1、2013年 广 东 省 中 考 模 拟 数 学 （ 六 ）一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 15分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 个 是 正 确 的 ， 请 将 所 选 选 项 的 字 母 写 在 答 题 卷 相 应 的 位 置 ）1. 2011的 绝 对 值 是 （ ）A.2011B. 2011C.D.解 析 ： 计 算 绝 对 值 要 根 据 绝 对 值 的 定 义 求 解 ， 第 一 步 列 出 绝 对 值 的 表 达 式 ， 第 二 步 根 据 绝 对 值 定 义 去 掉 这 个 绝 对 值 的 符 号
2、 .| 2011|=2011.答 案 ： A.2. 2011年 3 月 5 日 ， 第 十 一 届 全 国 人 民 代 表 大 会 第 四 次 会 议 在 人 民 大 会 堂 开 幕 ， 国 务 院总 理 温 家 宝 作 政 府 工 作 报 告 .报 告 指 出 我 国 2010年 国 内 生 产 总 值 达 到 398000亿元 .“ 398000” 这 个 数 据 用 科 学 记 数 法 （ 保 留 两 个 有 效 数 字 ） 表 示 正 确 的 是 （ ）A.3.98 105B.3.98 10 6C.4.0 105D.4.0 106解 析 ： 398000=3.98 105 4.0 10
3、5.答 案 ： C.3.某 青 年 排 球 队 11 名 队 员 的 年 龄 情 况 如 下 ：则 这 个 队 队 员 年 龄 的 众 数 和 中 位 数 是 （ ）A.19， 20 B.19， 19C.19， 20.5D.20， 19解 析 ： 把 这 组 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 ： 18， 19， 19， 19， 19， 20， 20， 20， 21， 21，22， 11 名 队 员 年 龄 的 中 位 数 是 20，众 数 是 19.答 案 ： A.4.如 图 ， 将 三 角 尺 的 直 角 顶 点 放 在 直 尺 的 一 边 ， 1=30 ， 2=70 ，
4、则 3 等 于 （ ） A.20B.30C.40D.50解 析 ： 根 据 题 意 得 ： a b， 4= 2=70 ， 4= 1+ 3， 3= 4 1=70 30 =40 . 答 案 ： C.5.如 图 ， P 内 含 于 O， O的 弦 AB 切 P于 点 C， 且 AB OP， 若 阴 影 部 分 的 面 积 为 9 ，则 弦 AB的 长 为 （ ）A.3B.4C.6D.9 解 析 ： 设 PC=r， AO=R，连 接 PC， O 的 弦 AB切 P 于 点 C， 故 AB PC，作 OD AB， 则 OD PC.又 AB OP， OD=PC=r， 阴 影 部 分 的 面 积 为 9 ，
5、 R2 r2=9 ， 即 R2 r2=9，于 是 AD= =3. OD AB， AB=3 2=6.答 案 ： C.二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 20分 .请 把 下 列 各 题 的 正 确 答 案 填 写 在 答题 卷 相 应 的 位 置 ）6.分 解 因 式 ： x 2y 2xy+y= .解 析 ： x2y 2xy+y，=y（ x2 2x+1） ，=y（ x 1） 2.答 案 ： y（ x 1） 2.7.平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 点 P（ 2， 3） 关 于 原 点 的 对 称 点 P 的 坐 标 是 .解 析 ： 根 据
6、中 心 对 称 的 性 质 ， 得 点 P（ 2， 3） 关 于 原 点 对 称 点 P 的 坐 标 是 （ 2， 3） .答 案 ： （ 2， 3） .8.将 正 方 形 与 直 角 三 角 形 纸 片 按 如 图 所 示 方 式 叠 放 在 一 起 ， 已 知 正 方 形 的 边 长 为 20cm， 点 O为 正 方 形 的 中 心 ， AB=5cm， 则 CD 的 长 为 cm. 解 析 ： 如 图 ， 点 O为 正 方 形 的 中 心 ， 四 边 形 BOCE 是 正 方 形 ， 边 长 =20 2=10cm， CE AO， DCE DOA， ，即 ，解 得 DC=20cm.答 案 ：
7、 20.9.如 图 ， 在 等 腰 梯 形 ABCD中 ， AD BC， A=120 ， AD=8， BC=14， 则 梯 形 的 周 长 为 . 解 析 ： 过 点 A作 AE CD交 BC 于 点 E， AD BC， A=120 ， 四 边 形 AECD 是 平 行 四 边 形 ， BAD+ B=180 ， AE=CD， AD=CE=8， B=60 ， BE=BC EC=14 8=6， AB=CD， AB=AE， AB=AE=BE=6， 梯 形 的 周 长 为 AB+BC+CD+AD=6+14+6+8=34.10.如 果 记 y= =f（ x） ， 并 且 f（ 1） 表 示 当 x=1时
8、 y 的 值 ， 即 f（ 1） = = ； f（ ） 表 示 当 x= 时 y 的 值 ， 即 f（ ） = = ， 那 么 f（ 1） +f（ 2） +f（ ） +f（ 3）+f（ ） + +f（ n） +f（ ） = .（ 结 果 用 含 n 的 代 数 式 表 示 ， n 为 正 整 数 ） .解 析 ： 由 f（ 1） f（ ） 可 得 ： f（ 2） = = ； 从 而 f（ 1） +f（ 2） +f（ ） = +1=2 .所 以 f（ 1） +f（ 2） +f（ ） +f（ 3） +f（ ） + +f（ n） +f（ ） = （ n 为 正 整数 ） . 解 答 ： f（ 1）
9、= = ； f（ ） = = ，得 f（ 2） = = ； f（ 1） +f（ 2） +f（ ） = +1=2 .故 f（ 1） +f（ 2） +f（ ） +f（ 3） +f（ ） + +f（ n） +f（ ） = .（ n 为 正 整 数 ）答 案 ： 三 、 解 答 题 （ 一 ） （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 6分 ， 共 30 分 ） 11. .解 析 ： 根 据 二 次 根 式 的 化 简 、 特 殊 三 角 函 数 值 、 零 指 数 幂 、 负 整 数 指 数 幂 的 法 则 计 算 即 可 .答 案 ： 原 式 =2 2 +1 2= 1.12.解 方 程 ：
10、.解 析 ： 因 为 4 x= （ x 4） ， 所 以 最 简 公 分 母 为 （ x 4） ， 方 程 两 边 乘 最 简 公 分 母 ， 可 以把 分 式 方 程 转 化 为 整 式 方 程 求 解 .答 案 ： 方 程 两 边 同 乘 （ x 4） ，得 ： 3+x+x 4= 1，整 理 解 得 x=0. 经 检 验 x=0是 原 方 程 的 解 .13.如 图 ： 把 一 张 给 定 大 小 的 矩 形 卡 片 ABCD放 在 宽 度 为 10mm 的 横 格 纸 中 ， 恰 好 四 个 顶 点 都在 横 格 线 上 ， 已 知 =25 ， 求 长 方 形 卡 片 的 周 长 .（
11、精 确 到 1mm， 参 考 数 据 ： sin25 0.4，cos25 0.9， tan25 0.5） .解 析 ： 作 AF l 4于 F， 交 l2于 E.在 Rt ABE中 根 据 三 角 函 数 即 可 求 得 AB的 长 ； 在 直 角 AFD中 ， 根 据 三 角 函 数 即 可 求 得 AD的 长 ， 从 而 求 得 长 方 形 卡 片 的 周 长 .答 案 ： 作 AF l4于 F， 交 l2于 E， 则 ABE和 AFD均 为 直 角 三 角 形 .在 Rt ABE中 ， ABE= =25 ， sin ABE= ， AB= =50. FAD=90 BAE， =90 BAE，
12、 FAD= =25 .在 Rt AFD中 ， cos FAD= ， AD= 44.4. 长 方 形 卡 片 ABCD 的 周 长 为 （ 44.4+50） 2 189（ mm） .14.如 图 ， AB CD， ACD=72 .（ 1） 用 直 尺 和 圆 规 作 C 的 平 分 线 CE， 交 AB 于 E， 并 在 CD上 取 一 点 F， 使 AC=AF， 再 连 接AF， 交 CE 于 K； （ 要 求 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 必 写 出 作 法 ）（ 2） 依 据 现 有 条 件 ， 直 接 写 出 图 中 所 有 相 似 的 三 角 形 ， （ 图 中 不 再 增 加 字
13、母 和 线 段 ， 不 要 求证 明 ） . 解 析 ： （ 1） 首 先 作 C的 平 分 线 CE： 以 点 C 为 圆 心 ， 以 任 意 长 为 半 径 画 弧 ； 再 以 此 弧 与 C 两 边 的 交 点 为 圆 心 ， 以 大 于 这 两 个 交 点 连 线 的 一 半 为 半 径 画 弧 ， 过 此 两 弧 的 交 点 作 射 线CE即 可 ； 以 点 A为 圆 心 ， 以 AC的 长 为 半 径 画 弧 ， 弧 与 CD的 交 点 即 为 点 F；（ 2） 根 据 平 行 于 三 角 形 的 一 边 的 直 线 截 三 角 形 的 另 两 边 或 另 两 边 的 延 长 线
14、所 得 三 角 形 与 原三 角 形 相 似 ， 可 得 EAK CFK； 由 平 行 线 的 内 错 角 相 等 、 角 平 分 线 材 的 定 义 可 得 ACE是等 腰 三 角 形 ， 可 得 AFC= ACF=72 ， 易 得 ACK= AEC= CAF=36 ， 即 可 得 CKF ACF EAK， CAK CEA.答 案 ： （ 1） （ 2） CKF ACF EAK； CAK CEA理 由 ： AB CD， ACD=72 ， ECF= AEC， ECF= ACE= ACF=36 ， ACE= AEC=36 ， AC=AF， AFC= ACF=72 ， CKF=72 ， CAF=3
15、6 ， CKF ACF EAK， CAK CEA.15.小 兵 和 小 宁 玩 纸 牌 游 戏 .如 图 是 同 一 副 扑 克 中 的 4张 扑 克 牌 的 正 面 ， 将 它 们 正 面 朝 下 洗 匀后 放 在 桌 上 ， 小 兵 先 从 中 抽 出 一 张 ， 小 宁 从 剩 余 的 3张 牌 中 也 抽 出 一 张 .小 宁 说 ： “ 若 抽 出 的 两 张 牌 上 的 数 都 是 偶 数 ， 你 获 胜 ； 否 则 ， 我 获 胜 .” （ 1） 请 用 树 状 图 表 示 出 抽 牌 可 能 出 现 的 所 有 结 果 ；（ 2） 若 按 小 宁 说 的 规 则 进 行 游 戏
16、 ， 这 个 游 戏 公 平 吗 ？ 请 说 明 理 由 .解 析 ： （ 1） 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 有 树 状 图 即 可 求 得 抽 牌 可 能 出 现 的 所 有 结 果 ；（ 2） 根 据 树 状 图 ， 先 求 得 两 张 牌 的 数 字 都 是 偶 数 的 情 况 ， 然 后 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 小 兵和 小 宁 获 胜 的 概 率 ， 由 概 率 相 等 ， 即 可 判 定 这 个 游 戏 公 平 .答 案 ： （ 1） 树 状 图 为 ： 共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 .（ 2） 游 戏 公 平 . 两 张 牌 的 数 字 都
17、 是 偶 数 有 6种 结 果 ： （ 6， 8） ， （ 6， 10） ， （ 8， 6） ， （ 8， 10） ， （ 10， 6） ， （ 10， 8） . 小 兵 获 胜 的 概 率 P= = ， 小 宁 获 胜 的 概 率 也 为 . 游 戏 公 平 .四 、 答 案 题 （ 二 ） （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 7 分 ， 共 28分 ） 16.如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， E 为 BC 的 中 点 ， 连 接 AE并 延 长 交 DC的 延 长 线 于 点 F.（ 1） 求 证 ： AC=BF；（ 2） 当 D与 AFD满 足 什 么 数
18、量 关 系 时 ， 四 边 形 ABFC 是 矩 形 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： （ 1） 根 据 平 行 四 边 形 性 质 推 出 AB CD， 推 出 BAE= CFE， 根 据 AAS 证 ABE FCE， 推 出 AE=EF， 得 出 平 行 四 边 形 ABFC， 推 出 即 可 ；（ 2） 当 D= AFD时 ， 四 边 形 ABFC是 矩 形 ， 理 由 是 ： 推 出 AD=AF， 根 据 平 行 四 边 形 性 质 推出 FC=AB=FD， 根 据 等 腰 三 角 形 性 质 推 出 AC FD， 根 据 矩 形 的 判 定 推 出 即 可 .答 案 ： （ 1）
19、 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AB CD，即 AB CF， BAE= CFE， E 为 BC 的 中 点 ， BE=CE， 在 ABE和 FCE 中， ABE FCE， AE=EF， BE=CE， 四 边 形 ABFC 是 平 行 四 边 形 ， AC=BF；（ 2） 当 D= AFD时 ， 四 边 形 ABFC是 矩 形 ，理 由 是 ： 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AB=CD， 由 （ 1） 知 ： 四 边 形 ABFC是 平 行 四 边 形 ， AB=CF， CD=CF， D= AFD， AD=AF， AC FD， ACF=90 ， 四 边 形
20、ABFC 是 平 行 四 边 形 ， 平 行 四 边 形 ABFC 是 矩 形 ，即 当 D= AFD时 ， 四 边 形 ABFC是 矩 形 .17.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2 2（ m 1） x m（ m+2） =0.（ 1） 若 x= 2 是 这 个 方 程 的 一 个 根 ， 求 m 的 值 和 方 程 的 另 一 个 根 ；（ 2） 求 证 ： 对 于 任 意 实 数 m， 这 个 方 程 都 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 .解 析 ： （ 1） 把 x=2代 入 方 程 得 出 关 于 m 的 方 程 ， 求 出 m 的 值 再 代 入 原 方
21、程 求 出 x 的 另 一个 根 .（ 2） 求 证 ： 对 于 任 意 实 数 m， 这 个 方 程 都 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 只 要 证 明 0， 即 可 得出 方 程 有 两 不 相 等 的 实 数 根 .答 案 ： （ 1） 把 x= 2 代 入 方 程 ， 得 4 2（ m 1） （ 2） m（ m+2） =0.即 m 2 2m=0.解 得 m1=0， m2=2.当 m=0时 ， 原 方 程 为 x2+2x=0.则 方 程 的 另 一 个 根 为 x=0.当 m=2时 ， 原 方 程 为 x2 2x 8=0， 则 方 程 的 另 一 个 根 为 x=4.（ 2）
22、 = 2（ m 1） 2 4 m（ m+2） =8m2+4. 对 于 任 意 实 数 m， m 2 0. 8m2+4 0. 对 于 任 意 实 数 m， 这 个 方 程 都 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 . 18.日 本 在 地 震 后 ， 核 电 站 出 现 严 重 的 核 泄 漏 事 故 ， 为 了 防 止 民 众 受 到 更 多 的 核 辐 射 ， 我 国某 医 疗 公 司 主 动 承 担 了 为 日 本 福 田 地 区 生 产 2 万 套 防 辐 射 衣 服 的 任 务 ， 计 划 10 天 完 成 ， 在生 产 2天 后 ， 日 本 的 核 辐 射 危 机 加 重 了 ，
23、所 以 需 公 司 提 前 完 成 任 务 ， 于 是 公 司 从 其 他 部 门 抽调 了 50名 工 人 参 加 生 产 ， 同 时 通 过 技 术 革 新 等 手 段 使 每 位 工 人 的 工 作 效 率 比 原 计 划 提 高 了25%， 结 果 提 前 2 天 完 成 了 生 产 任 务 .求 该 公 司 原 计 划 安 排 多 少 名 工 人 生 产 防 辐 射 衣 服 ？解 析 ： 等 量 关 系 为 ： 原 计 划 工 效 （ 1+25%） =（ 工 作 量 前 2 天 的 工 作 量 ） （ 工 人 总 数 增 加 工 人 后 所 用 天 数 ） ， 把 相 关 数 值 代
24、 入 计 算 即 可 .答 案 ： 设 公 司 原 计 划 安 排 x名 工 人 生 产 防 核 辐 射 衣 服 ， 则 每 个 工 人 每 天 生 产 =件 ，由 题 意 得 ： ， 整 理 得 ： ，解 得 ： x=750，经 检 验 x=750 是 方 程 的 解 ， 也 符 合 题 意 .答 ： 公 司 原 计 划 安 排 750名 工 人 生 产 防 核 辐 射 衣 服 .19.广 州 亚 运 会 的 召 开 ， 让 同 学 们 熟 悉 了 不 少 体 育 明 星 .小 红 和 小 亮 就 本 班 同 学 “ 我 最 喜 爱 的体 育 明 星 ” 进 行 了 一 次 调 查 统 计
25、， 图 1 和 图 2是 她 们 通 过 收 集 数 据 后 ， 绘 制 的 两 幅 不 完 整 的统 计 图 ， 请 你 根 据 图 中 提 供 的 信 息 ， 答 案 以 下 问 题 ：（ 1） 求 该 班 共 有 多 少 名 学 生 ？（ 2） 在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 刘 翔 ” 部 分 所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 是 多 少 ？（ 3） 若 全 校 有 4000名 学 生 ， 请 估 计 “ 最 喜 爱 郭 晶 晶 ” 的 学 生 有 多 少 名 ？ 解 析 ： （ 1） 从 条 形 图 可 知 喜 欢 林 丹 的 有 20 人 ， 才 扇 形 图 可 知 喜
26、欢 林 丹 的 占 总 体 的 40%，从 而 可 求 出 解 .（ 2） 360 就 是 所 占 的 圆 心 角 度 数 ， 从 条 形 图 可 知 喜 欢 刘 翔 的 有 15 人 .（ 3） 先 求 出 ） “ 最 喜 爱 郭 晶 晶 ” 的 学 生 占 有 比 例 ， 再 乘 以 4000就 可 以 了 .答 案 ： （ 1） 该 班 人 数 为 ： 20 40%=50（ 人 ） ；（ 2） 在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 刘 翔 ” 部 分 所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 是 ： =108 ； （ 3） “ 最 喜 爱 郭 晶 晶 ” 的 学 生 占 有 比 例 为 ：
27、，故 在 全 校 4000 名 学 生 中 “ 最 喜 爱 郭 晶 晶 ” 的 学 生 人 数 约 有 ： 4000 20%=800名 .即 约 有 800名 同 学 “ 最 喜 爱 郭 晶 晶 ” .五 、 答 案 题 （ 三 ） （ 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 9 分 ， 共 27分 ）20.某 企 业 获 准 生 产 “ 上 海 世 博 会 ” 纪 念 徽 章 ， 若 生 产 A 种 款 式 的 纪 念 徽 章 125 件 ， B种 款式 的 纪 念 徽 章 150件 ， 需 生 产 成 本 700 元 ； 若 生 产 A 种 款 式 的 纪 念 徽 章 100 件 ，
28、B 种 款 式 的纪 念 徽 章 450件 ， 需 生 产 成 本 1550 元 .已 知 A、 B 两 种 纪 念 徽 章 的 市 场 零 售 价 分 别 为 2.3 元 ，3.5元 .（ 1） 求 每 个 A、 B 两 种 款 式 的 纪 念 徽 章 的 成 本 是 多 少 元 ？（ 2） 随 着 上 海 世 博 会 的 开 幕 ， 为 了 满 足 市 场 的 需 要 ， 该 企 业 现 在 每 天 要 生 产 A、 B 两 种 款 式的 纪 念 徽 章 共 4500 件 ， 若 要 求 每 天 投 入 成 本 不 超 过 1 万 元 ， 并 且 每 天 生 产 的 B 种 款 式 的 纪
29、 念 徽 章 不 少 于 A种 款 式 纪 念 徽 章 的 .那 么 每 天 最 多 获 利 多 少 元 ， 最 少 获 利 多 少 元 ？ 获 利 最多 的 方 案 如 何 设 计 .解 析 ： （ 1） 先 设 出 成 本 的 价 格 ， 然 后 列 出 函 数 关 系 式 ；（ 2） 设 每 天 生 产 A、 B 两 种 款 式 纪 念 徽 章 的 个 数 ， 根 据 题 意 列 出 关 系 式 ， 进 而 求 出 最 多 利 润 .答 案 ： （ 1） 设 每 个 A 种 款 式 纪 念 徽 章 的 成 本 是 x 元 ， 每 个 B 种 款 式 纪 念 徽 章 的 成 本 是 y元
30、.据 题 意 ， 得 ，解 得 ，答 ： 每 个 A、 B 两 种 款 式 的 纪 念 徽 章 的 成 本 分 别 是 2 元 ， 3元 ； （ 2） 设 现 在 每 天 生 产 m 个 A 种 款 式 的 纪 念 徽 章 ， 则 现 在 每 天 生 产 （ 4500 m） 个 B 种 款 式 的纪 念 徽 章据 题 意 ， 得 ： ，解 得 3500 m 3600且 m是 整 数 ，设 每 天 共 获 利 w元 ， 则 w=（ 2.3 2） m+（ 3.5 3） （ 4500 m）即 w= 0.2m+2250 k= 0.2 0 w 随 m 的 增 大 而 减 少 ， 当 m=3600时 ，
31、w 的 值 最 小 为 w= 0.2 3600+2250=1530元 ，当 m=3500 时 ， w的 值 最 大 为 w= 0.2 3500+2250=1550 元 ，即 当 现 在 每 天 生 产 A种 款 式 纪 念 徽 章 3500个 ， B种 款 式 纪 念 徽 章 1000个 时 获 利 最 多 ， 是 1550 元 .21.如 图 ， AB是 ABC外 接 圆 O 的 直 径 ， D是 AB延 长 线 上 一 点 ， 且 BD= AB， A=30 ，CE AB于 E， 过 C 的 直 径 交 O 于 点 F， 连 接 CD、 BF、 EF. （ 1） 求 证 ： CD是 O 的
32、切 线 ；（ 2） 求 ： tan BFE的 值 .解 析 ： （ 1） 要 证 明 CD是 O 的 切 线 ， 只 要 证 明 OC CD即 可 ；（ 2） 过 点 E 作 EH BF于 H， 设 EH=a， 利 用 角 之 间 的 关 系 可 得 到 AC BF， 从 而 得 到BH= EH=a ， BE=2EH=2a， 进 而 可 得 到 BF的 长 ， 此 时 可 求 得 FH的 长 ， 再 根 据 正 切 的 公式 即 可 求 得 tan BFE 的 值 . 答 案 ： （ 1） AB是 O 的 直 径 ， ACB=90 ， A=30 ， BC= ， OB= ， BD= ， BC=O
33、B=BD， BC= ， OC CD， OC 是 半 径 ， CD 是 O的 切 线 ； （ 2） 过 点 E 作 EH BF 于 H， 设 EH=a， CF 是 O直 径 ， CBF=90 = ACB， CBF+ ACB=180 ， AC BF， ABF= A=30 ， BH= EH=a ， BE=2EH=2a， CE AB 于 E， A+ ABC=90 = ECB+ ABC， ECB= A=30 ， BC=2BE=4a， BFC= A=30 ， CBF=90 ， BF= =4a ， FH=BF BH=4a a =3a ， tan BFE= = = .22.如 图 1， 在 平 面 直 角 坐
34、 标 系 中 ， 已 知 点 M的 坐 标 是 （ 3， 0） ， 半 径 为 2 的 M交 x轴 于 E、F两 点 ， 过 点 P（ 1， 0） 作 M 的 切 线 ， 切 点 为 点 A， 过 点 A作 AB x轴 于 点 C， 交 M 于点 B.抛 物 线 y=ax 2+bx+c 经 过 P、 B、 M 三 点 .（ 1） 求 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ；（ 2） 若 点 Q 是 抛 物 线 上 一 动 点 ， 且 位 于 P、 B 两 点 之 间 ， 设 四 边 形 APQB的 面 积 为 S， 点 Q的 横 坐 标 为 x， 求 S与 x之 间 的 函 数 关 系 式
35、， 并 求 S的 最 大 值 和 此 时 点 Q 的 坐 标 ；（ 3） 如 图 2， 将 弧 AEB沿 弦 AB对 折 后 得 到 弧 AE B， 试 判 断 直 线 AF 与 弧 AE B 的 位 置 关 系 ，并 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 连 接 AM， 则 AM PA， 又 AB x 轴 ， 可 知 MAC= APM， Rt APM中 ， sinAPM= = = ， 故 APM=30 ， 在 Rt ACM中 ， AM=2， MAC= APM=30 ， 解 直 角 三 角形 可 求 CM， AC， 确 定 A 点 坐 标 ， 根 据 对 称 性 求 B 点 坐 标 ， 抛
36、 物 线 过 P、 M， 设 抛 物 线 交 点 式 ，将 B 点 坐 标 代 入 即 可 ；（ 2） 如 图 1， 过 Q 点 作 QH x轴 ， 垂 足 为 H， 根 据 S 四 边 形 APQB=S APC+S PQH+S梯 形 BCHQ表 示 面 积 ，利 用 函 数 的 性 质 求 面 积 最 大 值 及 此 时 Q点 的 坐 标 ；（ 3） 相 切 .如 图 2， 连 接 AE， 证 明 的 圆 心 为 E点 ， 判 断 EAF=90 即 可 .答 案 ： （ 1） 连 接 AM， PA切 M 于 点 A， AM PA， 又 AB x轴 ， MAC= APM， Rt APM中 ，
37、PM=PO+OM=1+3=4， AM=2， sin APM= = ， APM=30 ，在 Rt ACM中 ， AM=2， MAC= APM=30 ，CM=AM sin30 =2 =1， AC=AM cos30 =2 = ， OC=OM CM=3 1=2， A（ 2， ） ， A、 B两 点 关 于 x 轴 对 称 ， B（ 2， ） ， 抛 物 线 过 P（ 1， 0） 、 M（ 3， 0） ， 设 抛 物 线 解 析 式 为 y=a（ x+1） （ x 3） ，将 B（ 2， ） 代 入 ， 得 a（ 2+1） （ 2 3） = ， 解 得 a= ， y= （ x+1） （ x 3） = x
38、2 x ；（ 2） 如 图 1， 过 Q 点 作 QH x轴 ， 垂 足 为 H， 由 （ 1） 得 H（ x， 0） ， Q（ x， x2 x ） S 四 边 形 APQB=S APC+S PQH+S梯 形 BCHQ= PC AC+ PH QH+ （ QH+BC） CH= 3 + （ x+1） （ x2+ x+ ） + （ x2+ x+ ） （ 2 x）= x2+ x+4 ， 0， 四 边 形 APQB的 面 积 有 最 大 值 ，当 x= 时 ， 四 边 形 APQB的 面 积 最 大 值 为 ， 此 时 Q（ ， ） ；（ 3） 直 线 AF 与 弧 AE B相 切 .如 图 2， 连 接 AE， 由 （ 1） 可 知 ， 度 数 为 60 ， 根 据 对 称 性 可 知 度 数 为 60 ， AEE 为 等 边 三 角 形 ， 的 圆 心 为 E 点 ， EAF= EAC+ CAF=30 +60 =90 ， 直 线 AF 与 弧 AE B 相 切 .
