1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 重 庆 卷 ） 数 学 文一 .选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 备 选 项 中 ， 只有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )已 知 全 集 U=1， 2， 3， 4， 集 合 A=1， 2， B=2， 3， 则 CU(A B)=( )A.1， 3， 4B.3， 4C.3D.4解 析 ： A=1， 2， B=2， 3， A B=1， 2， 3， 全 集 U=1， 2， 3， 4， C U(A B)=4.答
2、 案 ： D2.(5分 )命 题 “ 对 任 意 x R， 都 有 x2 0” 的 否 定 为 ( )A.存 在 x0 R， 使 得 x02 0B.对 任 意 x R， 使 得 x2 0C.存 在 x 0 R， 都 有D.不 存 在 x R， 使 得 x2 0解 析 ： 根 据 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 得 ：命 题 “ 对 任 意 x R， 都 有 x2 0” 的 否 定 为 “ x0 R， 使 得 ” .答 案 ： A.3.(5分 )函 数 的 定 义 域 为 ( )A.(- ， 2)B.(2， + ) C.(2， 3) (3， + )D.(2， 4) (4， +
3、 )解 析 ： 要 使 原 函 数 有 意 义 ， 则 ， 解 得 ： 2 x 3， 或 x 3，所 以 原 函 数 的 定 义 域 为 (2， 3) (3， + ).答 案 ： C.4.(5分 )设 P 是 圆 (x-3) 2+(y+1)2=4上 的 动 点 ， Q是 直 线 x=-3上 的 动 点 ， 则 |PQ|的 最 小 值 为( )A.6B.4C.3 D.2解 析 ： 过 圆 心 A作 AQ 直 线 x=-3， 与 圆 交 于 点 P， 此 时 |PQ|最 小 ，由 圆 的 方 程 得 到 A(3， -1)， 半 径 r=2， 则 |PQ|=|AQ|-r=6-2=4.答 案 ： B
4、5.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 的 k的 值 是 ( ) A.3B.4C.5D.6解 析 ： s=1+(1-1)2=1， 不 满 足 判 断 框 中 的 条 件 ， k=2，s=1+(2-1)2=2， 不 满 足 判 断 框 中 的 条 件 ， k=3，s=2+(3-1)2=6， 不 满 足 判 断 框 中 的 条 件 ， k=4，s=6+(4-1) 2=15， 不 满 足 判 断 框 中 的 条 件 ， k=5，s=15+(5-1)2=31， 满 足 判 断 框 中 的 条 件 ， 退 出 循 环 ， 输 出 的 结 果 为 k=5答 案 ： C6.
5、(5分 )如 图 是 某 公 司 10个 销 售 店 某 月 销 售 某 产 品 数 量 (单 位 ： 台 )的 茎 叶 图 ， 则 数 据 落 在区 间 22， 30)内 的 概 率 为 ( ) A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6解 析 ： 由 茎 叶 图 10 个 原 始 数 据 ， 数 据 落 在 区 间 22， 30)内 的 共 有 4 个 ，则 数 据 落 在 区 间 22， 30)内 的 概 率 为 =0.4.答 案 ： B.7.(5分 )关 于 x的 不 等 式 x 2-2ax-8a2 0(a 0)的 解 集 为 (x1， x2)， 且 ： x2-x1=15， 则 a=(
6、)A.B.C.D.解 析 ： 因 为 关 于 x 的 不 等 式 x 2-2ax-8a2 0(a 0)的 解 集 为 (x1， x2)，所 以 x1+x2=2a ， x1 x2=-8a2 ， 又 x2-x1=15 ， 2-4 可 得 (x2-x1)2=36a2， 代 入 可 得 ， 152=36a2， 解 得 a= = ，因 为 a 0， 所 以 a= .答 案 ： A.8.(5分 )某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 ( ) A.180B.200C.220D.240解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ： 该 几 何 体 是 一 个 横
7、放 的 直 四 棱 柱 ， 高 为 10；其 底 面 是 一 个 等 腰 梯 形 ， 上 下 边 分 别 为 2， 8， 高 为 4. S 表 面 积 =2 (2+8) 4+2 5 10+2 10+8 10=240.答 案 ： D.9.(5分 )已 知 函 数 f(x)=ax3+bsinx+4(a， b R)， f(lg(log210)=5， 则 f(lg(lg2)=( )A.-5B.-1C.3D.4解 析 ： lg(log 210)+lg(lg2)=lg1=0， lg(log210)与 lg(lg2)互 为 相 反 数则 设 lg(log210)=m， 那 么 lg(lg2)=-m令 f(x
8、)=g(x)+4， 即 g(x)=ax3+bsinx， 此 函 数 是 一 个 奇 函 数 ， 故 g(-m)=-g(m)， f(m)=g(m)+4=5， g(m)=1， f(-m)=g(-m)+4=-g(m)+4=3.答 案 ： C.10.(5分 )设 双 曲 线 C的 中 心 为 点 O， 若 有 且 只 有 一 对 相 交 于 点 O， 所 成 的 角 为 60 的 直 线A 1B1和 A2B2， 使 |A1B1|=|A2B2|， 其 中 A1、 B1和 A2、 B2分 别 是 这 对 直 线 与 双 曲 线 C 的 交 点 ， 则 该双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是
9、( )A.B.C.D.解 析 ： 由 双 曲 线 的 基 本 性 质 对 称 轴 是 坐 标 轴 ， 这 时 只 须 考 虑 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 的 情 形 .因 为 有 且 只 有 一 对 相 交 于 点 O、 所 成 的 角 为 60 的 直 线 A 1B1和 A2B2，所 以 直 线 A1B1和 A2B2， 关 于 x 轴 对 称 ， 并 且 直 线 A1B1和 A2B2， 与 x 轴 的 夹 角 为 30 ， 双 曲 线的 渐 近 线 与 x 轴 的 夹 角 大 于 30 且 小 于 等 于 60 ， 否 则 不 满 足 题 意 .可 得 ， 即 ， ， 所 以 e .
10、 同 样 地 ， 当 ， 即 ， 所 以 e 2.所 以 双 曲 线 的 离 心 率 的 范 围 是.答 案 ： A.二 .填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 考 生 作 答 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .11.(5分 )已 知 复 数 z=1+2i(i是 虚 数 单 位 )， 则 |z|= .解 析 ： 复 数 z=1+2i(i是 虚 数 单 位 )， 则 |z|= = .答 案 ： . 12.(5分 )若 2、 a、 b、 c、 9 成 等 差 数 列 ， 则 c-a= .解 析 ： 由 等 差 数 列 的 性 质 可 得 2b=2+9， 解 得 b=
11、，又 可 得 2a=2+b=2+ = ， 解 之 可 得 a= ，同 理 可 得 2c=9+ = ， 解 得 c= ， 故 c-a= - = =答 案 ：13.(5分 )若 甲 、 乙 、 丙 三 人 随 机 地 站 成 一 排 ， 则 甲 、 乙 两 人 相 邻 而 站 的 概 率 为 .解 析 ： 记 甲 、 乙 两 人 相 邻 而 站 为 事 件 A， 甲 、 乙 、 丙 三 人 随 机 地 站 成 一 排 的 所 有 排 法 有 =6，则 甲 、 乙 两 人 相 邻 而 站 的 战 法 有 =4种 站 法 ， = .答 案 ：14.(5分 )OA为 边 ， OB为 对 角 线 的 矩
12、形 中 ， ， ， 则 实 数k= .解 析 ： 由 于 OA 为 边 ， OB为 对 角 线 的 矩 形 中 ， OA AB， =0， 即 = =(-3， 1) (-2， k)-10=6+k-10=0， 解 得 k=4，答 案 ： 4.15.(5分 )设 0 ， 不 等 式 8x2-(8sin )x+cos2 0 对 x R恒 成 立 ， 则 的 取 值 范围 为 . 解 析 ： 由 题 意 可 得 ， =64sin2 -32cos2 0，得 2sin2 -(1-2sin2 ) 0， sin2 ， - sin ， 0 ， 0， ， .答 案 ： 0， ， .三 .解 答 题 ： 本 大 题
13、共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.(12分 )如 图 ， 椭 圆 的 中 心 为 原 点 O， 长 轴 在 x 轴 上 ， 离 心 率 ， 过 左 焦 点 F 1作 x 轴的 垂 线 交 椭 圆 于 A、 A 两 点 ， |AA |=4.( )求 该 椭 圆 的 标 准 方 程 ；( )取 平 行 于 y轴 的 直 线 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 P、 P ， 过 P、 P 作 圆 心 为 Q 的 圆 ， 使椭 圆 上 的 其 余 点 均 在 圆 Q外 .求 PPQ的 面 积 S的 最 大 值
14、， 并 写 出 对 应 的 圆 Q 的 标 准 方 程 . 解 析 ： ( )设 椭 圆 方 程 为 ， 将 左 焦 点 横 坐 标 代 入 椭 圆 方 程 可 得y= ， 则 ， 又 ， a2=b2+c2 ， 联 立 可 求 得 a， b；( )设 Q(t， 0)(t 0)， 圆 的 半 径 为 r， 直 线 PP 方 程 为 ： x=m(m t)， 则 圆 Q的 方 程 为 ：(x-t)2+y2=r2， 联 立 圆 与 椭 圆 方 程 消 掉 y 得 x 的 二 次 方 程 ， 则 =0 ， 易 求 P 点 坐 标 ， 代 入圆 的 方 程 得 等 式 ， 由 消 掉 r 得 m=2t，
15、则 ， 变 为 关 于 t的 函 数 ， 利 用 基 本 不 等 式 可 求 其 最 大 值 及 此 时 t 值 ， 由 对 称 性 可 得 圆 心 Q 在 y 轴 左 侧 的 情 况 ；答 案 ： ( )设 椭 圆 方 程 为 ， 左 焦 点 F1(-c， 0)， 将 横 坐 标 -c代 入 椭 圆 方 程 ， 得 y= ，所 以 ， ， a2=b2+c2 ， 联 立 解 得 a=4， ，所 以 椭 圆 方 程 为 ： ；( )设 Q(t， 0)(t 0)， 圆 的 半 径 为 r， 直 线 PP 方 程 为 ： x=m(m t)， 则 圆 Q的 方 程 为 ： (x-t)2+y2=r2，
16、由 得 x2-4tx+2t2+16-2r2=0，由 =0， 即 16t2-4(2t2+16-2r2)=0， 得 t2+r2=8， 把 x=m代 入 ， 得 ，所 以 点 P 坐 标 为 (m， )， 代 入 (x-t) 2+y2=r2， 得 ， 由 消 掉 r2得 4t2-4mt+m2=0， 即 m=2t，= (m-t)= t= =2 ，当 且 仅 当 4-t 2=t2即 t= 时 取 等 号 ，此 时 t+r= + 4， 椭 圆 上 除 P、 P 外 的 点 在 圆 Q 外 ，所 以 PPQ的 面 积 S的 最 大 值 为 ， 圆 Q的 标 准 方 程 为 ： .当 圆 心 Q、 直 线 P
17、P 在 y轴 左 侧 时 ， 由 对 称 性 可 得 圆 Q的 方 程 为 ， PPQ的 面 积 S 的 最 大 值 仍 为 为 .17.(13分 )设 数 列 a n满 足 ： a1=1， an+1=3an， n N+.( )求 an的 通 项 公 式 及 前 n项 和 Sn；( )已 知 bn是 等 差 数 列 ， Tn为 前 n 项 和 ， 且 b1=a2， b3=a1+a2+a3， 求 T20.解 析 ： ( )可 得 数 列 an是 首 项 为 1， 公 比 为 3 的 等 比 数 列 ， 代 入 求 和 公 式 和 通 项 公 式 可 得答 案 ；( )可 得 b1=3， b3=1
18、3， 进 而 可 得 其 公 差 ， 代 入 求 和 公 式 可 得 答 案 .答 案 ： ( )由 题 意 可 得 数 列 an是 首 项 为 1， 公 比 为 3 的 等 比 数 列 ， 故 可 得 an=1 3n-1=3n-1，由 求 和 公 式 可 得 S n= = ；( )由 题 意 可 知 b1=a2=3， b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设 数 列 bn的 公 差 为 d， 可 得 b3-b1=10=2d， 解 得 d=5， 故 T20=20 3+ =1010. 18.(13分 )从 某 居 民 区 随 机 抽 取 10个 家 庭 ， 获 得 第 i个 家 庭 的 月
19、收 入 xi(单 位 ： 千 元 )与 月储 蓄 yi(单 位 ： 千 元 )的 数 据 资 料 ， 算 得 ， ， ，.( )求 家 庭 的 月 储 蓄 y 对 月 收 入 x的 线 性 回 归 方 程 y=bx+a；( )判 断 变 量 x与 y之 间 是 正 相 关 还 是 负 相 关 ；( )若 该 居 民 区 某 家 庭 月 收 入 为 7千 元 ， 预 测 该 家 庭 的 月 储 蓄 . 附 ： 线 性 回 归 方 程 y=bx+a中 ， ， ， 其 中 ， 为 样 本 平 均 值 ，线 性 回 归 方 程 也 可 写 为 .解 析 ： ( )由 题 意 可 知 n， ， ， 进
20、而 可 得 ， ， 代 入 可 得 b值 ， 进 而 可 得 a值 ， 可 得 方 程 ；( )由 回 归 方 程 x 的 系 数 b 的 正 负 可 判 ；( )把 x=7代 入 回 归 方 程 求 其 函 数 值 即 可 .答 案 ： ( )由 题 意 可 知 n=10， = = =8， = = =2， 故 =720-10 82=80， =184-10 8 2=24，故 可 得 b= = =0.3， a= =2-0.3 8=-0.4，故 所 求 的 回 归 方 程 为 ： y=0.3x-0.4；( )由 ( )可 知 b=0.3 0， 即 变 量 y 随 x 的 增 加 而 增 加 ， 故
21、 x与 y之 间 是 正 相 关 ；( )把 x=7代 入 回 归 方 程 可 预 测 该 家 庭 的 月 储 蓄 为 y=0.3 7-0.4=1.7(千 元 )19.(13分 )在 ABC 中 ， 内 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 是 a、 b、 c， 且 a 2=b2+c2+ bc.( )求 A；( )设 a= ， S为 ABC的 面 积 ， 求 S+3cosBcosC的 最 大 值 ， 并 指 出 此 时 B的 最 值 .解 析 ： ( )由 余 弦 定 理 表 示 出 cosA， 将 依 照 等 式 变 形 后 代 入 求 出 cosA的 值 ， 由 A 为 三 角 形的 内
22、 角 ， 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 即 可 求 出 A 的 度 数 ； ( )由 ( )求 出 sinA 的 值 ， 由 三 角 形 的 面 积 公 式 及 正 弦 定 理 列 出 关 系 式 ， 表 示 出 S， 代 入已 知 等 式 中 提 取 3 变 形 后 ， 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 化 为 一 个 角 的 余 弦 函 数 ， 由 余 弦函 数 的 图 象 与 性 质 即 可 求 出 S+3cosBcosC 的 最 大 值 ， 以 及 此 时 B 的 值 .答 案 ： ( )由 余 弦 定 理 得 ： cosA= = =- ， A 为
23、三 角 形 的 内 角 ， A= ；( )由 ( )得 sinA= ， 由 正 弦 定 理 得 ： b= ， csinA=asinC 及 a= 得 ：S= bcsinA= asinC=3sinBsinC，则 S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C)， 则 当 B-C=0， 即 B=C= = 时 ， S+3cosBcosC取 最 大 值 3.20.(12分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD中 ， PA 底 面 ABCD， PA=2 ， BC=CD=2， ACB= ACD= . ( )求 证 ： BD 平 面 PAC；( )若 侧 棱 PC 上 的
24、 点 F 满 足 PF=7FC， 求 三 棱 锥 P-BDF 的 体 积 .解 析 ： ( )由 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 BD AC， 再 由 PA 底 面 ABCD， 可 得 PA BD.再 利 用 直线 和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 BD 平 面 PAC.( )由 侧 棱 PC上 的 点 F 满 足 PF=7FC， 可 得 三 棱 锥 F-BCD的 高 是 三 棱 锥 P-BCD的 高 的 .求出 BCD的 面 积 S BCD， 再 根 据 三 棱 锥 P-BDF的 体 积V=V P-BCD-VF-BCD= - ， 运 算 求 得 结 果 .答 案 ： (
25、 ) BC=CD=2， BCD为 等 腰 三 角 形 ， 再 由 ， BD AC.再 由 PA 底 面 ABCD， 可 得 PA BD.而 PA AC=A， 故 BD 平 面 PAC.( ) 侧 棱 PC 上 的 点 F 满 足 PF=7FC， 三 棱 锥 F-BCD的 高 是 三 棱 锥 P-BCD 的 高 的 . BCD的 面 积 S BCD= BC CD sin BCD= = . 三 棱 锥 P-BDF的 体 积V=VP-BCD-VF-BCD= - = = = .21.(12分 )某 村 庄 拟 修 建 一 个 无 盖 的 圆 柱 形 蓄 水 池 (不 计 厚 度 ).设 该 蓄 水 池
26、 的 底 面 半 径 为 r米 ， 高 为 h米 ， 体 积 为 V立 方 米 .假 设 建 造 成 本 仅 与 表 面 积 有 关 ， 侧 面 积 的 建 造 成 本 为 100元 /平 方 米 ， 底 面 的 建 造 成 本 为 160元 /平 方 米 ， 该 蓄 水 池 的 总 建 造 成 本 为 12000 元 ( 为圆 周 率 ).( )将 V 表 示 成 r 的 函 数 V(r)， 并 求 该 函 数 的 定 义 域 ；( )讨 论 函 数 V(r)的 单 调 性 ， 并 确 定 r和 h为 何 值 时 该 蓄 水 池 的 体 积 最 大 .解 析 ： (I)由 已 知 中 侧 面
27、 积 和 底 面 积 的 单 位 建 造 成 本 ， 结 合 圆 柱 体 的 侧 面 积 及 底 面 积 公 式 ， 根 据 该 蓄 水 池 的 总 建 造 成 本 为 12000 元 ， 构 造 方 程 整 理 后 ， 可 将 V表 示 成 r的 函 数 ， 进 而根 据 实 际 中 半 径 与 高 为 正 数 ， 得 到 函 数 的 定 义 域 ；( )根 据 (I)中 函 数 的 定 义 值 及 解 析 式 ， 利 用 导 数 法 ， 可 确 定 函 数 的 单 调 性 ， 根 据 单 调 性 ，可 得 函 数 的 最 大 值 点 .答 案 ： ( ) 蓄 水 池 的 侧 面 积 的 建
28、 造 成 本 为 200 rh 元 ，底 面 积 成 本 为 160 r2元 ， 蓄 水 池 的 总 建 造 成 本 为 200 rh+160 r2元 ，即 200 rh+160 r2=12000 ， h= (300-4r2)， V(r)= r 2h= r2 (300-4r2)= (300r-4r3)，又 由 r 0， h 0 可 得 0 r 5 ， 故 函 数 V(r)的 定 义 域 为 (0， 5 ).( )由 ( )中 V(r)= (300r-4r3)， (0 r 5 )，可 得 V (r)= (300-12r2)， (0 r 5 )， 令 V (r)= (300-12r 2)=0， 则 r=5， 当 r (0， 5)时 ， V (r) 0， 函 数 V(r)为 增 函 数 ，当 r (5， 5 )时 ， V (r) 0， 函 数 V(r)为 减 函 数 ，且 当 r=5， h=8时 该 蓄 水 池 的 体 积 最 大 .
