1、2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 重 庆 卷 ）数 学 （ 理 工 农 医 类 ）特 别 提 醒 ：（ 14） 、 （ 15） 、 （ 16） 三 题 为 选 做 题 ， 请 从 中 任 选 两 题 作 答 ， 若 三 题 全 做 ， 则 按 前 两 题 给 分 .一 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 备 选 项 中 ，只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1、 已 知 集 合 1,2,3,4U ， 集 合 =1,2A ， =2,3B ， 则 ( )
2、U A B （ A） 1,3,4 （ B） 3,4 （ C） 3 （ D） 42、 命 题 “ 对 任 意 x R ， 都 有 2 0 x ” 的 否 定 为 （ A） 对 任 意 x R ， 使 得 2 0 x （ B） 不 存 在 x R ， 使 得 2 0 x （ C） 存 在 0 x R ， 都 有 20 0 x （ D） 存 在 0 x R ， 都 有 20 0 x 3、 (3 )( 6)a a （ 6 3a ） 的 最 大 值 为（ A） 9 （ B） 92 （ C） 3 （ D） 3 224、 以 下 茎 叶 图 记 录 了 甲 、 乙 两 组 各 5 名 学 生 在 一 次 英
3、 语 听 力 测 试 中 的 成 绩 （ 单 位 ： 分 ） .甲 组 乙 组9 0 9x 2 1 5 y 87 4 2 4已 知 甲 组 数 据 的 中 位 数 为 15， 乙 组 数 据 的 平 均 数 为 16.8， 则 x 、 y 的 值 分 别 为（ A） 2、 5 （ B） 5、 5（ C） 5,8 （ D） 8,8 5、 某 几 何 体 的 三 视 图 如 题 （ 5） 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为（ A） 5603（ B） 5803（ C） 200（ D） 2406、 若 a b c ， 则 函 数 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x
4、x a x b x b x c x c x a 两 个 零 点 分 别 位 于 区 间（ A） ( , )a b 和 ( , )b c 内 （ B） ( , )a 和 ( , )a b 内（ C） ( , )b c 和 ( , )c 内 （ D） ( , )a 和 ( , )c 内 7、 已 知 圆 1C ： 2 2( 2) ( 3) 1x y ， 圆 2C ： 2 2( 3) ( 4) 9x y ， M 、 N 分 别 是 圆 1C 、 2C上 的 动 点 ， P为 x 轴 上 的 动 点 ， 则 PM PN 的 最 小 值 为（ A） 5 2 4 （ B） 17 1 （ C） 6 2 2
5、（ D） 178、 执 行 如 题 （ 8） 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 出 3s ， 那 么 判 断 框 内 应 填 入 的 条 件 是（ A） 6k （ B） 7k （ C） 8k （ D） 9k 9、 0 04cos50 tan40 （ A） 2 （ B） 2 32 （ C） 3 （ D） 2 2 110、 在 平 面 上 ， 1 2AB AB ， 1 2 1OB OB ， 1 2AP AB AB 若 12OP ， 则 OA 的 取 值 范围 是（ A） 5(0, 2 （ B） 5 7( , 2 2 （ C） 5( , 22 （ D） 7( , 22二 填 空 题 ：
6、 本 大 题 共 6 小 题 ， 考 生 作 答 5小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 25 分 把 答 案 填 写 在答 题 卡 相 应 位 置 上 11、 已 知 复 数 51 2iz i （ i 是 虚 数 单 位 ） ， 则 z 12、 已 知 na 是 等 差 数 列 ， 1 1a ， 公 差 0d ， nS 为 其 前 n项 和 ， 若 1a 、 2a 、 5a 称 等 比 数 列 ， 则 8S 13、 从 3 名 骨 科 、 4 名 脑 外 科 和 5 名 内 科 医 生 中 选 派 5 人 组 成 一 个 抗 震 救 灾 医 疗 小 组 ， 则 骨 科 、 脑 外科 和 内
7、科 医 生 都 至 少 有 1 人 的 选 派 方 法 种 数 是 （ 用 数 字 作 答 ） 考 生 注 意 ： （ 14） 、 （ 15） 、 （ 16） 三 题 为 选 做 题 ， 请 从 中 任 选 两 题 作 答 ， 若 三 题 全 做 ， 则 按前 两 题 给 分 14、 如 题 （ 14） 图 ， 在 ABC 中 ， 090C ， 060A ， 20AB ， 过 C作 ABC 的 外 接 圆的 切 线 CD， BD CD， BD 与 外 接 圆 交 于 点 E， 则 DE 的 长 为 15、 在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 以 原 点 O为 极 点 ， x 轴 的 正 半
8、轴 为 极 轴 建 立 是否开 始log ( 1)kS S k 1k k 输 出 S结 束2, 1k S 极 坐 标 系 若 极 坐 标 方 程 为 cos 4 的 直 线 与 曲 线 23x ty t （ t 为 参 数 ）相 交 于 A、 B两 点 ， 则 AB 16、 若 关 于 实 数 x 的 不 等 式 5 3x x a 无 解 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 三 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 75分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17、 （ 本 小 题 满 分 13分 ， （ ） 小 问 6 分 ， （
9、） 小 问 7 分 ）设 2( ) ( 5) 6lnf x a x x ， 其 中 a R ， 曲 线 ( )y f x 在 点 （ 1， (1)f ） 处 的 切 线 与 y 轴 相较 于 点 （ 0,6） （ ） 确 定 a的 值 ；（ ） 求 函 数 ( )f x 的 单 调 区 间 与 极 值 18、 （ 本 小 题 满 分 13分 ， （ ） 小 问 5 分 ， （ ） 小 问 8 分 ） 某 商 场 举 行 的 “ 三 色 球 ” 购 物 摸 奖 活 动 规 定 ： 在 一 次 摸 奖 中 ， 摸 奖 者 先 从 装 有 3 个 红 球 与 4个 白球 的 袋 中 任 意 摸 出
10、3 个 球 ， 再 从 装 有 1 个 篮 球 与 2个 白 球 的 袋 中 任 意 摸 出 1 个 球 ， 根 据 摸 出 4 个球 中 红 球 与 篮 球 的 个 数 ， 设 一 、 二 、 三 等 奖 如 下 ：奖 级 摸 出 红 、 蓝 球 个 数 获 奖 金 额一 等 奖 3红 1蓝 200元二 等 奖 3红 0蓝 50元三 等 奖 2红 1蓝 10元其 余 情 况 无 奖 且 每 次 摸 奖 最 多 只 能 获 得 一 个 奖 级 （ ） 求 一 次 摸 球 恰 好 摸 到 1 个 红 球 的 概 率 ；（ ） 求 摸 奖 者 在 一 次 摸 奖 中 获 奖 金 额 X 的 分 布
11、 列 与 期 望 ( )E X 19、 （ 本 小 题 满 分 13 分 ， （ ） 小 问 5 分 ， （ ） 小 问 8 分 ）如 题 （ 19） 图 ， 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PA 底 面 ABCD ， 2BC CD ， 4AC ，3ACB ACD ， F 为 PC 的 中 点 ， AF PB （ ） 求 PA 的 长 ；（ ） 求 二 面 角 B AF D 的 正 弦 值 20、 （ 本 小 题 满 分 12分 ， （ ） 小 问 4 分 ， （ ） 小 问 8 分 ）在 ABC 中 ， 内 角 A、 B、 C的 对 边 分 别 是 a 、 b、 c， 且 2 2 22a
12、b ab c （ ） 求 C；（ ） 设 3 2cos cos 5A B ， 2cos( )cos( ) 2cos 5A B ， 求 tan 的 值 21、 （ 本 小 题 满 分 12分 ， （ ） 小 问 4 分 ， （ ） 小 问 8 分 ） 如 题 （ 21） 图 ， 椭 圆 的 中 心 为 原 点 O， 长 轴 在 x 轴 上 ， 离 心 率 22e ， 过 左 焦 点 1F 作 x 轴 的 垂线 交 椭 圆 于 A、 A两 点 ， 4AA （ ） 求 该 椭 圆 的 标 准 方 程 ；（ ） 取 垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 椭 圆 相 较 于 不 同 的 两 点 P、 P，
13、过 P、 P作 圆 心 为 Q的 圆 ， 使 椭 圆 上 的 其 余 点 均 在 圆 Q外 若 PQ P Q ， 求 圆 Q的 标 准 方 程 22、 （ 本 小 题 满 分 12分 ， （ ） 小 问 4 分 ， （ ） 小 问 8 分 ）对 正 整 数 n ， 记 1,2,nI ， n ， n nmP m Ik ， nk I （ ） 求 集 合 7P 中 元 素 的 个 数 ；（ ） 若 nP 的 子 集 A中 任 意 两 个 元 素 之 和 不 是 整 数 的 平 方 ， 则 称 A为 “ 稀 疏 集 ” 求 n 的 最 大 值 ， 使 nP 能 分 成 两 个 不 相 交 的 稀 疏
14、集 的 并 参 考 答 案一 、 选 择 题 ：1、 D 2. D 3、 B 4、 C 5、 C 6、 A 7、 A 8、 B 9、 C 10、 D二 、 填 空 题 ：11、 5； 12、 64； 13、 590； 14、 5； 15、 16； 16、 ( ,8 ；三 、 解 答 题 ：17、 解 ： （ I） 因 2( ) ( 5) 6lnf x a x x ， 故 6( ) 2 ( 5)f x a x x .令 1x ， 得 (1) 16f a ， (1) 6 8f a ， 所 以 曲 线 ( )y f x 在 点 (1, (1)f 处 的 切 线 方 程 为16 6 8 ( 1)y a
15、 a x ,由 点 (0,6)在 切 线 上 可 得 6 16 8 6a a ， 故 12a .（ II） 由 （ I） 知 21( ) ( 5) 6ln ( 0)2f x x x x ， 6 ( 2)( 3)( ) 5 x xf x x x x . 令 ( ) 0f x ， 解 得 1 22, 3x x .当 0 2x 或 3x 时 ， ( ) 0f x ， 故 ( )f x 在 (0,2),(3, ) 上 为 增 函 数 ；当 2 3x 时 ， ( ) 0f x ， 故 ( )f x 在 (2,3)上 为 减 函 数 .由 此 可 知 ( )f x 在 2x 处 取 得 极 大 值 9(2
16、) 6ln22f ， 在 3x 处 取 得 极 小 值(3) 2 6ln3f .18、 解 ： 设 iA 表 示 摸 到 i 个 红 球 ， jB 表 示 摸 到 j 个 蓝 球 ， 则 ( 0,1,2,3)iA i 与 ( 0,1)jB j 独 立 .（ I） 恰 好 摸 到 1 个 红 球 的 概 率 为 1 23 41 37 18( ) 35C CP A C .（ II） X 的 所 以 可 能 值 为 ： 0,10,50,200， 且 333 1 3 1 37 1 1( 200) ( ) ( ) ( ) 3 105CP X P A B P A P B C 3 33 0 3 0 37 2
17、 2( 50) ( ) ( ) ( ) 3 105CP X P A B P A P B C 2 13 42 1 2 1 37 1 12 4( 10) ( ) ( ) ( ) 3 105 35C CP X P A B P A P B C 1 2 4 6( 0) 1 105 105 35 7P X .综 上 知 X 的 分 布 列 为0 10 50 2006 4 2 17 35 105 105XP从 而 有 6 4 2 1( ) 0 10 50 200 47 35 105 105E X (元 ) 19、 解 ： （ I） 如 图 ， 连 接 BD 交 AC于 O,因 为 BC=CD,即 BCD为
18、等 腰 三 角 形 ， 又 AC 平 分 BCD,故AC BD.以 O为 坐 标 原 点 ， , ,OB OC AP 的 方 向 分 别 为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 的 正 方 向 ， 建 立 空 间 直角 坐 标 系 O xyz ， 则 cos 13OC CD ， 而 AC=4， 得 3AO AC OC ， 又 sin 33OD CD ，故 (0, 3,0)A ， ( 3,0,0)B ,C(0， 1， 0)， ( 3,0,0)D .因 PA 底 面 ABCD,可 设 (0, 3, )P z ， 由 F 为 PC 边 中 点 ，(0, 1, )2zF ,又 (0,2, )2zAF ，
19、( 3,3, )PB z ，因 AF PB,故 0AF PB ， 即 26 02z ， 2 3z （ 舍 去 2 3 ） ， 所 以 | | 2 3PA .（ II） 由 （ I） 知 ( 3,3,0)AD , ( 3,3,0)AB , (0,2, 3)AF .设 平 面 FAD 的 法 向 量 为1 1 1 1( , , )x y zn ,平 面 FAB 的 法 向 量 为 2 2 2 2( , , )x y zn . 由 1 0AD n , 1 0AF n ,得 1 11 13 3 02 3 0 x yy z ,因 此 可 取 1 (3, 3, 2) n .由 2 0AB n , 2 0A
20、F n ,得 2 22 23 3 02 3 0 x yy z ,故 可 取 2 (3, 3,2) n .从 而 法 向 量 1 2,n n 的 夹 角 的 余 弦 值 为 1 21 2 1 2 1cos , | 8 n nn n |n | |n .故 二 面 角 B AF D 的 正 弦 值 为 3 78 .20、解 ：（ I） 因 为 2 2 22a b ab c ， 由 余 弦 定 理 有 2 2 2 2 2cos 2 2 2a b c abC ab ab ， 故 34C . （ II） 由 题 意 得 2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos ) 2cos
21、5A A B B ，因 此 2(tan sin cos )(tan sin cos ) 5A A B B ，2 2tan sin sin tan (sin cos cos sin ) cos cos 5A B A B A B A B ,2 2tan sin sin tan sin( ) cos cos 5A B A B A B 1因 为 34C ， 4A B ,所 以 2sin( ) 2A B 因 为 cos( ) cos cos sin sinA B A B A B ,即 3 2 2sin sin5 2A B 解 得 3 2 2 2sin sin 5 2 10A B ， 由 1 得 2tan
22、 5tan 4 0 ， 解 得 tan 1 或tan 4 .21、 解 ： （ I） 由 题 意 知 点 A( ,2)c 在 椭 圆 上 ， 则 2 22 2( ) 2 1ca b .从 而 2 24 1e b . 由 22e 得 2 24 81b e ， 从 而 22 2 161ba e .故 该 椭 圆 的 标 准 方 程 为 2 2 116 8x y .（ II） 由 椭 圆 的 对 称 性 ， 可 设 0( ,0)Q x .又 设 ( , )M x y 是 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 则2 2 20| | ( )QM x x y 22 20 02 8(1 )16xx x x x 2
23、 20 01( 2 ) 8( 4,4)2 x x x x .设 1 1( , )P x y ， 由 题 意 ， P 是 椭 圆 上 到 Q 的 距 离 最 小 的 点 ， 因 此 ， 上 式 当 1x x 时 取 最 小 值 ， 又 因1 ( 4,4)x ， 所 以 上 式 当 02x x 时 取 最 小 值 ， 从 而 1 02x x ， 且 2 20| | 8QP x .因 为 PQ P Q ,且 1 1( , )P x y ， 所 以 1 0 1 1 0 1( , ) ( , ) 0QP QP x x y x x y ，即 2 21 0 1( ) 0 x x y .由 椭 圆 方 程 及
24、 1 02x x 得 22 111 8(1 ) 04 16xx ，解 得 1 4 63x ， 10 2 62 3xx .从 而 2 20 16| | 8 3QP x . 故 这 样 的 圆 有 两 个 ， 其 标 准 方 程 分 别 为2 22 6 16( )3 3x y ， 2 22 6 16( )3 3x y .22、 解 ： （ ） 当 4k 时 ， 7 | m m Ik 中 有 3 个 数 与 7I 中 的 3 个 数 重 复 ， 因 此 7P 中 元 素 的个 数 为 7 7-3=46.（ ） 先 证 ： 当 15n 时 ， nP 不 能 分 成 两 个 不 相 交 的 稀 疏 集
25、的 并 .若 不 然 ， 设 A,B为 不 相 交 的 稀疏 集 ， 使 A B= n nP I .不 妨 设 1 A， 则 因 1+3= 22 ， 故 3A， 即 3 B.同 理 6 A,10 B， 又 推得 15 A， 但 1+15= 24 ， 这 与 A为 稀 疏 集 矛 盾 .再 证 14P 符 合 要 求 .当 1k 时 ， 14 14 | m m I Ik 可 分 成 两 个 稀 疏 集 的 并 ， 事 实 上 ， 只 要 取1A =1， 2， 4， 6， 9， 11， 13， 1B =3， 5， 7， 8， 10， 12， 14， 则 1A ， 1B 为 稀 疏 集 ， 且 1A
26、 1B = 14I . 当 4k 时 ， 集 14 | m m Ik 中 除 整 数 外 剩 下 的 数 组 成 集 1 3 5 13 , , , , 2 2 2 2 ， 可 分 解 为 下 面 两 稀疏 集 的 并 ： 2 1 5 9 11 , , , 2 2 2 2A ， 2 3 7 13 , , 2 2 2B .当 9k 时 ， 集 14 | m m Ik 中 除 正 整 数 外 剩 下 的 数 组 成 集 1 2 4 5 13 14 , , , , , , 3 3 3 3 3 3 ， 可 分 解 为下 面 两 稀 疏 集 的 并 ： 3 1 4 5 10 13 , , , , 3 3 3 3 3A ， 3 2 7 8 11 14 , , , , 3 3 3 3 3B .最 后 ， 集 14 14 | , , 1,4,9mC m I k I kk 且 中 的 数 的 分 母 均 为 无 理 数 ， 它 与 14P 中 的 任 何 其他 数 之 和 都 不 是 整 数 ， 因 此 ， 令 1 2 3A A A A C , 1 2 3B B B B .则 A 和 B 是 不 相 交 的稀 疏 集 ， 且 A B= 14P . 综 上 ， 所 求 n的 最 大 值 为 14.(注 ： 对 14P 的 分 拆 方 法 不 是 唯 一 的 )
