1、2013年 山 东 省 青 岛 市 中 考 数 学 试 卷一 、 选 择 题 （ 本 题 满 分 24分 ， 共 有 8 道 小 题 ， 每 小 题 3 分 ）1.（ 3分 ） 6 的 相 反 数 是 （ ）A. 6B.6C.D.解 析 ： 6 的 相 反 数 是 6，答 案 ： B. 2.（ 3分 ） 下 列 四 个 图 形 中 ， 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ ）A.B.C. D.解 析 ： A、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选
2、项 错 误 ；D、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；答 案 ： D.3.（ 3分 ） 如 图 所 示 的 几 何 体 的 俯 视 图 是 （ ） A.B.C. D.解 析 ： 所 给 图 形 的 俯 视 图 是 B 选 项 所 给 的 图 形 .答 案 ： B.4.（ 3分 ） “ 十 二 五 ” 以 来 ， 我 国 积 极 推 进 国 家 创 新 体 系 建 设 .国 家 统 计 局 2012年 国 民 经济 和 社 会 发 展 统 计 公 报 指 出 ： 截 止 2012 年 底 ， 国 内 有 效 专 利 达 8750000 件 ， 将 8750000件 用 科
3、 学 记 数 法 表 示 为 （ ） 件 .A.875 10 4B.87.5 105C.8.75 106D.0.875 107解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .确 定 n 的 值是 易 错 点 ， 由 于 8750000有 7 位 ， 所 以 可 以 确 定 n=7 1=6.答 案 ： C.5.（ 3 分 ） 一 个 不 透 明 的 口 袋 里 装 有 除 颜 色 外 都 相 同 的 5 个 白 球 和 若 干 个 红 球 ， 在 不 允 许 将球 倒 出 来 数 的 前 提 下 ， 小 亮 为 了
4、估 计 其 中 的 红 球 数 ， 采 用 如 下 方 法 ： 先 将 口 袋 中 的 球 摇 匀 ，再 从 口 袋 里 随 机 摸 出 一 球 ， 记 下 颜 色 ， 然 后 把 它 放 回 口 袋 中 ， 不 断 重 复 上 述 过 程 ， 小 亮 共 摸了 100次 ， 其 中 有 10次 摸 到 白 球 .因 此 小 亮 估 计 口 袋 中 的 红 球 大 约 有 （ ） 个 . A.45B.48C.50D.55解 析 ： 小 亮 共 摸 了 100次 ， 其 中 10次 摸 到 白 球 ， 则 有 90 次 摸 到 红 球 ， 白 球 与 红 球 的 数 量 之 比 为 1： 9，
5、白 球 有 5个 ， 红 球 有 9 5=45（ 个 ） ，答 案 ： A. 6.（ 3 分 ） 已 知 矩 形 的 面 积 为 36cm2， 相 邻 的 两 条 边 长 分 别 为 xcm和 ycm， 则 y 与 x 之 间 的 函数 图 象 大 致 是 （ ）A.B. C.D.解 析 ： 矩 形 的 面 积 为 36cm2， 相 邻 的 两 条 边 长 分 别 为 xcm 和 ycm， xy=36， 函 数 解 析 式 为 ： y= （ x 0， y 0） .答 案 ： A.7.（ 3分 ） 直 线 l 与 半 径 为 r的 O 相 交 ， 且 点 O 到 直 线 l 的 距 离 为 6，
6、 则 r的 取 值 范 围 是 （ ）A.r 6B.r=6C.r 6D.r 6解 析 ： 直 线 l 与 半 径 为 r 的 O相 交 ， 且 点 O到 直 线 l的 距 离 d=6， r 6.答 案 ： C.8.（ 3 分 ） 如 图 ， ABO缩 小 后 变 为 A B O， 其 中 A、 B 的 对 应 点 分 别 为 A 、 B 点 A、 B、A 、 B 均 在 图 中 在 格 点 上 .若 线 段 AB 上 有 一 点 P（ m， n） ， 则 点 P 在 A B 上 的 对 应 点 P的 坐 标 为 （ ） A.（ ， n）B.（ m， n）C.（ m， ）D.（ ）解 析 ： A
7、BO缩 小 后 变 为 A B O， 其 中 A、 B的 对 应 点 分 别 为 A 、 B 点 A、 B、 A 、B 均 在 图 中 在 格 点 上 ，即 A 点 坐 标 为 ： （ 4， 6） ， B 点 坐 标 为 ： （ 6， 2） ， A 点 坐 标 为 ： （ 2， 3） ， B 点 坐 标 为 ： （ 3，1） ， 线 段 AB 上 有 一 点 P（ m， n） ， 则 点 P在 A B 上 的 对 应 点 P 的 坐 标 为 ： （ ） . 答 案 ： D.二 、 填 空 题 （ 本 题 满 分 18分 共 有 6 道 题 ， 每 小 题 3 分 ）9.（ 3分 ） 计 算 ：
8、 2 1+ = .解 析 ： 原 式 = +2= .答 案 ： .10.（ 3分 ） 某 校 对 甲 、 乙 两 名 跳 高 运 动 员 的 近 期 跳 高 成 绩 进 行 统 计 解 析 ， 结 果 如 下 ： =1.69m， =1.69m， S2甲 =0.0006， S2乙 =0.00315， 则 这 两 名 运 动 员 中 的 成 绩 更 稳 定 .解 析 ： S2甲 =0.0006， S2乙 =0.00315， S2甲 S2乙 ， 这 两 名 运 动 员 中 甲 的 成 绩 更 稳 定 .答 案 ： 甲 .11.（ 3分 ） 某 企 业 2010年 底 缴 税 40 万 元 ， 201
9、2年 底 缴 税 48.4万 元 .设 这 两 年 该 企 业 交 税的 年 平 均 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 ， 可 得 方 程 . 解 析 ： 设 该 公 司 这 两 年 缴 税 的 年 平 均 增 长 率 为 x，依 题 意 得 40（ 1+x） 2=48.4.答 案 ： 40（ 1+x） 2=48.4.12.（ 3 分 ） 如 图 ， 一 个 正 比 例 函 数 图 象 与 一 次 函 数 y= x+1的 图 象 相 交 于 点 P， 则 这 个 正 比例 函 数 的 表 达 式 是 .解 析 ： 正 比 例 函 数 图 象 与 一 次 函 数 y= x+1 的 图 象 相
10、 交 于 点 P， P 点 的 纵 坐 标 为 2， 2= x+1解 得 ： x= 1 点 P的 坐 标 为 （ 1， 2） ， 设 正 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y=kx， 2= k解 得 ： k= 2 正 比 例 函 数 的 解 析 式 为 ： y= 2x，答 案 ： y= 2x13.（ 3分 ） 如 图 ， AB是 O的 直 径 ， 弦 AC=2， ABC=30 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 . 解 析 ： 如 图 ， 连 接 OC. OB=OC， OBC= OCB=30 BOC=180 30 30 =120 .又 AB是 直 径 ， ACB=90 ， 在 R
11、t ABC中 ， AC=2， ABC=30 ， 则 AB=2AC=4， BC= =2 . OC 是 ABC斜 边 上 的 中 线 ， S BOC= S ABC= ACBC= 2 2 = . S 阴 影 =S 扇 形 OBC S BOC= = .答 案 ： .14.（ 3分 ） 要 把 一 个 正 方 体 分 割 成 8 个 小 正 方 体 ， 至 少 需 要 切 3 刀 ， 因 为 这 8 个 小 正 方 体都 只 有 三 个 面 是 现 成 的 .其 他 三 个 面 必 须 用 三 刀 切 3 次 才 能 切 出 来 .那 么 ， 要 把 一 个 正 方 体 分割 成 27个 小 正 方 体
12、 ， 至 少 需 用 刀 切 次 ； 分 割 成 64 个 小 正 方 体 ， 至 少 需 要 用 刀 切 次 . 解 析 ： 分 割 成 8 个 小 正 方 体 ， 需 用 长 、 宽 、 高 都 二 等 分 的 3 刀 ，分 割 成 27 个 小 正 方 体 ， 需 用 长 、 宽 、 高 都 三 等 分 的 3 2=6刀 ，分 割 成 64 个 小 正 方 体 ， 需 用 长 、 宽 、 高 都 四 等 分 的 3 3=9刀 .答 案 ： 6； 9.三 、 作 图 题 （ 本 题 满 分 4 分 ） 用 圆 规 、 直 尺 作 图 ， 不 写 做 法 ， 但 要 保 留 作 图 痕 迹
13、。15.（ 4分 ） 已 知 ： 如 图 ， 直 线 AB与 直 线 BC相 交 于 点 B， 点 D是 直 线 BC上 一 点 .求 作 ： 点 E， 使 直 线 DE AB， 且 点 E 到 B， D 两 点 的 距 离 相 等 .（ 在 题 目 的 原 图 中 完 成 作 图 ）结 论 ： BE=DE. 解 析 ： 首 先 以 D 为 顶 点 ， DC为 边 作 一 个 角 等 于 ABC， 再 作 出 DB的 垂 直 平 分 线 ， 即 可 找 到点 E.答 案 ： 如 图 所 示 ：点 E 即 为 所 求 ， BE=DE 四 、 答 案 题 （ 本 题 满 分 74分 ， 共 有 9
14、 道 小 题 ）16.（ 8分 ） （ 1） 解 方 程 组 ： ； （ 2） 化 简 ： （ 1+ ） .解 析 ： （ 1） 方 程 组 两 方 程 相 加 消 去 y 求 出 x 的 值 ， 进 而 求 出 y 的 值 ， 即 可 得 到 方 程 组 的解 ；（ 2） 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 约 分 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： （ 1） ， + 得 ： 3x=3，解 得 ： x=1，将 x=1代 入 得 ： 1 y=0， 即 y=1，则 方 程 组 的 解 为 ； （ 2） 原 式 = = .17.（
15、6分 ） 请 根 据 所 给 信 息 ， 帮 助 小 颖 同 学 完 成 她 的 调 查 报 告2013年 4 月 光 明 中 学 八 年 级 学 生 每 天 干 家 务 活 平 均 时 间 的 调 查 报 告调 查 目的 了 解 八 年 级 学 生 每 天 干 家 务 活 的 平 均 时 间调 查 内容 光 明 中 学 八 年 级 学 生 干 家 务 活 的 平 均 时 间调 查 方式 抽 样 调 查 调 查 步骤 1.数 据 的 收 集（ 1） 在 光 明 中 学 八 年 级 每 班 随 机 调 查 5 名 学 生（ 2） 统 计 这 些 学 生 2013年 4月 每 天 干 家 务 活
16、的 平 均 时 间 （ 单 位 ： min） 结 果 如 下 （ 其中 A 表 示 10min， B 表 示 20min， C 表 示 30min）B A A B B B B A C BB A B B CA B A A C A B B C B A B B A C2.数 据 的 处 理 ：以 频 数 分 布 直 方 图 的 形 式 呈 现 上 述 统 计 结 果 请 补 全 频 数 分 布 直 方 图3.数 据 的 解 析 ：列 式 计 算 所 随 机 调 查 学 生 每 天 干 家 务 活 平 均 时 间 的 平 均 数 （ 结 果 保 留 整 数 ） 调 查 结论 光 明 中 学 八 年 级
17、 共 有 240名 学 生 ， 其 中 大 约 有 名 学 生 每 天 干 家 务 活 的 平 均 时 间是 20min解 析 ： 先 从 图 表 中 得 出 平 均 每 天 干 家 务 活 在 30min的 有 5 名 学 生 ， 从 而 补 全 统 计 图 ， 再 根据 A 表 示 10min， B 表 示 20min， C 表 示 30min 和 学 生 数 即 可 求 出 随 机 调 查 的 学 生 每 天 干 家 务活 的 平 均 时 间 ， 最 后 根 据 每 天 干 家 务 活 的 平 均 时 间 是 20min 所 占 的 百 分 比 乘 以 240， 即 可 得出 大 约 每
18、 天 干 家 务 活 的 平 均 时 间 是 20min 的 学 生 数 .答 案 ： 从 图 表 中 可 以 看 出 C 的 学 生 数 是 5 人 ，如 图 ： 每 天 干 家 务 活 平 均 时 间 是 ： （ 10 10+15 20+5 30） 30 18（ min） ；根 据 题 意 得 ： 240 =120（ 人 ） ，光 明 中 学 八 年 级 共 有 240名 学 生 ， 其 中 大 约 有 120名 学 生 每 天 干 家 务 活 的 平 均 时 间 是 20min；答 案 ： 120.18.（ 6 分 ） 小 明 和 小 刚 做 摸 纸 牌 游 戏 .如 图 ， 两 组 相
19、 同 的 纸 牌 ， 每 组 两 张 ， 牌 面 数 字 分 别 是2和 3， 将 两 组 牌 背 面 朝 上 洗 匀 后 从 每 组 牌 中 各 摸 出 一 张 ， 称 为 一 次 游 戏 .当 两 张 牌 的 牌 面 数字 之 积 为 奇 数 ， 小 明 得 2分 ， 否 则 小 刚 得 1分 .这 个 游 戏 对 双 方 公 平 吗 ？ 请 说 明 理 由 . 解 析 ： 画 出 树 状 图 ， 根 据 概 率 公 式 分 别 求 出 小 明 和 小 刚 的 得 分 ， 然 后 进 行 判 断 即 可 .答 案 ： 根 据 题 意 ， 画 出 树 状 图 如 图 ：一 共 有 4 种 情
20、 况 ， 积 是 偶 数 的 有 3种 情 况 ， 积 是 奇 数 的 有 1 种 情 况 ，所 以 ， P（ 小 明 胜 ） = 2= ，P（ 小 刚 胜 ） = 1= ， ， 这 个 游 戏 对 双 方 不 公 平 .19.（ 6分 ） 某 校 学 生 捐 款 支 援 地 震 灾 区 ， 第 一 次 捐 款 总 额 为 6600元 ， 第 二 次 捐 款 总 额 为 7260元 ， 第 二 次 捐 款 人 数 比 第 一 次 多 30 人 ， 而 且 两 次 人 均 捐 款 额 恰 好 相 等 .求 第 一 次 的 捐 款 人 数 . 解 析 ： 先 设 第 一 次 的 捐 款 人 数 是
21、 x 人 ， 根 据 两 次 人 均 捐 款 额 恰 好 相 等 列 出 方 程 ， 求 出 x的值 ， 再 进 行 检 验 即 可 求 出 答 案 .答 案 ： 解 ： 设 第 一 次 的 捐 款 人 数 是 x人 ， 根 据 题 意 得 ：= ，解 得 ： x=300，经 检 验 x=300 是 原 方 程 的 解 ，答 ： 第 一 次 的 捐 款 人 数 是 300人 .20.（ 8 分 ） 如 图 ， 马 路 的 两 边 CF， DE互 相 平 行 ， 线 段 CD 为 人 行 横 道 ， 马 路 两 侧 的 A， B 两点 分 别 表 示 车 站 和 超 市 .CD与 AB 所 在
22、直 线 互 相 平 行 ， 且 都 与 马 路 的 两 边 垂 直 ， 马 路 宽 20 米 ，A， B 相 距 62米 ， A=67 ， B=37 .（ 1） 求 CD与 AB之 间 的 距 离 ； （ 2） 某 人 从 车 站 A 出 发 ， 沿 折 线 A D C B去 超 市 B.求 他 沿 折 线 A D C B 到 达 超 市 比直 接 横 穿 马 路 多 走 多 少 米 .（ 参 考 数 据 ： sin67 ， cos67 ， tan67 ， sin37 ， cos37 ，tan37 ） 解 析 ： （ 1） 设 CD与 AB之 间 的 距 离 为 x， 则 在 Rt BCF和
23、Rt ADE中 分 别 用 x表 示 BF，AE， 又 AB=AE+EF+FB， 代 入 即 可 求 得 x的 值 ；（ 2） 在 Rt BCF 和 Rt ADE中 ， 分 别 求 出 BC、 AD 的 长 度 ， 求 出 AD+DC+CB AB的 值 即 可 求解 .答 案 ： （ 1） CD与 AB 之 间 的 距 离 为 x，则 在 Rt BCF和 Rt ADE中 ， =tan37 ， =tan67 ， BF= x， AE= x，又 AB=62， CD=20， x+ x+20=62， 解 得 ： x=24，答 ： CD与 AB之 间 的 距 离 约 为 24 米 ；（ 2） 在 Rt B
24、CF和 Rt ADE 中 ， BC= =40，AD= =26， AD+DC+CB AB=40+20+26 62=24（ 米 ） ，答 ： 他 沿 折 线 A D C B 到 达 超 市 比 直 接 横 穿 马 路 多 走 约 24 米 . 21.（ 8分 ） 已 知 ： 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， M， N 分 别 是 边 AD、 BC的 中 点 ， E， F 分 别 是 线 段BM， CM的 中 点 .（ 1） 求 证 ： ABM DCM；（ 2） 判 断 四 边 形 MENF是 什 么 特 殊 四 边 形 ， 并 证 明 你 的 结 论 ；（ 3） 当 AD： AB= 时 ，
25、四 边 形 MENF是 正 方 形 （ 只 写 结 论 ， 不 需 证 明 ）解 析 ： （ 1） 求 出 AB=DC， A= D=90 ， AM=DM， 根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 推 出 即 可 ； （ 2） 根 据 三 角 形 中 位 线 定 理 求 出 NE MF， NE=MF， 得 出 平 行 四 边 形 ， 求 出 BM=CM， 推 出 ME=MF，根 据 菱 形 的 判 定 推 出 即 可 ；（ 3） 求 出 EMF=90 ， 根 据 正 方 形 的 判 定 推 出 即 可 .答 案 ： （ 1） 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， AB=DC， A= D=9
26、0 ， M 为 AD 中 点 ， AM=DM，在 ABM和 DCM， ABM DCM（ SAS） ；（ 2） 四 边 形 MENF是 菱 形 .证 明 ： N、 E、 F 分 别 是 BC、 BM、 CM 的 中 点 ， NE CM， NE= CM， MF= CM， NE=FM， NE FM， 四 边 形 MENF 是 平 行 四 边 形 ，由 （ 1） 知 ABM DCM， BM=CM， E、 F分 别 是 BM、 CM的 中 点 ， ME=MF， 平 行 四 边 形 MENF 是 菱 形 ；（ 3） 当 AD： AB=2： 1 时 ， 四 边 形 MENF是 正 方 形 .理 由 是 ：
27、M 为 AD 中 点 ， AD=2AM， AD： AB=2： 1， AM=AB， A=90 ABM= AMB=45 ， 同 理 DMC=45 ， EMF=180 45 45 =90 ， 四 边 形 MENF 是 菱 形 ， 菱 形 MENF是 正 方 形 .答 案 ： 2： 1. 22.（ 10分 ） 某 商 场 要 经 营 一 种 新 上 市 的 文 具 ， 进 价 为 20元 /件 .试 营 销 阶 段 发 现 ： 当 销 售单 价 是 25 元 时 ， 每 天 的 销 售 量 为 250 件 ； 销 售 单 价 每 上 涨 1 元 ， 每 天 的 销 售 量 就 减 少 10件 .（ 1
28、） 写 出 商 场 销 售 这 种 文 具 ， 每 天 所 得 的 销 售 利 润 w（ 元 ） 与 销 售 单 价 x（ 元 ） 之 间 的 函 数关 系 式 ； （ 2） 求 销 售 单 价 为 多 少 元 时 ， 该 文 具 每 天 的 销 售 利 润 最 大 ；（ 3） 商 场 的 营 销 部 结 合 上 述 情 况 ， 提 出 了 A、 B两 种 营 销 方 案 ：方 案 A： 该 文 具 的 销 售 单 价 高 于 进 价 且 不 超 过 30元 ；方 案 B： 每 天 销 售 量 不 少 于 10件 ， 且 每 件 文 具 的 利 润 至 少 为 25元请 比 较 哪 种 方 案
29、 的 最 大 利 润 更 高 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： （ 1） 根 据 利 润 =（ 单 价 进 价 ） 销 售 量 ， 列 出 函 数 关 系 式 即 可 ；（ 2） 根 据 （ 1） 式 列 出 的 函 数 关 系 式 ， 运 用 配 方 法 求 最 大 值 ；（ 3） 分 别 求 出 方 案 A、 B 中 x 的 取 值 范 围 ， 然 后 分 别 求 出 A、 B 方 案 的 最 大 利 润 ， 然 后 进 行比 较 .答 案 ： （ 1） 由 题 意 得 ， 销 售 量 =250 10（ x 25） = 10 x+500，则 w=（ x 20） （ 10 x+500）=
30、 10 x 2+700 x 10000；（ 2） w= 10 x2+700 x 10000= 10（ x 35） 2+2250. 10 0， 函 数 图 象 开 口 向 下 ， w有 最 大 值 ，当 x=35时 ， w 最 大 =2250，故 当 单 价 为 35 元 时 ， 该 文 具 每 天 的 利 润 最 大 ；（ 3） A方 案 利 润 高 .理 由 如 下 ：A方 案 中 ： 20 x 30，故 当 x=30 时 ， w有 最 大 值 ，此 时 w A=2000；B方 案 中 ： ，故 x 的 取 值 范 围 为 ： 45 x 49， 函 数 w= 10（ x 35） 2+2250
31、， 对 称 轴 为 直 线 x=35， 当 x=45 时 ， w有 最 大 值 ，此 时 w B=1250， wA wB， A方 案 利 润 更 高 .23.（ 10 分 ） 在 前 面 的 学 习 中 ， 我 们 通 过 对 同 一 面 积 的 不 同 表 达 和 比 较 ， 根 据 图 1 和 图 2 发现 并 验 证 了 平 方 差 公 式 和 完 全 平 方 公 式 .这 种 利 用 面 积 关 系 解 决 问 题 的 方 法 ， 使 抽 象 的 数 量 关 系 因 几 何 直 观 而 形 象 化 . 【 研 究 速 算 】提 出 问 题 ： 47 43， 56 54， 79 71，
32、是 一 些 十 位 数 字 相 同 ， 且 个 位 数 字 之 和 是 10的 两个 两 位 数 相 乘 的 算 式 ， 是 否 可 以 找 到 一 种 速 算 方 法 ？几 何 建 模 ：用 矩 形 的 面 积 表 示 两 个 正 数 的 乘 积 ， 以 47 43 为 例 ：（ 1） 画 长 为 47， 宽 为 43的 矩 形 ， 如 图 3， 将 这 个 47 43的 矩 形 从 右 边 切 下 长 40， 宽 3 的一 条 ， 拼 接 到 原 矩 形 上 面 .（ 2） 解 析 ： 原 矩 形 面 积 可 以 有 两 种 不 同 的 表 达 方 式 ： 47 43的 矩 形 面 积 或
33、 （ 40+7+3） 40的 矩 形 与 右 上 角 3 7 的 矩 形 面 积 之 和 ， 即 47 43=（ 40+10） 40+3 7=5 4 100+3 7=2021.用 文 字 表 述 47 43 的 速 算 方 法 是 ： 十 位 数 字 4 加 1 的 和 与 4 相 乘 ， 再 乘 以 100， 加 上 个 位数 字 3与 7的 积 ， 构 成 运 算 结 果 .归 纳 提 炼 ： 两 个 十 位 数 字 相 同 ， 并 且 个 位 数 字 之 和 是 10的 两 位 数 相 乘 的 速 算 方 法 是 （ 用 文 字 表 述 ） 十位 数 字 加 1的 和 与 十 位 数 字
34、 相 乘 ， 再 乘 以 100， 加 上 两 个 个 位 数 字 的 积 ， 构 成 运 算 结 果 .【 研 究 方 程 】提 出 问 题 ： 怎 样 图 解 一 元 二 次 方 程 x2+2x 35=0（ x 0） ？几 何 建 模 ：（ 1） 变 形 ： x（ x+2） =35.（ 2） 画 四 个 长 为 x+2， 宽 为 x的 矩 形 ， 构 造 图 4（ 3） 解 析 ： 图 中 的 大 正 方 形 面 积 可 以 有 两 种 不 同 的 表 达 方 式 ， （ x+x+2） 2或 四 个 长 x+2， 宽x的 矩 形 面 积 之 和 ， 加 上 中 间 边 长 为 2的 小 正
35、 方 形 面 积 .即 （ x+x+2） 2=4x（ x+2） +22 x（ x+2） =35 （ x+x+2） 2=4 35+22 （ 2x+2） 2=144 x 0 x=5归 纳 提 炼 ： 求 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x（ x+b） =c（ x 0， b 0， c 0） 的 解 .要 求 参 照 上 述 研 究 方 法 ， 画 出 示 意 图 ， 并 写 出 几 何 建 模 步 骤 （ 用 钢 笔 或 圆 珠 笔 画 图 ， 并 注 明相 关 线 段 的 长 ）【 研 究 不 等 关 系 】 提 出 问 题 ： 怎 样 运 用 矩 形 面 积 表 示 （ y+3） （ y+
36、2） 与 2y+5的 大 小 关 系 （ 其 中 y 0） ？几 何 建 模 ：（ 1） 画 长 y+3， 宽 y+2的 矩 形 ， 按 图 5方 式 分 割（ 2） 变 形 ： 2y+5=（ y+3） +（ y+2）（ 3） 解 析 ： 图 5中 大 矩 形 的 面 积 可 以 表 示 为 （ y+3） （ y+2） ； 阴 影 部 分 面 积 可 以 表 示 为 （ y+3） 1， 画 点 部 分 的 面 积 可 表 示 为 y+2， 由 图 形 的 部 分 与 整 体 的 关 系 可 知 （ y+3） （ y+2） （ y+3）+（ y+2） ， 即 （ y+3） （ y+2） 2y+5
37、归 纳 提 炼 ：当 a 2， b 2 时 ， 表 示 ab 与 a+b的 大 小 关 系 .根 据 题 意 ， 设 a=2+m， b=2+n（ m 0， n 0） ， 要 求 参 照 上 述 研 究 方 法 ， 画 出 示 意 图 ， 并 写 出几 何 建 模 步 骤 （ 用 钢 笔 或 圆 珠 笔 画 图 并 注 明 相 关 线 段 的 长 ） 解 析 ： 【 研 究 速 算 】 十 位 数 字 加 1 的 和 与 十 位 数 字 相 乘 ， 再 乘 以 100， 加 上 两 个 个 位 数 字的 积 ， 构 成 运 算 结 果 ；【 研 究 方 程 】 画 四 个 长 为 x+b， 宽
38、为 x的 矩 形 ， 构 造 答 图 1， 则 图 中 的 大 正 方 形 面 积 有 两 种不 同 的 表 达 方 式 ， 由 此 建 立 方 程 求 解 即 可 ；【 研 究 不 等 关 系 】 画 长 为 2+m， 宽 为 2+n的 矩 形 ， 并 按 答 图 2方 式 分 割 .图 中 大 矩 形 面 积 可表 示 为 （ 2+m） （ 2+n） ， 阴 影 部 分 面 积 可 表 示 为 2+m 与 2+n的 和 .由 图 形 的 部 分 与 整 体 的 关 系可 知 ， （ 2+m） （ 2+n） （ 2+m） +（ 2+n） ， 即 ab a+b.答 案 ： 解 ： 【 研 究
39、速 算 】归 纳 提 炼 ：十 位 数 字 加 1 的 和 与 十 位 数 字 相 乘 ， 再 乘 以 100， 加 上 两 个 个 位 数 字 的 积 ， 构 成 运 算 结 果 .【 研 究 方 程 】归 纳 提 炼 ： 画 四 个 长 为 x+b， 宽 为 x的 矩 形 ， 构 造 答 图 1， 则 图 中 的 大 正 方 形 面 积 可 以 有 两 种 不 同 的 表达 方 式 ： （ x+x+b） 2或 四 个 长 为 x+b， 宽 为 x 的 矩 形 面 积 之 和 ， 加 上 中 间 边 长 为 b 的 小 正 方形 面 积 . 即 ： （ x+x+b） 2=4x（ x+b） +
40、b2 x（ x+b） =c， （ x+x+b） 2=4c+b2 （ 2x+b） 2=4c+b2 x 0， x= .【 研 究 不 等 关 系 】归 纳 提 炼 ：（ 1） 画 长 为 2+m， 宽 为 2+n的 矩 形 ， 并 按 答 图 2方 式 分 割 . （ 2） 变 形 ： a+b=（ 2+m） +（ 2+n）（ 3） 解 析 ： 图 中 大 矩 形 面 积 可 表 示 为 （ 2+m） （ 2+n） ， 阴 影 部 分 面 积 可 表 示 为 2+m 与 2+n的和 .由 图 形 的 部 分 与 整 体 的 关 系 可 知 ， （ 2+m） （ 2+n） （ 2+m） +（ 2+n）
41、 ， 即 ab a+b.24.（ 12分 ） 已 知 ： 如 图 ， ABCD中 ， AD=3cm， CD=1cm， B=45 ， 点 P 从 点 A出 发 ， 沿AD方 向 匀 速 运 动 ， 速 度 为 3cm/s； 点 Q从 点 C 出 发 ， 沿 CD方 向 匀 速 运 动 ， 速 度 为 1cm/s，连 接 并 延 长 QP 交 BA的 延 长 线 于 点 M， 过 M作 MN BC， 垂 足 是 N， 设 运 动 时 间 为 t（ s） （ 0 t 1）答 案 下 列 问 题 ：（ 1） 当 t 为 何 值 时 ， 四 边 形 AQDM是 平 行 四 边 形 ？（ 2） 设 四 边
42、 形 ANPM的 面 积 为 y（ cm 2） ， 求 y 与 t 之 间 的 函 数 关 系 式 ：（ 3） 是 否 存 在 某 一 时 刻 t， 使 四 边 形 ANPM的 面 积 是 平 行 四 边 形 ABCD的 面 积 的 一 半 ？ 若 存在 ， 求 出 相 应 的 t 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .（ 4） 连 接 AC， 是 否 存 在 某 一 时 刻 t， 使 NP与 AC的 交 点 把 线 段 AC分 成 ： 1的 两 部 分 ？若 存 在 ， 求 出 相 应 的 t 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 根 据 平 行 四
43、边 形 的 对 角 线 互 相 平 分 得 出 AP=DP， 代 入 求 出 即 可 ；（ 2） 求 出 AP 和 MN 的 值 ， 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 求 出 即 可 ；（ 3） 假 设 存 在 某 一 时 刻 t， 四 边 形 ANPM的 面 积 是 平 行 四 边 形 ABCD的 面 积 的 一 半 .根 据 （ 2）中 求 出 的 关 系 式 ， 列 方 程 求 出 t 的 值 ； （ 4） 假 设 存 在 某 一 时 刻 t， 使 NP与 AC的 交 点 把 线 段 AC分 成 的 两 部 分 ， 证 APW CNW， 得 出 = ， 代 入 求 出 即 可 .答
44、 案 ： （ 1） 连 结 AQ， MD. 当 AP=PD时 ， 四 边 形 AQDM 是 平 行 四 边 形 ，即 3t=3 3t， t= ， 当 t= s时 ， 四 边 形 AQDM 是 平 行 四 边 形 .（ 2） 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AB CD， AMP DQP， = ， = ， AM=t， MN BC， MNB=90 ， B=45 ， BMN=45 = B， BN=MN， BM=1+t，在 Rt BMN中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： BN=MN= （ 1+t） ， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AD BC， MN BC， MN A
45、D， y= AP MN= 3t （ 1+t）即 y 与 t 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y= t2+ t（ 0 t 1） . （ 3） 假 设 存 在 某 一 时 刻 t， 四 边 形 ANPM的 面 积 是 平 行 四 边 形 ABCD的 面 积 的 一 半 .此 时 t2+ t= 3 ，整 理 得 ： t2+t 1=0，解 得 t1= ， t2= （ 舍 去 ） 当 t= s时 ， 四 边 形 ANPM 的 面 积 是 平 行 四 边 形 ABCD的 面 积 的 一 半 .（ 4） 存 在 某 一 时 刻 t， 使 NP与 AC的 交 点 把 线 段 AC分 成 的 两 部 分 ，理 由 是 ： 假 设 存 在 某 一 时 刻 t， 使 NP 与 AC的 交 点 把 线 段 AC 分 成 的 两 部 分 ， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AD BC， APW CNW， = ，即 = 或 = ， t= 或 ， 两 数 都 在 0 t 1范 围 内 ， 即 都 符 合 题 意 ， 当 t= s 或 s 时 ， NP与 AC的 交 点 把 线 段 AC分 成 的 两 部 分 .
