1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (陕 西 卷 )数 学 文一 、 选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 (本 大 题 共 10 小 题 ， 每小 题 5 分 ， 共 50 分 )1.(5分 )设 全 集 为 R， 函 数 f(x)= 的 定 义 域 为 M， 则 RC M 为 ( )A.(- ， 1)B.(1， + )C.(- ， 1D.1， + )解 析 ： 由 1-x 0， 得 x 1， 即 M=(- ， 1，又 全 集 为 R， 所 以 RC M =(1， + ). 答 案 ： B.
2、2.(5分 )已 知 向 量 =(1， m)， =(m， 2)， 若 ， 则 实 数 m 等 于 ( )A.-B.C.- 或D.0解 析 ： =(1， m)， =(m， 2)， 且 ， 所 以 1 2=m m， 解 得 m= 或 m= .答 案 ： C.3.(5分 )设 a， b， c均 为 不 等 于 1的 正 实 数 ， 则 下 列 等 式 中 恒 成 立 的 是 ( ) A.logab logcb=logcaB.logab logca=logcbC.logabc=logab logacD.loga(b+c)=logab+logac解 析 ： 对 于 A， logab logcb=logc
3、a ， 与 换 底 公 式 矛 盾 ， 所 以 A 不 正 确 ；对 于 B， log ab logaa=logab， ， 符 合 换 底 公 式 ， 所 以 正 确 ；对 于 C， logabc=logab logac， 不 满 足 对 数 运 算 公 式 loga(xy)=logax+logay(x、 y 0)， 所 以不 正 确 ；对 于 D， loga(b+c)=logab+logac， 不 满 足 loga(xy)=logax+logay(x、 y 0)， 所 以 不 正 确 ；答 案 ： B.4.(5分 )根 据 下 列 算 法 语 句 ， 当 输 入 x为 60时 ， 输 出 y
4、 的 值 为 ( ) A.25B.30C.31D.61解 析 ： 分 析 程 序 中 各 变 量 、 各 语 句 的 作 用 ，再 根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序 ， 可 知 ：该 程 序 的 作 用 是 计 算 并 输 出 分 段 函 数 y= 的 函 数 值 .当 x=60时 ， 则 y=25+0.6(60-50)=31，答 案 ： C.5.(5分 )对 一 批 产 品 的 长 度 (单 位 ： mm)进 行 抽 样 检 测 ， 下 图 为 检 测 结 果 的 频 率 分 布 直 方 图 . 根 据 标 准 ， 产 品 长 度 在 区 间 20， 25)上 的 为 一 等 品 ，
5、在 区 间 15， 20)和 区 间 25， 30)上 的 为二 等 品 ， 在 区 间 10， 15)和 30， 35)上 的 为 三 等 品 .用 频 率 估 计 概 率 ， 现 从 该 批 产 品 中 随 机抽 取 一 件 ， 则 其 为 二 等 品 的 概 率 为 ( ) A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45解 析 ： 设 长 度 在 25， 30)内 的 频 率 为 a，根 据 频 率 分 布 直 方 图 得 ： a+5 0.02+5 0.06+5 0.03=1a=0.45.则 根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 从 该 批 产 品 中 随 机 抽 取 一 件 ，
6、 则 其 为 二 等 品 的 概 率 为 0.45.答 案 ： D.6.(5分 )设 z 是 复 数 ， 则 下 列 命 题 中 的 假 命 题 是 ( ) A.若 z2 0， 则 z 是 实 数B.若 z2 0， 则 z 是 虚 数C.若 z 是 虚 数 ， 则 z2 0D.若 z 是 纯 虚 数 ， 则 z2 0解 析 ： 设 z=a+bi， a， b R， z2=a2-b2+2abi，对 于 A， z2 0， 则 b=0， 所 以 z 是 实 数 ， 真 命 题 ；对 于 B， z2 0， 则 a=0， 且 b 0， z 是 虚 数 ； 所 以 B为 真 命 题 ；对 于 C， z 是
7、虚 数 ， 则 b 0， 所 以 z 2 0 是 假 命 题 .对 于 D， z 是 纯 虚 数 ， 则 a=0， b 0， 所 以 z2 0是 真 命 题 ；答 案 ： C.7.(5分 )若 点 (x， y)位 于 曲 线 y=|x|与 y=2 所 围 成 的 封 闭 区 域 ， 则 2x-y的 最 小 值 为 ( )A.-6B.-2C.0D.2解 析 ： 画 出 可 行 域 ， 如 图 所 示解 得 A(-2， 2)， 设 z=2x-y，把 z=2x-y 变 形 为 y=2x-z， 则 直 线 经 过 点 A时 z取 得 最 小 值 ； 所 以 z min=2 (-2)-2=-6，答 案
8、： A. 8.(5分 )已 知 点 M(a， b)在 圆 O： x2+y2=1外 ， 则 直 线 ax+by=1 与 圆 O 的 位 置 关 系 是 ( )A.相 切B.相 交C.相 离D.不 确 定解 析 ： M(a， b)在 圆 x2+y2=1外 ， a2+b2 1， 圆 O(0， 0)到 直 线 ax+by=1的 距 离 d= 1=r，则 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 是 相 交 .答 案 ： B 9.(5分 )设 ABC的 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 若 bcosC+ccosB=asinA， 则 ABC的 形 状 为 ( )A.直 角 三
9、 角 形B.锐 角 三 角 形C.钝 角 三 角 形D.不 确 定解 析 ： 因 为 bcosC+ccosB=asinA， 由 正 弦 定 理 可 得 ： sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，所 以 sin(B+C)=sin 2A， 即 sinA=sin2A， A 为 三 角 形 内 角 ， 所 以 sinA=1， A= .三 角 形 是 直 角 三 角 形 .答 案 ： A.10.(5分 )设 x表 示 不 大 于 x的 最 大 整 数 ， 则 对 任 意 实 数 x， y， 有 ( )A.-x=-xB.x+ =xC.2x=2xD.x+x+ =2x解 析 ： 对 A， 设
10、x=-1.8， 则 -x=1， -x=2， 所 以 A选 项 为 假 . 对 B， 设 x=1.8， 则 x+ =2， x=1， 所 以 B 选 项 为 假 .对 C， x=-1.4， 则 2x=-2.8=-3， 2x=-4， 所 以 C选 项 为 假 .故 D 选 项 为 真 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 ： 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 题 号 后 的 横 线 上 (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共25分 )11.(5分 )双 曲 线 的 离 心 率 为 _.解 析 ： 通 过 双 曲 线 方 程 求 出 a， b， c 的 值 然 后 求
11、出 离 心 率 即 可 . 答 案 ： 因 为 双 曲 线 ， 所 以 a=4， b=3， 所 以 c= ，所 以 双 曲 线 的 离 心 率 为 ： e= .故 答 案 为 ： .12.(5分 )某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 其 表 面 积 为 _. 解 析 ： 综 合 三 视 图 可 知 ， 几 何 体 是 一 个 半 径 r=1的 半 个 球 体 .表 面 积 是 底 面 积 与 半 球 面 积 的和 ， 其 表 面 积 = .答 案 ： 3 .13.(5分 )观 察 下 列 等 式 ：(1+1)=2 1(2+1)(2+2)=2 2 1 3(3+1)(3+2)(
12、3+3)=23 1 3 5照 此 规 律 ， 第 n个 等 式 可 为 _.解 析 ： 通 过 观 察 给 出 的 前 三 个 等 式 的 项 数 ， 开 始 值 和 结 束 值 ， 即 可 归 纳 得 到 第 n 个 等 式 .答 案 ： 题 目 中 给 出 的 前 三 个 等 式 的 特 点 是 第 一 个 等 式 的 左 边 仅 含 一 项 ， 第 二 个 等 式 的 左 边 含有 两 项 相 乘 ， 第 三 个 等 式 的 左 边 含 有 三 项 相 乘 ， 由 此 归 纳 第 n个 等 式 的 左 边 含 有 n 项 相 乘 ，由 括 号 内 数 的 特 点 归 纳 第 n 个 等
13、式 的 左 边 应 为 ：(n+1)(n+2)(n+3) (n+n)，每 个 等 式 的 右 边 都 是 2 的 几 次 幂 乘 以 从 1 开 始 几 个 相 邻 奇 数 乘 积 的 形 式 ， 且 2 的 指 数 与 奇 数的 个 数 等 于 左 边 的 括 号 数 ，由 此 可 知 第 n 个 等 式 的 右 边 为 2 n 1 3 5 (2n-1).所 以 第 n 个 等 式 可 为 (n+1)(n+2)(n+3) (n+n)=2n 1 3 5 (2n-1).故 答 案 为 (n+1)(n+2)(n+3) (n+n)=2n 1 3 5 (2n-1).14.(5分 )在 如 图 所 示
14、的 锐 角 三 角 形 空 地 中 ， 欲 建 一 个 面 积 最 大 的 内 接 矩 形 花 园 (阴 影 部 分 )，则 其 边 长 x为 _(m). 解 析 ： 设 矩 形 高 为 y， 由 三 角 形 相 似 得 ： = ， 且 x 0， y 0， x 40， y 40，40=x+y 2 ， 仅 当 x=y=20m时 ， 矩 形 的 面 积 s=xy取 最 大 值 400m2. 答 案 ： 20.选 做 题 ： (考 生 请 注 意 ： 请 在 下 列 三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 )15.(5分 )(不 等 式 选
15、 做 题 )设 a， b R， |a-b| 2， 则 关 于 实 数 x的 不 等 式 |x-a|+|x-b| 2 的 解 集 是 _.解 析 ： 函 数 f(x)=|x-a|+|x-b|的 值 域 为 (|a-b|， + )，因 此 ， 当 x R 时 ， f(x) |a-b| 2，所 以 不 等 式 |x-a|+|x-b| 2 的 解 集 是 R.答 案 ： R.16.(几 何 证 明 选 做 题 )如 图 ， AB 与 CD相 交 于 点 E， 过 E 作 BC的 平 行 线 与 AD的 延 长 线 相 交 于 点 P.已 知 A= C， PD=2DA=2， 则 PE=_.解 析 ： 利
16、 用 已 知 条 件 判 断 EPD APE， 列 出 比 例 关 系 ， 即 可 求 解 PE的 值 .答 案 ： 因 为 BC PE， BCD= PED，且 在 圆 中 BCD= BAD PED= BAD， EPD APE， PD=2DA=2PE 2=PA PD=3 2=6， PE= .故 答 案 为 ： .17.(坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 )圆 锥 曲 线 (t为 参 数 )的 焦 点 坐 标 是 _.解 析 ： 由 方 程 (t 为 参 数 )得 y 2=4x， 它 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 抛 物 线 ， 其 焦 点 坐 标 为 (1，0).答 案 ： (
17、1， 0).三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 及 演 算 步 骤 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 )18.(12分 )已 知 向 量 =(cosx， - )， =( sinx， cos2x)， x R， 设 函 数 f(x)= .( ) 求 f(x)的 最 小 正 周 期 .( ) 求 f(x)在 0， 上 的 最 大 值 和 最 小 值 . 解 析 ： ( )通 过 向 量 的 数 量 积 以 及 二 倍 角 的 正 弦 函 数 两 角 和 的 正 弦 函 数 ， 化 简 函 数 为 一 个 角的 一 个 三 角 函 数 的 形 式
18、 ， 通 过 周 期 公 式 ， 求 f (x)的 最 小 正 周 期 .( ) 通 过 x 在 0， ， 求 出 f(x)的 相 位 的 范 围 ， 利 用 正 弦 函 数 的 最 值 求 解 所 求 函 数 的 最大 值 和 最 小 值 .答 案 ： ( )函 数 f(x)= =(cosx， - ) ( sinx， cos2x)= sinxcosx=sin(2x- )最 小 正 周 期 为 ： T= = . ( )当 x 0， 时 ， 2x- ，由 正 弦 函 数 y=sinx 在 的 性 质 可 知 ， sinx ， sin(2x- ) ， f(x) - ， 1，所 以 函 数 f (x
19、)在 0， 上 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 ： 1， - .19.(12分 )设 S n表 示 数 列 an的 前 n 项 和 .( ) 若 an为 等 差 数 列 ， 推 导 Sn的 计 算 公 式 ；( ) 若 a1=1， q 0， 且 对 所 有 正 整 数 n， 有 Sn= .判 断 an是 否 为 等 比 数 列 ， 并 证 明你 的 结 论 .解 析 ： (I)设 等 差 数 列 的 公 差 为 d， 则 an=a1+(n-1)d， 可 得 a1+an=a2+an-1= ， 利 用 “ 倒 序 相 加 ”即 可 得 出 ；(II)利 用 a n+1=Sn+1-Sn即
20、 可 得 出 an+1， 进 而 得 到 an， 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 即 可 证 明 其 为 等比 数 列 .答 案 ： ( )设 等 差 数 列 的 公 差 为 d， 则 an=a1+(n-1)d， 可 得 a1+an=a2+an-1= ，由 Sn=a1+a2+ +an，Sn=an+an-1+ +a1.两 等 式 相 加 可 得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+ +(an+a1)， .(II) a 1=1， q 0， 且 对 所 有 正 整 数 n， 有 Sn= . an+1=Sn+1-Sn= =qn. ， 可 得 (n N*)， 数 列 an是 以 a1
21、=1 为 首 项 ， q 1 为 公 比 的 等 比 数 列 .20.(12分 )如 图 ， 四 棱 柱 ABCD-A 1B1C1D1的 底 面 ABCD是 正 方 形 ， O 为 底 面 中 心 ， A1O 平 面 ABCD，AB=AA1= .( ) 证 明 ： 平 面 A1BD 平 面 CD1B1；( ) 求 三 棱 柱 ABD-A1B1D1的 体 积 .解 析 ： ( )由 四 棱 柱 的 性 质 可 得 四 边 形 BB 1D1D 为 平 行 四 边 形 ， 故 有 BD 和 B1D1平 行 且 相 等 ，可 得 BD 平 面 CB1D1.同 理 可 证 ， A1B 平 面 CB1D1
22、.而 BD和 A1B是 平 面 A1BD内 的 两 条 相 交 直 线 ，利 用 两 个 平 面 平 行 的 判 定 定 理 可 得 平 面 A1BD 平 面 CD1B1 .( ) 由 题 意 可 得 A1O 为 三 棱 柱 ABD-A1B1D1的 高 ， 由 勾 股 定 理 可 得 A1O= 的 值 ，再 根 据 三 棱 柱 ABD-A1B1D1的 体 积 V=S ABD A1O， 运 算 求 得 结 果 .答 案 ： ( ) 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1的 底 面 ABCD是 正 方 形 ， O 为 底 面 中 心 ， A1O 平 面 ABCD，AB=AA 1= ，由 棱 柱 的
23、 性 质 可 得 BB1 和 DD1平 行 且 相 等 ， 故 四 边 形 BB1D1D 为 平 行 四 边 形 ， 故 有 BD 和 B1D1平 行 且 相 等 .而 BD 不 在 平 面 CB1D1内 ， 而 B1D1在 平 面 CB1D1内 ， BD 平 面 CB1D1.同 理 可 证 ， A1BCD1为 平 行 四 边 形 ， A1B 平 面 CB1D1.而 BD 和 A1B是 平 面 A1BD 内 的 两 条 相 交 直 线 ， 故 有 平 面 A1BD 平 面 CD1B1 .( ) 由 题 意 可 得 A1O为 三 棱 柱 ABD-A1B1D1的 高 .三 角 形 A1AO 中 ，
24、 由 勾 股 定 理 可 得A 1O= = =1， 三 棱 柱 ABD-A1B1D1的 体 积 V=S ABD A1O= A1O= 1=1.21.(12分 )有 7位 歌 手 (1至 7号 )参 加 一 场 歌 唱 比 赛 ， 由 500 名 大 众 评 委 现 场 投 票 决 定 歌 手名 次 ， 根 据 年 龄 将 大 众 评 委 分 为 5组 ， 各 组 的 人 数 如 下 ：( ) 为 了 调 查 评 委 对 7 位 歌 手 的 支 持 状 况 ， 现 用 分 层 抽 样 方 法 从 各 组 中 抽 取 若 干 评 委 ， 其中 从 B组 中 抽 取 了 6人 .请 将 其 余 各 组
25、 抽 取 的 人 数 填 入 下 表 . ( ) 在 ( )中 ， 若 A， B 两 组 被 抽 到 的 评 委 中 各 有 2 人 支 持 1 号 歌 手 ， 现 从 这 两 组 被 抽 到 的评 委 中 分 别 任 选 1 人 ， 求 这 2人 都 支 持 1 号 歌 手 的 概 率 .解 析 ： ( )利 用 分 层 抽 样 中 每 层 所 抽 取 的 比 例 数 相 等 直 接 计 算 各 层 所 抽 取 的 人 数 ；( )利 用 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 求 出 A， B 两 组 被 抽 到 的 评 委 支 持 1 号 歌 手 的 概 率 ， 因 两 组评 委 是 否
26、 支 持 1 号 歌 手 相 互 独 立 ， 由 相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 公 式 计 算 从 这 两 组 被 抽 到的 评 委 中 分 别 任 选 1 人 ， 2人 都 支 持 1号 歌 手 的 概 率 .答 案 ： ( )按 相 同 的 比 例 从 不 同 的 组 中 抽 取 人 数 .从 B 组 100人 中 抽 取 6 人 ， 即 从 50人 中 抽 取 3 人 ， 从 150人 中 抽 取 6 人 ， 填 表 如 下 ：( )A组 抽 取 的 3 人 中 有 2 人 支 持 1 好 歌 手 ， 则 从 3 人 中 任 选 1人 ， 支 持 1 号 歌 手 的
27、 概 率 为 .B组 抽 取 的 6 人 中 有 2 人 支 持 1 号 歌 手 ， 则 从 6人 中 任 选 1 人 ， 支 持 1号 歌 手 的 概 率 为 .现 从 这 两 组 被 抽 到 的 评 委 中 分 别 任 选 1 人 ， 则 2 人 都 支 持 1 号 歌 手 的 概 率 p= .22.(13分 )已 知 动 点 M(x， y)到 直 线 l： x=4的 距 离 是 它 到 点 N(1， 0)的 距 离 的 2倍 .( ) 求 动 点 M 的 轨 迹 C 的 方 程 ；( ) 过 点 P(0， 3)的 直 线 m 与 轨 迹 C 交 于 A， B两 点 .若 A是 PB的 中
28、 点 ， 求 直 线 m 的 斜 率 .解 析 ： ( )直 接 由 题 目 给 出 的 条 件 列 式 化 简 即 可 得 到 动 点 M 的 轨 迹 C 的 方 程 ；( )经 分 析 当 直 线 m 的 斜 率 不 存 在 时 ， 不 满 足 A 是 PB 的 中 点 ， 然 后 设 出 直 线 m 的 斜 截 式 方程 ， 和 椭 圆 方 程 联 立 后 整 理 ， 利 用 根 与 系 数 关 系 写 出 x 1+x2， x1x2， 结 合 2x1=x2得 到 关 于 k 的方 程 ， 则 直 线 m 的 斜 率 可 求 .答 案 ： ( )点 M(x， y)到 直 线 x=4的 距
29、离 是 它 到 点 N(1， 0)的 距 离 的 2 倍 ， 则|x-4|=2 ， 即 (x-4)2=4(x-1)2+y2，整 理 得 .所 以 ， 动 点 M 的 轨 迹 是 椭 圆 ， 方 程 为 ；( )P(0， 3)， 设 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 由 A 是 PB 的 中 点 ， 得 2x1=0+x2， 2y1=3+y2.椭 圆 的 上 下 顶 点 坐 标 分 别 是 和 ， 经 检 验 直 线 m 不 经 过 这 两 点 ，即 直 线 m 的 斜 率 k 存 在 .设 直 线 m 的 方 程 为 ： y=kx+3. 联 立 ，整 理 得 ： (3+4k2)x2+
30、24kx+24=0. .因 为 2x 1=x2.则 ， 得 ，所 以 .即 ， 解 得 . 所 以 ， 直 线 m 的 斜 率 .23.(14分 )已 知 函 数 f(x)=ex， x R.( ) 求 f(x)的 反 函 数 的 图 象 上 的 点 (1， 0)处 的 切 线 方 程 ；( ) 证 明 ： 曲 线 y=f(x)与 曲 线 y= 有 唯 一 公 共 点 .( ) 设 a b， 比 较 f( )与 的 大 小 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (I)先 求 出 其 反 函 数 ， 利 用 导 数 得 出 切 线 的 斜 率 即 可 ；(II)令 h(x)=f(x)- = ， 利
31、 用 导 数 研 究 函 数 h(x)的 单 调 性即 可 得 出 ； (III)设 b-a=t 0， 通 过 作 差 -f( )= ， 构 造 函数 g(t)= (t 0)， 可 得 g (t)= = (t 0).令 h(x)=ex-x-1(x 0)， 利 用 导 数 研 究 其 单 调 性 即 可 .答 案 ： (I)函 数 f(x)=ex的 反 函 数 为 g(x)=lnx， ， g (1)=1， f(x)的 反 函 数 的 图 象 上 的 点 (1， 0)处 的 切 线 方 程 为 y-0=1 (x-1)， 即 y=x-1； ( )令 h(x)=f(x)- = ，则 h (x)=ex-
32、x-1，h (x)=ex-1，当 x 0 时 ， h (x) 0， h (x)单 调 递 增 ； 当 x 0 时 ， h (x) 0， h (x)单 调 递 减 ，故 h (x)在 x=0取 得 极 小 值 ， 即 最 小 值 ， h (x) h (0)=0， 函 数 y=h(x)在 R 上 单 调 递 增 ， 最 多 有 一 个 零 点 ，而 x=0时 ， 满 足 h(0)=0， 是 h(x)的 一 个 零 点 .所 以 曲 线 y=f(x) 与 曲 线 y= 有 唯 一 公 共 点 (0， 1).( ) 设 b-a=t 0， 则 -f( )= = =ea= ，令 g(t)= (t 0)，则 g (t)= = (t 0).令 h(x)=ex-x-1(x 0)，则 h (x)=ex-1 0， 函 数 h(x)在 (0， + )单 调 递 增 ， h(x) h(0)=0，因 此 g (t) 0， 函 数 g(t)在 t 0 时 单 调 递 增 ， g(t) g(0)=0. f( ).
