1、2013 年 山 东 莱 芜 市 中 考 试 题数 学（ 满 分 120分 ， 考 试 时 间 120分 钟 ）第 一 部 分 （ 选 择 题 共 36分 ）一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 正 确 的 ， 请 把 正 确 选 项 的 代 码涂 写 在 答 题 卡 上 ， 每 小 题 选 对 得 3 分 ， 选 错 、 不 选 或 选 出 的 答 案 超 过 一 个 均 记 零 分 ， 共 36 分 ） .1.（ 2013山 东 莱 芜 ， 1， 3 分 ） 如 在 12 ， 13 ， 2， 1
2、这 四 个 数 中 ， 最 大 的 数 是 （ ）A. 12 B. 13 C. 2 D. 1 【 答 案 】 B2. （ 2013 山 东 莱 芜 ， 2， 3 分 ） 在 网 络 上 用 “ Google” 搜 索 引 擎 搜 索 “ 中 国 梦 ” ， 能 搜 索 到 与 之 相 关 的 结 果个 数 约 为 45100000， 这 个 数 用 科 学 记 数 法 表 示 为 （ ）A. 451 105 B. 45.1 106 C. 4.51 107 D. 0.451 10【 答 案 】 C3. （ 2013山 东 莱 芜 ， 3， 3 分 ） 下 面 四 个 几 何 体 中 ， 左 视
3、图 是 四 边 形 的 几 何 体 共 有 （ ） 球 体 圆 锥 正 方 体 圆 柱A.1个 B. 2 个 C. 3个 D.4个【 答 案 】 B4. （ 2013山 东 莱 芜 ， 4， 3 分 ） 方 程 2 42xx =0 的 解 为 （ ）A. 2 B. 2 C. 2 D. 12【 答 案 】 A5. （ 2013山 东 莱 芜 ， 5， 3分 ） 一 组 数 据 ： 10、 5、 15、 5、 20， 则 这 组 数 据 的 平 均 数 和 中 位 数 分 别 是 （ ）A. 10， 10 B. 10， 12.5 C. 11,12.5 D. 11， 10【 答 案 】 D 6. （
4、 2013 山 东 莱 芜 ， 6， 3 分 ） 如 图 所 示 ， 将 含 有 30 角 的 三 角 板 的 直 角 顶 点 放 在 相 互 平 行 的 两 条 直 线 其中 一 条 上 ， 若 1=35 ， 则 2 的 度 数 为 （ ） A. 10 B. 20 C. 25 D.30【 答 案 】 C7. （ 2013山 东 莱 芜 ， 7， 3 分 ） 将 半 径 为 3cm 的 圆 形 纸 片 沿 AB 折 叠 后 ， 圆 弧 恰 好 能 经 过 圆 心 O， 用 图 中 阴影 部 分 的 扇 形 围 成 一 个 圆 锥 的 侧 面 ， 则 这 个 圆 柱 的 高 为 （ ） A. 2
5、 2 B. 2 C. 10 D.【 答 案 】 A8. （ 2013山 东 莱 芜 ， 8， 3 分 ） 下 列 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 的 个 数 是 （ ） 等 边 三 角 形 ； 矩 形 ； 等 腰 梯 形 ； 菱 形 ； 正 八 边 形 ； 圆A. 2 B. 3 C. 4 D.5【 答 案 】 C9. （ 2013山 东 莱 芜 ， 9， 3 分 ） 如 图 ， 在 O 中 ， 已 知 OAB=22.5 ， 则 C 的 度 数 为 （ ） A. 135 B. 122.5 C. 115.5 D.112.5【 答 案 】 D10. （
6、 2013山 东 莱 芜 ， 10， 3 分 ） 下 列 说 法 错 误 的 是 （ ）A.若 两 圆 相 交 ， 则 它 们 公 共 弦 的 垂 直 平 分 吧 必 过 两 圆 的 圆 心B.2 3 与 2 3 互 为 倒 数C.若 a ， 则 a bD.梯 形 的 面 积 等 于 梯 形 的 中 位 线 与 高 的 乘 积 的 一 半【 答 案 】 D 11. （ 2013山 东 莱 芜 ， 11， 3 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 点 A 的 坐 标 为 （ 1 3 ） ， M 为 坐 标轴 上 一 点 ， 且 使 得 MOA为 等 腰 三
7、角 形 ， 则 满 足 条 件 的 点 M 的 个 数 为 （ ）A.4 B. 5 C. 6 D.8【 答 案 】 C12. （ 2013 山 东 莱 芜 ， 12， 3 分 ） 如 图 ， 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 3， N 为 AC 的 三 等 分 点 ， 三 角 形 边 上 的动 点 M 从 点 A 出 发 ， 沿 A B C 的 方 向 运 动 ， 到 达 点 C时 停 止 .设 点 M 运 动 的 路 程 为 x， MN2=y， 则 y 关 于 x的 函 数 图 象 大 致 为 （ ） 【 答 案 】 B二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 只 要
8、 求 填 写 最 后 结 果 ， 每 小 题 填 对 得 4 分 ， 共 20 分 ） .13. （ 2013山 东 莱 芜 ， 13， 4 分 ） 分 解 因 式 ： 2m3 8m= .【 答 案 】 2m（ m+2） （ m 2）14. （ 2013山 东 莱 芜 ， 14， 4 分 ） 正 十 二 边 形 每 个 内 角 的 度 数 为 .【 答 案 】 15015. （ 2013 山 东 莱 芜 ， 15， 4 分 ） M（ 1， a） 是 一 次 函 数 y=3x 2 与 反 比 例 函 数 ky x 图 象 的 公 共 点 ， 若 将一 次 函 数 y=3x 2 的 图 象 向 下
9、 平 移 4 个 单 位 ， 则 它 与 反 比 例 函 数 图 象 的 交 点 坐 标 为 . 【 答 案 】 （ 1， 5） ， （ 5,33 ）16. （ 2013山 东 莱 芜 ， 16， 4 分 ） 如 图 ， 矩 形 ABCD中 ， AB=1， E、 F 分 别 为 AD、 CD 的 中 点 ， 沿 BE将 ABE折 叠 ， 若 点 A 恰 好 落 在 BF 上 ， 则 AD= . 【 答 案 】 217. （ 2013山 东 莱 芜 ， 17， 4 分 ） 已 知 123456789101112 997998999是 由 连 续 整 数 1 至 999排 列 组 成 的 一个 数
10、 ， 在 该 数 种 从 左 往 右 数 第 2013位 上 的 数 字 为 .【 答 案 】 7三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 64分 ， 解 得 要 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 推 演 步 骤 ）18. （ 2013山 东 莱 芜 ， 18， 9 分 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： 2 4( )4 4a aa a ， 其 中 a= 3 +2.解 ： 22 4 2 4 4( )4 4 4 4a a a aaa a a a 22 44 ( 2)a aa a 1 2a .当 a= 3 2 时 ， 原 式 1 1 1 3 .2 33
11、2 2 3a 19 （ 2013 山 东 莱 芜 ， 19， 8 分 ） 在 学 校 开 展 的 “ 学 习 交 通 安 全 知 识 ， 争 做 文 明 中 学 生 ” 主 题 活 动 月 中 ， 学校 德 工 处 随 机 选 取 了 该 校 部 分 学 生 ， 对 闯 红 灯 情 况 进 行 了 一 次 调 查 ， 调 查 结 果 有 三 种 情 况 ： A.从 不 闯 红 灯 ；B.偶 尔 闯 红 灯 ； C 经 常 闯 红 灯 .德 工 处 将 调 查 的 数 据 进 行 了 整 理 ， 并 绘 制 了 尚 不 完 整的 统 计 图 如 下 ， 请 根 据 相 关 信 息 ， 解 答 下
12、 列 问 题 .（ 1） 求 本 次 活 动 共 调 查 了 多 少 名 学 生 ；（ 2） 请 补 全 （ 图 二 ） ， 并 求 （ 图 一 ） 种 B 区 域 的 圆 心 角 的 度 数 ； （ 3） 若 该 校 有 240名 学 生 ， 请 估 算 该 校 不 严 格 遵 守 信 号 灯 指 示 的 人 数 .解 ： （ 1） 36 120 20 200.360 10 本 次 活 动 共 调 查 了 200 名 学 生 .（ 2） 补 全 图 二 200 120 20=60.60360 108 .200 B区 域 的 圆 心 角 的 度 数 是 108 .（ 3） 60 20 2240
13、0 2400 960.200 5 估 计 该 校 不 严 格 遵 守 信 号 等 指 示 的 人 数 为 960 人 .20. （ 2013山 东 莱 芜 ， 20， 9 分 ） 如 图 ， 有 一 艘 渔 船 在 捕 鱼 作 业 时 出 现 故 障 ， 急 需 抢 修 ， 调 度 中 心 通 知 附近 两 个 小 岛 A、 B上 的 观 测 点 进 行 观 测 ， 从 A 岛 测 得 渔 船 在 南 偏 东 37 方 向 C 处 ， B 岛 在 南 偏 东 66 方 向 ，从 B 岛 测 得 渔 船 在 正 西 方 向 ， 已 知 两 个 小 岛 间 的 距 离 是 72 海 里 ， A 岛
14、 上 维 修 船 的 速 度 为 每 小 时 20 海 里 ， B岛 上 维 修 船 的 速 度 为 每 小 时 28.8海 里 ， 为 及 时 赶 到 维 修 ， 问 调 度 中 心 应 该 派 遣 哪 个 岛 上 的 维 修 船 ？（ 参 考 数 据 ： cos37 0.8， sin37 0.6， sin66 0.9， cos66 0.4） 解 :作 AD BC 的 延 长 线 于 点 D， 在 Rt ADB中 ，AD=AB cos BAD=72 cos66 =72 0.4=28.8（ 海 里 ）BD=AB sin BAD=72 sin66 =72 0.9=64.8（ 海 里 ） .在 R
15、t ADC中 ， 28.8 28.8 36cos cos37 0.8ADAC DAC （ 海 里 ） .CD=AC sin CAD=36 sin37 =36 0.6=21.6（ 海 里 ） .BC=BD CD=64.8 21.6=43.2(海 里 ). A岛 上 维 修 船 需 要 时 间 36 1.820 20A ACt (小 时 ).B岛 上 维 修 船 需 要 时 间 43.2 1.528.8 28.8B BCt (小 时 ). , 调 度 中 心 应 该 派 遣 B岛 上 的 维 修 船 .21. （ 2013山 东 莱 芜 ， 21， 9 分 ） 在 Rt ABC 中 ， C=90
16、， 以 AC 为 一 边 向 外 作 等 边 三 角 形 ACD， 点 E 为AB的 中 点 ， 连 结 DE. （ 1） 证 明 DE CB；（ 2） 探 索 AC 与 AB满 足 怎 样 的 数 量 关 系 时 ， 四 边 形 DCBE是 平 行 四 边 形 .解 ： （ 1） 证 明 ： 连 结 CE. 点 E 为 Rt ACB 的 斜 边 AB的 中 点 ， CE=AB=AE. ACD是 等 边 三 角 形 ， AD=CD.在 ADE与 CDE中 ，AD=CD,DE=DE,AE=CE, ADE CDE. ADE= CDE=30 . DCB=150 ， EDC+ DCB=180 . DE
17、 CB.(2) DCB=150 ,若 四 边 形 DCBE是 平 行 四 边 形 ， 则 DC BE, DCB+ B=180 . B=30 . 在 Rt ACB中 ， sinB= ACBC ,sin30 = 12ACBC ， AC= 12 AB或 AB=2AC. 当 AC= 12 AB或 AB=2AC时 ， 四 边 形 DCBE是 平 行 四 边 形 .22. （ 2013山 东 莱 芜 ， 22， 10 分 ） 某 学 校 将 周 三 “ 阳 光 体 育 ” 项 目 定 为 跳 绳 活 动 ， 为 此 学 校 准 备 购 置 长 、短 两 种 跳 绳 若 干 .已 知 长 跳 绳 的 单 价
18、 比 短 跳 绳 单 价 的 两 倍 多 4 元 ， 且 购 买 2 条 长 跳 绳 与 购 买 5 条 短 跳 绳 的 费用 相 同 .(1)两 种 跳 绳 的 单 价 各 是 多 少 元 ？(2)若 学 校 准 备 用 不 超 过 2000 元 的 现 金 购 买 200 条 长 、 短 跳 绳 ， 且 短 跳 绳 的 条 数 不 超 过 长 跳 绳 的 6 倍 ， 问学 校 有 几 种 购 买 方 案 可 供 选 择 ？ 解 ： （ 1） 设 长 跳 绳 的 单 价 是 x 元 ， 短 跳 绳 的 单 价 为 y 元 .由 题 意 得 ： 2 42 5x yx y . 解 得 ： 208
19、xy .所 以 长 跳 绳 单 价 是 20元 ， 短 跳 绳 的 单 价 是 8元 .（ 2） 设 学 校 购 买 a条 长 跳 绳 ， 由 题 意 得 ： 200 620 8(200 ) 2000a aa a .解 得 : 4 128 337 3a . a 为 正 整 数 ， a的 整 数 值 为 29， ,3,31,32,33.所 以 学 校 共 有 5 种 购 买 方 案 可 供 选 择 .23. （ 2013山 东 莱 芜 ， 23， 10分 ） 如 图 ， O 的 半 径 为 1， 直 线 CD 经 过 圆 心 O， 交 O 于 C、 D 两 点 ， 直 径AB CD， 点 M 是
20、 直 线 CD 上 异 于 点 C、 O、 D 的 一 个 动 点 ， AM所 在 的 直 线 交 于 O 于 点 N， 点 P是 直 线 CD上 另一 点 ， 且 PM=PN. (1)当 点 M在 O 内 部 ， 如 图 一 ， 试 判 断 PN与 O 的 关 系 ， 并 写 出 证 明 过 程 ；(2)当 点 M在 O 外 部 ， 如 图 二 ， 其 它 条 件 不 变 时 ， （ 1） 的 结 论 是 否 还 成 立 ？ 请 说 明 理 由 ；(3)当 点 M在 O 外 部 ， 如 图 三 ， AMO=15 ， 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 .解 ： （ 1） PN与 O 相
21、切 . 证 明 ： 连 结 ON,则 ONA= OAN, PM=PN, PNM= PMN. AMO= PMN, PNM= AMO. PNO= PNM+ ONA= AMO+ ONA=90 .即 PN与 O 相 切 .（ 2） 成 立 .证 明 ： 连 结 ON， 则 ONA= OAN, PM=PN, PNM= PMN.在 Rt AOM中 ， OMA+ OAM=90 , PNM+ ONA=90 . PNO=180 90 =90 .即 PN与 O 相 切 .（ 3） 连 结 ON， 由 （ 2） 可 知 ONP=90 . AMO=15 ， PM=PN, PNM=15 , OPN=30 ， PON=6
22、0 ， AON=30 .作 NE OD,垂 足 为 点 E,则 NE=ON sin60 =1 32 = 32 .ONAONAOC CS S S S 阴 影 扇 形 =OC OA+ 230 11360 2 CO NE= 1 1 1 3 1 1 31 1 12 12 2 2 2 12 4 .24. （ 2013 山 东 莱 芜 ， 24， 12 分 ） 如 图 ， 抛 物 线 y=ax 2+bx+c（ a 0） 经 过 点 A（ 3， 0） 、 B(1,0)、 C( 2，1)， 交 y 轴 于 点 M.(1)求 抛 物 线 的 表 达 式 ；(2)D 为 抛 物 线 在 第 二 象 限 部 分 上
23、 的 一 点 ， 作 DE 垂 直 x 轴 于 点 E， 交 线 段 AM 于 点 F， 求 线 段 DF 长 度 的 最 大值 ， 并 求 此 时 点 D 的 坐 标 ；(3)抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 P， 作 PN 垂 直 x 轴 于 点 N， 使 得 以 点 P、 A、 N 为 顶 点 的 三 角 形 与 MAO相 似 ？ 若存 在 ， 求 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 ： 由 题 意 可 知 9 3 004 2 1a b ca b ca b c .解 得 13231abc . 抛 物 线 的 表 达 式 为 y= 21 2 13
24、3x x .（ 2） 将 x=0代 入 抛 物 线 表 达 式 ， 得 y=1. 点 M的 坐 标 为 （ 0,1） .设 直 线 MA的 表 达 式 为 y=kx+b， 则131.kb 13 0bk b .解 得 k=， b=1. 直 线 MA 的 表 达 式 为 y=x+1. 设 点 D 的 坐 标 为 （ 20 0 01 2, 13 3x x x ） ， 则 点 F 的 坐 标 为 （ 0 01, 13x x ） .DF= 20 0 01 2 11 ( 1)3 3 3x x x = 2 20 0 01 1 3 3( )3 3 2 4x x x .当 0 32x 时 ， DF的 最 大 值
25、 为 .此 时 20 01 2 513 3 4x x ， 即 点 D 的 坐 标 为 （ 3 5,2 4 ） .（ 3） 存 在 点 P， 使 得 以 点 P、 A、 N 为 顶 点 的 三 角 形 与 MAO 相 似 .在 Rt MAO中 ， AO=3MO,要 使 两 个 三 角 形 相 似 ， 由 题 意 可 知 ， 点 P不 可 能 在 第 一 象 限 . 1 设 点 P 在 第 二 象 限 时 ， 点 P 不 可 能 在 直 线 MN上 ， 只 能 PN=3NM, 21 2 1 3( 3)3 3m m m ， 即 2 11 24 0m m .解 得 m= 3（ 舍 去 ） 或 m= 8
26、.又 3M0,故 此 时 满 足 条 件 的 点 不 存 在 .2 当 点 P 在 第 三 象 限 时 ， 点 P 不 可 能 在 直 线 MN上 ， 只 能 PN=3NM, 21 2 1 3( 3)3 3m m m ， 即 2 11 24 0m m .解 得 m= 3 或 m=8.此 时 点 P的 坐 标 为 （ 8， ,15） .3 当 点 P 在 第 四 象 限 时 ， 若 AN=3PN时 ,则 3 21 2( 1) 33 3m m m ， 即 2 6 0m m .解 得 m= 3（ 舍 去 ） 或 m=2.当 m=2时 ， 20 01 2 513 3 3x x .此 时 点 P 的 坐 标 为 （ 2， ） .若 PN=3NA,则 21 2( 1) 3( 3)3 3m m m ， 即 2 7 30 0m m .解 得 m= 3（ 舍 去 ） 或 m=10， 此 时 点 P 的 坐 标 为 （ 10， ,39） .综 上 所 述 ， 满 足 条 件 的 点 P 的 坐 标 为 （ 8， ,15） 、 （ 2， ） 、 （ 10， ,39） .
