1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 苏 卷 ） 数 学 文一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70分 .1.(5分 )函 数 y=3sin(2x+ )的 最 小 正 周 期 为 .解 析 ： 函 数 表 达 式 为 y=3sin(2x+ )， =2， 可 得 最 小 正 周 期 T=| |=| |=答 案 ： 2.(5分 )设 z=(2-i) 2(i 为 虚 数 单 位 )， 则 复 数 z 的 模 为 .解 析 ： z=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.所 以 |z|= =5.答 案 ： 5.3
2、.(5分 )双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 方 程 为 .解 析 ： 双 曲 线 的 a=4， b=3， 焦 点 在 x轴 上 ， 而 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= x， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 .答 案 ：4.(5分 )集 合 -1， 0， 1共 有 个 子 集 .解 析 ： 因 为 集 合 -1， 0， 1， 所 以 集 合 -1， 0， 1的 子 集 有 ： -1， 0， 1， -1， 0，-1， 1， 0， 1， -1， 0， 1， ， 共 8个 .答 案 ： 8. 5.(5分 )如 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图 ， 则 输 出 的 n的
3、值 是 . 解 析 ： 当 n=1， a=2 时 ， 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ， 执 行 循 环 后 ， a=8， n=2；当 n=2， a=8时 ， 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ， 执 行 循 环 后 ， a=26， n=3；当 n=3， a=26时 ， 不 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ， 退 出 循 环故 输 出 n 值 为 3答 案 ： 36.(5分 )抽 样 统 计 甲 、 乙 两 位 射 击 运 动 员 的 5 此 训 练 成 绩 (单 位 ： 环 )， 结 果 如 下 ：则 成 绩 较 为 稳 定 (方 差 较 小 )的 那 位 运 动 员 成 绩 的
4、方 差 为 .解 析 ： 由 图 表 得 到 甲 乙 两 位 射 击 运 动 员 的 数 据 分 别 为 ： 甲 ： 87， 91， 90， 89， 93；乙 ： 89， 90， 91， 88， 92； ，.方 差 =4. = 2.所 以 乙 运 动 员 的 成 绩 较 稳 定 ， 方 差 为 2.答 案 ： 2. 7.(5分 )现 在 某 类 病 毒 记 作 XmYn， 其 中 正 整 数 m， n(m 7， n 9)可 以 任 意 选 取 ， 则 m， n 都取 到 奇 数 的 概 率 为 .解 析 ： m 取 小 于 等 于 7 的 正 整 数 ， n 取 小 于 等 于 9 的 正 整
5、 数 ， 共 有 7 9=63 种 取 法 .m取 到 奇 数 的 有 1， 3， 5， 7 共 4 种 情 况 ； n取 到 奇 数 的 有 1， 3， 5， 7， 9 共 5 种 情 况 ，则 m， n 都 取 到 奇 数 的 方 法 种 数 为 4 5=20 种 .所 以 m， n 都 取 到 奇 数 的 概 率 为 .答 案 ： .8.(5分 )如 图 ， 在 三 棱 柱 A 1B1C1-ABC中 ， D， E， F分 别 是 AB， AC， AA1的 中 点 ， 设 三 棱 锥 F-ADE的 体 积 为 V1， 三 棱 柱 A1B1C1-ABC的 体 积 为 V2， 则 V1： V2
6、= .解 析 ： 因 为 D， E， 分 别 是 AB， AC的 中 点 ， 所 以 S ADE： S ABC=1： 4，又 F 是 AA1的 中 点 ， 所 以 A1到 底 面 的 距 离 H为 F到 底 面 距 离 h的 2倍 .即 三 棱 柱 A1B1C1-ABC的 高 是 三 棱 锥 F-ADE 高 的 2倍 .所 以 V1： V2= =1： 24.答 案 ： 1： 24.9.(5分 )抛 物 线 y=x 2在 x=1处 的 切 线 与 两 坐 标 轴 围 成 三 角 形 区 域 为 D(包 含 三 角 形 内 部 和 边界 ).若 点 P(x， y)是 区 域 D 内 的 任 意 一
7、 点 ， 则 x+2y的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 由 y=x2得 ， y =2x， 所 以 y |x=1=2， 则 抛 物 线 y=x2在 x=1处 的 切 线 方 程 为 y=2x-1.令 z=x+2y， 则 .画 出 可 行 域 如 图 ， 所 以 当 直 线 过 点 (0， -1)时 ， zmin=-2.过 点 ( )时 ， .答 案 ： .10.(5分 )设 D， E分 别 是 ABC的 边 AB， BC上 的 点 ， AD= AB， BE= BC， 若 = 1 + 2 ( 1， 2为 实 数 )， 则 1+ 2的 值 为 .解 析 ： 由 题 意 结 合 向 量 的 运 算
8、 可 得= = = = = ，又 由 题 意 可 知 若 = 1 + 2 ， 故 可 得 1= ， 2= ， 所 以 1+ 2=答 案 ：11.(5分 )已 知 f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 .当 x 0 时 ， f(x)=x 2-4x， 则 不 等 式 f(x) x 的解 集 用 区 间 表 示 为 .解 析 ： 作 出 f(x)=x2-4x(x 0)的 图 象 ， 如 图 所 示 ， f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 利 用 奇 函 数 图 象 关 于 原 点 对 称 作 出 x 0 的 图 象 ，不 等 式 f(x) x表 示 函 数 y=f(x)图
9、象 在 y=x上 方 ， f(x)图 象 与 y=x图 象 交 于 P(5， 5)， Q(-5， -5)，则 由 图 象 可 得 不 等 式 f(x) x的 解 集 为 (-5， 0) (5， + ).答 案 ： (-5， 0) (5， + )12.(5分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 (a b 0)， 右 焦 点 为F， 右 准 线 为 l， 短 轴 的 一 个 端 点 为 B， 设 原 点 到 直 线 BF 的 距 离 为 d 1， F到 l的 距 离 为 d2，若 d2= ， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 为 .解 析 ： 如 图
10、， 准 线 l： x= ， d2= ， 由 面 积 法 得 ： d1= ， 若 d2= ， 则 ， 整 理 得 a2-ab- =0，两 边 同 除 以 a2， 得 +( )- =0， 解 得 . e= = .答 案 ： .13.(5分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 设 定 点 A(a， a)， P是 函 数 y= (x 0)图 象 上 一 动 点 ，若 点 P， A 之 间 的 最 短 距 离 为 2 ， 则 满 足 条 件 的 实 数 a 的 所 有 值 为 -1或 .解 析 ： 设 点 P ， 则 |PA|= = =，令 ， x 0， t 2，令 g(t)=t2-2at+
11、2a2-2=(t-a)2+a2-2， 当 a 2 时 ， t=a时 g(t)取 得 最 小 值 g(a)=a 2-2， ， 解 得 ； 当 a 2 时 ， g(t)在 区 间 2， + )单 调 递 增 ， t=2， g(t)取 得 最 小 值 g(2)=2a2-4a+2， ， 解 得 a=-1.综 上 可 知 ： a=-1或 .答 案 ： -1或 .14.(5分 )在 正 项 等 比 数 列 an中 ， ， a6+a7=3， 则 满 足 a1+a2+ +an a1a2 an的 最 大 正整 数 n的 值 为 .解 析 ： 设 正 项 等 比 数 列 a n首 项 为 a1， 公 比 为 q，
12、由 题 意 可 得 ， 解 之 可 得 ： a1= ， q=2，故 其 通 项 公 式 为 an= =2n-6.记 T n=a1+a2+ +an= = ，Sn=a1a2 an=2-5 2-4 2n-6=2-5-4+ +n-6= .由 题 意 可 得 Tn Sn， 即 ，化 简 得 ： 2 n-1 ， 即 2n- 1，因 此 只 须 n ， 即 n2-13n+10 0， 解 得 n ，由 于 n为 正 整 数 ， 因 此 n最 大 为 的 整 数 部 分 ， 也 就 是 12.答 案 ： 12二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90分 .请 在 答 题 卡 指 定 区
13、 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.(14分 )已 知 =(cos ， sin )， =(cos ， sin )， 0 . (1)若 | - |= ， 求 证 ： ；(2)设 =(0， 1)， 若 + = ， 求 ， 的 值 .解 析 ： (1)由 给 出 的 向 量 的 坐 标 ， 求 出 的 坐 标 ， 由 模 等 于 列 式 得 到cos cos +sin sin =0， 由 此 得 到 结 论 ； (2)由 向 量 坐 标 的 加 法 运 算 求 出 + ， 由 + =(0， 1)列 式 整 理 得 到 ， 结 合
14、 给出 的 角 的 范 围 即 可 求 得 ， 的 值 .答 案 ： (1)由 =(cos ， sin )， =(cos ， sin )，则 =(cos -cos ， sin -sin )，由 =2-2(cos cos +sin sin )=2，得 cos cos +sin sin =0.所 以 .即 ； (2)由得 ， 2+ 2得 ： .因 为 0 ， 所 以 0 - .所 以 ， ，代 入 得 ： .因 为 .所 以 .所 以 .16.(14分 )如 图 ， 在 三 棱 锥 S-ABC 中 ， 平 面 SAB 平 面 SBC， AB BC， AS=AB， 过 A作 AF SB，垂 足 为
15、F， 点 E， G 分 别 是 棱 SA， SC的 中 点 .求 证 ： (1)平 面 EFG 平 面 ABC；(2)BC SA.解 析 ： (1)根 据 等 腰 三 角 形 的 “ 三 线 合 一 ” ， 证 出 F 为 SB的 中 点 .从 而 得 到 SAB和 SAC中 ， EF AB且 EG AC， 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 ， 证 出 EF 平 面 ABC且 EG 平 面 ABC.因为 EF、 EG 是 平 面 EFG内 的 相 交 直 线 ， 所 以 平 面 EFG 平 面 ABC；(2)由 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 证 出 AF 平 面 SBC， 从
16、而 得 到 AF BC.结 合 AF、 AB 是 平 面 SAB内的 相 交 直 线 且 AB BC， 可 得 BC 平 面 SAB， 从 而 证 出 BC SA.答 案 ： (1) ASB中 ， SA=AB且 AF SB， F 为 SB 的 中 点 . E、 G 分 别 为 SA、 SC 的 中 点 ， EF、 EG 分 别 是 SAB、 SAC的 中 位 线 ， 可 得 EF AB且 EG AC. EF平 面 ABC， AB平 面 ABC， EF 平 面 ABC， 同 理 可 得 EG 平 面 ABC 又 EF、 EG是 平 面 EFG内 的 相 交 直 线 ， 平 面 EFG 平 面 A
17、BC；(2) 平 面 SAB 平 面 SBC， 平 面 SAB 平 面 SBC=SB，AF平 面 ASB， AF SB. AF 平 面 SBC.又 BC平 面 SBC， AF BC. AB BC， AF AB=A， BC 平 面 SAB.又 SA平 面 SAB， BC SA.17.(14分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 点 A(0， 3)， 直 线 l： y=2x-4.设 圆 C 的 半 径 为1， 圆 心 在 l 上 . (1)若 圆 心 C 也 在 直 线 y=x-1 上 ， 过 点 A 作 圆 C 的 切 线 ， 求 切 线 的 方 程 ；(2)若 圆 C
18、 上 存 在 点 M， 使 MA=2MO， 求 圆 心 C 的 横 坐 标 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)联 立 直 线 l 与 直 线 y=x-1 解 析 式 ， 求 出 方 程 组 的 解 得 到 圆 心 C 坐 标 ， 根 据 A 坐 标设 出 切 线 的 方 程 ， 由 圆 心 到 切 线 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 ， 列 出 关 于 k 的 方 程 ， 求 出 方 程 的 解 得到 k 的 值 ， 确 定 出 切 线 方 程 即 可 ；(2)设 M(x， y)， 由 MA=2MO， 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 列 出 关 系 式 ， 整 理 后 得
19、 到 点 M 的 轨 迹 为以 (0， -1)为 圆 心 ， 2 为 半 径 的 圆 ， 可 记 为 圆 D， 由 M 在 圆 C上 ， 得 到 圆 C 与 圆 D 相 交 或 相 切 ，根 据 两 圆 的 半 径 长 ， 得 出 两 圆 心 间 的 距 离 范 围 ， 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 列 出 不 等 式 ， 求 出 不等 式 的 解 集 ， 即 可 得 到 a 的 范 围 .答 案 ： (1)联 立 得 ： ， 解 得 ： ， 圆 心 C(3， 2).若 k 不 存 在 ， 不 合 题 意 ； 若 k 存 在 ， 设 切 线 为 ： y=kx+3， 可 得 圆 心 到
20、 切 线 的 距 离 d=r， 即 =1，解 得 ： k=0或 k=- ， 则 所 求 切 线 为 y=3 或 y=- x+3；(2)设 点 M(x， y)， 由 MA=2MO， 知 ： =2 ， 化 简 得 ： x2+(y+1)2=4， 点 M的 轨 迹 为 以 (0， -1)为 圆 心 ， 2 为 半 径 的 圆 ， 可 记 为 圆 D，又 点 M 在 圆 C上 ， 圆 C 与 圆 D的 关 系 为 相 交 或 相 切 ， 1 |CD| 3， 其 中 |CD|= ， 1 3， 解 得 ： 0 a . 18.(16分 )如 图 ， 游 客 从 某 旅 游 景 区 的 景 点 A 处 下 山
21、至 C处 有 两 种 路 径 .一 种 是 从 A 沿 直 线步 行 到 C， 另 一 种 是 先 从 A沿 索 道 乘 缆 车 到 B， 然 后 从 B 沿 直 线 步 行 到 C.现 有 甲 、 乙 两 位 游 客 从 A处 下 山 ， 甲 沿 AC 匀 速 步 行 ， 速 度 为 50m/min.在 甲 出 发 2min后 ， 乙 从 A 乘 缆 车 到 B，在 B 处 停 留 1min后 ， 再 从 匀 速 步 行 到 C.假 设 缆 车 匀 速 直 线 运 动 的 速 度 为 130m/min， 山 路AC长 为 1260m， 经 测 量 ， cosA= ， cosC=(1)求 索
22、道 AB 的 长 ；(2)问 乙 出 发 多 少 分 钟 后 ， 乙 在 缆 车 上 与 甲 的 距 离 最 短 ？(3)为 使 两 位 游 客 在 C处 互 相 等 待 的 时 间 不 超 过 3分 钟 ， 乙 步 行 的 速 度 应 控 制 在 什 么 范 围 内 ？解 析 ： (1)作 出 相 应 的 图 形 ， 根 据 cosC的 值 ， 求 出 tanC 的 值 ， 设 出 BD表 示 出 DC， 由 cosA 的 值 ， 求 出 tanA的 值 ， 由 BD 表 示 出 AD， 进 而 表 示 出 AB， 由 CD+AD=AC， 列 出 关 于 k 的 方 程 ，求 出 方 程 的
23、 解 得 到 k的 值 ， 即 可 确 定 出 AB 的 长 ；(2)设 乙 出 发 xmin后 到 达 点 M， 此 时 甲 到 达 N点 ， 如 图 所 示 ， 表 示 出 AM与 AN， 在 三 角 形 AMN中 ， 由 余 弦 定 理 列 出 关 系 式 ， 将 表 示 出 的 AM， AN及 cosA的 值 代 入 表 示 出 MN2， 利 用 二 次 函数 的 性 质 即 可 求 出 MN取 最 小 值 时 x 的 值 ；(3)由 (1)得 到 BC 的 长 ， 由 AC的 长 及 甲 的 速 度 求 出 甲 到 达 C 的 时 间 ， 分 两 种 情 况 考 虑 ： 若 甲等 乙
24、 3 分 钟 ， 此 时 乙 速 度 最 小 ， 求 出 此 时 的 速 度 ； 若 乙 等 甲 3 分 钟 ， 此 时 乙 速 度 最 大 ， 求 出此 时 的 速 度 ， 即 可 确 定 出 乙 步 行 速 度 的 范 围 .答 案 ： (1) cosA= ， cosC= ， tanA= ， tanC= ， 如 图 作 BD CA于 点 D， 设 BD=20k， 则 DC=15k， AD=48k， AB=52k，由 AC=63k=1260m， 解 得 ： k=20， 则 AB=52k=1040m；(2)设 乙 出 发 xmin后 到 达 点 M， 此 时 甲 到 达 N 点 ， 如 图 所
25、 示 ， 则 AM=130 xm， AN=50(x+2)m，由 余 弦 定 理 得 ： MN2=AM2+AN2-2AM ANcosA=7400 x2-14000 x+10000，其 中 0 x 8， 当 x= min时 ， MN 最 小 ， 此 时 乙 在 缆 车 上 与 甲 的 距 离 最 短 ；(3)由 (1)知 ： BC=500m， 甲 到 C 用 时 为 1260 50= (min)，若 甲 等 乙 3分 钟 ， 则 乙 到 C 用 时 为 +3= (min)， 在 BC 上 同 时 为 (min)，此 时 乙 的 速 度 最 小 ， 且 为 500 = 29.07(m/min)； 若
26、 乙 等 甲 3分 钟 ， 则 乙 到 C 用 时 为 -3= (min)， 在 BC 上 用 时 为 (min)，此 时 乙 的 速 度 最 大 ， 且 为 500 = 44.64(m/min)， 则 乙 步 行 的 速 度 控 制 在 29.07， 44.64范 围 内 .19.(16分 )设 an是 首 项 为 a， 公 差 为 d的 等 差 数 列 (d 0)， Sn是 其 前 n 项 和 .记 bn= ，n N*， 其 中 c 为 实 数 .(1)若 c=0， 且 b1， b2， b4成 等 比 数 列 ， 证 明 ： Snk=n2Sk(k， n N*)；(2)若 bn是 等 差 数
27、 列 ， 证 明 ： c=0.解 析 ： (1)写 出 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ， 前 n 项 和 公 式 ， 由 b 1， b2， b4成 等 比 数 列 得 到 首 项 和公 差 的 关 系 ， 代 入 前 n 项 和 公 式 得 到 Sn， 在 前 n项 和 公 式 中 取 n=nk可 证 结 论 ；(2)把 Sn代 入 中 整 理 得 到 bn= ， 由 等 差 数 列的 通 项 公 式 是 a n=An+B的 形 式 ， 说 明 ， 由 此 可 得 到 c=0.答 案 ： (1)若 c=0， 则 an=a1+(n-1)d， ， .当 b1， b2， b4成 等 比 数 列
28、 时 ， 则 ，即 ： ， 得 ： d 2=2ad， 又 d 0， 故 d=2a.因 此 ： ， ， .故 ： (k， n N*).(2)= . 若 bn是 等 差 数 列 ， 则 bn的 通 项 公 式 是 bn=An+B型 .观 察 式 后 一 项 ， 分 子 幂 低 于 分 母 幂 ，故 有 ： ， 即 ， 而 ，故 c=0.经 检 验 ， 当 c=0时 bn是 等 差 数 列 .点 评 ： 本 题 考 查 了 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 性 质 ， 考 查 了 等 差 数 列 的 前 n项 和 ， 考 查 了 学 生20.(16分 )设 函 数 f(x)=lnx-ax， g
29、(x)=e x-ax， 其 中 a为 实 数 . (1)若 f(x)在 (1， + )上 是 单 调 减 函 数 ， 且 g(x)在 (1， + )上 有 最 小 值 ， 求 a 的 取 值 范 围 ；(2)若 g(x)在 (-1， + )上 是 单 调 增 函 数 ， 试 求 f(x)的 零 点 个 数 ， 并 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： (1)求 导 数 ， 利 用 f(x)在 (1， + )上 是 单 调 减 函 数 ， 转 化 为 -a 0 在 (1， + )上 恒成 立 ， 利 用 g(x)在 (1， + )上 有 最 小 值 ， 结 合 导 数 知 识 ， 即 可 求 得
30、 结 论 ；(2)先 确 定 a 的 范 围 ， 再 分 类 讨 论 ， 确 定 f(x)的 单 调 性 ， 从 而 可 得 f(x)的 零 点 个 数 .答 案 ： (1)求 导 数 可 得 f (x)= -a， f(x)在 (1， + )上 是 单 调 减 函 数 ， -a 0 在 (1， + )上 恒 成 立 ， a ， x (1， + ). a 1.g (x)=e x-a，若 1 a e， 则 g (x)=ex-a 0 在 (1， + )上 恒 成 立 ，此 时 ， g(x)=ex-ax在 (1， + )上 是 单 调 增 函 数 ， 无 最 小 值 ， 不 合 ；若 a e， 则 g
31、(x)=ex-ax 在 (1， lna)上 是 单 调 减 函 数 ， 在 (lna， + )上 是 单 调 增 函 数 ，gmin(x)=g(lna)， 满 足 .故 a 的 取 值 范 围 为 ： a e.(2)g (x)=e x-a 0 在 (-1， + )上 恒 成 立 ， 则 a ex在 (-1， + )上 恒 成 立 ， ，f (x)= -a= (x 0)， 0 ， 令 f (x) 0 得 增 区 间 (0， )； 令 f (x) 0 得 减 区 间 ( ， + )，当 x 0 时 ， f(x) - ； 当 x + 时 ， f(x) - ， 当 x= 时 ， f( )=-lna-1
32、 0， 当 且 仅 当 a= 时 取 等 号 ， 当 a= 时 ， f(x)有 1个 零 点 ； 当 0 a 时 ， f(x)有 2 个 零 点 ； a=0时 ， 则 f(x)=lnx， f(x)有 1 个 零 点 ； a 0时 ， -a 0在 (0， + )上 恒 成 立 ， 即 f(x)=lnx-ax在 (0， + )上 是 单调 增 函 数 ，当 x 0 时 ， f(x) - ； 当 x + 时 ， f(x) + ， f(x)有 1 个 零 点 ，综 上 所 述 ， 当 a= 或 a 0时 ， f(x)有 1个 零 点 ； 当 0 a 时 ， f(x)有 2 个 零 点 .点 评 ： 此 题 考 查 的 是 可 导 函 数 的 单 调 性 与 其 导 数 的 关 系 ， 考 查 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 ， 考 查
