1、2013年 江 苏 省 常 州 市 中 考 真 题 数 学一 .选 择 题1.(2分 )在 下 列 实 数 中 ， 无 理 数 是 ( )A. 2B. 3.14C.D.解 析 ： A、 2是 有 理 数 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 3.14是 有 理 数 ， 故 本 选 项 错 误 ； C、 - 是 有 理 数 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 是 无 理 数 ， 故 本 选 项 正 确 .答 案 ： D.2.(2分 )如 图 所 示 圆 柱 的 左 视 图 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 此 圆 柱 的 左 视 图 是 一 个 矩 形 .答 案 ： C.3.(2分 )下
2、列 函 数 中 ， 图 象 经 过 点 (1， -1)的 反 比 例 函 数 关 系 式 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 设 经 过 点 (1， -1)的 反 比 例 函 数 关 系 式 是 y= (k 0)， 则 -1= ， 解 得 ， k=-1，所 以 ， 所 求 的 函 数 关 系 式 是 y=- 或 .答 案 ： A. 4.(2分 )下 列 计 算 中 ， 正 确 的 是 ( )A. (a3b)2=a6b2B. a a4=a4C. a6 a2=a3D. 3a+2b=5ab解 析 ： A、 (a3b)2=a6b2， 故 本 选 项 正 确 ；B、 a a4=a5， 故 本 选 项
3、 错 误 ；C、 a 6 a2=a6-2=a4， 故 本 选 项 错 误 ；D、 3a与 2b不 是 同 类 项 ， 不 能 合 并 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： A.5.(2分 )已 知 ： 甲 乙 两 组 数 据 的 平 均 数 都 是 5， 甲 组 数 据 的 方 差 ， 乙 组 数 据 的 方 差， 下 列 结 论 中 正 确 的 是 ( )A. 甲 组 数 据 比 乙 组 数 据 的 波 动 大B. 乙 组 数 据 的 比 甲 组 数 据 的 波 动 大C. 甲 组 数 据 与 乙 组 数 据 的 波 动 一 样 大D. 甲 组 数 据 与 乙 组 数 据 的 波 动 不
4、 能 比 较 解 析 ： 由 题 意 得 ， 方 差 ，A、 甲 组 数 据 没 有 乙 组 数 据 的 波 动 大 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 乙 组 数 据 的 比 甲 组 数 据 的 波 动 大 ， 说 法 正 确 ， 故 本 选 项 正 确 ；C、 甲 组 数 据 没 有 乙 组 数 据 的 波 动 大 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 甲 组 数 据 没 有 乙 组 数 据 的 波 动 大 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： B.6.(2分 )已 知 O的 半 径 是 6， 点 O到 直 线 l的 距 离 为 5， 则 直 线 l与 O的 位 置 关 系 是 ( )A
5、. 相 离B. 相 切 C. 相 交D. 无 法 判 断解 析 ： O 的 半 径 为 6， 圆 心 O 到 直 线 l 的 距 离 为 5， 6 5， 即 ： d r， 直 线 L与 O 的 位 置 关 系 是 相 交 .答 案 ： C.7.(2分 )二 次 函 数 y=ax2+bx+c(a、 b、 c为 常 数 且 a 0)中 的 x与 y的 部 分 对 应 值 如 下 表 ：给 出 了 结 论 ：(1)二 次 函 数 y=ax 2+bx+c有 最 小 值 ， 最 小 值 为 -3；(2)当 时 ， y 0；(3)二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 与 x 轴 有 两 个 交
6、点 ， 且 它 们 分 别 在 y 轴 两 侧 .则 其 中 正 确 结论 的 个 数 是 ( )A. 3B. 2C. 1D. 0解 析 ： 由 表 格 数 据 可 知 ， 二 次 函 数 的 对 称 轴 为 直 线 x=1，所 以 ， 当 x=1时 ， 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c有 最 小 值 ， 最 小 值 为 -4； 故 (1)小 题 错 误 ；根 据 表 格 数 据 ， 当 -1 x 3 时 ， y 0，所 以 ， - x 2时 ， y 0正 确 ， 故 (2)小 题 正 确 ；二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， 分 别 为
7、(-1， 0)(3， 0)， 它 们 分 别 在 y 轴 两侧 ， 故 (3)小 题 正 确 ；综 上 所 述 ， 结 论 正 确 的 是 (2)(3)共 2 个 .答 案 ： B.8.(2分 )有 3 张 边 长 为 a的 正 方 形 纸 片 ， 4 张 边 长 分 别 为 a、 b(b a)的 矩 形 纸 片 ， 5 张 边 长为 b 的 正 方 形 纸 片 ， 从 其 中 取 出 若 干 张 纸 片 ， 每 种 纸 片 至 少 取 一 张 ， 把 取 出 的 这 些 纸 片 拼 成一 个 正 方 形 (按 原 纸 张 进 行 无 空 隙 、 无 重 叠 拼 接 )， 则 拼 成 的 正
8、方 形 的 边 长 最 长 可 以 为 ( ) A. a+bB. 2a+bC. 3a+bD. a+2b解 析 ： 3 张 边 长 为 a的 正 方 形 纸 片 的 面 积 是 3a2，4张 边 长 分 别 为 a、 b(b a)的 矩 形 纸 片 的 面 积 是 4ab，5张 边 长 为 b 的 正 方 形 纸 片 的 面 积 是 5b2， a 2+4ab+4b2=(a+2b)2， 拼 成 的 正 方 形 的 边 长 最 长 可 以 为 (a+2b)，答 案 ： D.二 .填 空 题 9.(4分 )计 算 -(-3)= ， |-3|= ， (-3)-1= ， (-3)2= .解 析 ： -(-
9、3)=3， |-3|=3， (-3)-1=- ， (-3)2=9.答 案 ： 3； 3； - ； 9.10.(2分 )已 知 点 P(3， 2)， 则 点 P关 于 y 轴 的 对 称 点 P1的 坐 标 是 ， 点 P 关 于 原 点 O的 对 称 点 P 2的 坐 标 是 .解 析 ： 点 P(3， 2)关 于 y轴 的 对 称 点 P1的 坐 标 是 (-3， 2)，点 P 关 于 原 点 O的 对 称 点 P2的 坐 标 是 (-3， -2).答 案 ： (-3， 2)； (-3， -2).11.(2分 )已 知 一 次 函 数 y=kx+b(k、 b 为 常 数 且 k 0)的 图
10、象 经 过 点 A(0， -2)和 点 B(1， 0)，则 k= ， b= .解 析 ： 一 次 函 数 y=kx+b(k、 b 为 常 数 且 k 0)的 图 象 经 过 点 A(0， -2)和 点 B(1， 0)， ， 解 得 .答 案 ： 2， -2.12.(2分 )已 知 扇 形 的 半 径 为 6cm， 圆 心 角 为 150 ， 则 此 扇 形 的 弧 长 是 cm， 扇 形 的 面 积 是 cm2(结 果 保 留 ).解 析 ： 扇 形 的 半 径 为 6cm， 圆 心 角 为 150 ， 此 扇 形 的 弧 长 是 ： l= =5 (cm)，根 据 扇 形 的 面 积 公 式
11、， 得 S 扇 = =15 (cm2).答 案 ： 5 ， 15 .13.(2分 )函 数 y= 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ； 若 分 式 的 值 为 0， 则x= .解 析 ： 根 据 题 意 得 ， x-3 0， 解 得 x 3； 2x-3=0且 x+1 0， 解 得 x= 且 x -1， 所 以 ， x= .答 案 ： x 3； .14.(2分 )我 市 某 一 周 的 每 一 天 的 最 高 气 温 统 计 如 下 表 ：则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 ， 众 数 是 .解 析 ： 将 表 格 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： 25， 26， 27， 2
12、7， 28， 28， 28， 中 位 数 为 ： 27； 众 数 为 ： 28.答 案 ： 27、 28.15.(2分 )已 知 x=-1是 关 于 x的 方 程 2x2+ax-a2=0的 一 个 根 ， 则 a= .解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 2-a-a2=0解 得 a=-2或 1.答 案 ： -2或 1.16.(2分 )如 图 ， ABC内 接 于 O， BAC=120 ， AB=AC， BD为 O 的 直 径 ， AD=6， 则DC= . 解 析 ： BD为 O 的 直 径 ， BAD= BCD=90 ， BAC=120 ， CAD=120 -90 =30 ， CBD= CAD=
13、30 ，又 BAC=120 ， BDC=180 - BAC=180 -120 =60 ， AB=AC， ADB= ADC， ADB= BDC= 60 =30 ， AD=6， 在 Rt ABD中 ， BD=AD sin60 =6 =4 ，在 Rt BCD中 ， DC= BD= 4 =2 .答 案 ： 2 .17.(2分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 第 一 象 限 内 的 点 A 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ， 第 二 象 限 内 的 点 B在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ， 连 接 OA、 OB， 若 OA OB， OB= OA， 则 k= .解
14、析 ： 过 点 A 作 AE x 轴 于 点 E， 过 点 B 作 BF x 轴 于 点 F， 设 点 A的 坐 标 为 (a， )， 点 B 的 坐 标 为 (b， )， AOE+ BOF=90 ， OBF+ BOF=90 ， AOE= OBF，又 BFO= OEA=90 ， OBF AOE， = = ， 即 = = ，则 =- b ， a= ， 可 得 ： -2k=1， 解 得 ： k=- .答 案 ： - .三 、 解 答 题18.(8分 )化 简 (1)(2) .解 析 ： (1)分 别 进 行 二 次 根 式 的 化 简 、 零 指 数 幂 的 运 算 ， 代 入 特 殊 角 的 三
15、 角 函 数 值 即 可 得 出答 案 .(2)先 通 分 ， 然 后 再 进 行 分 子 的 加 减 运 算 ， 最 后 化 简 即 可 .答 案 ： (1)原 式 =2-1+2 =2.(2)原 式 = - = = . 19.(10分 )解 方 程 组 和 分 式 方 程 ：(1)(2) .解 析 ： (1)利 用 代 入 消 元 法 解 方 程 组 ；(2)最 简 公 分 母 为 2(x-2)， 去 分 母 ， 转 化 为 整 式 方 程 求 解 ， 结 果 要 检 验 .答 案 ： (1) ，由 得 x=-2y 把 代 入 ， 得 3 (-2y)+4y=6， 解 得 y=-3， 把 y=
16、-3代 入 ， 得 x=6， 所 以 ， 原 方 程 组 的 解 为 ；(2)去 分 母 ， 得 14=5(x-2)， 解 得 x=4.8， 检 验 ： 当 x=4.8时 ， 2(x-2) 0，所 以 ， 原 方 程 的 解 为 x=4.8.20.(7分 )为 保 证 中 小 学 生 每 天 锻 炼 一 小 时 ， 某 校 开 展 了 形 式 多 样 的 体 育 活 动 项 目 ， 小 明 对某 班 同 学 参 加 锻 炼 的 情 况 进 行 了 统 计 ， 并 绘 制 了 下 面 的 统 计 图 (1)和 图 (2). (1)请 根 据 所 给 信 息 在 图 (1)中 将 表 示 “ 乒
17、乓 球 ” 项 目 的 图 形 补 充 完 整 ；(2)扇 形 统 计 图 (2)中 表 示 ” 足 球 ” 项 目 扇 形 的 圆 心 角 度 数 为 .解 析 ： (1)首 先 根 据 打 篮 球 的 人 数 是 20人 ， 占 40%， 求 出 总 人 数 ， 再 用 总 人 数 减 去 篮 球 、 足球 和 其 它 人 数 得 出 乒 乓 球 的 人 数 ， 用 各 个 爱 好 的 人 数 除 以 总 人 数 ， 即 可 得 出 所 占 的 百 分 百 ，从 而 补 全 统 计 图 ；(2)用 360 乘 以 足 球 所 占 的 百 分 百 ， 即 可 得 出 扇 形 的 圆 心 角
18、的 度 数 .答 案 ： (1)总 人 数 是 ： 20 40%=50(人 )， 则 打 乒 乓 球 的 人 数 是 ： 50-20-10-15=5(人 ).足 球 的 人 数 所 占 的 比 例 是 ： 100%=20%，打 乒 乓 球 的 人 数 所 占 的 比 例 是 ： 100%=10%；其 它 的 人 数 所 占 的 比 例 是 ： 100%=30%. 补 图 如 下 ：(2)根 据 题 意 得 ： 360 =72 ， 则 扇 形 统 计 图 (2)中 表 示 ” 足 球 ” 项 目 扇 形 的 圆 心 角 度 数 为 72 ；故 答 案 为 ： 72 .21.(8分 )一 只 不
19、透 明 的 箱 子 里 共 有 3 个 球 ， 其 中 2 个 白 球 ， 1 个 红 球 ， 它 们 除 颜 色 外 均 相 同 . (1)从 箱 子 中 随 机 摸 出 一 个 球 是 白 球 的 概 率 是 多 少 ？(2)从 箱 子 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 记 录 下 颜 色 后 不 将 它 放 回 箱 子 ， 搅 匀 后 再 摸 出 一 个 球 ， 求 两次 摸 出 的 球 都 是 白 球 的 概 率 ， 并 画 出 树 状 图 .解 析 ： (1)根 据 概 率 的 意 义 列 式 即 可 ；(2)画 出 树 状 图 ， 然 后 根 据 概 率 公 式 列 式 计 算
20、即 可 得 解 .答 案 ： (1) 共 有 3 个 球 ， 2 个 白 球 ， 随 机 摸 出 一 个 球 是 白 球 的 概 率 为 ；(2)根 据 题 意 画 出 树 状 图 如 下 ： 一 共 有 6 种 等 可 能 的 情 况 ， 两 次 摸 出 的 球 都 是 白 球 的 情 况 有 2种 ，所 以 ， P(两 次 摸 出 的 球 都 是 白 球 )= = .22.(6分 )如 图 ， C 是 AB 的 中 点 ， AD=BE， CD=CE.求 证 ： A= B.解 析 ： 根 据 中 点 定 义 求 出 AC=BC， 然 后 利 用 “ SSS” 证 明 ACD 和 BCE全 等
21、 ， 再 根 据 全 等 三 角 形 对 应 角 相 等 证 明 即 可 .答 案 ： C是 AB的 中 点 ， AC=BC，在 ACD和 BCE中 ， ， ACD BCE(SSS)， A= B.23.(7分 )如 图 ， 在 ABC 中 ， AB=AC， B=60 ， FAC、 ECA是 ABC 的 两 个 外 角 ， AD平分 FAC， CD平 分 ECA.求 证 ： 四 边 形 ABCD 是 菱 形 . 解 析 ： 根 据 平 行 四 边 形 的 判 定 方 法 得 出 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 再 利 用 菱 形 的 判 定 得 出 .答 案 ： B=60 ， A
22、B=AC， ABC为 等 边 三 角 形 ， AB=BC， ACB=60 ， FAC= ACE=120 ， BAD= BCD=120 ， B= D=60 ， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AB=BC， 平 行 四 边 形 ABCD是 菱 形 . 24.(6分 )在 Rt ABC中 ， C=90 ， AC=1， BC= ， 点 O为 Rt ABC内 一 点 ， 连 接 A0、 BO、CO， 且 AOC= COB=BOA=120 ， 按 下 列 要 求 画 图 (保 留 画 图 痕 迹 )：以 点 B为 旋 转 中 心 ， 将 AOB绕 点 B 顺 时 针 方 向 旋 转 60
23、 ， 得 到 A O B(得 到 A、 O 的 对应 点 分 别 为 点 A 、 O )， 并 回 答 下 列 问 题 ： ABC= ， A BC= ， OA+OB+OC= .解 析 ： 解 直 角 三 角 形 求 出 ABC=30 ， 然 后 过 点 B 作 BC的 垂 线 ， 在 截 取 A B=AB， 再 以 点 A为 圆 心 ， 以 AO为 半 径 画 弧 ， 以 点 B为 圆 心 ， 以 BO为 半 径 画 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 O ， 连 接 A O 、 BO ， 即 可 得 到 A O B； 根 据 旋 转 角 与 ABC的 度 数 ， 相 加 即 可 得 到 A BC
24、；根 据 直 角 三 角 形 30 角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 求 出 AB=2AC， 即 A B的 长 ， 再 根 据 旋转 的 性 质 求 出 BOO 是 等 边 三 角 形 ， 根 据 等 边 三 角 形 的 三 条 边 都 相 等 可 得 BO=OO ， 等 边三 角 形 三 个 角 都 是 60 求 出 BOO = BO O=60 ， 然 后 求 出 C、 O、 A 、 O 四 点 共 线 ，再 利 用 勾 股 定 理 列 式 求 出 A C， 从 而 得 到 OA+OB+OC=A C.答 案 ： C=90 ， AC=1， BC= ， tan ABC= =
25、 = ， ABC=30 ， AOB绕 点 B顺 时 针 方 向 旋 转 60 ， A O B如 图 所 示 ； A BC= ABC+60 =30 +60 =90 ， C=90 ， AC=1， ABC=30 ， AB=2AC=2， AOB绕 点 B顺 时 针 方 向 旋 转 60 ， 得 到 A O B， A B=AB=2， BO=BO ， A O =AO， BOO 是 等 边 三 角 形 ， BO=OO ， BOO = BO O=60 ， AOC= COB= BOA=120 ， COB+ BOO = BO A + BO O=120 +60 =180 ， C、 O、 A 、 O 四 点 共 线
26、，在 Rt A BC 中 ， A C= = = ， OA+OB+OC=A O +OO +OC=A C= .故 答 案 为 ： 30 ； 90 ； .25.(7分 )某 饮 料 厂 以 300千 克 的 A种 果 汁 和 240千 克 的 B种 果 汁 为 原 料 ， 配 制 生 产 甲 、 乙 两 种 新 型 饮 料 ， 已 知 每 千 克 甲 种 饮 料 含 0.6千 克 A 种 果 汁 ， 含 0.3千 克 B 种 果 汁 ； 每 千 克 乙种 饮 料 含 0.2千 克 A种 果 汁 ， 含 0.4千 克 B种 果 汁 .饮 料 厂 计 划 生 产 甲 、 乙 两 种 新 型 饮 料 共6
27、50千 克 ， 设 该 厂 生 产 甲 种 饮 料 x(千 克 ).(1)列 出 满 足 题 意 的 关 于 x 的 不 等 式 组 ， 并 求 出 x 的 取 值 范 围 ；(2)已 知 该 饮 料 厂 的 甲 种 饮 料 销 售 价 是 每 1 千 克 3 元 ， 乙 种 饮 料 销 售 价 是 每 1 千 克 4 元 ， 那么 该 饮 料 厂 生 产 甲 、 乙 两 种 饮 料 各 多 少 千 克 ， 才 能 使 得 这 批 饮 料 销 售 总 金 额 最 大 ？解 析 ： (1)表 示 出 生 产 乙 种 饮 料 (650-x)千 克 ， 然 后 根 据 所 需 A 种 果 汁 和 B
28、 种 果 汁 的 数 量 列 出一 元 一 次 不 等 式 组 ， 求 解 即 可 得 到 x 的 取 值 范 围 ；(2)根 据 销 售 总 金 额 等 于 两 种 饮 料 的 销 售 额 的 和 列 式 整 理 ， 再 根 据 一 次 函 数 的 增 减 性 求 出 最大 销 售 额 .答 案 ： (1)设 该 厂 生 产 甲 种 饮 料 x 千 克 ， 则 生 产 乙 种 饮 料 (650-x)千 克 ，根 据 题 意 得 ， ， 由 得 ， x 425， 由 得 ， x 200， 所 以 ， x 的 取 值 范 围 是 200 x 425；(2)设 这 批 饮 料 销 售 总 金 额
29、为 y 元 ，根 据 题 意 得 ， y=3x+4(650-x)=3x+2600-4x=-x+2600， 即 y=-x+2600， k=-1 0， y随 x的 增 大 而 减 小 ， 当 x=200时 ， 这 批 饮 料 销 售 总 金 额 最 大 ， 则650-x=650-200=450.故 该 饮 料 厂 生 产 甲 种 饮 料 200千 克 ， 乙 种 饮 料 450千 克 ， 才 能 使 得 这 批 饮 料 销 售 总 金 额 最 大 .26.(6分 )用 水 平 线 和 竖 起 线 将 平 面 分 成 若 干 个 边 长 为 1 的 小 正 方 形 格 子 ， 小 正 方 形 的 顶
30、 点称 为 格 点 ， 以 格 点 为 顶 点 的 多 边 形 称 为 格 点 多 边 形 .设 格 点 多 边 形 的 面 积 为 S， 该 多 边 形 各边 上 的 格 点 个 数 和 为 a， 内 部 的 格 点 个 数 为 b， 则 S= a+b-1(史 称 “ 皮 克 公 式 ” ).小 明 认 真 研 究 了 “ 皮 克 公 式 ” ， 并 受 此 启 发 对 正 三 角 开 形 网 格 中 的 类 似 问 题 进 行 探 究 ： 正 三 角 形 网 格 中 每 个 小 正 三 角 形 面 积 为 1， 小 正 三 角 形 的 顶 点 为 格 点 ， 以 格 点 为 顶 点 的 多
31、 边 形 称为 格 点 多 边 形 ， 下 图 是 该 正 三 角 形 格 点 中 的 两 个 多 边 形 ： 根 据 图 中 提 供 的 信 息 填 表 ：则 S 与 a、 b 之 间 的 关 系 为 S= (用 含 a、 b 的 代 数 式 表 示 ).解 析 ： 根 据 8=8+2(1-1)， 11=7+2(3-1)得 到 S=a+2(b-1).答 案 ： 填 表 如 下 ： 则 S 与 a、 b 之 间 的 关 系 为 S=a+2(b-1)(用 含 a、 b的 代 数 式 表 示 ).27.(9分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 点 A(6， 0)， 点 B(0
32、， 6)， 动 点 C 在 以 半 径 为 3 的 O 上 ， 连 接 OC， 过 O 点 作 OD OC， OD与 O 相 交 于 点 D(其 中 点 C、 O、 D 按 逆 时 针 方 向 排列 )， 连 接 AB. (1)当 OC AB 时 ， BOC的 度 数 为 ；(2)连 接 AC， BC， 当 点 C在 O 上 运 动 到 什 么 位 置 时 ， ABC的 面 积 最 大 ？ 并 求 出 ABC 的 面积 的 最 大 值 .(3)连 接 AD， 当 OC AD 时 ， 求 出 点 C的 坐 标 ； 直 线 BC是 否 为 O 的 切 线 ？ 请 作 出 判 断 ， 并 说 明 理
33、 由 .解 析 ： (1)根 据 点 A和 点 B 坐 标 易 得 OAB 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 OBA=45 ， 由 于 OC AB，所 以 当 C 点 在 y轴 左 侧 时 ， 有 BOC= OBA=45 ； 当 C 点 在 y轴 右 侧 时 ， 有 BOC=180 + OBA=225 ；(2)由 OAB为 等 腰 直 角 三 角 形 得 AB= OA=6 ， 根 据 三 角 形 面 积 公 式 得 到 当 点 C 到 AB的距 离 最 大 时 ， ABC的 面 积 最 大 ， 过 O 点 作 OE AB于 E， OE 的 反 向 延 长 线 交 O于 C， 此 时C点
34、到 AB 的 距 离 的 最 大 值 为 CE的 长 然 后 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 计 算 出 OE， 然 后 计 算 ABC的 面 积 ；(3) 过 C 点 作 CF x 轴 于 F， 易 证 Rt OCF Rt AOD， 则 = ， 即 = ， 解 得 CF= ，再 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 OF= ， 则 可 得 到 C 点 坐 标 ； 由 于 OC=3， OF= ， 所 以 COF=30 ， 则 可 得 到 BOC=60 ， AOD=60 ， 然 后 根 据 “ SAS”判 断 BOC AOD， 所 以 BCO= ADO=90 ， 再 根 据 切 线
35、 的 判 定 定 理 可 确 定 直 线 BC为 O的 切 线 .解 答 (1) 点 A(6， 0)， 点 B(0， 6)， OA=OB=6， OAB为 等 腰 直 角 三 角 形 ， OBA=45 ， OC AB， 当 C 点 在 y轴 左 侧 时 ， BOC= OBA=45 ；当 C 点 在 y轴 右 侧 时 ， BOC=90 + OBA=135 ；(2) OAB为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AB= OA=6 ， 当 点 C 到 AB 的 距 离 最 大 时 ， ABC的 面 积 最 大 ，过 O 点 作 OE AB于 E， OE的 反 向 延 长 线 交 O 于 C， 如 图 ，
36、此 时 C点 到 AB 的 距 离 的 最 大 值为 CE 的 长 ， OE= AB=3 ， CE=OC+OE=3+3 ， ABC的 面 积 = CE AB= (3+3 ) 6 =9 +18. 当 点 C 在 O上 运 动 到 第 三 象 限 的 角 平 分 线 与 圆 的 交 点 位 置 时 ， ABC的 面 积 最 大 ， 最 大 值 为 9 +18.(3) 如 图 ， 过 C 点 作 CF x 轴 于 F， OC AD， COF= DAO，又 ADO= CFO=90 Rt OCF Rt AOD， = ， 即 = ， 解 得 CF= ，在 Rt OCF中 ， OF= = ， C点 坐 标
37、为 ( ， )；故 所 求 点 C的 坐 标 为 ( ， ). 当 C点 坐 标 为 (- ， )时 ， 直 线 BC是 O 的 切 线 .理 由 如 下 ： 在 Rt OCF中 ， OC=3， CF= ， COF=30 ， OAD=30 ， BOC=60 ， AOD=60 ， 在 BOC和 AOD 中 ， ， BOC AOD(SAS)， BCO= ADO=90 ， OC BC， 直 线 BC为 O 的 切 线 ；当 C 点 坐 标 为 (- ， )时 ， 显 然 直 线 BC 与 O相 切 .综 上 可 得 ： C 点 坐 标 为 ( ， )或 (- ， )时 ， 显 然 直 线 BC与 O
38、 相 切 .28.(10分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 一 次 函 数 y=2x+2的 图 象 与 x 轴 交 于 A， 与 y 轴 交 于 点C， 点 B 的 坐 标 为 (a， 0)， (其 中 a 0)， 直 线 l过 动 点 M(0， m)(0 m 2)， 且 与 x 轴 平 行 ， 并 与 直 线 AC、 BC分 别 相 交 于 点 D、 E， P 点 在 y 轴 上 (P点 异 于 C 点 )满 足 PE=CE， 直 线 PD 与x轴 交 于 点 Q， 连 接 PA. (1)写 出 A、 C 两 点 的 坐 标 ；(2)当 0 m 1 时 ， 若 PAQ是 以
39、P为 顶 点 的 倍 边 三 角 形 (注 ： 若 HNK 满 足 HN=2HK， 则 称 HNK为 以 H 为 顶 点 的 倍 边 三 角 形 )， 求 出 m的 值 ；(3)当 1 m 2 时 ， 是 否 存 在 实 数 m， 使 CD AQ=PQ DE？ 若 能 ， 求 出 m的 值 (用 含 a 的 代 数式 表 示 )； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)利 用 一 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 求 解 ；(2)如 答 图 1 所 示 ， 解 题 关 键 是 求 出 点 P、 点 Q 的 坐 标 ， 然 后 利 用 PA=2PQ， 列 方 程
40、求 解 ；(3)如 答 图 2 所 示 ， 利 用 相 似 三 角 形 ， 将 已 知 的 比 例 式 转 化 为 ： ， 据 此 列 方 程 求 出 m的 值 .答 案 ： (1)在 直 线 解 析 式 y=2x+2 中 ， 当 y=0时 ， x=-1； 当 x=0时 ， y=2， A(-1， 0)， C(0，2)；(2)当 0 m 1 时 ， 依 题 意 画 出 图 形 ， 如 答 图 1 所 示 . PE=CE， 直 线 l 是 线 段 PC的 垂 直 平 分 线 ， MC=MP， 又 C(0， 2)， M(0， m)， P(0， 2m-2)；直 线 l与 y=2x+2交 于 点 D，
41、令 y=m， 则 x= ， D( ， m)，设 直 线 DP 的 解 析 式 为 y=kx+b， 则 有 ， 解 得 ： k=-2， b=2m-2， 直 线 DP 的 解 析 式 为 ： y=-2x+2m-2.令 y=0， 得 x=m-1， Q(m-1， 0).已 知 PAQ是 以 P 为 顶 点 的 倍 边 三 角 形 ， 由 图 可 知 ， PA=2PQ， ， 即 ，整 理 得 ： (m-1)2= ， 解 得 ： m= ( 1， 不 合 题 意 ， 舍 去 )或 m= ， m= .(3)当 1 m 2 时 ， 假 设 存 在 实 数 m， 使 CD AQ=PQ DE.依 题 意 画 出 图
42、 形 ， 如 答 图 2 所 示 . 由 (2)可 知 ， OQ=m-1， OP=2m-2， 由 勾 股 定 理 得 ： PQ= (m-1)； A(-1， 0)， Q(m-1， 0)， B(a， 0)， AQ=m， AB=a+1； OA=1， OC=2， 由 勾 股 定 理 得 ： CA= . 直 线 l x 轴 ， CDE CAB， ；又 CD AQ=PQ DE， ， ， 即 ， 解 得 ： m= . 1 m 2， 当 0 a 1 时 ， m 2， m不 存 在 ； 当 a 1时 ， m= . 当 1 m 2 时 ， 若 a 1， 则 存 在 实 数 m= ， 使 CD AQ=PQ DE； 若 0 a 1， 则 m 不 存在 .
