1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 重 庆 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 备 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )已 知 全 集 U=1， 2， 3， 4， 集 合 A=1， 2， B=2， 3， 则 U(A B)=( )A.1， 3， 4B.3， 4C.3D.4解 析 ： A=1， 2， B=2， 3， A B=1， 2， 3， 全 集 U=1， 2， 3， 4， C U(A B)=4.答 案 ：
2、D2.(5分 )命 题 “ 对 任 意 x R， 都 有 x2 0” 的 否 定 为 ( )A.对 任 意 x R， 都 有 x2 0B.不 存 在 x R， 都 有 x2 0C.存 在 x0 R， 使 得 x02 0D.存 在 x 0 R， 使 得 x02 0解 析 ： 因 为 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 ，所 以 命 题 “ 对 任 意 x R， 都 有 x2 0” 的 否 定 为 .存 在 x0 R， 使 得 x02 0.答 案 ： D.3.(5分 ) (-6 a 3)的 最 大 值 为 ( )A.9B.C.3D. 解 析 ： 令 f(a)=(3-a)(a+6)=-
3、+ ， 而 且 -6 a 3， 由 此 可 得 函 数 f(a)的 最 大值 为 ，故 (-6 a 3)的 最 大 值 为 = ，答 案 ： B.4.(5分 )以 下 茎 叶 图 记 录 了 甲 、 乙 两 组 各 五 名 学 生 在 一 次 英 语 听 力 测 试 中 的 成 绩 (单 位 ： 分 ).已 知 甲 组 数 据 的 中 位 数 为 15， 乙 组 数 据 的 平 均 数 为 16.8， 则 x， y的 值 分 别 为 ( ) A.2， 5B.5， 5C.5， 8D.8， 8解 析 ： 乙 组 数 据 平 均 数 =(9+15+18+24+10+y) 5=16.8； y=8甲 组
4、 数 据 可 排 列 成 ： 9， 12， 10+x， 24， 27.所 以 中 位 数 为 ： 10+x=15， x=5.答 案 ： C.5.(5分 )某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.B.C.200D.240解 析 ： 如 图 所 示 ， 该 几 何 体 是 棱 长 分 别 为 4， 8， 10 的 长 方 体 砍 去 两 个 小 三 棱 柱 得 到 一 个 四棱 柱 ， 由 图 知 V= =200. 答 案 ： C.6.(5分 )若 a b c， 则 函 数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)
5、(x-a)的 两 个 零 点 分 别 位于 区 间 ( )A.(a， b)和 (b， c)内B.(- ， a)和 (a， b)内 C.(b， c)和 (c， + )内D.(- ， a)和 (c， + )内解 析 ： a b c， f(a)=(a-b)(a-c) 0， f(b)=(b-c)(b-a) 0， f(c)=(c-a)(c-b) 0，由 函 数 零 点 存 在 判 定 定 理 可 知 ： 在 区 间 (a， b)， (b， c)内 分 别 存 在 一 个 零 点 ；又 函 数 f(x)是 二 次 函 数 ， 最 多 有 两 个 零 点 ，因 此 函 数 f(x)的 两 个 零 点 分 别
6、 位 于 区 间 (a， b)， (b， c)内 .答 案 ： A.7.(5分 )已 知 圆 C 1： (x-2)2+(y-3)2=1， 圆 C2： (x-3)2+(y-4)2=9， M， N 分 别 是 圆 C1， C2上 的 动点 ， P为 x轴 上 的 动 点 ， 则 |PM|+|PN|的 最 小 值 为 ( )A.5 -4B. 1C.6-2D.解 析 ： 如 图 圆 C1关 于 x 轴 的 对 称 圆 的 圆 心 坐 标 A(2， -3)， 半 径 为 1， 圆 C2的 圆 心 坐 标 (3， 4)， 半 径 为 3， |PM|+|PN|的 最 小 值 为 圆 A与 圆 C2的 圆 心
7、 距 减 去 两 个 圆的 半 径 和 ， 即 ： =5 -4.答 案 ： A.8.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 出 S=3， 那 么 判 断 框 内 应 填 入 的 条 件 是 ( ) A.k 6B.k 7C.k 8D.k 9解 析 ： 根 据 程 序 框 图 ， 运 行 结 果 如 下 ：S k第 一 次 循 环 log23 3第 二 次 循 环 log 23 log34 4第 三 次 循 环 log23 log34 log45 5第 四 次 循 环 log23 log34 log45 log56 6第 五 次 循 环 log23 log34 log
8、45 log56 log67 7第 六 次 循 环 log23 log34 log45 log56 log67 log78=log28=3 8故 如 果 输 出 S=3， 那 么 只 能 进 行 六 次 循 环 ， 故 判 断 框 内 应 填 入 的 条 件 是 k 7.答 案 ： B.9.(5分 )4cos50 -tan40 =( )A.B.C. D.2 -1解 析 ： 4cos50 -tan40 =4sin40 -tan40 = = = = . 答 案 ： C10.(5分 )在 平 面 上 ， ， | |=| |=1， = + .若 | | ， 则| |的 取 值 范 围 是 ( )A.(
9、0， B.( ， C.( ， D.( ， 解 析 ： 根 据 条 件 知 A， B1， P， B2构 成 一 个 矩 形 A， B1PB2， 以 AB1， AB2所 在 直 线 为 坐 标 轴 建 立直 角 坐 标 系 ， 设 |AB1|=a， |AB2|=b， 点 O 的 坐 标 为 (x， y)， 则 点 P 的 坐 标 为 (a， b)， 由 =1， 得 ， 则 ， | | ， ， ， ， (x-a)2+y2=1， y2=1-(x-a)2 1， y2 1，同 理 x2 1， x2+y2 2 ，由 知 ， | |= ， | |答 案 ： D.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 3 小
10、题 ， 考 生 作 答 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 11.(5分 )已 知 复 数 z= (i是 虚 数 单 位 )， 则 |z|= .解 析 ： |z|= = = .答 案 ： . 12.(5分 )已 知 an是 等 差 数 列 ， a1=1， 公 差 d 0， Sn为 其 前 n项 和 ， 若 a1， a2， a5成 等 比 数列 ， 则 S8= .解 析 ： an是 等 差 数 列 ， a1， a2， a5成 等 比 数 列 ， =a1 (a1+4d)， 又 a1=1， d2-2d=0， 公 差 d 0， d=2. 其 前 8 项 和 S8=8a1+ d=8+56
11、=64.答 案 ： 64.13.(5分 )从 3 名 骨 科 、 4名 脑 外 科 和 5名 内 科 医 生 中 选 派 5 人 组 成 一 个 抗 震 救 灾 医 疗 小 组 ，则 骨 科 、 脑 外 科 和 内 科 医 生 都 至 少 有 1人 的 选 派 方 法 种 数 是 (用 数 字 作 答 ).解 析 ： 直 接 法 ： 3 名 骨 科 、 1 名 脑 外 科 和 1 名 内 科 医 生 ， 有 C 33C41C51=20 种 ，1名 骨 科 、 3 名 脑 外 科 和 1 名 内 科 医 生 ， 有 C31C43C51=60种 ，1名 骨 科 、 1 名 脑 外 科 和 3 名
12、内 科 医 生 ， 有 C31C41C53=120种 ，2名 骨 科 、 2 名 脑 外 科 和 1 名 内 科 医 生 ， 有 C32C42C51=90种 ，1名 骨 科 、 2 名 脑 外 科 和 2 名 内 科 医 生 ， 有 C31C42C52=180种 ，2名 骨 科 、 1 名 脑 外 科 和 2 名 内 科 医 生 ， 有 C32C41C52=120种 ，共 计 20+60+120+90+180+120=590 种答 案 ： 590.14， 15， 16 三 题 为 选 做 题 ， 请 从 中 任 选 两 题 作 答 ， 若 三 题 全 做 ， 则 按 前 两 题 给 分 ：14
13、.(5分 )如 图 ， 在 ABC中 ， C=90 ， A=60 ， AB=20， 过 C 作 ABC的 外 接 圆 的 切 线CD， BD CD， BD与 外 接 圆 交 于 点 E， 则 DE 的 长 为 . 解 析 ： 在 ABC中 ， C=90 ， A=60 ， AB=20， BC=AB sin60 = . CD 是 此 圆 的 切 线 ， BCD= A=60 .在 Rt BCD中 ， CD=BC cos60 = ， BD=BC sin60 =15.由 切 割 线 定 理 可 得 CD2=DE DB， ， 解 得 DE=5.答 案 ： 5.15.(5分 )在 直 角 坐 标 系 xOy
14、中 ， 以 原 点 O 为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .若 极坐 标 方 程 为 cos =4的 直 线 与 曲 线 (t 为 参 数 )相 交 于 A， B 两 点 ， 则 |AB|= . 解 析 ： 将 直 线 极 坐 标 方 程 cos =4化 成 直 角 坐 标 方 程 为 x=4， 代 入 曲 线 (t 为 参 数 )中 得 A， B 两 点 的 直 角 坐 标 为 (4， 8)， (4， -8)， 则 |AB|=16. 答 案 ： 16.16.若 关 于 实 数 x 的 不 等 式 |x-5|+|x+3| a无 解 ， 则 实 数 a 的
15、 取 值 范 围 是 .解 析 ： 由 于 |x-5|+|x+3|表 示 数 轴 上 的 x 对 应 点 到 5 和 -3对 应 点 的 距 离 之 和 ， 其 最 小 值 为 8，再 由 关 于 实 数 x的 不 等 式 |x-5|+|x+3| a 无 解 ， 可 得 a 8，答 案 ： (- ， 8.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.(13分 )设 f(x)=a(x-5) 2+6lnx， 其 中 a R， 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 与 y
16、 轴相 交 于 点 (0， 6).(1)确 定 a 的 值 ；(2)求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 与 极 值 .解 析 ： (1)先 由 所 给 函 数 的 表 达 式 ， 求 导 数 f (x)， 再 根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 出 切 线 的 斜 率 ，最 后 由 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 与 y轴 相 交 于 点 (0， 6)列 出 方 程 求 a的 值 即 可 ；(2)由 (1)求 出 的 原 函 数 及 其 导 函 数 ， 求 出 导 函 数 的 零 点 ， 把 函 数 的 定 义 域 分 段 ， 判 断 导 函 数在 各 段
17、内 的 符 号 ， 从 而 得 到 原 函 数 的 单 调 区 间 ， 根 据 在 各 区 间 内 的 单 调 性 求 出 极 值 点 ， 把 极值 点 的 横 坐 标 代 入 函 数 解 析 式 求 得 函 数 的 极 值 .答 案 ： (1)因 f(x)=a(x-5) 2+6lnx， 故 f (x)=2a(x-5)+ ， (x 0)，令 x=1， 得 f(1)=16a， f (1)=6-8a， 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 方 程 为 y-16a=(6-8a)(x-1)，由 切 线 与 y轴 相 交 于 点 (0， 6). 6-16a=8a-6， a= .(2
18、)由 (I)得 f(x)= (x-5)2+6lnx， (x 0)，f (x)=(x-5)+ = ， 令 f (x)=0， 得 x=2或 x=3，当 0 x 2或 x 3 时 ， f (x) 0， 故 f(x)在 (0， 2)， (3， + )上 为 增 函 数 ，当 2 x 3时 ， f (x) 0， 故 f(x)在 (2， 3)上 为 减 函 数 ， 故 f(x)在 x=2时 取 得 极 大 值 f(2)= +6ln2， 在 x=3 时 取 得 极 小 值 f(3)=2+6ln3.18.(13分 )某 商 场 举 行 的 “ 三 色 球 ” 购 物 摸 奖 活 动 规 定 ： 在 一 次 摸
19、 奖 中 ， 摸 奖 者 先 从 装 有 3个 红 球 与 4个 白 球 的 袋 中 任 意 摸 出 3 个 球 ， 再 从 装 有 1个 蓝 球 与 2个 白 球 的 袋 中 任 意 摸 出 1个 球 ， 根 据 摸 出 4 个 球 中 红 球 与 蓝 球 的 个 数 ， 设 一 、 二 、 三 等 奖 如 下 ：其 余 情 况 无 奖 且 每 次 摸 奖 最 多 只 能 获 得 一 个 奖 级 .(1)求 一 次 摸 奖 恰 好 摸 到 1 个 红 球 的 概 率 ； (2)求 摸 奖 者 在 一 次 摸 奖 中 获 奖 金 额 x 的 分 布 列 与 期 望 E(x). 解 析 ： (1
20、)从 7 个 小 球 中 取 3 的 取 法 为 ， 若 取 一 个 红 球 ， 则 说 明 第 一 次 取 到 一 红 2 白 ，根 据 组 合 知 识 可 求 取 球 的 种 数 ， 然 后 代 入 古 典 概 率 计 算 公 式 可 求(2)先 判 断 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 200， 50， 10， 0 根 据 题 意 求 出 随 机 变 量 的 各 个 取 值的 概 率 ， 即 可 求 解 分 布 列 及 期 望 值答 案 ： (1)设 Ai表 示 摸 到 i 个 红 球 ， Bi表 示 摸 到 i个 蓝 球 ， 则 Ai与 Bi相 互 独 立 (i=0，
21、 1， 2，3)， P(A 1)= =(2)X的 所 有 可 能 取 值 为 0， 10， 50， 200，P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= ，P(X=50)=P(A3)P(B0)= = ，P(X=10)=P(A 2)P(B1)= = ，P(X=0)=1- = ， X 的 分 布 列 为 ，EX= =4元 . 19.(13分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD中 ， PA 底 面 ABCD， BC=CD=2， AC=4， ACB= ACD= ， F为 PC 的 中 点 ， AF PB.(1)求 PA 的 长 ； (2)求 二 面 角 B-AF-D的 正 弦 值 .
22、解 析 ： (I)连 接 BD 交 AC 于 点 O， 等 腰 三 角 形 BCD中 利 用 “ 三 线 合 一 ” 证 出 AC BD， 因 此 分别 以 OB、 OC分 别 为 x 轴 、 y 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示 .结 合 题 意 算 出 A、 B、 C、 D 各点 的 坐 标 ， 设 P(0， -3， z)， 根 据 F 为 PC边 的 中 点 且 AF PB， 算 出 z=2 ， 从 而 得 到 =(0，0， -2 )， 可 得 PA 的 长 为 2 ；(II)由 (I)的 计 算 ， 得 =(- ， 3， 0)， =( ， 3， 0)， =(0，
23、2， ).利 用 垂 直 向量 数 量 积 为 零 的 方 法 建 立 方 程 组 ， 解 出 =(3， ， -2)和 =(3， - ， 2)分 别 为 平 面 FAD、平 面 FAB 的 法 向 量 ， 利 用 空 间 向 量 的 夹 角 公 式 算 出 、 夹 角 的 余 弦 ， 结 合 同 角 三 角 函 数 的平 方 关 系 即 可 算 出 二 面 角 B-AF-D的 正 弦 值 .答 案 ： (I)如 图 ， 连 接 BD交 AC于 点 O， BC=CD， AC平 分 角 BCD， AC BD， 以 O 为 坐 标 原 点 ， OB、 OC所 在 直 线 分 别 为 x轴 、 y 轴
24、 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz，则 OC=CDcos =1， 而 AC=4， 可 得 AO=AC-OC=3. 又 OD=CDsin = ， 可 得 A(0， -3， 0)， B( ， 0， 0)， C(0， 1， 0)， D(- ， 0， 0)，由 于 PA 底 面 ABCD， 可 设 P(0， -3， z)， F 为 PC 边 的 中 点 ， F(0， -1， )， 由 此 可 得 =(0， 2， )， =( ， 3， -z)， 且 AF PB， =6- =0， 解 之 得 z=2 (舍 负 )，因 此 ， =(0， 0， -2 )， 可 得 PA 的 长 为 2 ；(
25、II)由 (I)知 =(- ， 3， 0)， =( ， 3， 0)， =(0， 2， )，设 平 面 FAD的 法 向 量 为 =(x 1， y1， z1)， 平 面 FAB的 法 向 量 为 =(x2， y2， z2)， =0且 =0， ， 取 y1= 得 =(3， ， -2)，同 理 ， 由 =0 且 =0， 解 出 =(3， - ， 2)， 向 量 、 的 夹 角 余 弦 值 为 cos ， = = =因 此 ， 二 面 角 B-AF-D的 正 弦 值 等 于 =20.(12分 )在 ABC 中 ， 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 是 a， b， c， 且 a 2+b2+ a
26、b=c2.(1)求 C；(2)设 cosAcosB= ， = ， 求 tan 的 值 .解 析 ： (1)利 用 余 弦 定 理 表 示 出 cosC， 将 已 知 等 式 变 形 后 代 入 求 出 cosC的 值 ， 由 C 为 三 角形 的 内 角 ， 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 即 可 求 出 C的 度 数 ；(2)已 知 第 二 个 等 式 分 子 两 项 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 化 简 ， 再 利 用 同 角 三 角 函 数 间的 基 本 关 系 弦 化 切 ， 利 用 多 项 式 乘 多 项 式 法 则 计 算 ， 由 A+B 的
27、度 数 求 出 sin(A+B)的 值 ， 进而 求 出 cos(A+B)的 值 ， 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 化 简 cos(A+B)， 将 cosAcosB的 值 代入 求 出 sinAsinB 的 值 ， 将 各 自 的 值 代 入 得 到 tan 的 方 程 ， 求 出 方 程 的 解 即 可 得 到 tan 的值 . 答 案 ： (1) a2+b2+ ab=c2， 即 a2+b2-c2=- ab， 由 余 弦 定 理 得 ： cosC= = =- ，又 C 为 三 角 形 的 内 角 ， 则 C= ；(2)由 题 意 = = ， (cosA-tan si
28、nA)(cosB-tan sinB)= ，即tan2 sinAsinB-tan (sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB=tan2 sinAsinB-tan sin(A+B)+cosAcosB= ， C= ， A+B= ， cosAcosB= ， sin(A+B)= ， cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= -sinAsinB= ， 即 sinAsinB= ， tan2 - tan + = ， 即 tan2 -5tan +4=0， 解 得 ： tan =1或 tan =4.21.(12分 )如 图 ， 椭 圆 的 中 心 为 原 点 O， 长 轴 在 x 轴
29、上 ， 离 心 率 ， 过 左 焦 点 F1作 x 轴的 垂 线 交 椭 圆 于 A、 A 两 点 ， |AA |=4. ( )求 该 椭 圆 的 标 准 方 程 ；( )取 垂 直 于 x轴 的 直 线 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 P、 P ， 过 P、 P 作 圆 心 为 Q 的 圆 ， 使椭 圆 上 的 其 余 点 均 在 圆 Q外 .若 PQ PQ， 求 圆 Q的 标 准 方 程 .解 析 ： ( )利 用 点 A(-c， 2)在 椭 圆 上 ， 结 合 椭 圆 的 离 心 率 ， 求 出 几 何 量 ， 即 可 求 得 椭 圆 的标 准 方 程 ；( )设 出 圆 Q
30、 的 圆 心 坐 标 及 半 径 ， 由 PQ PQ 得 到 P 的 坐 标 ， 写 出 圆 的 方 程 后 和 椭 圆 联 立 ，化 为 关 于 x 的 二 次 方 程 后 由 判 别 式 等 于 0 得 到 关 于 t 与 r 的 方 程 ， 把 P 点 坐 标 代 入 椭 圆 方 程得 到 关 于 t 与 r 的 另 一 方 程 ， 联 立 可 求 出 t与 r的 值 ， 经 验 证 满 足 椭 圆 上 的 其 余 点 均 在 圆 Q外 ， 结 合 对 称 性 即 可 求 得 圆 Q 的 标 准 方 程 .答 案 ： ( )由 题 意 知 点 A(-c， 2)在 椭 圆 上 ， 则 ，
31、即 离 心 率 ， 联 立 得 ： ， 所 以 b2=8.把 b2=8代 入 得 ， a2=16. 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ；( )设 Q(t， 0)， 圆 Q 的 半 径 为 r， 则 圆 Q 的 方 程 为 (x-t) 2+y2=r2，不 妨 取 P 为 第 一 象 限 的 点 ， 因 为 PQ PQ， 则 P( )(t 0).联 立 ， 得 x2-4tx+2t2+16-2r2=0.由 =(-4t) 2-4(2t2+16-2r2)=0， 得 t2+r2=8又 P( )在 椭 圆 上 ， 所 以 .整 理 得 . 代 入 t2+r2=8， 得 .解 得 ： .所 以 ， .此 时 .
32、满 足 椭 圆 上 的 其 余 点 均 在 圆 Q 外 .由 对 称 性 可 知 ， 当 t 0时 ， t=- ， .故 所 求 椭 圆 方 程 为 .22.(12分 )对 正 整 数 n， 记 I n=1， 2， 3 ， n， Pn= |m In， k In.(1)求 集 合 P7中 元 素 的 个 数 ；(2)若 Pn的 子 集 A 中 任 意 两 个 元 素 之 和 不 是 整 数 的 平 方 ， 则 称 A 为 “ 稀 疏 集 ” .求 n 的 最 大值 ， 使 Pn能 分 成 两 个 不 相 交 的 稀 疏 集 的 并 .解 析 ： (1)对 于 集 合 P7 ， 有 n=7.当 k
33、=4时 ， 根 据 Pn中 有 3个 数 与 In=1， 2， 3 ， n中 的 数重 复 ， 由 此 求 得 集 合 P7中 元 素 的 个 数 .(2)先 用 反 证 法 证 明 证 当 n 15 时 ， P n不 能 分 成 两 个 不 相 交 的 稀 疏 集 的 并 集 ， 再 证 P14满 足 要求 ， 从 而 求 得 n 的 最 大 值 .答 案 ： (1)对 于 集 合 P7 ， 有 n=7.当 k=4时 ， Pn= |m In， k In中 有 3个 数 (1， 2， 3)与In=1， 2， 3 ， n中 的 数 重 复 ， 由 此 求 得 集 合 P7中 元 素 的 个 数
34、为 7 7-3=46.(2)先 证 当 n 15时 ， Pn不 能 分 成 两 个 不 相 交 的 稀 疏 集 的 并 集 .否 则 ， 设 A 和 B 为 两 个 不 相 交的 稀 疏 集 ， 使 A B=PnIn .不 妨 设 1 A， 则 由 于 1+3=2 2， 3A， 即 3 B.同 理 可 得 ， 6 A， 10 B.又 推 出 15 A， 但1+15=42，这 与 A为 稀 疏 集 相 矛 盾 .再 证 P14满 足 要 求 .当 k=1时 ， P14= |m I14， k I14=I14， 可 以 分 成 2个 稀 疏 集 的 并 集 .事 实 上 ， 只 要 取 A1=1，
35、2， 4， 6， 9， 11， 13， B1=3， 5， 7， 8， 10， 12， 14， 则 A1和 B1都 是 稀 疏 集 ， 且 A 1 B1=I14.当 k=4时 ， 集 合 |m I14中 ， 除 整 数 外 ， 剩 下 的 数 组 成 集 合 ， ， ， ， ， 可以 分 为 下 列 3 个 稀 疏 集 的 并 ：A2= ， ， ， ， B2= ， ， .当 k=9时 ， 集 合 |m I 14中 ， 除 整 数 外 ， 剩 下 的 数 组 成 集 合 ， ， ， ， ， ，可 以 分 为 下 列 3个 稀 疏 集 的 并 ： A3= ， ， ， ， ， B3= ， ， ， ， .最 后 ， 集 合 C |m I14， k I14， 且 k 1， 4， 9 中 的 数 的 分 母 都 是 无 理 数 ，它 与 P n中 的 任 何 其 他 数 之 和 都 不 是 整 数 ，因 此 ， 令 A=A1 A2 A3 C， B=B1 B2 B3， 则 A 和 B 是 不 相 交 的 稀 疏 集 ， 且 A B=P14. 综 上 可 得 ， n的 最 大 值 为 14.
