1、2013年 山 东 省 泰 安 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 20 小 题 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 ， 请 把 正确 的 选 项 选 出 来 ， 每 小 题 选 对 的 3 分 ， 选 错 ， 不 选 或 选 出 的 答 案 超 过 一 个 ， 均 记 零 分 ）1.（ 3分 ） （ 2） 2等 于 （ ）A. 4B.4C.D. 解 析 ： 根 据 负 整 数 指 数 幂 的 运 算 法 则 （ 2） 2= = .答 案 ： D.2.（ 3分 ） 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A.3x3
2、 5x3= 2xB.6x3 2x 2=3xC.（ ） 2= x6D. 3（ 2x 4） = 6x 12解 析 ： A、 3x3 5x3= 2x3， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 6x3 2x 2=3x5， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 （ ） 2= x6， 原 式 计 算 正 确 ， 故 本 选 项 正 确 ；D、 3（ 2x 4） = 6x+12， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： C.3.（ 3分 ） 2012年 我 国 国 民 生 产 总 值 约 52万 亿 元 人 民 币 ， 用 科 学 记 数
3、 法 表 示 2012 年 我 国 国民 生 产 总 值 为 （ ）A.5.2 10 12元B.52 1012元C.0.52 1014元D.5.2 1013元解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .将 52万 亿元 =52000000000000用 科 学 记 数 法 表 示 为 5.2 1013元 .答 案 ： D.4.（ 3分 ） 下 列 图 形 ： 其 中 所 有 轴 对 称 图 形 的 对 称 轴 条 数 之 和 为 （ ） A.13B.11C.10D.8解 析 ： 第 一 个 图 形 是 轴 对
4、称 图 形 ， 有 1条 对 称 轴 ；第 二 个 图 形 是 轴 对 称 图 形 ， 有 2 条 对 称 轴 ；第 三 个 图 形 是 轴 对 称 图 形 ， 有 2 条 对 称 轴 ；第 四 个 图 形 是 轴 对 称 图 形 ， 有 6 条 对 称 轴 ；则 所 有 轴 对 称 图 形 的 对 称 轴 条 数 之 和 为 11.答 案 ： B.5.（ 3分 ） 下 列 几 何 体 中 ， 主 视 图 是 矩 形 ， 俯 视 图 是 圆 的 几 何 体 是 （ ） A.B.C.D. 解 析 ： 主 视 图 、 俯 视 图 是 分 别 从 物 体 正 面 和 上 面 看 ， 所 得 到 的
5、图 形 .A、 主 视 图 为 矩 形 ， 俯 视 图 为 圆 ， 答 案 ： 项 正 确 ；B、 主 视 图 为 矩 形 ， 俯 视 图 为 矩 形 ， 答 案 ： 项 错 误 ；C、 主 视 图 为 等 腰 三 角 形 ， 俯 视 图 为 带 有 圆 心 的 圆 ， 答 案 ： 项 错 误 ；D、 主 视 图 为 矩 形 ， 俯 视 图 为 三 角 形 ， 答 案 ： 项 错 误 .答 案 ： A.6.（ 3分 ） 不 等 式 组 的 解 集 为 （ ）A. 2 x 4B.x 4 或 x 2C. 2 x 4 D. 2 x 4解 析 ： ，解 得 ：x 2，解 得 ：x 4， 不 等 式 组
6、 的 解 集 为 ： 2 x 4，答 案 ： C.7.（ 3分 ） （ 2014呼 伦 贝 尔 ） 实 验 学 校 九 年 级 一 班 十 名 同 学 定 点 投 篮 测 试 ， 每 人 投 篮 六 次 ，投 中 的 次 数 统 计 如 下 ： 5， 4， 3， 5， 5， 2， 5， 3， 4， 1， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 ， 众 数 分 别 为 （ ）A.4， 5B.5， 4C.4， 4D.5， 5解 析 ： 将 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： 1， 2， 3， 3， 4， 4， 5， 5， 5， 5，这 组 数 据 的 众 数 为 ： 5；中 位 数 为 ： 4.答
7、 案 ： A.8.（ 3分 ） 如 图 ， 五 边 形 ABCDE 中 ， AB CD， 1、 2、 3 分 别 是 BAE、 AED、 EDC的 外 角 ， 则 1+ 2+ 3等 于 （ ） A.90B.180C.210D.270解 析 ： AB CD， B+ C=180 ， 4+ 5=180 ，根 据 多 边 形 的 外 角 和 定 理 ， 1+ 2+ 3+ 4+ 5=360 ， 1+ 2+ 3=360 180 =180 . 答 案 ： B.9.（ 3分 ） 如 图 ， 点 A， B， C， 在 O 上 ， ABO=32 ， ACO=38 ， 则 BOC等 于 （ ）A.60B.70C.1
8、20D.140 解 析 ： 过 A作 O 的 直 径 ， 交 O 于 D；在 OAB中 ， OA=OB，则 BOD= OBA+ OAB=2 32 =64 ，同 理 可 得 ： COD= OCA+ OAC=2 38 =76 ，故 BOC= BOD+ COD=140 .答 案 ： D 10.（ 3分 ） 对 于 抛 物 线 y= （ x+1） 2+3， 下 列 结 论 ： 抛 物 线 的 开 口 向 下 ； 对 称 轴 为 直 线 x=1； 顶 点 坐 标 为 （ 1， 3） ； x 1 时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ，其 中 正 确 结 论 的 个 数 为 （ ）A.1B.2C.3D.
9、4 解 析 ： a= 0， 抛 物 线 的 开 口 向 下 ， 正 确 ； 对 称 轴 为 直 线 x= 1， 故 本 小 题 错 误 ； 顶 点 坐 标 为 （ 1， 3） ， 正 确 ； x 1时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， x 1时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 一 定 正 确 ；综 上 所 述 ， 结 论 正 确 的 个 数 是 共 3 个 .答 案 ： C.11.（ 3 分 ） 在 如 图 所 示 的 单 位 正 方 形 网 格 中 ， ABC经 过 平 移 后 得 到 A 1B1C1， 已 知 在 AC上一 点 P（ 2.4， 2） 平 移 后 的 对 应
10、 点 为 P1， 点 P1绕 点 O逆 时 针 旋 转 180 ， 得 到 对 应 点 P2， 则P2点 的 坐 标 为 （ ） A.（ 1.4， 1）B. （ 1.5， 2）C. （ 1.6， 1）D. （ 2.4， 1）解 析 ： A点 坐 标 为 ： （ 2， 4） ， A1（ 2， 1） ， 点 P（ 2.4， 2） 平 移 后 的 对 应 点 P1为 ： （ 1.6， 1） ， 点 P1绕 点 O 逆 时 针 旋 转 180 ， 得 到 对 应 点 P2， P 2点 的 坐 标 为 ： （ 1.6， 1） .答 案 ： C.12.（ 3分 ） 有 三 张 正 面 分 别 写 有 数
11、字 1， 1， 2 的 卡 片 ， 它 们 背 面 完 全 相 同 ， 现 将 这 三 张 卡片 背 面 朝 上 洗 匀 后 随 机 抽 取 一 张 ， 以 其 正 面 数 字 作 为 a的 值 ， 然 后 再 从 剩 余 的 两 张 卡 片 随 机抽 一 张 ， 以 其 正 面 的 数 字 作 为 b 的 值 ， 则 点 （ a， b） 在 第 二 象 限 的 概 率 为 （ ）A.B. C.D.解 析 ： 根 据 题 意 ， 画 出 树 状 图 如 下 ：一 共 有 6 种 情 况 ， 在 第 二 象 限 的 点 有 （ 1， 1） （ 1， 2） 共 2 个 ，所 以 ， P= = .
12、答 案 ： B.13.（ 3分 ） 如 图 ， 已 知 AB是 O 的 直 径 ， AD切 O 于 点 A， 点 C 是 的 中 点 ， 则 下 列 结 论不 成 立 的 是 （ ） A.OC AEB.EC=BCC. DAE= ABED.AC OE解 析 ： A、 点 C 是 的 中 点 ， OC BE， AB 为 圆 O的 直 径 ， AE BE， OC AE， 本 选 项 正 确 ；B、 = ， BC=CE， 本 选 项 正 确 ； C、 AD为 圆 O的 切 线 ， AD OA， DAE+ EAB=90 ， EBA+ EAB=90 ， DAE= EBA， 本 选 项 正 确 ； D、 A
13、C不 一 定 垂 直 于 OE， 本 选 项 错 误 ，答 案 ： D14.（ 3分 ） 化 简 分 式 的 结 果 是 （ ）A.2B.C.D. 2 解 析 ：= + = =2.答 案 ： A.15.（ 3 分 ） 某 电 子 元 件 厂 准 备 生 产 4600个 电 子 元 件 ， 甲 车 间 独 立 生 产 了 一 半 后 ， 由 于 要 尽快 投 入 市 场 ， 乙 车 间 也 加 入 该 电 子 元 件 的 生 产 ， 若 乙 车 间 每 天 生 产 的 电 子 元 件 是 甲 车 间 的1.3倍 ， 结 果 用 33 天 完 成 任 务 ， 问 甲 车 间 每 天 生 产 电 子
14、 元 件 多 少 个 ？ 在 这 个 问 题 中 设 甲 车 间 每 天 生 产 电 子 元 件 x 个 ， 根 据 题 意 可 得 方 程 为 （ ）A.B.C.D.解 析 ： 设 甲 车 间 每 天 能 加 工 x个 ， 则 乙 车 间 每 天 能 加 工 1.3x 个 ， 根 据 题 意 可 得 ：+ =33， 答 案 ： B.16.（ 3分 ） 在 同 一 坐 标 系 内 ， 一 次 函 数 y=ax+b与 二 次 函 数 y=ax2+8x+b的 图 象 可 能 是 （ ） A.B. C.D.解 析 ： x=0时 ， 两 个 函 数 的 函 数 值 y=b，所 以 ， 两 个 函 数
15、图 象 与 y轴 相 交 于 同 一 点 ， 故 B、 D 选 项 错 误 ；由 A、 C 选 项 可 知 ， 抛 物 线 开 口 方 向 向 上 ，所 以 ， a 0，所 以 ， 一 次 函 数 y=ax+b 经 过 第 一 三 象 限 ， 所 以 ， A 选 项 错 误 ， C 选 项 正 确 .答 案 ： C.17.（ 3分 ） 把 直 线 y= x+3向 上 平 移 m个 单 位 后 ， 与 直 线 y=2x+4的 交 点 在 第 一 象 限 ， 则 m的 取 值 范 围 是 （ ）A.1 m 7B.3 m 4C.m 1D.m 4解 析 ： 直 线 y= x+3向 上 平 移 m 个
16、单 位 后 可 得 ： y= x+3+m，联 立 两 直 线 解 析 式 得 ： ， 解 得 ： ，即 交 点 坐 标 为 （ ， ） ， 交 点 在 第 一 象 限 ， ，解 得 ： m 1.答 案 ： C. 18.（ 3分 ） 如 图 ， AB， CD是 O 的 两 条 互 相 垂 直 的 直 径 ， 点 O1， O2， O3， O4分 别 是 OA、 OB、OC、 OD的 中 点 ， 若 O 的 半 径 为 2， 则 阴 影 部 分 的 面 积 为 （ ）A.8B.4C.4 +4 D.4 4解 析 ： 如 图 所 示 ：可 得 正 方 形 EFMN， 边 长 为 2，正 方 形 中 两
17、部 分 阴 影 面 积 为 ： 2 2 12=4 ， 正 方 形 内 空 白 面 积 为 ： 4 2（ 4 ） =2 4， O的 半 径 为 2， O1， O2， O3， O4的 半 径 为 1， 小 圆 的 面 积 为 ： 12= ， 扇 形 COB的 面 积 为 ： = ， 扇 形 COB中 两 空 白 面 积 相 等 ， 阴 影 部 分 的 面 积 为 ： 22 2（ 2 4） =8.答 案 ： A.19.（ 3分 ） 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AB=4， BAD 的 平 分 线 与 BC的 延 长 线 交 于 点 E，与 DC 交 于 点 F， 且 点 F为
18、边 DC的 中 点 ， DG AE， 垂 足 为 G， 若 DG=1， 则 AE 的 边 长 为 （ ） A.2B.4C.4D.8解 析 ： AE为 DAB的 平 分 线 ， DAE= BAE， DC AB， BAE= DFA， DAE= DFA， AD=FD，又 F 为 DC 的 中 点 ， DF=CF， AD=DF= DC= AB=2，在 Rt ADG中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ： AG= ，则 AF=2AG=2 ， 平 行 四 边 形 ABCD， AD BC， DAF= E， ADF= ECF，在 ADF和 ECF中 ， ADF ECF（ AAS） ， AF=EF， 则 AE=2
19、AF=4 .答 案 ： B20.（ 3分 ） 观 察 下 列 等 式 ： 31=3， 32=9， 33=27， 34=81， 35=243， 36=729， 37=2187答 案 ： 下 列 问 题 ： 3+32+33+34 +32013的 末 位 数 字 是 （ ）A.0B.1C.3D.7解 析 ： 31=3， 32=9， 33=27， 34=81， 35=243， 36=729， 37=2187 末 尾 数 ， 每 4个 一 循 环 ， 2013 4=503 1， 3+3 2+33+34 +32013的 末 位 数 字 相 当 于 ： 3+7+9+1+ +3 的 末 尾 数 为 3，答 案
20、 ： C.二 、 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 满 分 12 分 ， 只 要 求 填 写 最 后 结 果 ， 每 小 题 填 对 得 3 分 ）21.（ 3分 ） 分 解 因 式 ： m3 4m= .解 析 ： 当 一 个 多 项 式 有 公 因 式 ， 将 其 分 解 因 式 时 应 先 提 取 公 因 式 ， 再 对 余 下 的 多 项 式 利 用平 方 差 公 式 继 续 分 解 .答 案 ： m（ m 2） （ m+2） .22.（ 3分 ） 化 简 ： （ ） | 3|= .解 析 ： （ ） | 3|= 3 2 （ 3 ） ， = 6.答 案 ： 6.23.（ 3分 ） 如
21、图 ， 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， AB的 垂 直 平 分 线 DE交 AC于 E， 交 BC 的 延长 线 于 F， 若 F=30 ， DE=1， 则 BE 的 长 是 . 解 析 ： ACB=90 ， FD AB， ACB= FDB=90 ， F=30 ， A= F=30 （ 同 角 的 余 角 相 等 ） .又 AB的 垂 直 平 分 线 DE交 AC于 E， EBA= A=30 ， 直 角 DBE中 ， BE=2DE=2.答 案 ： 2. 24.（ 3分 ） 如 图 ， 某 海 监 船 向 正 西 方 向 航 行 ， 在 A 处 望 见 一 艘 正 在 作 业 渔 船 D
22、 在 南 偏 西 45方 向 ， 海 监 船 航 行 到 B 处 时 望 见 渔 船 D在 南 偏 东 45 方 向 ， 又 航 行 了 半 小 时 到 达 C 处 ， 望见 渔 船 D 在 南 偏 东 60 方 向 ， 若 海 监 船 的 速 度 为 50海 里 /小 时 ， 则 A， B 之 间 的 距 离 为 海里 （ 取 ， 结 果 精 确 到 0.1海 里 ） . 解 析 ： DBA= DAB=45 ， DAB是 等 腰 直 角 三 角 形 ，过 点 D作 DE AB于 点 E， 则 DE= AB， 设 DE=x， 则 AB=2x，在 Rt CDE中 ， DCE=30 ，则 CE=
23、DE= x，在 Rt BDE中 ， DAE=45 ，则 DE=BE=x，由 题 意 得 ， CB=CE BE= x x=25，解 得 ： x= ，故 AB=25（ +1） =67.5（ 海 里 ） .答 案 ： 67.5.三 、 答 案 ： 题 （ 本 题 共 5 小 题 ， 满 分 48分 ， 答 案 ： 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 推演 步 骤 ） 25.（ 6 分 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD为 正 方 形 .点 A的 坐 标 为 （ 0， 2） ， 点 B的 坐 标 为 （ 0， 3） ，反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 C，
24、 一 次 函 数 y=ax+b 的 图 象 经 过 点 A、 C，（ 1） 求 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 解 析 式 ； （ 2） 求 点 P 是 反 比 例 函 数 图 象 上 的 一 点 ， OAP的 面 积 恰 好 等 于 正 方 形 ABCD的 面 积 ， 求 P点 的 坐 标 .解 析 ： （ 1） 先 根 据 正 方 形 的 性 质 求 出 点 C的 坐 标 为 （ 5， 3） ， 再 将 C 点 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 y= 中 ， 运 用 待 定 系 数 法 求 出 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ； 同 理 ， 将 点 A， C的 坐 标 代
25、 入 一 次函 数 y=ax+b中 ， 运 用 待 定 系 数 法 求 出 一 次 函 数 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 设 P点 的 坐 标 为 （ x， y） ， 先 由 OAP的 面 积 恰 好 等 于 正 方 形 ABCD的 面 积 ， 列 出 关 于 x的 方 程 ， 解 方 程 求 出 x 的 值 ， 再 将 x 的 值 代 入 y= ， 即 可 求 出 P 点 的 坐 标 .答 案 ： （ 1） 点 A 的 坐 标 为 （ 0， 2） ， 点 B 的 坐 标 为 （ 0， 3） ， AB=5， 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， 点 C的 坐 标 为 （ 5， 3）
26、. 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 C， 3= ， 解 得 k= 15， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= ； 一 次 函 数 y=ax+b 的 图 象 经 过 点 A， C， ，解 得 ， 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y= x+2；（ 2） 设 P 点 的 坐 标 为 （ x， y） . OAP的 面 积 恰 好 等 于 正 方 形 ABCD的 面 积 ， OA|x|=5 2， 2|x|=25，解 得 x= 25. 当 x=25时 ， y= = ；当 x= 25 时 ， y= = . P 点 的 坐 标 为 （ 25， ） 或 （ 25， ） . 26.
27、（ 11分 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ， AC平 分 DAB， ADC= ACB=90 ， E为 AB的 中 点 ，（ 1） 求 证 ： AC2=ABAD；（ 2） 求 证 ： CE AD；（ 3） 若 AD=4， AB=6， 求 的 值 . 解 析 ： （ 1） 由 AC平 分 DAB， ADC= ACB=90 ， 可 证 得 ADC ACB， 然 后 由 相 似 三角 形 的 对 应 边 成 比 例 ， 证 得 AC2=ABAD；（ 2） 由 E 为 AB的 中 点 ， 根 据 在 直 角 三 角 形 中 ， 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 ， 即 可 证
28、 得CE= AB=AE， 继 而 可 证 得 DAC= ECA， 得 到 CE AD；（ 3） 易 证 得 AFD CFE， 然 后 由 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 ， 求 得 的 值 .答 案 ： （ 1） AC平 分 DAB， DAC= CAB， ADC= ACB=90 ， ADC ACB， AD： AC=AC： AB， AC 2=ABAD； （ 2） E 为 AB的 中 点 ， CE= AB=AE， EAC= ECA， DAC= CAB， DAC= ECA， CE AD；（ 3） 解 ： CE AD， AFD CFE， AD： CE=AF： CF， CE= AB， C
29、E= 6=3， AD=4， ， .27.（ 8 分 ） 某 商 店 购 进 600个 旅 游 纪 念 品 ， 进 价 为 每 个 6 元 ， 第 一 周 以 每 个 10元 的 价 格 售出 200个 ， 第 二 周 若 按 每 个 10元 的 价 格 销 售 仍 可 售 出 200个 ， 但 商 店 为 了 适 当 增 加 销 量 ，决 定 降 价 销 售 （ 根 据 市 场 调 查 ， 单 价 每 降 低 1 元 ， 可 多 售 出 50个 ， 但 售 价 不 得 低 于 进 价 ） ，单 价 降 低 x元 销 售 ， 销 售 一 周 后 ， 商 店 对 剩 余 旅 游 纪 念 品 清 仓
30、 处 理 ， 以 每 个 4 元 的 价 格 全 部售 出 ， 如 果 这 批 旅 游 纪 念 品 共 获 利 1250元 ， 问 第 二 周 每 个 旅 游 纪 念 品 的 销 售 价 格 为 多 少 元 ？ 解 析 ： 根 据 纪 念 品 的 进 价 和 售 价 以 及 销 量 分 别 表 示 出 两 周 的 总 利 润 ， 进 而 得 出 等 式 求 出 即可 .答 案 ： 由 题 意 得 出 ： 200 （ 10 6） +（ 10 x 6） （ 200+50 x） +（ 4 6） （ 600 200） （ 200+50 x） =1250，即 800+（ 4 x） （ 200+50 x）
31、 2（ 200 50 x） =1250，整 理 得 ： x2 2x+1=0，解 得 ： x1=x2=1， 10 1=9.答 ： 第 二 周 的 销 售 价 格 为 9 元 .28.（ 11分 ） 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AD， CB=CD， E 是 CD 上 一 点 ， BE交 AC 于 F， 连 接DF.（ 1） 证 明 ： BAC= DAC， AFD= CFE. （ 2） 若 AB CD， 试 证 明 四 边 形 ABCD是 菱 形 ；（ 3） 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 试 确 定 E点 的 位 置 ， 使 得 EFD= BCD， 并 说 明 理 由 .
32、 解 析 ： （ 1） 首 先 利 用 SSS定 理 证 明 ABC ADC可 得 BAC= DAC， 再 证 明 ABF ADF，可 得 AFD= AFB， 进 而 得 到 AFD= CFE；（ 2） 首 先 证 明 CAD= ACD， 再 根 据 等 角 对 等 边 可 得 AD=CD， 再 有 条 件 AB=AD， CB=CD可 得AB=CB=CD=AD， 可 得 四 边 形 ABCD是 菱 形 ；（ 3） 首 先 证 明 BCF DCF 可 得 CBF= CDF， 再 根 据 BE CD可 得 BEC= DEF=90 ， 进而 得 到 EFD= BCD.答 案 ： （ 1） 在 ABC
33、和 ADC 中 ， ABC ADC（ SSS） ， BAC= DAC，在 ABF和 ADF中 ， ， ABF ADF（ SAS） ， AFD= AFB， AFB= CFE， AFD= CFE；（ 2） AB CD， BAC= ACD，又 BAC= DAC， CAD= ACD， AD=CD， AB=AD， CB=CD， AB=CB=CD=AD， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ；（ 3） 当 EB CD时 ， 即 E为 过 B 且 和 CD垂 直 时 垂 线 的 垂 足 ， EFD= BCD，理 由 ： 四 边 形 ABCD为 菱 形 ， BC=CD， BCF= DCF，在 BCF和 DCF中
34、 ， BCF DCF（ SAS） ， CBF= CDF， BE CD， BEC= DEF=90 ， EFD= BCD. 29.（ 12分 ） 如 图 ， 抛 物 线 y= x2+bx+c 与 y 轴 交 于 点 C（ 0， 4） ， 与 x轴 交 于 点 A， B， 且B点 的 坐 标 为 （ 2， 0） .（ 1） 求 该 抛 物 线 的 解 析 式 .（ 2） 若 点 P 是 AB 上 的 一 动 点 ， 过 点 P作 PE AC， 交 BC于 E， 连 接 CP， 求 PCE面 积 的 最大 值 .（ 3） 若 点 D 为 OA的 中 点 ， 点 M 是 线 段 AC 上 一 点 ， 且
35、 OMD 为 等 腰 三 角 形 ， 求 M 点 的 坐 标 . 解 析 ： （ 1） 利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2） 首 先 求 出 PCE面 积 的 表 达 式 ， 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 其 最 大 值 ；（ 3） OMD为 等 腰 三 角 形 ， 可 能 有 三 种 情 形 ， 需 要 分 类 讨 论 .答 案 ： （ 1） 把 点 C（ 0， 4） ， B（ 2， 0） 分 别 代 入 y= x2+bx+c 中 ，得 ，解 得 该 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= x 2+x 4. （ 2） 令 y=0， 即
36、 x2+x 4=0， 解 得 x1= 4， x2=2， A（ 4， 0） ， S ABC= ABOC=12.设 P 点 坐 标 为 （ x， 0） ， 则 PB=2 x. PE AC， BPE= BAC， BEP= BCA， PBE BAC， ， 即 ，化 简 得 ： S PBE= （ 2 x） 2.S PCE=S PCB S PBE= PBOC S PBE= （ 2 x） 4 （ 2 x） 2= x2 x+= （ x+1） 2+3 当 x= 1时 ， S PCE的 最 大 值 为 3.（ 3） OMD为 等 腰 三 角 形 ， 可 能 有 三 种 情 形 ：（ I） 当 DM=DO 时 ，
37、如 答 图 所 示 .DO=DM=DA=2， OAC= AMD=45 ， ADM=90 ， M 点 的 坐 标 为 （ 2， 2） ；（ II） 当 MD=MO时 ， 如 答 图 所 示 .过 点 M作 MN OD于 点 N， 则 点 N 为 OD的 中 点 ， DN=ON=1， AN=AD+DN=3，又 AMN为 等 腰 直 角 三 角 形 ， MN=AN=3， M 点 的 坐 标 为 （ 1， 3） ； （ III） 当 OD=OM 时 ， OAC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 点 O到 AC的 距 离 为 4= ， 即 AC 上 的 点 与 点 O 之 间 的 最 小 距 离 为 . 2， OD=OM 的 情 况 不 存 在 .综 上 所 述 ， 点 M的 坐 标 为 （ 2， 2） 或 （ 1， 3） .
