1、2013年 山 东 省 潍 坊 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 本 题 共 12 小 题 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 ， 请 把 正 确的 选 项 选 出 来 ， 每 小 题 选 对 的 3 分 不 选 或 选 出 的 答 案 超 过 一 个 均 记 0 分 ）1.（ 3分 ） 实 数 0.5的 算 术 平 方 根 等 于 （ ）A.2B.C.D.解 析 ： （ ） 2=（ ） 2=0.5， 0.5的 算 术 平 方 根 是 ： = = .答 案 ： C2.（ 3 分 ） 下 面 的 图 形 是 天 气 预 报 的
2、图 标 ， 其 中 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ ）A. B.C.D.解 析 ： A、 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；B、 既 不 是 轴 对 称 图 形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ； D、 既 不 是 轴 对 称 图 形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： A.3.（ 3分 ） 2012年 ， 我 国 财 政
3、性 教 育 经 费 支 出 实 现 了 占 国 内 生 产 总 值 比 例 达 4%的 目 标 ， 其中 在 促 进 义 务 教 育 均 衡 方 面 ， 安 排 农 村 义 务 教 育 经 费 保 障 机 制 改 革 资 金 达 865.4 亿 元 ， 数 据“ 865.4 亿 元 ” 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为 （ ） 元 . A.865 108B.8.65 109C.8.65 1010D.0.865 1011解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .将 865.4 亿用 科 学 记 数 法 表
4、 示 为 ： 8.65 1010.答 案 ： C.4.（ 3分 ） 如 图 是 常 用 的 一 种 圆 顶 螺 杆 ， 它 的 俯 视 图 正 确 的 是 （ ） A.B.C.D.解 析 ： 从 上 面 看 易 得 俯 视 图 为 圆 环 ，答 案 ： B. 5.（ 3 分 ） 在 某 校 “ 我 的 中 国 梦 ” 演 讲 比 赛 中 ， 有 9名 学 生 参 加 比 赛 ， 他 们 决 赛 的 最 终 成 绩各 不 相 同 ， 其 中 的 一 名 学 生 要 想 知 道 自 己 能 否 进 入 前 5 名 ， 不 仅 要 了 解 自 己 的 成 绩 ， 还 要 了解 这 9名 学 生 成
5、绩 的 （ ）A.众 数B.方 差C.平 均 数D.中 位 数解 析 ： 由 于 总 共 有 9个 人 ， 且 他 们 的 分 数 互 不 相 同 ， 第 5 的 成 绩 是 中 位 数 ， 要 判 断 是 否 进 入前 5 名 ， 故 应 知 道 中 位 数 的 多 少 .答 案 ： D.6.（ 3分 ） 设 点 A（ x 1， y1） 和 B（ x2， y2） 是 反 比 例 函 数 y= 图 象 上 的 两 个 点 ， 当 x1 x2 0时 ， y1 y2， 则 一 次 函 数 y= 2x+k的 图 象 不 经 过 的 象 限 是 （ ）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限C.第 三
6、象 限D.第 四 象 限解 析 ： 点 A（ x1， y1） 和 B（ x2， y2） 是 反 比 例 函 数 y= 图 象 上 的 两 个 点 ， 当 x1 x2 0时 ，y1 y2， x1 x2 0时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， k 0， 一 次 函 数 y= 2x+k的 图 象 不 经 过 的 象 限 是 ： 第 一 象 限 .答 案 ： A.7.（ 3 分 ） 用 固 定 的 速 度 往 如 图 所 示 形 状 的 杯 子 里 注 水 ， 则 能 表 示 杯 子 里 水 面 的 高 度 和 注 水时 间 的 关 系 的 大 致 图 象 是 （ ）A. B.C.D.解 析
7、 ： 因 瓶 子 下 面 窄 上 面 宽 ， 且 相 同 的 时 间 内 注 入 的 水 量 相 同 ，所 以 下 面 的 高 度 增 加 的 快 ，上 面 增 加 的 慢 ，即 图 象 应 越 来 越 缓 ， 解 析 四 个 图 象 只 有 C符 合 要 求 .答 案 ： C.8.（ 3分 ） 如 图 ， O 的 直 径 AB=12， CD是 O 的 弦 ， CD AB， 垂 足 为 P， 且 BP： AP=1： 5，则 CD 的 长 为 （ ）A.4B.8 C.2D.4解 析 ： O的 直 径 AB=12， OB= AB=6， BP： AP=1： 5， BP= AB= 12=2， OP=O
8、B BP=6 2=4， CD AB， CD=2PC.如 图 ， 连 接 OC， 在 Rt OPC中 ， OC=6， OP=4， PC= = =2 ， CD=2PC=2 2 =4 .答 案 ： D.9.（ 3分 ） 一 渔 船 在 海 岛 A 南 偏 东 20 方 向 的 B 处 遇 险 ， 测 得 海 岛 A 与 B 的 距 离 为 20 海 里 ，渔 船 将 险 情 报 告 给 位 于 A处 的 救 援 船 后 ， 沿 北 偏 西 80 方 向 向 海 岛 C 靠 近 ， 同 时 ， 从 A 处 出 发 的 救 援 船 沿 南 偏 西 10 方 向 匀 速 航 行 ， 20 分 钟 后 ，
9、救 援 船 在 海 岛 C 处 恰 好 追 上 渔 船 ，那 么 救 援 船 航 行 的 速 度 为 （ ） A.10 海 里 /小 时B.30海 里 /小 时C.20 海 里 /小 时D.30 海 里 /小 时解 析 ： CAB=10 +20 =30 ， CBA=80 20 =60 ， C=90 ， AB=20 海 里 ， AC=ABcos30 =10 （ 海 里 ） ， 救 援 船 航 行 的 速 度 为 ： 10 =30 （ 海 里 /小 时 ） .答 案 ： D.10.（ 3分 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 kx 2+（ 1 k） x 1=0， 下 列 说 法 正 确 的 是 （
10、 ）A.当 k=0 时 ， 方 程 无 解B.当 k=1 时 ， 方 程 有 一 个 实 数 解C.当 k= 1 时 ， 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 解D.当 k 0 时 ， 方 程 总 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解 .解 析 ： 关 于 x的 方 程 kx2+（ 1 k） x 1=0，A、 当 k=0 时 ， x 1=0， 则 x=1， 故 此 选 项 错 误 ；B、 当 k=1 时 ， x 2 1=0方 程 有 两 个 实 数 解 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 当 k= 1 时 ， x2+2x 1=0， 则 （ x 1） 2=0， 此 时 方 程 有 两 个 相
11、 等 的 实 数 解 ， 故 此 选 项正 确 ；D、 由 C 得 此 选 项 错 误 .答 案 ： C.11.（ 3分 ） 为 了 研 究 吸 烟 是 否 对 肺 癌 有 影 响 ， 某 肿 瘤 研 究 所 随 机 地 抽 查 了 10000人 ， 并 进行 统 计 解 析 .结 果 显 示 ： 在 吸 烟 者 中 患 肺 癌 的 比 例 是 2.5%， 在 不 吸 烟 者 中 患 肺 癌 的 比 例 是0.5%， 吸 烟 者 患 肺 癌 的 人 数 比 不 吸 烟 者 患 肺 癌 的 人 数 多 22 人 .如 果 设 这 10000人 中 ， 吸 烟 者患 肺 癌 的 人 数 为 x，
12、不 吸 烟 者 患 肺 癌 的 人 数 为 y， 根 据 题 意 ， 下 面 列 出 的 方 程 组 正 确 的 是（ ） A. B.C.D.解 析 ： 设 吸 烟 者 患 肺 癌 的 人 数 为 x， 不 吸 烟 者 患 肺 癌 的 人 数 为 y， 根 据 题 意 得 ：.答 案 ： B. 12.（ 3分 ） 对 于 实 数 x， 我 们 规 定 x表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 ， 例 如 1.2=1， 3=3， 2.5= 3， 若 =5， 则 x 的 取 值 可 以 是 （ ）A.40B.45C.51D.56解 析 ： 根 据 题 意 得 ：5 5+1，解 得 ： 46 x
13、 56，答 案 ： C. 二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 共 18分 ， 只 要 求 填 写 最 后 结 果 ， 每 小 题 对 得 3 分 ）13.（ 3分 ） 方 程 的 根 是 .解 析 ： 方 程 两 边 都 乘 以 （ x+1） 得 ， x2+x=0，解 得 x1=0， x2= 1，检 验 ： 当 x=0时 ， x+1=0+1=1 0，当 x= 1 时 ， x+1=1 1=0，所 以 ， 原 方 程 的 解 是 x=0.答 案 ： x=0.14.（ 3分 ） 如 图 ， ABCD 是 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 ， 且 OB=OD， 请 你
14、 添 加 一 个 适 当 的 条件 ， 使 ABCD成 为 菱 形 （ 只 需 添 加 一 个 即 可 ） 解 析 ： OA=OC， OB=OD， OA=OC， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AC BD， 平 行 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ，答 案 ： OA=OC.15.（ 3分 ） 分 解 因 式 ： （ a+2） （ a 2） +3a= .解 析 ： 先 利 用 平 方 差 公 式 计 算 ， 再 利 用 因 式 分 解 法 分 解 因 式 即 可 .答 案 ： （ a 1） （ a+4） .16.（ 3分 ） 一 次 函 数 y= 2x+b中 ， 当 x=1时
15、 ， y 1， 当 x= 1 时 ， y 0.则 b 的 取 值 范 围是 . 解 析 ： 由 题 意 ， 得 ，解 此 不 等 式 组 ， 得 2 b 3.答 案 ： 2 b 3.17.（ 3分 ） 当 n等 于 1， 2， 3 时 ， 由 白 色 小 正 方 形 和 黑 色 小 正 方 形 组 成 的 图 形 分 别 如 图 所示 ， 则 第 n个 图 形 中 白 色 小 正 方 形 和 黑 色 小 正 方 形 的 个 数 总 和 等 于 .（ 用 n 表 示 ， n 是正 整 数 ） 解 析 ： 第 1 个 图 形 ： 白 色 正 方 形 1 个 ， 黑 色 正 方 形 4 1=4 个
16、， 共 有 1+4=5 个 ；第 2 个 图 形 ： 白 色 正 方 形 22=4个 ， 黑 色 正 方 形 4 2=8个 ， 共 有 4+8=12个 ；第 3 个 图 形 ： 白 色 正 方 形 32=9个 ， 黑 色 正 方 形 4 3=12个 ， 共 有 9+12=21个 ； ，第 n 个 图 形 ： 白 色 正 方 形 n2个 ， 黑 色 正 方 形 4n 个 ， 共 有 n2+4n个 .答 案 ： n2+4n.18.（ 3分 ） 如 图 ， 直 角 三 角 形 ABC中 ， ACB=90 ， AB=10， BC=6， 在 线 段 AB 上 取 一 点 D，作 DF AB 交 AC于
17、点 F， 现 将 ADF沿 DF 折 叠 ， 使 点 A 落 在 线 段 DB上 ， 对 应 点 记 为 A 1； AD的 中 点 E 的 对 应 点 记 为 E1， 若 E1FA1 E1BF， 则 AD= . 解 析 ： ACB=90 ， AB=10， BC=6， AC= = =8，设 AD=2x， 点 E为 AD的 中 点 ， 将 ADF沿 DF折 叠 ， 点 A对 应 点 记 为 A1， 点 E 的 对 应 点 为 E1， AE=DE=DE1=A1E1=x， DF AB， ACB=90 ， A= A， ABC AFD， = ，即 = ， 解 得 DF= x，在 Rt DE1F中 ， E1
18、F= = = ，又 BE1=AB AE1=10 3x， E1FA1 E1BF， = ， E 1F2=A1E1BE1，即 （ ） 2=x（ 10 3x） ，解 得 x= ， AD 的 长 为 2 = .答 案 ： .三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 解 答 要 写 出 必 要 的 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 验 算 步 骤 ）19.（ 10分 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 以 对 角 线 BD为 直 径 作 O， 分 别 与 BC， AD相 交 于 点 E， F. （ 1） 求 证 ： 四 边 形 BEDF为 矩 形 ；（
19、2） BD2=BEBC， 试 判 断 直 线 CD 与 O的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 求 出 DEB= DFB=90 ， 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 推 出 AD BC， 推 出 FBC= DFB=90 ， EDA= BED=90 ， 根 据 矩 形 的 判 定 推 出 即 可 ；（ 2） 根 据 已 知 求 出 BED BDC， 推 出 BDC= BED=90 ， 根 据 切 线 判 定 推 出 即 可 .答 案 ： （ 1） BD为 O 直 径 ， DEB= DFB=90 ， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AD BC
20、， FBC= DFB=90 ， EDA= BED=90 ， FBC= DFB= EDA= BED=90 ， 四 边 形 BEDF 为 矩 形 ；（ 2） 直 线 CD 与 O的 位 置 关 系 式 相 切 ，理 由 是 ： BD 2=BEBC， = ， DBC= CBD， BED BDC， BDC= BED=90 ，即 BD CD， CD与 O 相 切 .20.（ 10分 ） 为 增 强 市 民 的 节 能 意 识 ， 我 市 试 行 阶 段 电 价 ， 从 2013年 开 始 ， 按 照 每 户 的 每年 的 用 电 量 分 三 个 档 次 计 费 ， 具 体 规 定 如 图 ， 小 明 统
21、 计 了 自 家 2013年 前 5 个 月 的 实 际 用 电量 为 1300 度 ， 请 帮 助 小 明 解 析 下 面 问 题 ： （ 1） 若 小 明 家 计 划 2013年 全 年 的 用 电 量 不 超 过 2520 度 ， 则 6 至 12 月 份 小 明 家 平 均 每 月 用电 量 最 多 为 多 少 度 ？ （ 保 留 整 数 ）（ 2） 若 小 明 家 2013年 6至 12月 份 平 均 每 月 用 电 量 等 于 前 5 个 月 的 平 均 每 月 用 电 量 ， 则 小明 家 2013 年 应 交 总 电 费 多 少 元 ？ 解 析 ： （ 1） 根 据 “ 小 明
22、 家 计 划 2013年 全 年 的 用 电 量 不 超 过 2520度 ” 得 出 不 等 式 ；（ 2） 求 出 前 5 个 月 平 均 用 电 量 ， 进 而 根 据 收 费 标 准 求 出 总 电 费 .答 案 ： （ 1） 设 小 明 家 6 至 12 月 份 平 均 每 月 用 电 量 为 x度 ， 根 据 题 意 得 出 ：1300+7x 2520，解 得 ： x 174.3，答 ： 小 明 家 6 至 12 月 份 平 均 每 月 用 电 量 最 多 为 174 度 ；（ 2） 小 明 家 前 5 个 月 平 均 每 月 用 电 量 = =260（ 度 ） ，全 年 用 电 量
23、 =260 12=3120（ 度 ） ， 2520 3120 4800， 总 电 费 =2520 0.55+（ 3120 2520） 0.6=1386+360 =1746（ 元 ） ，答 ： 小 明 家 2013 年 应 交 总 电 费 为 1746元 .21.（ 10分 ） 随 着 我 国 汽 车 产 业 的 发 展 ， 城 市 道 路 拥 堵 问 题 日 益 严 峻 ， 某 部 门 对 15 个 城 市的 交 通 状 况 进 行 了 调 查 ， 得 到 的 数 据 如 下 表 所 示 .城 市项 目 北 京 太 原 杭 州 沈 阳 广 州 深 圳 上 海 桂 林 南 通 海 口 南 京 温
24、 州 威 海 兰 州 中 山上 班 花 费 时 间 （ 分 钟 ） 52 33 34 34 48 46 47 23 24 24 37 25 24 25 18上 班 堵 车 时 间 （ 分 钟 ） 14 12 12 12 12 11 11 7 7 6 6 5 5 5 0（ 1） 根 据 上 班 花 费 时 间 ， 将 下 面 的 频 数 分 布 直 方 图 补 充 完 整 ；（ 2） 求 15个 城 市 的 平 均 上 班 堵 车 时 间 （ 计 算 结 果 保 留 一 位 小 数 ）（ 3） 规 定 ： 城 市 的 堵 车 率 = 100%， 比 如 ， 北 京 的 堵 车 率 = ； 沈 阳
25、 的 堵 车 率 = ， 某 人 欲 从 北 京 ， 沈 阳 ， 上 海 ， 温 州 四 个 城 市 中 任 意 选 取 两 个 作 为 出 发 目 的 地 ， 求 选 取 的 两 个 城 市 的 堵 车 率 都 超 过30%的 概 率 .解 析 ： （ 1） 根 据 数 据 表 分 别 得 出 在 30 分 钟 到 40 分 钟 之 间 和 40分 钟 到 50分 钟 的 城 市 个数 ， 进 而 得 出 条 形 图 ；（ 2） 根 据 各 城 市 堵 车 时 间 求 出 平 均 数 即 可 ； （ 3） 根 据 图 中 数 据 分 别 求 出 各 城 市 堵 车 率 进 而 利 用 概 率
26、 公 式 求 出 即 可 .答 案 ： （ 1） 在 30分 钟 到 40分 钟 之 间 的 城 市 有 4 个 ， 40分 钟 到 50 分 钟 的 城 市 有 3个 ，进 而 得 出 条 形 图 ，如 图 所 示 ： （ 2） 平 均 上 班 堵 车 的 时 间 = （ 14+12 4+11 2+7 2+6 2+5 3+0） = 8.3（ 分 钟 ） ；（ 3） 上 海 的 堵 车 率 ： 100%=30.6%，温 州 的 堵 车 率 ： 100%=25%，堵 车 率 超 过 30%的 城 市 有 北 京 、 上 海 、 沈 阳 ；从 四 个 城 市 中 选 两 个 的 所 有 方 法 有
27、 6 种 ： （ 北 京 ， 沈 阳 ） ， （ 北 京 ， 上 海 ） ， （ 北 京 ， 温 州 ） ， （ 沈阳 ， 上 海 ） ， （ 沈 阳 ， 温 州 ） ， （ 上 海 ， 温 州 ） .其 中 两 个 城 市 堵 车 率 均 超 过 30%的 情 况 有 3种 ：（ 北 京 ， 沈 阳 ） ， （ 北 京 ， 上 海 ） ， （ 沈 阳 ， 上 海 ） .所 以 ， 选 取 的 两 个 城 市 堵 车 率 都 超 过 30%的 概 率 P= = . 22.（ 11分 ） 如 图 1所 示 ， 将 一 个 边 长 为 2的 正 方 形 ABCD和 一 个 长 为 2、 宽 为 1
28、的 长 方 形CEFD拼 在 一 起 ， 构 成 一 个 大 的 长 方 形 ABEF.现 将 小 长 方 形 CEFD绕 点 C 顺 时 针 旋 转 至CE F D ， 旋 转 角 为 a.（ 1） 当 点 D 恰 好 落 在 EF边 上 时 ， 求 旋 转 角 a的 值 ；（ 2） 如 图 2， G为 BC中 点 ， 且 0 a 90 ， 求 证 ： GD =E D； （ 3） 小 长 方 形 CEFD绕 点 C 顺 时 针 旋 转 一 周 的 过 程 中 ， DCD 与 CBD 能 否 全 等 ？ 若 能 ，直 接 写 出 旋 转 角 a 的 值 ； 若 不 能 说 明 理 由 .解 析
29、 ： （ 1） 根 据 旋 转 的 性 质 得 CD =CD=2， 在 Rt CED 中 ， CD =2， CE=1， 则 CD E=30 ， 然 后 根 据 平 行 线 的 性 质 即 可 得 到 =30 ； （ 2） 由 G 为 BC中 点 可 得 CG=CE， 根 据 旋 转 的 性 质 得 D CE = DCE=90 ， CE=CE CE，则 GCD = DCE =90 + ， 然 后 根 据 “ SAS” 可 判 断 GCD E CD， 则 GD =E D；（ 3） 根 据 正 方 形 的 性 质 得 CB=CD， 而 CD=CD ， 则 BCD 与 DCD 为 腰 相 等 的 两
30、等 腰 三 角形 ， 当 两 顶 角 相 等 时 它 们 全 等 ， 当 BCD 与 DCD 为 钝 角 三 角 形 时 ， 可 计 算 出 =135 ，当 BCD 与 DCD 为 锐 角 三 角 形 时 ， 可 计 算 得 到 =315 .答 案 ： （ 1） 长 方 形 CEFD绕 点 C 顺 时 针 旋 转 至 CE F D ， CD =CD=2，在 Rt CED 中 ， CD =2， CE=1， CD E=30 ， CD EF， =30 ；（ 2） G 为 BC中 点 ， CG=1， CG=CE， 长 方 形 CEFD 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 至 CE F D ， D CE =
31、 DCE=90 ， CE=CE =CG， GCD = DCE =90 + ，在 GCD 和 E CD中， GCD E CD（ SAS） ， GD =E D；（ 3） 能 .理 由 如 下 ： 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， CB=CD， CD =CD ， BCD 与 DCD 为 腰 相 等 的 两 等 腰 三 角 形 ，当 BCD = DCD 时 ， BCD DCD ，当 BCD 与 DCD 为 钝 角 三 角 形 时 ， 则 旋 转 角 = =135 ， 当 BCD 与 DCD 为 锐 角 三 角 形 时 ， BCD = DCD = BCD=45则 =360 =315 ，即 旋 转
32、 角 a 的 值 为 135 或 315 时 ， BCD 与 DCD 全 等 .23.（ 12分 ） 为 了 改 善 市 民 的 生 活 环 境 ， 我 市 在 某 河 滨 空 地 处 修 建 一 个 如 图 所 示 的 休 闲 文 化广 场 ， 在 Rt ABC内 修 建 矩 形 水 池 DEFG， 使 顶 点 D， E在 斜 边 AB上 ， F， G分 别 在 直 角 边 BC，AC上 ； 又 分 别 以 AB、 BC、 AC为 直 径 作 半 圆 ， 它 们 交 出 两 弯 新 月 （ 图 中 阴 影 部 分 ） ， 两 弯 新月 部 分 栽 植 花 草 ； 其 余 空 地 铺 设 瓷
33、砖 ， 其 中 AB=24 米 ， BAC=60 ， 设 EF=x米 ， DE=y 米 .（ 1） 求 y 与 x 之 间 的 函 数 解 析 式 ；（ 2） 当 x 为 何 值 时 ， 矩 形 DEFG的 面 积 最 大 ？ 最 大 面 积 是 多 少 ？（ 3） 求 两 弯 新 月 （ 图 中 阴 影 部 分 ） 的 面 积 ， 并 求 当 x 为 何 值 时 ， 矩 形 DEFG的 面 积 及 等 于 两 弯 新 月 面 积 的 ？解 析 ： （ 1） 先 解 Rt ABC， 得 出 AC=12 米 ， BC=36米 ， ABC=30 ， 再 根 据 三 角 函 数的 定 义 求 出 A
34、D= x， BE= x， 然 后 根 据 AD+DE+BE=AB， 列 出 y与 x之 间 的 关 系 式 ， 进 而 求解 即 可 ； （ 2） 先 根 据 矩 形 的 面 积 公 式 得 出 DEFG的 面 积 =xy， 再 将 （ 1） 中 求 出 的 y=24 x 代入 ， 得 出 矩 形 DEFG 的 面 积 =xy= x2+24 x， 然 后 利 用 配 方 法 写 成 顶 点 式 ， 根 据 二 次 函数 的 性 质 即 可 求 解 ；（ 3） 先 证 明 两 弯 新 月 的 面 积 = ABC的 面 积 ， 再 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 求 出 两 弯 新 月 的
35、 面 积 ，然 后 根 据 矩 形 DEFG的 面 积 及 等 于 两 弯 新 月 面 积 的 列 出 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 解 方 程 即可 求 解 .答 案 ： （ 1） 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， AB=24 米 ， BAC=60 ， AC= AB=12 米 ， BC= AC=36 米 ， ABC=30 ， AD= = x， BE= = x， AD+DE+BE=AB， x+y+ x=24 ， y=24 x x=24 x，即 y 与 x 之 间 的 函 数 解 析 式 为 y=24 x（ 0 x 18） ；（ 2） y=24 x， 矩 形 DEFG的 面
36、 积 =xy=x（ 24 x） = x2+24 x= （ x 9） 2+108 ， 当 x=9米 时 ， 矩 形 DEFG的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 108 平 方 米 ；（ 3） 记 AC、 BC、 AB为 直 径 的 半 圆 面 积 分 别 为 S 1、 S2、 S3， 两 弯 新 月 面 积 为 S，则 S1= AC2， S2= BC2， S3= AB2， AC2+BC2=AB2， S1+S2=S3， S1+S2 S=S3 S ABC， S=S ABC， 两 弯 新 月 的 面 积 S= ACBC= 12 36=216 （ 平 方 米 ） .如 果 矩 形 DEFG 的
37、面 积 等 于 两 弯 新 月 面 积 的 ，那 么 （ x 9） 2+108 = 216 ，化 简 整 理 ， 得 （ x 9） 2=27，解 得 x=9 3 ， 符 合 题 意 .所 以 当 x 为 （ 9 3 ） 米 时 ， 矩 形 DEFG 的 面 积 及 等 于 两 弯 新 月 面 积 的 .24.（ 13分 ） 如 图 ， 抛 物 线 y=ax 2+bx+c关 于 直 线 x=1对 称 ， 与 坐 标 轴 交 与 A， B， C 三 点 ， 且AB=4， 点 D（ 2， ） 在 抛 物 线 上 ， 直 线 l 是 一 次 函 数 y=kx 2（ k 0） 的 图 象 ， 点 O 是
38、 坐 标原 点 .（ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2） 若 直 线 l 平 分 四 边 形 OBDC的 面 积 ， 求 k 的 值 ；（ 3） 把 抛 物 线 向 左 平 移 1 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 2 个 单 位 ， 所 得 抛 物 线 与 直 线 l 交 于 M， N两 点 ， 问 在 y 轴 正 半 轴 上 是 否 存 在 一 定 点 P， 使 得 不 论 k取 何 值 ， 直 线 PM 与 PN总 是 关 于 y轴 对 称 ？ 若 存 在 ， 求 出 P点 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 首 先 求 出 点
39、A、 B的 坐 标 ， 然 后 利 用 交 点 式 、 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2） 首 先 求 出 点 C 坐 标 ， 确 定 CD OB； 由 题 意 ， 直 线 l平 分 四 边 形 OBDC的 面 积 ， 则 S 梯 形OEFC=S 梯 形 FDBE， 据 此 列 方 程 求 出 k的 值 ；（ 3） 首 先 求 出 平 移 变 换 后 的 抛 物 线 解 析 式 ， 如 答 图 2 所 示 ， 然 后 证 明 Rt PMD Rt PNE，由 相 似 三 角 形 比 例 线 段 关 系 得 到 式 ： ， 化 简 之 后 变 为 式 ： （ t+2
40、） （ xm+xn）=2kx mxn； 最 后 利 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 求 出 t 的 值 .答 案 ： （ 1） 因 为 抛 物 线 关 于 直 线 x=1对 称 ， AB=4， 所 以 A（ 1， 0） ， B（ 3， 0） ，设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a（ x+1） （ x 3） ， 点 D（ 2， ） 在 抛 物 线 上 ， =a 3 （ 1） ， 解 得 a= ， 抛 物 线 解 析 式 为 ： y= （ x+1） （ x 3） = x 2+x+ .（ 2） 抛 物 线 解 析 式 为 ： y= x2+x+ ， 令 x=0， 得 y=
41、 ， C（ 0， ） ， D（ 2， ） ， CD OB， 直 线 CD解 析 式 为 y= .直 线 l解 析 式 为 y=kx 2， 令 y=0， 得 x= ； 令 y= ， 得 x= ；如 答 图 1 所 示 ， 设 直 线 l 分 别 与 OB、 CD 交 于 点 E、 F， 则 E（ ， 0） ， F（ ， ） ，OE= ， BE=3 ， CF= ， DF=2 . 直 线 l 平 分 四 边 形 OBDC的 面 积 ， S 梯 形 OEFC=S 梯 形 FDBE， （ OE+CF） OC= （ FD+BE） OC， OE+CF=FD+BE， 即 ： + =（ 3 ） +（ 2 ） ，
42、解 方 程 得 ： k= ， 经 检 验 k= 是 原 方 程 的 解 且 符 合 题 意 ， k= . （ 3） 假 设 存 在 符 合 题 意 的 点 P， 其 坐 标 为 （ 0， t） .抛 物 线 解 析 式 为 ： y= x2+x+ = （ x 1） 2+2，把 抛 物 线 向 左 平 移 1个 单 位 ， 再 向 下 平 移 2个 单 位 ， 所 得 抛 物 线 解 析 式 为 ： y= x2.依 题 意 画 出 图 形 ， 如 答 图 2 所 示 ， 过 点 M作 MD y轴 于 点 D， NE y 轴 于 点 E，设 M（ xm， ym） ， N（ xn， yn） ， 则 M
43、D= xm， PD=t ym； NE=xn， PE=t yn. 直 线 PM 与 PN关 于 y 轴 对 称 ， MPD= NPE，又 MDP= NEP=90 ， Rt PMD Rt PNE， ， 即 ， 点 M、 N 在 直 线 y=kx 2 上 ， y m=kxm 2， yn=kxn 2，代 入 式 化 简 得 ： （ t+2） （ xm+xn） =2kxmxn 把 y=kx 2代 入 y= x2.， 整 理 得 ： x2+2kx 4=0， xm+xn= 2k， xmxn= 4， 代 入 式 解 得 ： t=2， 符 合 条 件 .所 以 在 y 轴 正 半 轴 上 存 在 一 个 定 点 P（ 0， 2） ， 使 得 不 论 k 取 何 值 ， 直 线 PM与 PN总 是 关 于 y轴 对 称 .
