1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (四 川 卷 )数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 | ( 1)( 2) 0A x x x ， 集 合 |1 3B x x ， 则 A B = ( )A.x|-1x3B.x|-1x1C.x|1x2D.x|2x3解 析 ： | 1 2, |1 3, | 1 3A x x B x x A B x x 答 案 ： A2.设 i是 虚 数 单 位
2、 ， 则 复 数 3 2i i ( )A.-iB.-3iC.iD.3i解 析 ： .答 案 ： C 3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 S 的 值 是 ( ) A. 32-B. 32 C.-12D.12解 析 ： 这 是 一 个 循 环 结 构 ， 每 次 循 环 的 结 果 依 次 为 ： 2; 3; 4; 5k k k k ， 大 于 4， 所以 输 出 的 5 1sin 6 2S .答 案 ： D4.下 列 函 数 中 ， 最 小 正 周 期 为 且 图 象 关 于 原 点 对 称 的 函 数 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 对 于 选 项 A， 因 为
3、2sin 2 , 2y x T ， 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .答 案 ： A 5.过 双 曲 线 22 13yx 的 右 焦 点 且 与 x轴 垂 直 的 直 线 ， 交 该 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 于 A， B 两点 ， 则 AB ( )A. 4 33B.2 3C.6D. 4 3 解 析 ： 双 曲 线 的 右 焦 点 为 F(2， 0)， 过 F 与 x轴 垂 直 的 直 线 为 x=2， 渐 近 线 方 程 为 22 13yx ，将 x=2代 入 22 13yx ， 得 y2=12， y= 2 3 .答 案 ： D 6.用 数 字 0， 1， 2， 3， 4， 5
4、 组 成 没 有 重 复 数 字 的 五 位 数 ， 其 中 比 40000 大 的 偶 数 共 有 ( )A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个解 析 ： 据 题 意 ， 万 位 上 只 能 排 4、 5.若 万 位 上 排 4， 则 有 342 A 个 ； 若 万 位 上 排 5， 则 有 343 A个 .所 以 共 有 342 A 343 5 24 120A 个 .答 案 ： B 7.设 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， 6AB ， 4AD .若 点 M， N 满 足 3BM MC ，2DN NC ， 则 AM NM ( )A. 20B. 15C. 9D.
5、6解 析 ： 因 为 3 1 1,4 4 3AM AB AD NM CM CN AD AB ， 所 以 .答 案 ： C8.设 a， b 都 是 不 等 于 1 的 正 数 ， 则 “ 3 3 3a b ” 是 “ log 3 log 3a b ” 的 ( )A. 充 要 条 件B. 充 分 不 必 要 条 件C. 必 要 不 充 分 条 件D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 若 3 3 3a b ， 则 a b 1， 从 而 有 log 3 log 3a b ， 故 为 充 分 条 件 ， 若 log 3 log 3a b ， 不 一 定 有 a b 1， 比 如 ： a
6、=13 ， b=3 ， 从 而 3 a 3b 3， 不 成 立 .答 案 ： B9.如 果 函 数 21 2 8 1 0 02f x m x n x m n ， 在 区 间 1 22 ， 单 调 递 减 ， 则 mn的 最 大 值 为 ( )A.16B. 18C.25D.812解 析 ： 2m 时 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 82nx m .据 题 意 ， 当 2m 时 ， 8 22nm 即2 12m n . 22 6, 182m nm n mn . 由 2m n 且 2 12m n 得3, 6m n . 当 2m 时 ， 抛 物 线 开 口 向 下 ， 据 题 意 得 ， 8 12
7、2nm 即2 18m n . 2 812 9,2 2n mn m mn . 由 2n m 且 2 18m n 得9 2m ， 故 应 舍 去 .要 使 得 mn 取 得 最 大 值 ， 应 有 2 18m n ( 2, 8)m n .所 以(18 2 ) (18 2 8) 8 16mn n n ， 所 以 最 大 值 为 18.答 案 ： B10.设 直 线 l 与 抛 物 线 2 4y x 相 交 于 A， B 两 点 ， 与 圆 2 2 25 0 x y r r 相 切 于 点M， 且 M 为 线 段 AB 的 中 点 .若 这 样 的 直 线 l 恰 有 4 条 ， 则 r 的 取 值
8、范 围 是 ( ) A.(1， 3)B.(1， 4)C.(2， 3)D.(2， 4)解 析 ： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)， 则斜 率 存 在 时 ， 设 斜 率 为 k， 则 y12=4x1， y22=4x2， 利 用 点 差 法 可 得 ky0=2， 因 为 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以 ， 所 以 x0=3，即 M 的 轨 迹 是 直 线 x=3，代 入 抛 物 线 方 程 可 得 y= 2 3 ， 所 以 交 点 与 圆 心 (5， 0)的 距 离 为 4，所 以 2 r 4 时 ， 直 线 l有 2条 ；斜 率 不 存 在 时 ， 直 线
9、 l 有 2 条 ；所 以 直 线 l恰 有 4 条 ， 2 r 4.答 案 ： D二 、 填 空 题 (每 题 5 分 ， 满 分 25分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )11.在 5(2 1)x 的 展 开 式 中 ， 含 2x 的 项 的 系 数 是 (用 数 字 作 答 ). 解 析 ： 5 5(2 1) (1 2 )x x ， 所 以 2x 的 系 数 为 2 25 ( 2) 40C .答 案 ： -4012. 75sin15sin .解 析 ： 6sin15 sin75 sin15 cos15 2sin(15 45 ) 2 .答 案 ： 62 13.某 食 品 的 保 鲜
10、 时 间 y(单 位 ： 小 时 )与 储 藏 温 度 x(单 位 ： )满 足 函 数 关 系 y=ekx+b(e=2.718为 自 然 对 数 的 底 数 ， k、 b 为 常 数 ).若 该 食 品 在 0 的 保 鲜 时 间 是 192 小 时 ， 在 22 的 保 鲜时 间 是 48 小 时 ， 则 该 食 品 在 33 的 保 鲜 时 间 是 小 时 .解 析 ： 由 题 意 可 得 ， x=0时 ， y=192； x=22 时 ， y=48.代 入 函 数 y=ekx+b，可 得 eb=192， e22k+b=48，即 有 e 11k= 12 ， eb=192，则 当 x=33
11、时 ， y=e33k+b= 18 192=24.答 案 ： 2414.如 图 ， 四 边 形 ABCD 和 ADPQ 均 为 正 方 形 ， 他 们 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ， 动 点 M 在 线 段 PQ上 ， E、 F 分 别 为 AB、 BC 的 中 点 ， 设 异 面 直 线 EM 与 AF 所 成 的 角 为 ， 则 cos 的 最 大 值为 . 解 析 ： 根 据 已 知 条 件 ， AB， AD， AQ 三 直 线 两 两 垂 直 ， 分 别 以 这 三 直 线 为 x， y， z 轴 ， 建 立如 图 所 示 空 间 直 接 坐 标 系 ， 设 AB=2， 则 ：A
12、(0， 0， 0)， E(1， 0， 0)， F(2， 1， 0)；M在 线 段 PQ上 ， 设 M(0， y， 2)， 0 y 2； EM=(-1， y， 2)， AF =(2， 1， 0)； cos =|cos EM， AF |= ； cos 2 = ， 设 t= ， 整 理 得 ：(5t-1)y2+4y+25t-4=0 ， 将 该 式 看 成 关 于 y的 方 程 ；(1)若 t= 15 ， 则 y=- 14 ， 不 符 合 0 y 2， 即 这 种 情 况 不 存 在 ；(2)若 t 15 ， 便 是 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程 ， 该 方 程 有 解 ； =16-4(5t
13、-1)(25t-4) 0； 解 得 0 t 425 ； t 的 最 大 值 为 425 ； cos 2 的 最 大 值 为 425 ， cos 最 大 值 为 25 .故 答 案 为 ： 2515.已 知 函 数 f(x)=2x， g(x)=x2+ax(其 中 a R).对 于 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 设 m= ，n= .现 有 如 下 命 题 ： 对 于 任 意 不 相 等 的 实 数 x 1、 x2， 都 有 m 0； 对 于 任 意 的 a及 任 意 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 都 有 n 0； 对 于 任 意 的 a， 存 在 不 相 等 的 实 数 x1、
14、 x2， 使 得 m=n； 对 于 任 意 的 a， 存 在 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 使 得 m=-n.其 中 的 真 命 题 有 (写 出 所 有 真 命 题 的 序 号 ).解 析 ： 对 于 ， 由 于 2 1， 由 指 数 函 数 的 单 调 性 可 得 f(x)在 R上 递 增 ， 即 有 m 0， 则 正确 ； 对 于 ， 由 二 次 函 数 的 单 调 性 可 得 g(x)在 (- ， - 2a )递 减 ， 在 ( 2a ， + )递 减 ， 则 n 0 不恒 成 立 ，则 错 误 ；对 于 ， 由 m=n， 可 得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2
15、)， 考 查 函 数 h(x)=x2+ax-2x，h (x)=2x+a-2xln2， 当 a - ， h (x)小 于 0， h(x)单 调 递 减 ， 则 错 误 ；对 于 ， 由 m=-n， 可 得 f(x 1)-f(x2)=-g(x1)-g(x2)， 考 查 函 数 h(x)=x2+ax+2x，h (x)=2x+a+2xln2， 对 于 任 意 的 a， h (x)不 恒 大 于 0 或 小 于 0， 则 正 确 .故 答 案 为 ： 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)16
16、.设 数 列 a n(n=1， 2， 3， )的 前 n项 和 Sn满 足 Sn=2an-a1， 且 a1， a2+1， a3成 等 差 数 列 .( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )记 数 列 1na 的 前 n 项 和 为 Tn， 求 使 得 |Tn-1| 11000 成 立 的 n的 最 小 值 .解 析 ： ( )由 已 知 数 列 递 推 式 得 到 an=2an-1(n 2)， 再 由 已 知 a1， a2+1， a3成 等 差 数 列 求 出 数列 首 项 ， 可 得 数 列 a n是 首 项 为 2， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 则 其 通 项 公 式
17、 可 求 ；( )由 ( )求 出 数 列 1na 的 通 项 公 式 ， 再 由 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 得 Tn， 结 合 |Tn-1|11000 求 解 指 数 不 等 式 得 n 的 最 小 值 .答 案 ： ( )由 已 知 S n=2an-a1， 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n 2)，即 an=2an-1(n 2)，从 而 a2=2a1， a3=2a2=4a1，又 a1， a2+1， a3成 等 差 数 列 ， a 1+4a1=2(2a1+1)， 解 得 ： a1=2. 数 列 an是 首 项 为 2， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 .故 an
18、=2n.( )由 ( )得 ： ， . 由 |Tn-1| 11000 ， 得 ， 即 2n 1000. 29=512 1000 1024=210， n 10.于 是 ， 使 |Tn-1| 11000 成 立 的 n的 最 小 值 为 10.17.某 市 A、 B 两 所 中 学 的 学 生 组 队 参 加 辩 论 赛 ， A 中 学 推 荐 了 3 名 男 生 、 2 名 女 生 ， B 中 学推 荐 了 3 名 男 生 、 4 名 女 生 ， 两 校 所 推 荐 的 学 生 一 起 参 加 集 训 .由 于 集 训 后 队 员 水 平 相 当 ，从 参 加 集 训 的 男 生 中 随 机 抽
19、 取 3 人 ， 女 生 中 随 机 抽 取 3 人 组 成 代 表 队 .( )求 A 中 学 至 少 有 1 名 学 生 入 选 代 表 队 的 概 率 ；( )某 场 比 赛 前 ， 从 代 表 队 的 6名 队 员 中 随 机 抽 取 4人 参 赛 ， 设 X 表 示 参 赛 的 男 生 人 数 ， 求 X的 分 布 列 和 数 学 期 望 .解 析 ： ( )求 出 A 中 学 至 少 有 1 名 学 生 入 选 代 表 队 的 对 立 事 件 的 概 率 ， 然 后 求 解 概 率 即 可 ；( )求 出 X表 示 参 赛 的 男 生 人 数 的 可 能 值 ， 求 出 概 率 ，
20、 得 到 X 的 分 布 列 ， 然 后 求 解 数 学 期 望 .答 案 ： ( )由 题 意 ， 参 加 集 训 的 男 、 女 学 生 个 有 6 人 ， 参 赛 学 生 全 从 B 中 抽 出 (等 价 于 A中没 有 学 生 入 选 代 表 队 )的 概 率 为 ： ， 因 此 A中 学 至 少 有 1 名 学 生 入 选 代 表 队 的 概率 为 ： .( )某 场 比 赛 前 ， 从 代 表 队 的 6 名 队 员 中 随 机 抽 取 4人 参 赛 ， X 表 示 参 赛 的 男 生 人 数 ， 则 X 的 可 能 取 值 为 ： 1， 2， 3，P(X=1)= ， P(X=2)
21、= ， P(X=3)= .X的 分 布 列 ：和 数 学 期 望 EX=1 15 +2 35 +3 15 =2. 18. 一 个 正 方 体 的 平 面 展 开 图 及 该 正 方 体 的 直 观 图 的 示 意 图 如 图 所 示 .在 正 方 体 中 ， 设 BC的 中 点 为 M、 GH的 中 点 为 N. ( )请 将 字 母 F、 G、 H 标 记 在 正 方 体 相 应 的 顶 点 处 (不 需 说 明 理 由 )；( )证 明 ： 直 线 MN 平 面 BDH；( )求 二 面 角 A-EG-M的 余 弦 值 .解 析 ： ( )根 据 展 开 图 和 直 观 图 之 间 的 关
22、 系 进 行 判 断 即 可 ；( )利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 证 明 直 线 MN 平 面 BDH；( )利 用 定 义 法 求 出 二 面 角 的 平 面 角 进 行 求 解 .答 案 ： ( )F、 G、 H的 位 置 如 图 . ( )证 明 ： 连 接 BD， 设 O是 BD的 中 点 ， BC 的 中 点 为 M、 GH的 中 点 为 N， OM CD， OM= 12 CD， HN CD， HN= 12 CD， OM HN， OM=HN，即 四 边 形 MNHO 是 平 行 四 边 形 ， MN OH， MN平 面 BDH； OH?面 BDH， 直 线 M
23、N 平 面 BDH.( )连 接 AC， 过 M 作 MH AC于 P，则 正 方 体 ABCD-EFGH中 ， AC EG， MP EG，过 P 作 PK EG 于 K， 连 接 KM， KM 平 面 PKM则 KM EG，则 PKM是 二 面 角 A-EG-M的 平 面 角 ，设 AD=2， 则 CM=1， PK=2， 在 Rt CMP中 ， PM=CMsin45 = 22 ，在 Rt PKM中 ， KM= 2 2PK PM = 3 22 ， cos PKM= PKKM = 2 23 ，即 二 面 角 A-EG-M的 余 弦 值 为 2 23 . 19.如 图 ， A、 B、 C、 D 为
24、 平 面 四 边 形 ABCD的 四 个 内 角 .( )证 明 ： ；( )若 A+C=180 ， AB=6， BC=3， CD=4， AD=5， 求 的 值 .解 析 ： ( )直 接 利 用 切 化 弦 以 及 二 倍 角 公 式 化 简 证 明 即 可 .( ) 通 过 A+C=180 ， 得 C=180 -A ， D=180 -B ， 利 用 ( ) 化 简 = ， 连 接 BD， 在 ABD中 ， 利 用 余 弦 定 理 求 出 sinA，连 结 AC， 求 出 sinB， 然 后 求 解 即 可 .答 案 ： ( ) .等 式 成 立 .( )由 A+C=180 ， 得 C=18
25、0 -A， D=180 -B， 由 ( )可 知 ： =，连 结 BD， 在 ABD中 ， 有 BD2=AB2+AD2-2AB ADcosA， AB=6， BC=3， CD=4， AD=5，在 BCD中 ， 有 BD2=BC2+CD2-2BC CDcosC，所 以 AB2+AD2-2AB ADcosA=BC2+CD2-2BC CDcosC，则 ： cosA= .于 是 sinA= ，连 结 AC， 同 理 可 得 ： cosB= ，于 是 sinB= . 所 以 .20.如 图 ， 椭 圆 E： (a b 0)的 离 心 率 是 22 ， 过 点 P(0， 1)的 动 直 线 l 与 椭 圆相
26、 交 于 A、 B 两 点 ， 当 直 线 l 平 行 于 x 轴 时 ， 直 线 l 被 椭 圆 E 截 得 的 线 段 长 为 2 2 .( )求 椭 圆 E 的 方 程 ； ( )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 是 否 存 在 与 点 P 不 同 的 定 点 Q， 使 得 恒 成 立 ？若 存 在 ， 求 出 点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： ( )通 过 直 线 l 平 行 于 x 轴 时 被 椭 圆 E截 得 的 线 段 长 为 2 2 及 离 心 率 是 22 ， 计 算即 得 结 论 ；( )通 过 直 线 l 与 x 轴
27、 平 行 、 垂 直 时 ， 可 得 若 存 在 不 同 于 点 P 的 定 点 Q满 足 条 件 ， 则 Q点 坐标 只 能 是 (0， 2).然 后 分 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 、 存 在 两 种 情 况 ， 利 用 韦 达 定 理 及 直 线 斜 率 计算 方 法 ， 证 明 对 任 意 直 线 l， 均 有 即 可 .答 案 ： ( ) 直 线 l平 行 于 x轴 时 ， 直 线 l被 椭 圆 E截 得 的 线 段 长 为 2 2 ， 点 ( 2 ， 1)在 椭 圆 E 上 ，又 离 心 率 是 22 ， ， 解 得 a=2， b= 2 ， 椭 圆 E 的 方 程 为 ：
28、. ( )结 论 ： 存 在 与 点 P 不 同 的 定 点 Q(0， 2)， 使 得 恒 成 立 .理 由 如 下 ：当 直 线 l 与 x 轴 平 行 时 ， 设 直 线 l与 椭 圆 相 交 于 C、 D 两 点 ， 如 果 存 在 定 点 Q满 足 条 件 ， 则 有 =1， 即 |QC|=|QD|. Q 点 在 直 线 y轴 上 ， 可 设 Q(0， y0).当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 ， 设 直 线 l与 椭 圆 相 交 于 M、 N 两 点 ，则 M、 N 的 坐 标 分 别 为 (0， 2 )、 (0， - 2 )，又 ， ， 解 得 y 0=1 或 y0=2. 若
29、 存 在 不 同 于 点 P的 定 点 Q满 足 条 件 ， 则 Q 点 坐 标 只 能 是 (0， 2).下 面 证 明 ： 对 任 意 直 线 l， 均 有 . 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 ， 由 上 可 知 ， 结 论 成 立 .当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 ， 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+1，A、 B 的 坐 标 分 别 为 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，联 立 ， 消 去 y并 整 理 得 ： (1+2k2)x2+4kx-2=0， =(4k) 2+8(1+2k2) 0， x1+x2=- ， x1x2=- ， =2k，已 知 点
30、B 关 于 y轴 对 称 的 点 B 的 坐 标 为 (-x 2， y2)，又 kAQ= ， kQB = ， kAQ=kQB ， 即 Q、 A、 B 三 点 共 线 ， . 故 存 在 与 点 P 不 同 的 定 点 Q(0， 2)， 使 得 恒 成 立 .21.已 知 函 数 f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a， 其 中 a 0.( )设 g(x)是 f(x)的 导 函 数 ， 讨 论 g(x)的 单 调 性 ；( )证 明 ： 存 在 a (0， 1)， 使 得 f(x) 0 在 区 间 (1， + )内 恒 成 立 ， 且 f(x)=0在 区 间 (1，+ )内 有
31、 唯 一 解 .解 析 ： ( )求 出 函 数 f(x)的 定 义 域 ， 把 函 数 f(x)求 导 得 到 g(x)再 对 g(x)求 导 ， 得 到 其 导 函数 的 零 点 ， 然 后 根 据 导 函 数 在 各 区 间 段 内 的 符 号 得 到 函 数 g(x)的 单 调 期 间 ；( )由 f(x)的 导 函 数 等 于 0 把 a 用 含 有 x 的 代 数 式 表 示 ， 然 后 构 造 函 数 (x)=， 由 函 数 零 点 存 在 定 理 得 到 x0 (1， e)， 使 得 (x0)=0.令 a0= ， u(x)=x-1-lnx(x 1)， 利 用 导 数 求 得 a
32、0 (0， 1)， 然 后 进 一 步 利 用 导 数 说 明 当 a=a0时 ， 若 x (1， + )， 有 f(x) 0， 即 可 得 到 存在 a (0， 1)， 使 得 f(x) 0 在 区 间 (1， + )内 恒 成 立 ， 且 f(x)=0 在 区 间 (1， + )内 有 唯一 解 .【 解 答 】 ( )由 已 知 ， 函 数 f(x)的 定 义 域 为 (0， + )，g(x)=f (x)=2(x-a)-2lnx-2(1+ ax )， g (x)= .当 0 a 14 时 ， g(x)在 (0， )， ( ， + )上 单 调 递 增 ， 在 区 间 ( ， )上 单 调
33、 递 减 ；当 a 14 时 ， g(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 .( )由 f (x)=2(x-a)-2lnx-2(1+ ax )=0， 解 得 a= ，令 (x)= ，则 (1)=1 0， (e)=- 0.故 存 在 x 0 (1， e)， 使 得 (x0)=0.令 a0= ， u(x)=x-1-lnx(x 1)， 由 u (x)=1- 1x 0 知 ， 函 数 u(x)在 (1， + )上 单 调 递 增 . 0= 1.即 a0 (0， 1)，当 a=a0时 ， 有 f (x0)=0， f(x0)= (x0)=0.由 ( )知 ， f (x)在 (1， + )上 单 调 递 增 ，故 当 x (1， x 0)时 ， f (x) 0， 从 而 f(x) f(x0)=0；当 x (x0， + )时 ， f (x) 0， 从 而 f(x) f(x0)=0. 当 x (1， + )时 ， f(x) 0.综 上 所 述 ， 存 在 a (0， 1)， 使 得 f(x) 0 在 区 间 (1， + )内 恒 成 立 ， 且 f(x)=0在 区 间 (1，+ )内 有 唯 一 解 .
