 交 点 ，故 OE BD ，从 而 PB OE .因 为 O 是 BD的 中 点 ， ， ， E是 BC的 中 点 ， 所 以 OE/CD.因 此 PB CD .（ ） 解 法 一 ：由 （ ） 知 CD PB ， CD PO
15、 ， PB PO P .故 CD平 面 PBD.又 PD 平 面 PBD， ， ， 所 以 CD PD .取 PD 的 中 点 F， PC 的 中 点 G， 连 结 FG， 则 FG/CD， FG/PD.连 结 AF， 由 APD 为 等 边 三 角 形 可 得 AF PD.所 以 ， ， AFG 为 二 面 角 A-PD-C 的 平 面 角 . 8分连 结 AG， EG， 则 EG/PB. 又 PB AE， 所 以 EG AE.设 AB=2， 则 2 2AE ， 1 12EG PB ，故 2 2 3AG AE EG .在 AFG 中 ， 1 22FG CD ， 3AF ， 3AG ，所 以
16、2 2 2 6cos 2 3FG AF AGAFG FG AF .因 此 二 面 角 A-PD-C 的 大 小 为 6arccos 3 . 解 法 二 ：由 （ ） 知 ， OE,OB,OP两 两 垂 直 .以 O为 坐 标 原 点 ， ， ， OE的 方 向 为 x 轴 的 正 方 向 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz.设 | | 2AB ， 则( 2,0,0)A ， (0, 2,0)D ， (2 2, 2,0)C ， (0,0, 2)P .(2 2, 2, 2)PC ， (0, 2, 2)PD .( 2,0, 2)AP ， ( 2, 2,0)AD . 设
17、平 面 PCD的 法 向 量 为 1 ( , , )n x y z ， 则1 ( , , ) (2 2, 2, 2) 0n PC x y z ，1 ( , , ) (0, 2, 2) 0n PD x y z ，可 得 2 0 x y z ， 0y z .取 1y ， 得 0, 1x z ， ， ， 故 1 (0, 1,1)n .设 平 面 PAD的 法 向 量 为 2 ( , , )n m p q ， 则2 ( , , ) ( 2,0 2)=0n AP m p q ， ， 2 ( , , ) ( 2,- 20)=0n AD m p q ， ，可 得 0, 0m p m p . 取 m=1， 得
18、 1, 1p q ， 故 2 (1,1, 1)n .于 是 1 21 2 1 2 6cos , =- 3| | |n nn n n n .由 于 ， ， 1 2,n n 等 于 二 面 角 A-PD-C 的 平 面 角 ，所 以 二 面 角 A-PD-C的 大 小 为 6arccos 3 .20. （ ） 记 1A 表 示 事 件 ， ， “ 第 2 局 结 果 为 甲 胜 ” ，2A 表 示 事 件 “ 第 3 局 甲 参 加 比 赛 时 ， 结 果 为 甲 负 ” ， A 表 示 事 件 “ 第 4局 甲 当 裁 判 ” .则 1 2=A A A .1 2 1 2 1( )=P( ) (
19、) ( ) 4P A A A P A P A .（ ） X的 可 能 取 值 为 0,1,2.记 3A 表 示 事 件 “ 第 3局 乙 和 丙 比 赛 时 ， ， ， 结 果 为 乙 胜 丙 ” ，1B 表 示 事 件 “ 第 1 局 结 果 为 乙 胜 丙 ” ，2B 表 示 事 件 “ 第 2 局 乙 和 甲 比 赛 时 ， ， ， 结 果 为 乙 胜 甲 ” ， 3B 表 示 事 件 “ 第 3局 乙 参 加 比 赛 时 ， 结 果 为 乙 负 ” .则 1 2 3 1 2 3 1( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 8P X P B B A P B P B P A 1 3 1 3
20、 1( 2) ( ) ( ) =4P X P B B P B P B （ ） ，1 1 5( 1) 1- ( 0) ( 2) 1 8 4 8P X P X P X ， 9( ) 0 ( 0) 1 ( =1)+2 ( 2) 8E X P X P X P X .21.（ ） 由 题 设 知 3ca ， ， ， 即 2 22 9a ba ， 故 2 28b a . 所 以 C 的 方 程 为 2 2 28 8x y a .将 y=2 代 入 上 式 ， 求 得 2 12x a . 由 题 设 知 ， 2 12 62a ， 解 得 2 1a .所 以 1, 2 2a b .（ ） 由 （ ） 知 ，
21、1( 3,0)F ， 2(3,0)F ， C 的 方 程 为 2 28 8x y . 由 题 意 可 设 l 的 方 程 为 ( 3)y k x ， ， ， | | 2 2k ， 代 入 并 化 简 得2 2 2 2( 8) 6 9 8 0k x k x k .设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则 1 1x ， 2 1x ， 21 2 26 8kx x k ， 21 2 29 88kx x k .于 是 2 2 2 21 1 1 1 1 1| | ( 3) ( 3) 8 8 (3 1)AF x y x x x ，2 2 2 21 2 2 2 2 2| | (
22、3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x 由 1 1| | | |AF BF 得 1 2(3 1) 3 1x x ， ， ， 即 1 2 23x x .故 226 28 3kk ， 解 得 2 45k ， ， ， 从 而 1 2 199x x . 由 于 2 2 2 22 1 1 1 1 1| | ( 3) ( 3) 8 8 1 3AF x y x x x ，2 2 2 22 2 2 2 2 2| | ( 3) ( 3) 8 8 3 1BF x y x x x .故 2 2 1 2| | | | | | 2 3( ) 4AB AF BF x x ，2 2 1 2 1 2| | |
23、 | 3( ) 9 -1 16AF BF x x x x .因 而 22 2| | | | |AB|AF BF ， ， ， 所 以 2| |AF 、 | |AB 、 2| |BF 成 等 比 数 列 .22. （ ） 由 已 知 (0) 0f ， ， ， 2 2(1 2 )( ) (1 )x xf x x ， (0) 0f . 若 12 ， 则 当 0 2(1 2 )x 时 ， ( ) 0f x ， 所 以 ( ) 0f x .若 12 ， 则 当 0 x 时 ， ( ) 0f x ， ， ， 所 以 当 0 x 时 ， ( ) 0f x . 综 上 ， 的 最 小 值 是 12 .（ ） 证 明 ： 令 12 .由 （ ） 知 ， ， ， 当 0 x 时 ， ( ) 0f x ，即 (2 ) ln(1 )2 2x x xx .取 1x k ， 则 2 1 1ln( )2 ( 1)k kk k k .于 是 2 12 1 1 1( )4 2 2( 1)nn n k na a n k k 2 1 2 12 ( 1)n k n kk k 2 1 1lnnk n kk ln2 lnn n ln2 .所 以 2 1 ln24n na a n .
